Lista 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1
Lista 2: segunda semana
1. Em um triângulo retângulo de hipotenusa medindo 15 cm, sabe-se que o seno de um dos outros dois ângulos internos (– que não o
reto) é
4
5
. Determine:
(a) as medidas dos catetos (b) o cosseno e a tangente
desse mesmo ângulo
(c) seno, cosseno e tangente
do terceiro ângulo interno
2. Um avião está a 7000 m de altura e inicia a aterrissagem em um aeroporto ao nível do mar. O ângulo de descida é 6o. A que distância
da pista está o avião? Qual é a distância que o avião vai percorrer? Dados: sen 6o = 0, 10453 e cos 6o = 0, 99452.
3. Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento máximo de 25 m, formando um ângulo de 70o com a base, que está
apoiada sobre um caminhão, a 2 m do solo. Qual é a altura máxima que a escada atinge? Dados: sen 70o = 0, 940, cos 70o = 0, 342
e tg 70o = 2, 47.
4. Resolva cada uma das equações abaixo.
(a) sen x = sen
( π
18
)
(b) cosx =
1
2 (c) tg(2x) =
√
3
3
5. Determine sen α e cosα sabendo que tg α = 5 e que 0 < α <
π
2
.
6. Assumindo que cos(x+ y) = cosx cos y − sen x sen y, escreva cos(2x) em função de cos2 x.
7. Uma função f é dita:
(1) par se f(−x) = f(x), para todo x pertencente ao domínio de f .
(2) ímpar se f(−x) = −f(x), para todo x pertencente ao domínio de f .
Decida se as funções abaixo são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares.
(a) f(x) = x3 cosx (b) f(x) = x tgx
8. Determine o domínio da função f(x) =
1− sen2 x
1 + sen x
.
9. Determine o domínio e a imagem, e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. Caso se trate de uma função periódica,
determine seu período.
(a) f(x) = cos(2x)
(b) g(x) = −sen x
(c) f(x) = 2 cosx
(d) g(x) = 2 cos
(x
2
)
(e) f(x) = sen πx
(f) g(x) = |sen x|
(g) f(x) = cosx− π.
(h) g(x) = cos(x− π)
(i) f(x) =
1
2
sen
(
x+
π
2
)
(j) g(x) = tg x
(k) f(x) = tg(x− π)
(l) g(x) = tg x+ 1
(m) f(x) = 1 + 4 cos
(
x+
π
3
)
10. Encontre uma regra para a função cujo gráfico está representado abaixo.
11. Uma população de animais oscila de forma senoidal entre um mínimo de 700 em primeiro de janeiro e um máximo de 900 em primeiro
de julho.
(a) Esboce o gráfico da população pelo tempo.
(b) Determine uma fórmula da população como função do tempo t em meses desde o início do ano.
12. Calcule:
(a) arcsen
1
2
(b) arccos
(
−1
2
)
(c) arctg 1
(d) arctg(−1)
(e) arcsen(−1)
(f) arctg(−
√
3)
(g) arcsen(sen 0)
13. Verifique que cos(arcsenx) =
√
1− x2 e calcule arccos
(
arcsen
(
−
√
3
2
))
.
14. Decida se a função f(x) = sen
(
x− π
4
)
é invertível. Caso não seja, faça restrições ao domínio e ao contradomínio de f a fim de
produzir uma função invertível de mesma regra de f . Explicite a função inversa.
15. Para a função g de gráfico
determine os seguintes limites ou explique por que eles não existem.
(a) lim
x→1
g(x) (b) lim
x→2
g(x) (c) lim
x→3
g(x) (d) lim
x→2,5
g(x)
16. Decida entre as afirmações abaixo sobre a função f quais são verdadeiras e quais são falsas.
(a) lim
x→0
f(x) existe
(b) lim
x→0
f(x) = 1
(c) lim
x→0
f(x) = 0
(d) lim
x→1
f(x) = 1
(e) lim
x→1
f(x) = 0
(f) lim
x→x0
f(x) existe em todo ponto x0 no
intervalo (−1, 1).
17. Decida quais afirmações a seguir sobre a função f representada no gráfico são verdadeiras e quais são falsas.
2
(a) lim
x→2
f(x) não existe
(b) lim
x→2
f(x) = 2
(c) lim
x→−1+
f(x) = −1
(d) lim
x→1−
f(x) = −2
18. Seja f(x) =
{
3− x, se x < 2
x
2 + 1, se x > 2.
