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Matemática Aplicada

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1-Entendendo o conceito de Risco
“Como Calcular de forma quantitativa o Risco?”
No dia-a-dia dos negócios é visível que um ativo que possui maior possibilidade de prejuízo do que outro é percebido como o mais arriscado.
Mas como podemos obter uma avaliação mais quantitativa do risco? O que precisarmos frequentemente é conhecer a dispersão dos retornos. Você pode obter essa informação examinando os retornos históricos de uma empresa. De posse dessa informação, o que você precisa saber é o quanto o retorno efetivo se afasta ou se aproxima da média.
Na verdade, estamos atrás da medida que mostre a volatilidade dos retornos. Vamos mostrar a variância e sua raiz quadrada, o desvio – padrão, que são medidas muito usadas para cálculo da volatilidade. 
(Volatilidade, na área financeira, é uma medida de dispersão dos retornos de um título ou índice de mercado. Quanto mais o preço de uma ação varia num período curto de tempo, maior o risco de se ganhar ou perder dinheiro negociando esta ação, e, por isso, a volatilidade é uma medida de risco).
Variância e Desvio-Padrão
Essencialmente, a variância é a média do quadrado das diferenças entre o retorno efetivo e o retorno médio. Quanto maior esse número mais o retorno verdadeiro tende a ser diferente do retorno médio. Ou seja, quanto maior a variância ou o desvio padrão, maior a dispersão dos retornos. 
Neste estudo a maneira pelo qual vamos calcular a variância e o desvio padrão, é examinando retornos históricos. Se estivermos examinando projeções de retornos futuros, o procedimento será diferente. 
A Variância pode ser calculada dividindo a soma dos quadrados da diferença pelo número de retornos menos 1.
Va = ou V= 
O desvio Padrão é a raiz quadrada da variância, é utilizada porque a variância é a medida em percentuais “ao quadrado”, e, difícil de ser interpretada. O desvio padrão é uma porcentagem simples.
Exemplo:As empresas Virtual S/A e a Supervirtual S/A apresentam retornos nos últimos anos conforme o quadro abaixo:
	Ano
	Virtual S/A
	Supervirtual S/A
	1995
	-15%
	3%
	1996
	40%
	8%
	1997
	20%
	-10%
	1998
	15%
	15%
Quais são os retornos médios? As variâncias? Os desvios-padrões? Qual foi a aplicação mais volátil? 
Para responder essas questões, vamos seguir os passos:
- Calcular o retorno médio (média aritmética).
- Verificar quanto os retornos de cada ano se distancia da média.
- Calcular a Variância.
- Calcular o desvio padrão. (o desvio – padrão é por excelência a medida do risco).
Problemas Propostos
Os retornos anuais das ações X e Y durante os últimos 5 anos foram:
X Y
	Ano
	X
	Y
	2009
	12%
	12%
	2010
	15%
	16%
	2011
	12%
	15%
	2012
	11%
	9%
	2013
	14%
	13%
a) Quais os retornos médios das ações X e Y? 
b) Quais os desvios padrões dos retornos das ações X e Y? 
c) Quais os coeficientes de variações (variância) das ações X e Y? 
d) Qual ação apresenta maior risco?
02)Suponha que as empresas Capivara e a Berts, tenham apresentado os seguintes retornos nos últimos quatro anos. Qual das empresas é a melhor para fazer um investimento? Justifique sua resposta calculando o desvio – padrão. 
	Ano
	Capivara
	Berts
	2006
	12%
	12%
	2007
	15%
	16%
	2008
	12%
	15%
	2009
	11%
	9%
03)Suponha que a SupertchCompany e a HyperdriveCompany tenham apresentado os seguintes retornos nos últimos quatro anos:
	Ano
	Capivara
	Berts
	1994
	-0,20
	 0,05
	1995
	 0,50
	 0,09
	1996
	 0,30
	-0,12
	1997
	 0,10
	 0,20
Quais são os retornos médios? As variâncias? Os desvios-padrões? Qual foi a aplicação mais volátil? 
04) Os retornos mensais dos investimentos em ações A e B durante os últimos 5 meses estão apresentados na tabela seguinte:
	A
	B
	5%
	6%
	9%
	7%
	15%
	9%
	12%
	7%
	9%
	6%
a) Calcule os retornos médios de A e B.
b) Calcule os desvios padrões de A e B.
c) Qual dos dois apresenta maior dispersão?
05) os retornos esperados de três ativos durante cinco anos são fornecidos abaixo:
	Ano
	Retornos dos Ativos %
	
	X
	Y
	Z
	2001
	8
	16
	4
	2002
	10
	15
	10
	2003
	12
	13
	6
	2004
	14
	16
	14
	2005
	16
	8
	16
a) Calcule os retornos médios de x, y e z.
b) Calcule os desvios padrões de x, y e z.
c) Qual dos três apresenta menor risco?
2 – Valor Presente
Tente responder as perguntas abaixo:
Você prefere receber 10.000 hoje ou 10.200 daqui a um mês?
Você prefere receber 10.000 hoje ou 1.000.000 daqui a 20 anos?
