variável aleatória

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Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos 
 
Variáveis Aleatórias 
Definição: 
Uma variável aleatória X é uma função com valores numéricos, cujo valor é 
determinado por fatores de chance, ou seja, podem estar sujeitos à influência 
conjunta dos fatores associados ao experimento que interagem 
conjuntamente. Tal variável pode ser discreta ou contínua. 
 
Variável aleatória discreta 
É o tipo de variável que assume um número finito de valores possíveis ou 
número infinito enumerável. De um modo geral, os valores de X pertencem ao 
conjunto dos inteiros. Uma variável aleatória discreta está bem definida se 
pudermos indicar os possíveis valores x1, x2,..., xn que ela pode assumir e as 
respectivas probabilidades p(x1), p(x2),..., p(xn). Se conhecermos a os pares 
(xi; p(xi)), para todo i, conhecemos a distribuição de probabilidades da 
variável aleatória X. 
 
Condições: 
a) p(xi)≥0 , i=1, ..., n 
b) 1)(
1
=
=
n
i
i
xp 
 
Função de distribuição acumulada de probabilidade – F(x) 
 
Definição: A função distribuição ou função distribuição acumulada de 
probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida, para qualquer 
número real 𝑥, pela seguinte expressão: 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
 
Média ou Esperança de uma Variável Aleatória discreta X 
Definição: Dada uma v.a. discreta, assumindo os valores x1, x2,..., xn , 
chamamos valor médio ou esperança de X ao valor: 

=
==
n
i
iix
xpxXE
1
)()( 
 
Variância e desvio padrão de uma Variável Aleatória 
discreta X: 
Definição: Chamamos de variância de uma v.a. discreta ao valor: 

=
−==
n
i
ixix
xpxXV
1
22
)()()( 
 
𝜎𝑥 = √𝑉(𝑋) é o desvio padrão de X. 
 
Exercícios: 
1. A tabela abaixo apresenta o modelo de probabilidades da variável aleatória 
X, que corresponde ao número de carros por domicílio nos EUA. (a) Verifique 
se essa é uma distribuição discreta legítima (b) Expresse em palavras o que é 
o evento {X>2} e ache P(X>2). (c) Se as construtoras em sua maioria 
constroem casas com garagens para dois carros, qual será percentual de 
domicílios com carros sem garagem? 
Num Carros (X) 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade 0,09 0,36 0,35 0,13 0,05 0,02 
2. Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do 
outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. 
Uma pessoa paga R$80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, 
ganha R$40,00; Se aparecerem 2 bananas, ganha R$80,00; R$140,00 se 
aparecerem 2 peras e R$180,00 se aparecerem 2 laranjas. a) Qual a 
probabilidade de se lucrar menos de R$20,00; b)É possível que o seu lucro 
médio seja negativo? Caso ele aposte R$100,00 na jogada seu lucro médio 
aumentará? 
3. Em certo bairro de uma cidade, a necessidade de dinheiro para comprar 
drogas é citada como a razão para 75% de todos os roubos. Sendo assim, qual 
é a probabilidade de que, entre os próximos 5 assaltos reportados nesse 
bairro, (a) exatamente dois resultem da necessidade de dinheiro para comprar 
drogas; (b) no máximo 3 resultem da necessidade de dinheiro para comprar 
drogas, sabendo-se que ao menos 2 são por essa razão? 
 
 
Modelos probabilísticos para 
variáveis aleatórias discretas 
 
Modelo binomial 
Definição: Seja a variável aleatória X o número total de sucessos em n 
ensaios de Bernoulli (sucesso ou fracasso). Dizemos que X tem uma 
distribuição binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é 
dada por: 
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘; 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛 
A média e a variância de uma v.a. com distribuição binomial, com parâmetros 
n e p são dadas por: 
 
Média: 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝; 
Variância: 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 
 
Exercícios: 
1. Suponha que a probabilidade de uma pessoa acreditar numa notícia falsa 
(fake news) que circula nas redes sociais seja de 0,7. Uma notícia falsa foi 
enviada para 100 contatos escolhidos aleatoriamente numa rede social, qual 
a probabilidade de mais da metade das pessoas acreditarem que a notícia 
seja verdadeira? 
2. Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 
2. Sabe-se que 4% das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas e 
que a no caso da máquina 2 o percentual é de 7%. A produção diária das 
máquinas é misturada. Extraída uma amostra aleatória de 20 peças, qual é 
a probabilidade de que essa amostra contenha: (a) duas peças defeituosas? 
(b) pelo menos duas defeituosas? 
3. Um carregamento de sete televisores contém dois aparelhos com defeitos. 
Um hotel faz uma compra aleatória de 3 desses aparelhos. Se X é o número 
de aparelhos com defeitos comprados pelo hotel, determine a distribuição 
de probabilidade de X. Expresse os resultados graficamente em um 
histograma de probabilidade. 
 
