Limites laterais

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS SOBRE LIMITES LATERAIS 
01. O gráfico de uma função 𝑓 é apresentado abaixo. 
 
Use-o para estabelecer os valores (caso existam) dos seguintes limites: 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥) e) lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) f) lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) 
02. Explique o significado de 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 7 e lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 5 
Nesta situação, é possível que lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) exista? Explique 
03. Esboce o gráfico da função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = {𝑥
2 + 1 se 𝑥 ≤ 1
3 − 𝑥 se 𝑥 > 1
 e calcule os limites, caso 
exista: 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
04. Esboce o gráfico da função 𝑓 definida por b) 𝑓(𝑥) = {
√𝑥 − 2 + 1 se 𝑥 > 2
−1 se 𝑥 = 2
𝑥 − 1 se 𝑥 < 2
 e calcule os limites, 
caso exista: 
a) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
05. Considere a função 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 3
1 𝑠𝑒 𝑥 = 3
𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 3
. Calcule: 
a) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) d) 𝑓(3) 
06. Mostre que lim
𝑥→2
|𝑥−2|
𝑥−2
 não existe 
07. Considere a função 𝑓: [0, 3] → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1 se 0 ≤ 𝑥 < 1
(𝑥 − 1)2 + 1 se 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
. Calcule: 
a) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) e) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) f) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
08. Considere a função 𝑓: [−2, 3) → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥⌋, onde ⌊𝑥⌋ é o maior número inteiro menor 
ou igual a 𝑥. Esboce o gráfico de 𝑓 e calcule os limites, caso exista. 
a) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
01. A partir do gráfico, vemos que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a 2 a medida que 𝑥 tende a 1 pela esquerda 
e tendem a 1 a medida que 𝑥 tende a 1 pela direita. Logo 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 1 c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) não existe 
O gráfico mostra também que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a 3 a medida que 𝑥 tende a 5 pela esquerda e pela 
direita. Logo 
d) lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥) = 3 e) lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) = 3 f) lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) = 3 
02. A escrita lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 7 significa que podemos tornar 𝑓(𝑥) próximo de 7, o quanto quisermos, bastando 
para isso tomar 𝑥 suficientemente próximo de 3 e 𝑥 < 3. 
A escrita lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 5 significa que podemos tornar 𝑓(𝑥) próximo de 5, o quanto quisermos, bastando 
para isso tomar 𝑥 suficientemente próximo de 3 e 𝑥 > 3. 
Nesta situação não é possível que exista lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) pois os limites laterais são diferentes 
03. 
 
A partir do gráfico, vemos que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a 2 a medida que 𝑥 tende a 1 pela esquerda e 
pela direita. Logo 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2 c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2 
 
04. 
 
A partir do gráfico, vemos que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a 0 a medida que 𝑥 tende a 2 pela esquerda e 
tendem a 1 a medida que 𝑥 tende a 2 pela direita. Logo 
a) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 0 b) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 1 c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) não existe 
05. a) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
(𝑥 + 1) = 3 + 1 = 4 b) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
(𝑥 − 1) = 3 − 1 = 2 
 c) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) não existe d) 𝑓(3) = 1 
 
06. Inicialmente vamos calcular os limites laterais. Para isso observe que: 
|𝑥 − 2| = {
𝑥 − 2 se 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2 se 𝑥 < 2
 
Assim, 
lim
𝑥→2−
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2−
−𝑥 + 2
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2−
−1 = −1 e lim
𝑥→2+
|𝑥 − 2|
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2+
𝑥 − 2
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2+
1 = 1 
Como os limites laterais são diferentes, o lim
𝑥→2
|𝑥−2|
𝑥−2
 não existe. 
07. Inicialmente devemos observar todo 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) são maiores ou iguais a zero. Dessa forma não é possível 
fazer 𝑥 se aproximar de 0 (zero) por valores menores que zero. Logo, não existe lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥). 
b) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
(𝑥 + 1) = 0 + 1 = 1 c) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) não existe 
d) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 e) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
[(𝑥 − 1)2 + 1] = (1 − 1)2 + 1 = 1 
f) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) não existe 
08. Da definição de ⌊𝑥⌋ temos que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 1 ⇔ ⌊𝑥⌋ = 𝑎, para todo 𝑎 inteiro. Assim, podemos 
escrever 𝑓 como segue: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
−2 𝑠𝑒 −2 ≤ 𝑥 < −1
−1 𝑠𝑒 −1 ≤ 𝑥 < 0 
0 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1 
1 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2 
2 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3 
 
cujo gráfico é: 
 
Analisando o gráfico de 𝑓 concluimos que: 
a) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 1 b) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 2 c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) não existe 
OBS: Considerando ℝ o domínio de 𝑓 vemos que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) não existe para 𝑎 ∈ ℤ. 
 
 
Veja mais materiais no meu perfil 
Prof. Paulo Cesar