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Sistemas Lineares Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042 Professor Vinícius Barbosa de Paiva 1 Aplicação: - Interpolação de pontos; - Determinação de potencial em redes elétricas; - Cálculo da tensão em estruturas metálicas na construção civil; - Cálculo da razão de escoamento em um sistema hidráulico com derivações; - Previsão da concentração de reagentes sujeitos a reações químicas simultâneas e outras. 2 3 Seja o sistema de equações lineares de n equações com n incógnitas: Na forma matricial, um Sistema Linear é representado por: Ax = B 4 É comum representarmos o Sistema Linear, A.X = B, pela sua matriz aumentada. Definição Denomina-se vetor solução (ou simplesmente solução) de um sistema de equações lineares da forma Ax = B, e denota-se por x, ao vetor que contém as variáveis: xj , j = 1, · · · , n, que satisfazem, de forma simultânea, a todas as equações do sistema. 5 6 Classificação de um Sistema Linear em relação ao número de soluções Um sistema linear pode ser consistente/compatível ou inconsistente/incompatível. i) Compatível e determinado: quando admitir uma única solução. ii) Compatível e indeterminado: quando admitir um número infinito de soluções. iii) Incompatível: quando não admitir solução. OBS: A condição para que um sistema de equações lineares tenha solução única é que o determinante da matriz dos coeficientes seja não nulo. Caso contrário será indeterminado ou incompatível. 7 - Se os termos independentes forem nulos, isto é, se bi = 0, para i = 0, 1, ..., n, o sistema é dito homogêneo. - Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá pelo menos a solução trivial (xj = 0, j = 0, 1, 2, ..., n). - Resolver um sistema de equações consiste em diagnosticar em qual das três situações ele se enquadra. Ou seja, é mais do que determinar um vetor x, uma vez que ele pode não existir ou não ser único. Observações: 8 Sistemas Triangulares É um sistema de equações lineares no qual a matriz dos coeficientes é triangular. Superior: Inferior: 9 Resolução de sistemas de equações lineares - Métodos numéricos . Os métodos numéricos são divididos em dois grupos: i) Os métodos diretos: Exceto por erros de arredondamento, fornecem a solução exata de um sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio de um número finito de operações aritméticas. ii) Os métodos iterativos: Requerem um número infinito de passos/operações, sendo dado uma aproximação inicial. 10 Transformações elementares. Conjunto de operações que podem ser efetuadas sobre as linhas ou colunas de uma matriz. No que se refere à resolução de sistemas de equações lineares, estas transformações são, normalmente, aplicadas apenas sobre as linhas da matriz dos coeficientes ou da matriz aumentada dependendo do método utilizado. 1. Troca de posição entre duas linhas. Li ⇆ Lj i, j = 1, 2, ..., n; i ≠ j 2. Multiplicação de uma linha por uma constante não-nula. Li ← c × Li i = 1, 2, ..., n 3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha, Li ← Li + c × Lj i, j = 1, 2, ..., n; i ≠ j 11 Matrizes equivalentes Duas matrizes são ditas equivalentes quando é possível, a partir de uma delas, chegar à outra por meio de um número finito de transformações elementares. Sistemas equivalentes Dois sistemas Ax = C e Ã.x = C se dizem equivalentes se possuem a mesma solução. Teorema Seja [A | b] a matriz aumentada de um sistema de equações Ax = b, com detA ≠ 0, e [T | c] uma matriz a ela equivalente. Sendo assim, os sistemas A.x = b e T.x = c possuem a mesma solução. 12 Método de Gauss. - É um dos mais conhecidos e utilizados para a resolução de sistemas de equações lineares densos de pequeno a médio porte; - O método de Gauss envolve duas fases distintas. i) Fase de eliminação: Efetuar transformações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de um sistema de n equações e n incógnitas A.x = b até que, depois de n − 1 passos, se obtenha um sistema triangular superior, U.x = c, equivalente ao sistema dado. ii) Fase de substituição: Consiste em resolver o sistema triangular superior por meio de substituições retroativas. Exemplo: 13 Observações: • Desvantagem do Método de Gauss: i) Pode ocasionar problemas se o pivô estiver próximo de zero ou for nulo. ii) Os erros de arredondamento cometidos durante um passo da obtenção do sistema triangular se propagam para os passos seguintes, podendo comprometer a validade da solução obtida. Para contornar o problema (i) e minimizar o problema (ii), usamos a estratégia de pivoteamento parcial, que consiste na escolha do pivô. 14 15 Método de Gauss – com Pivotação Parcial • Consiste em: i) No início da etapa K da eliminação, escolher para pivô o maior elemento, em módulo, dentre os coeficientes; ii) Se necessário, efetuar a troca de posição entre as linhas; 16 Exemplo: Referências Bibliográficas: • BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987. • CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2007. • FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006. • RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996. • SOUZA, M. J. F - Cálculo Numérico –Sistemas Lineares - Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto. 17
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