Lista1 Calculo Numerico - grazielle ufscar

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Universidade Federal de Sa˜o Carlos-Departamento de Matema´tica
083020 - Turma C - Ca´lculo Nume´rico: Primeira Lista de Exerc´ıcios
Profa Grazielle Feliciani Barbosa 23/08/2017
1. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:3.1 2 10 1 0
1 3 2
x1x2
x3
 =
−5.1−1
−4

Resolveˆ-lo usando, quando poss´ıvel, todos os me´todos diretos e iterativos (duas iterac¸o˜es a partir
de uma soluc¸a˜o inicial dada e ana´lise de convergeˆncia).
2. Resolver o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares usando o Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss.
0 5 2 1
0 7 1 1
0 3 1 1
−8 1 1 4


x1
x2
x3
x4
 =

−5
−7
−3
−1

3. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:10.1 1 −11 2 1
−1 1 1
x1x2
x3
 =
−10.1−3
0

Quando poss´ıvel, resolveˆ-lo usando o Me´todo de Decomposic¸a˜o L. U.
4. Usando o Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss, verificar que o sistema dado:

x1 + 4x2 + αx3 = 6
2x1 − x2 + 2αx3 = 3
αx1 + 3x2 + x3 = 5
(a) possui uma u´nica soluc¸a˜o quando α = 0,
(b) possui infinitas soluc¸o˜es quando α = 1,
(c) na˜o tem soluc¸a˜o quando α = −1.
5. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares:
0 5 50 2 1
2 1 1
x1x2
x3
 =
154
3
 (1)
1
(a) Resolver o sistema usando o Me´todo de Eliminic¸a˜o de Gauss.
(b) Fac¸a trocas de linhas adequadas e, caso seja poss´ıvel, resolva o sistema (1) usando o Me´todo
de Decomposic¸a˜o L. U.
6. Determinar A−1, inversa da matriz A ∈M3×3(R) do exerc´ıcio 5., usando:
(a) Me´todo de Gauss-Jordan.
(b) Me´todo de Decomposic¸a˜o L. U.
(c) Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss.
7. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares
6 −1 11 4 1
2 −1 9
x1x2
x3
 =
1010
2
 (2)
(a) Verifique a condic¸a˜o de convergeˆncia do Me´todo Iterativo Gauss- Jacobi para o sistema (2).
Em caso afirmativo resolveˆ-lo com � = 10−2.
(b) Verifique a condic¸a˜o de convergeˆncia do Me´todo Iterativo Gauss-Seidel para o sistema (2).
Em caso afirmativo resolveˆ-lo com � = 10−2.
8. Dado o sistema de equac¸o˜es lineares
−10 2 1−3 1 1
1 2 1
x1x2
x3
 =
64
6
 (3)
9. Resolva o sistema (3) utilizando o Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss.
10. Resolva o sistema (3) utilizando o Me´todo de Gauss-Jordan.
11. Resolva o sistema (3) utilizando os Me´todos Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Verifique
a convergeˆncia dos me´todos e, em caso afirmativo, resolva-o com � = 0, 01.
2