(a) Determine lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x).
(b) Existe lim
x→2
f(x)? Justifique sua resposta.
(c) Determine lim
x→4+
f(x) e lim
x→4−
f(x).
(d) Existe lim
x→4
f(x)? Justifique sua resposta.
19. Mostre, usando a definição formal (ou seja, via ε e δ) que lim
x→p
f(x) = l nos casos seguintes.
(a) f(x) = 4x− 3, p = 2, l = 5
(b) f(x) = x+ 1, p = 1, l = 2
(c) f(x) = −x2, p = 0, l = 0
(d) f(x) =
1
x
, p = 1, l = 1
20. Dado que lim
x→2
f(x) = 4, lim
x→2
g(x) = −2 e lim
x→2
h(x) = 0, encontre, se existir, cada um dos limites abaixo. Caso não exista, explique o
porquê.
(a) lim
x→2
[5f(x) + g(x)]
(b) lim
x→2
[g(x)]3
(c) lim
x→2
√
f(x)
(d) lim
x→2
3f(x)
g(x)
(e) lim
x→2
g(x)
h(x)
(f) lim
x→2
g(x)h(x)
f(x)
21. Mostre através de um exemplo que lim
x→p
f(x)g(x) pode existir sem que lim
x→p
f(x) e lim
x→p
g(x) existam.
22. Dê exemplo de uma função f tal que lim
x→p
|f(x)| exista mas lim
x→p
f(x) não exista.
23. Esboce o gráfico da função dada e, utilizando a ideia intuitiva de função contínua, determine os pontos em que a função deverá ser
contínua.
(a) f(x) = 2
(b) f(x) = x+ 1
(c) f(x) = x2
(d) f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
2, se x > 1
(e) f(x) =
{
1
x2 , se |x| ≥ 1
2, se |x| < 1
(f) f(x) =
{
1
x2 , se |x| ≥ 1
1, se |x| < 1
(g) f(x) = 1x
(h) f(x) = x2 + 2
(i) f(x) = x3 − 1
(j) f(x) =
{
ln(x+ 1) + 1, se x ≥ 0.
x+ 1, se x < 0.
(k) f(x) =
{
3
√
x+ 7, se x ≥ 1.
2, se x < 1.
24. Calcule e justifique. Solução do item (a): A função f(x) = x2 é contínua em x = 2 e, portanto, lim
x→2
x2 = f(2) = 4.
(a) lim
x→2
x2
(b) lim
x→1
3x+ 1
(c) lim
x→−2
4x+ 1
(d) lim
x→10
5
(e) lim
x→−9
50
(f) lim
x→−1
− x2 − 2x+ 3
(g) lim
x→4
√
x
(h) lim
x→−3
3
√
x
(i) lim
x→3
x2 − 9
x+ 3
(j) lim
x→3
x2 − 9
x− 3
(k) lim
x→−1
x2 − 9
x− 3
(l) lim
x→ 12
4x2 − 1
2x− 1
(m) lim
x→3
√
x−
√
3
x− 3
(n) lim
x→3
3
√
x− 3
√
3
x− 3
(o) lim
x→0
x2 + 3x− 1
x2 + 2
25. (a) O que há de errado na equação a seguir?
x2 + x− 6
x− 1
= x+ 3
(b) Em vista de (a), explique por que a equação lim
x→2
x2 + x− 6
x− 1
= lim
x→2
x+ 3 está correta.
26. Mostre que a função f(x) =
{
2x, se x ≤ 1
1, se x > 1 não é contínua em x = 1.
27. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
3
(a) f(x) =
 x
3 − 8
x− 2
, se x 6= 2
L, se x = 2
em p = 2
(b) f(x) =

√
x−
√
3
x− 3
, se x 6= 3
L, se x = 3
em p = 3
(c) f(x) =

√
x−
√
5
x− 5
, se x 6= 5
L, se x = 5
em p = 5
(d) f(x) =
 x
2 − x
x+ 1
, se x 6= −1
L, se x = −1
em p = −1
28. Verifique se a função f(x) =
{
x2 + 1, se x ≥ 0
1, se x < 0 é contínua em x = 0.