Para responder a essas perguntas você deve considerar inúmeros fatores, mas uma coisa é certa: você certamente prefere 10.000 hoje aos mesmos 10.000 daqui a um mês! Isso nos traz a um princípio fundamental das finanças: todos preferem receber uma mesma quantia o quanto antes, e como consequência:
Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro) ou
Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente)
E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo.
Valor Futuro
Para Calcular o valor Futuro:
VF= VP(1+i)n
Sendo: VF = Valor Futuro / VP = Valor Presente / i = Taxa /n = prazo
Exemplo:Para responder as perguntas acima, vamos calcular o Valor Futuro de 10.000, supondo que recebendo o dinheiro hoje, você poderia aplicá-lo com um rendimento de 1,5% ao mês:
Valor Presente
O fator de valor presente é, quando temos um valor futuro e queremos encontrar o seu valor presente (valor na data de hoje, sem juros).
O fator de valor presente para um único valor futuro é:
VP = 
ProblemasPropostos
01) Se você depositar hoje R$ 2.000,00 numa aplicação que rende 0,5% ao mês, qual será o saldo da sua aplicação (valor futuro) ao final de 2 anos.
02)Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo valor futuro é de R$1000,00. Sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 2% ao mês, ache o valor do presente.
03) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um valor futuro de R$ 1.700,00 no prazo de 36 meses. Determine qual a taxa mensal de juros relativa à operação.
04)Um investidor deseja aplicar uma quantia de R$ 12000,00 a uma taxa mensal 1,8% a.m. Depois de quanto tempo o investidor terá acumulado um montante de R$ 13.944,00?
05) Um título no valor futuro de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros de 2,5% ao mês. Qual o valor presente? E qual o valor do desconto?
06)Calcule o valor futuro de uma aplicação de R$ 15 000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% a.m.
07) No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento (valor futuro) de R$ 200 000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa composta de 4% a.m..Pergunta-se: Qual o valor emprestado(valor presente)?
08) Em que prazo um valor presente de R$ 30 000,00 pode ser quitado em um único pagamento (valor futuro) de R$ 51310,18, sabendo-se que a taxa é de 5% a.m.?
09) Uma pessoa aplica hoje R$ 15000,00 num título de renda fixa com vencimento no final de 60 dias, a uma taxa de 72% a.a.. Calcule o seu valor futuro.
10) Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ 64000,00 (valor presente) para ser quitado por R$ 79600,00 (valor futuro) no prazo de 120 dias?
3- Valor Presente para uma Serie de prestações
*O fator de valor presente para uma série de prestações iguais é:
VP = R. 
*O fator de valor presente para uma série de prestações ou períodos diferentes é:
VP = ∑ + + + .... + 
Sendo: 
R – Valor dos retornos esperados.
i – Taxa de atratividade (taxa e período devem estar em grandezas equivalentes)
n – número de prestações (devem seguir uma sequência)
Taxa Mínima de Atratividade(TMA) é uma taxa de juros que representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, ou o máximo que uma pessoa se propõe a pagar quando faz um financiamento.
Valor Presente Líquido
O VPL é uma das metodologias de avaliação de projetos mais completas e utilizadas. A abordagem do Valor Presente Líquido consiste em levar tanto os valores positivos quanto os negativos do projeto ao valor presente, na data focal, e subtrair um do outro.
É o somatório do valor presente das saídas de caixa e o valor presente das entradas de caixa, podendo ser representado pela seguinte expressão:
VPL = Σ EC - Σ SC
Onde EC = Entradas de Caixa 
 SC = Saídas de Caixa
Exemplo 1: Umaempresa faz um investimento de R$ 100 000,00 e espera ganhar R$ 3 500,00, por mês, nos próximos 40 meses. Se você, simplesmente, multiplicar R$ 3 500,00 por 40 meses, obterá R$ 140000,00 e poderia, ingenuamente, responder que a empresa está fazendo um bom investimento. Entretanto, se considerar que a taxa de atratividade de R$ 2% ao mês, precisará fazer alguns cálculos para chegar a uma conclusão. Considere, então, os R$ 100 000,00 como um valor negativo, pois a empresadesembolsouesse valor para fazer oinvestimento, e considere as parcelas de R$ 3 500,00 como valores positivos por representarem entradas de caixa para a empresa nos próximos 40 meses, e verifique se o investimento é viável, considerando o valor do dinheiro no tempo.
Exemplo 2: Uma empresa possui um custo de capital estimado em20% aa, e deseja realizar um projeto quedemandará investimentos da ordem de R$ 140 000,00. Estes investimentos serão realizados de umasó vez, no início da implantação do projeto.
Durante os 5 anos de vida do projeto, a empresa espera obter os seguintes resultados:
	Ano
	1
	2
	3
	4
	5
	Lucro
	20 000,00
	40 000,00
	70 000,00
	70 000,00
	70 000,00
determine, pelo método do VPL, se a empresa deverá ou não realizar o projeto.
Regra para decisão
Considerando uma determinada taxa de desconto do fluxo de caixa como a desejada, a regra para decisão usando o método do Valor Presente Líquido será a seguinte:
Se VPL ≥ 0 – significa que o Valor Presente das Entradas de Caixa é, no mínimo, igual ao Valor Presente das Saídas de Caixa, então o investimento é viável.
