Resumo Álgebra Linear unidade 1

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Resumo Álgebra Linear – Unid. 1
Sistemas de Equações Lineares
Sendo o sistema
Matriz ampliada do sistema
Equação matricial
 . 
Operações elementares
Matriz Linha Reduzida à Forma Escada (LRFE)
Uma matriz é LRFE se:
O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1;
A linha que contém apenas 0 estará abaixo das outras linhas não nulas, se houver;
O número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula aumenta a cada linha, até que sobre apenas linhas nulas, se houver;
Na coluna que contém o elemento não nulo de uma linha não nula, todos os outros elementos são nulos.
Matriz Inversa
ou
Posto
É o número de linhas não nulas da matriz.
 posto da matriz ampliada.
 posto da matriz dos coeficientes.
Nulidade
Sendo a matriz , a nulidade é o valor 
Soluções
 
, SPD (Sistema Possível e Determinado), sendo n o número de incógnitas, não contém variáveis livres.
, SPI (Sistema Possível e Indeterminado), sendo n o número de incógnitas, contém variáveis livres.
. SI (Sistema Impossível), contém uma linha na forma , sendo .
Espaços Vetoriais
Axiomas
Sendo V um conjunto onde adição e multiplicação estão definidas, com u, v, w ∈ V e c, d escalares, se todos os axiomas forem válidos, V é um Espaço Vetorial.
Teorema
Subespaços Vetoriais
Sendo V um espaço vetorial e W um subconjunto não nulo de V. Se W atender as 10 axiomas do espaço vetorial, dizemos que W é um Subespaço Vetorial de V. (OBS: Só é necessário verificar os seguintes axiomas).
Teorema
Se ,são subespaços de V, então também é subespaço de V.
Teorema (Interseção de subespaços)
	Se são subespaços de V, então também é subespaço de V.
Teorema (Soma de subespaços)
Sejam , subespaços de V, chamamos de soma dos subespaços e o conjunto:
 
Ex: 
Sejam e 
 subespaços do , determine :
Solução: 
 e 
Soma direta
Sendo dois subepaços de V, chama-se soma direta e representa-se , se:
Combinação linear
	Sendo os vetores do espaço vetorial V e os escalares Qualquer vetor v , se estiver na forma:
Essa forma é combinação linear dos vetores 
Subespaço gerado
Sendo u, v W, com:
W será subespaço gerado se:
u+v=
c . u = 
DICA: Iguala a (x, y, ...)
Dependência e independência linear
Sendo V um espaço vetorial e 
Sendo a equação tem solução:
Chamada de solução trivial (0, 0, 0).
É chamado de Linearmente independente (LI).
Um vetor não pode ser escrito como combinação linear dos outros e admite solução trivial.
LD Os vetores podem ser escritos como combinação linear dos outros e não admite solução trivial.
DICA: Iguala a (0,0, ... , 0)
Autor: Queiroz, Lucas, 10/2016, Paulo Afonso/BA. *Uso PROIBIDO em momento de avaliação. Salvo autorização do aplicador