29. Dê exemplo de uma função definida em R que seja contínua em todos os pontos, exceto em −1, 0 e 1.
30. Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
(b) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
(c) lim
x→0
√
x
(d) lim
x→1
|x− 1|
x− 1
(e) lim
x→2+
x2 − 2x+ 1
x− 1
(f) lim
x→3
|x− 1|
x− 1
(g) lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1
, em que f(x) =
{
x+ 1, se x ≥ 1
2x, se x < 1
(h) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
, em que f(x) =
{
x+ 1, se x ≥ 1
2x, se x < 1
31. Calcule:
(a) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
(b) lim
x→0
x3 + x2
3x3 + x4 + x
(c) lim
h→0
x2 + 3xh
(d) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
(e) lim
x→3
x2 − 9
x+ 9
(f) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6
(g) lim
x→1
x3 − 1
x4 + 3x− 4
(h) lim
x→7
√
x−
√
7
√
x+ 7−
√
14
(i) lim
x→2
1
x −
1
2
x− 2
(j) lim
x→p
x3 − p3
x− p
32. Calcule os limites:
(a) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
(b) lim
x→1
√
x2 + 3− 2
x2 − 1
(c) lim
x→1
3
√
x+ 7− 2
x− 1
(d) lim
x→1
3
√
3x+ 5− 2
x2 − 1
33. Seja f uma função definida em R tal que, para todo x 6= 1, −x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1
. Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
34. Verifique que lim
x→0
sin( 1x ) não existe.
35. Calcule, caso exista, lim
x→0
x · sin( 1x ).
36. Calcule, caso exista, lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0
, em que f é dada por:
(a) f(x) =
 x2 · sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
(b) f(x) =
 x · sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
37. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
tg x
x
(b) lim
x→0
x
sen x
(c) lim
x→0
sen(3x)
x
(d) lim
x→π
sen x
x− π
(e) lim
x→0
x2
senx
(f) lim
x→0
3x2
tg x sen x
(g) lim
x→0
1− cosx
x
(h) lim
x→0
x+ sen x
x2 − sen x
38. Calcule os seguintes limites:
4
(a) lim
x→−∞
1
x3
(b) lim
x→−∞
5 +
1
x
+
3
x2
(c) lim
x→+∞
2x+ 1
x+ 3
(d) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
(e) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x+ 3
(f) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(g) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(h) lim
x→+∞
x−
√
x2 + 1
(i)lim
x→+∞
√
x+ 1−
√
x+ 3
39. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
x4 − 3x+ 2
(b) lim
x→+∞
5− 4x+ x2 − x5
(c) lim
x→−∞
3x3 + 2x+ 1
(d) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x2 + x+ 3
(e) lim
x→+∞
5x3 + 7x− 3
x4 − 2x+ 3
(f) lim
x→−∞
x4 − 2x+ 3
3x4 + 7x− 1
(g) lim
x→+∞
2 + x
3 + x2
40. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
√
x+ 1
x+ 3
(b) lim
x→+∞
x+
√
x+ 3
2x− 1
(c) lim
x→+∞
2x−
√
x2 + 3 (d) lim
x→+∞
x−
√
x+ 3
41. Calcule os limites:
(a) lim
x→3+
5
3− x
(b) lim
x→0−
1
x
(c) lim
x→0−
x− 3
x2
(d) lim
x→0−
3
x2 − x
(e) lim
x→−1+
2x+ 3
x2 + x
(f) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
(g) lim
x→−1+
2x+ 1
x2 + x
(h) lim
x→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
42. Dê um exemplo de funções f e g tais que lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
g(x) = +∞ e lim
x→+∞
f(x)− g(x) 6= 0.
43. Dê um exemplo de funções f e g tais que lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
g(x) = +∞ e lim
x→+∞
f(x)
g(x)
6= 1.
44. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
(a) f(0) = 0, f(1) = 2, f(−1) = −2, lim
x→−∞
f(x) = −1 e lim
x→+∞
f(x) = 1.
(b) f(0) = 0, lim
x→−∞
f(x) = 0, lim
x→+∞
f(x) = 0, lim
x→0+
f(x) = 2 e lim
x→0−
f(x) = −2.
45. Seja f(x) = x5 + x+ 1. Use o Teorema do Valor Intermediário para verificar que f tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0].
46. Mostre que a equação x3 − 4x+ 2 = 0 tem três raízes reais distintas.
5