1ª Lista de Cálculo 3

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1a Lista de Ca´lculo 3
Prof. Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Resumo
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a resoluc¸a˜o. As respostas
obtidas somente tera˜o validade se devidamente justificadas. Evite usar material
diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar algum material extra,
justifique-o adequadamente para valida´-lo.
Questa˜o 1. Mostre que as seguintes func¸o˜es na˜o sa˜o cont´ınuas em todo IR2. Deter-
mine os pontos de descontinuidade.
a) f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
b) f(x, y) =
xy
x2 + y2
c) f(x, y) = xy
(
x2 − y2
x2 + y2
)
d) f(x, y) =
|x− 2|√
(x− 2)2 + (y + 1)2
Questa˜o 2. Esboce as curvas de n´ıvel das seguintes func¸o˜es
a) f(x, y) = sen(
√
x2 + y2)
b) f(x, y) = cos(xy)
c) f(x, y) = |xy|
d) f(x, y) =
1
x2 + y2
e) z = 4x2 + y2 + z2 (onde z = f(x, y))
Questa˜o 3. Supondo que os limites abaixo existam, calcule seus valores
a) lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
2x2 + 2y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
1− cos(3x2 + 3y2)
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
y ln(x2 + y2)
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2√
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(4,−2)
x 3
√
y3 + 2x
f) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
e
√
x2+y2+z2√
x2 + y2 + z2
Questa˜o 4. Mostre que os limites abaixo na˜o existem
a) lim
(x,y)→(0,0)
5
2x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x + 2y
x + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
cos(xy)
2x + 2y
d) lim
(x,y)→(0,0)
x− y
x2 + y2
2
Questa˜o 5. Decida pela existeˆncia ou na˜o dos limites abaixo. Se o limite existir,
calcule seu valor.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − 16y4
x2 + 4y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
3x2 + 2y2
d) lim
(x,y,z)→(2,−1,2)
xz2√
x2 + y2 + z2
e) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
sen(
√
x2 + y2 + z2)√
x2 + y2 + z2
f) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
sen(x2 + y2 + z2)√
x2 + y2 + z2
g) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
sen(
√
x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2