Resumo Álgebra Linear unidade 33

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Resumo Álgebra Linear – Unid. 3
Produto Interno
Deve atender os seguintes axiomas:
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
Propriedades:
P1) 
P2) 
P3) 
P4) 
P5) 
P6) 
Vetores Ortogonais
Seja u e v V, 
Propriedades:
i) 
ii) 
iii) 
iv) Se u
Coeficiente de Fourier
Norma
Distância entre dois Vetores
Se .
Um vetor v V pode ser normalizado, fazendo :
Proposições
1) 
2) 
3) (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
4) (desigualdade triangular)
5) (identidade do paralelogramo)
6) 
7**) 
8**) 
Ângulo de dois vetores
Conjunto Ortogonal de Vetores/ Base Ortogonal
Sendo , o conjunto é ortogonal se os vetores (2 a 2) forem ortogonais:
Base Ortonormal
Sendo a base , é chamada de base ortonormal se:
i) B é ortogonal;
ii) são unitários.
Conjuntos Ortogonais
Seja subconjuntos não vazios de V, se 
Complemento Ortogonal
Propriedades:
i) 
ii) Se S é um subespaço de V, então:
Dica!!
Encontrar uma base para o subespaço;
Fazer , para cada vetor da base;
Resolver a equação;
Determinar o complemento ortogonal.
Definição***
Seja V um espaço euclidiano e seja base de V, dizemos que B é uma base ortonormal se B é ortogonal e .
Processo de Ortogonalização de Gran-Schimidt
Sendo um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer desse espaço, é possível a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V.
 
I) 
II)
III)
Autovetores e Autovalores (vetor próprio e valor próprio)
Seja um operador linear. Um vetor , é vetor próprio do operador T se 
(equação característica)
 (polinômio característico)
Diagonalização
		Sendo o operador T é diagonalizável se uma base formada por autovetores distintos, sendo: 
Onde: 
 (Formada pelos autovalores)
 (formada pelos autovetores)
Ou:
Operadores Ortogonais e Auto-adjuntos
I) Se A é simétrica;
II) Se A é ortogonal.
Propriedade das matrizes ortogonais:
I) Se A é ortogonal, então 
II) A é ortogonal as colunas de A são vetores ortonormais.
III) Se V é um espaço euclidiano, bases ortonormais, então a matriz mudança de base é uma matriz ortogonal. Logo .
Definição: Seja um operador linear e seja V um espaço vetorial munido de um produto interno < , >.
Seja uma base ortonormal de V, temos:
I) Se é simétrica T é operador auto-adjunto;
II) Se é uma matriz ortogonal T é ortogonal.
Teorema: Se é auto-adjunto T é diagonalizável, isto é, existe uma base de V constituída de auto-vetores. Além disso, os auto-vetores são ortogonais.
Multiplicidade Algébrica
	É a multiplicidade de como raiz característica. Ou seja, é o número de vezes que um autovalor com o mesmo valor se repete.
Multiplicidade Geométrica
	É o valor correspondente à dimensão do subespaço . Ou seja, é o número de vetores que gera o autovetor.
Autor: Queiroz, Lucas, 11/2016, Paulo Afonso/BA.
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