Modelo de Poisson 
Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro 
>0 se sua função de probabilidade é dada por 
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝜆𝑘𝑒−𝜆
𝑘!
, 𝑘 = 0,1,2, … 
Com o parâmetro  sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência. A 
média e a variância de uma v.a. de Poisson são dadas por: 
𝐸(𝑋) = 𝜆 e 𝑉(𝑋) = 𝜆 
 
Exercícios: 
1. Uma loja vende, em média, 2,5 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar o 
expediente, verifica-se existirem três fogões em estoque, e sabe-se que a 
nova remessa só chegará depois de dois dias. Qual a probabilidade de, no 
fim desses dois dias, a loja não ter deixado de atender, por falta de estoque, 
ás pessoas que vierem comprar? 
2. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de 
telefone, e-mail, Facebook e Whatsapp. O número de pedidos que chegam 
por qualquer meio (no horário comercial) é uma variável aleatória discreta 
com distribuição de Poisson com taxa de 5 pedidos por hora. a) Calcule a 
probabilidade de mais de 2 pedidos por hora; b) Em um dia de trabalho (8 
horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos? c) Não haver 
nenhum pedido em um dia de trabalho é um evento raro? 
3. Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo 
o modelo de Poisson com taxa de 1 por minuto. 
a) determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do 
horário de pico; b) se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a 
probabilidade de haver aviões sem atendimento imediato? Previsões para 
os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, 
enquanto que a capacidade de atendimento poderá ser no máximo 
ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de espera por atendimento? 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria
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Variável aleatória contínua: 
É o tipo de variável que assume todos os valores em um intervalo de números. 
A distribuição de probabilidade de X é descrita por uma curva de densidade. A 
distribuição de uma variável aleatória contínua associa as probabilidades às 
áreas sob uma curva de densidade f(x). Neste caso, os valores de X 
pertencem ao conjunto dos reais. 
Condições: 
a) f(x) ≥0 
b) ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1
+∞
−∞
 
 
Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória 
contínua X – F(x) 
Dada uma v.a. X com função densidade de probabilidade f(x), podemos definir 
a sua função de distribuição acumulada (f.d.a.), F(x) como: 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
 
 
Média ou Esperança de uma Variável Aleatória contínua X: 
Definição: Dada uma v.a. contínua, assumindo os valores num intervalo de 
números reais, chamamos valor médio ou esperança de X ao valor: 
 

+
−
== dtttfXE
x
)()( 
 
Variância e desvio padrão de uma Variável Aleatória 
contínua X: 
Definição: Chamamos de variância de uma v.a. contínua ao valor: 
 

+
−
−== dttftXV
xx
)()()(
22

 
𝜎𝑥 = √𝑉(𝑋) é o desvio padrão de X. 
 
Exercícios: 
1. Em uma determinada localidade, a distribuição de renda em u.m. é 
uma variável aleatória X com f.d.p. 









+
−
+
=
6ou 0 , 0
62 ,
20
9
40
3
20 ,
10
1
10
1
)(
xx
xx
xx
xf
 
(a) Qual a renda média nestalocalidade? (b) Escolhida uma pessoa ao 
acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3000,00 u.m.? (c) 
Qual o valor de x tal que P(X<x)=0,5, ou seja, x é a mediana de X? 
2. Considere o gráfico de f(x) dado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Seja X uma v.a. com distribuição exponencial de parâmetro 𝛼 = 5, ou 
seja, sua função densidade de probabilidade é dada por: 
𝑓(𝑥) = 5𝑒−5𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑓(𝑥) = 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
Determine 𝑃(2 < 𝑋 < 5). Qual o valor de 𝑥 tal que 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 0,5? 
Modelos probabilísticos para 
variáveis aleatórias contínuas 
 
Modelo Uniforme 
Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a, 
b] se sua função densidade de probabilidade for dada por: 
 
Notação: 𝑋~𝑈(𝑎; 𝑏). A média e variância de X são dadas por: 
Média: 𝐸(𝑋) =
𝑏+𝑎
2
; 
Variância: 𝑉(𝑋) =
(𝑏−𝑎)2
12
 
Exercícios: 
1. Um ônibus chega a cada dez minutos em um ponto de parada. Assume-se 
que o tempo de espera para um indivíduo em particular é uma variável 
aleatória com distribuição uniforme contínua. (a) Qual a probabilidade de 
que o indivíduo espere mais de sete minutos? (b) Qual é a probabilidade 
de que a diferença entre o tempo de espera do indivíduo e a média não 
ultrapasse 2 minutos? 
2. Admita que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica 
de 10 Km. O custo de reparo da rede depende da distância do centro de 
serviço ao local da pane. Considere que o centro de serviço está na origem 
da rede e que o custo é de R$ 200 para distâncias até 3 Km, de R$ 400 
entre 3 e 8 Km e de R$ 1000 para distâncias acima de 8 Km. Qual o custo 
médio do conserto? 
 
Modelo Exponencial 
Definição: A variável aleatória X tem distribuição Exponencial de parâmetro 
𝛼 (𝛼 ≥ 0), se tiver densidade dada por: 
𝑓(𝑥) = {
𝛼𝑒−𝛼𝑥 , 𝑥 ≥ 0; 
 0, caso contrário
 
Notação: 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝛼). A média e variância de X são dadas por: 
Média: 𝐸(𝑋) =
1
𝛼
 ; 
Variância: 𝑉(𝑋) =
1
𝛼2
 
Exercícios: 
1. O tempo gasto no upload de um arquivo de 5mb é uma v.a. 
exponencialmente distribuída com média de 30s num determinado tipo 
de rede doméstica. Deste modo, 𝑓(𝑥) =
1
30
𝑒−
𝑥
30 para 𝑥 > 0. Qual a 
probabilidade do upload de um arquivo levar mais de 35s? Sabendo-se 
que o upload de um arquivo pode levar no mínimo 25s, qual a 
probabilidade de ser necessário mais de 40s? 
2. O tempo de duração de uma chamada telefônica em uma central de 
atendimento é uma v.a. exponencialmente distribuída com duração 
média de 10 minutos. (a) qual a probabilidade de uma chamada durar 
mais de 15 minutos? (b) qual o tempo mediano de duração de uma 
chamada. 
 
0 2 4 
f(x) 
x 
a 
a) Escreva f(x) analiticamente 
b) Estabeleça uma expressão para 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
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Modelo Normal 
Definição: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal se sua 
função densidade de probabilidade for dada por: 
 
Notação: 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) 
A média (ou valor esperado) e a variância de uma v.a. X com distribuição 
normal de parâmetros 𝜇 𝑒 𝜎2, são dadas por: 
 
𝐸(𝑋) = 𝜇 
𝑉(𝑋) = 𝜎2 
 
 
Gráfico da função densidade de probabilidade: 
 
 
Exercícios: 
1. Suponha que Obtenha o primeiro quartil de X, ou seja, o 
valor de x, tal que P(X<x)=0,25. 
2. A vida média de certo tipo de pequeno motor é de dez anos, com desvio 
padrão de dois anos. O fabricante substitui gratuitamente os motores que 
falharem enquanto estiverem sob garantia. Se ele deseja substituir 
somente 3% dos motores que falham, quanto tempo de garantia deve ser 
oferecido? Assuma que a vida do motor segue uma distribuição normal. 
3. Um combustível para foguetes deve conter certa porcentagem X de um 
componente especial. As especificações exigem que X esteja entre 30 e 
35 por cento. O fabricante obterá lucro líquido T sobre o combustível (por 
galão), que é dado pela seguinte função de X: 
T(X)=R$10,00 por galão se 30<X<35, 
T(X)= - R$1,10 por galão, para outros valores de X. 
Calcule o lucro médio, quando X tiver distribuição N(33,9). 
Suponha que o fabricante deseja aumentar seu lucro médio em 50%. Ele 
pretende fazê-lo aumentando seu lucro por galão nas remessas de 
combustível que atendem às especificações, para 30<X<35. Quanto ele 
deve esperar de lucro líquido agora? O lucro líquido varia muito? 
4. Suponhamos que o vão de uma porta em construção deve ser 
utilizado por um tipo de pessoas cujas alturas são normalmente 
distribuídas com média 1,80 m e desvio padrão de 8 cm. Qual a 
altura mínima do vão da porta para determinar que não mais de 
2% das pessoas batam com a cabeça na porta? Se o vão da porta 
tiver 1,90 m de altura, que porcentagem da população baterá com 
a cabeça na porta caso não se abaixe? Encontre os quartis para 
a altura das pessoas