Se VPL < 0 – significa que o Valor Presente das Entradas de Caixa é menor que o Valor Presente das Saídas de Caixa, portanto o investimento não é viável.
Problemas Propostos
1) Determinada empresa possui três (03) opções de investimentos, você como gerente desta empresa faria qual dos investimentos, levando em consideração os índices do VPL. Justifique sua resposta. Taxa mínima de atratividade é de 10% ao mês.
	Período
	A
	B
	C
	Investimento
	100 000,00
	100 000,00
	100 000,00
	1º mês-Retorno
	25 000,00
	40 000,00
	30 000,00
	2º mês-Retorno
	25 000,00
	30 000,00
	30 000,00
	3º mês-Retorno
	30 000,00
	30 000,00
	30 000,00
	4º mês-Retorno
	30 000,00
	25 000,00
	30 000,00
	5º mês-Retorno
	40 000,00
	25 000,00
	30 000,00
2) Uma empresa deve investir R$ 180000,00 num projeto de ampliação da capacidade produtiva, para obterbenefícios das entradas de caixa de R$ 40000,00 por ano durante os próximos 6 anos. Se a taxa deatratividade da firma for 6% a.a., o projeto deve ou não ser aceito?
3) Um investimento proposto custando R$60 000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa, durante um período de sete anos:
	Ano
	Valor
	1
	10 000
	2
	15 000
	3
	15 000
	4
	20000
	5
	15000
	6
	10 000
	7
	5 000
calcule o VPL a10% e 16% ao ano.
4) Uma empresa faz um investimento de R$ 100 000,00 e espera um retorno, por mês, nos próximos 40 meses. Sabendo que o valor presente líquido esperado é de 26 602,80 e que a taxa mínima de atratividade de R$ 0,5% ao mês. Calculo qual o valor do retorno mensal.
5) (Questão de Concurso) Uma determinada empresa tem uma proposta para aplicar R$100 000,00 na construção de um novo equipamento, cujo preço de venda em um ano é de R$150000,00. Considerando a taxa de retorno para investimentos semelhantes no mercado de 5% ao ano, qual é o VPL do projeto?
a) R$ 42 857,14
b) R$142 857,14
c) R$ 48857,14
d) R$142857,14
e) N.D.A.
4 - Taxa Interna de Retorno (TIR)
Em uma pesquisa realizada em 1996, com executivos americanos, verificou-se que a TIR é ametodologia mais utilizada para a tomada de decisões rápidas no dia a dia empresarial. Emboramenos completa que a análise do VPL, a TIR permite avaliar rapidamente projetos que criarãovalor para a empresa, considerado o seu custo de capital.A Taxa Interna de Retorno representa a taxa de desconto que iguala o valor presente dos benefíciosdo projeto ao valor presente dos custos deste mesmo projeto. Ou seja, é a taxa que iguala o VPL azero; é a taxa de retorno esperada para o projeto.
Isto significa que:
1. Projetos com a TIR superior ao custo de capital devem ser realizados;
2. Projetos com TIR inferior ao custo de capital devem ser rejeitados.
3. Caso os projetos analisados sejam mutuamente excludentes, deve-se aprovar o projeto de maiorTIR.
4. Caso a TIR seja igual ao custo de capital, o VPL do projeto é igual à zero, ou seja, cobre oscustos da dívida e remunera os acionistas conforme estes esperam.
Embora seja fácil calcular o VPL de um projeto sem uma calculadora financeira ou planilha decálculos, o mesmo não é verdade para o cálculo da TIR. Há duas formas para calcular a TIR de umprojeto sem uma ferramenta de cálculo. A primeira é por tentativa e erro – tente alguma taxa dedesconto diferente e continue até que a taxa escolhida force a equação a ser igual a zero.A segunda forma, derivada da primeira, é utilizar o método da interpolação, ou seja, devem-seestimar duas taxas possíveis para a TIR e calcular o valor presente com estas taxas. 
Para o cálculo da TIR você terá que “brincar” com os valores de TIR, ou seja, designe algum valor para o TIR da fórmula, caso encontre o valor positivo aumente o valor de TIR até encontrar algum valor negativo, após, realize interpolação.
P (TIR ) = + + + .... + -SC
Sendo: 
P (TIR) – Taxa interna de retorno (procurada).
SC – Saídas de caixa.
R – Valor dos Retornos esperados. 
Fórmula para interpolação
= 
Sendo: 
TIR – Taxa interna de retorno
- Taxa em que se encontrou o ultimo valor positivo para VPL.
- Taxa em que se encontrou o primeiro valor negativo para VPL.
VPL1 – Valor presente líquido positivo.
VPL2 – Valor presente líquido negativo.
Exemplos
1) Um empreendimento exige investimentos iniciais da ordem de R$ 20000,00 e proporciona retornos deR$ 5000,00 no final do primeiro ano, R$ 12 000,00 no final do segundo ano e R$ 8000,00 no final do terceiroano. Sabendo que o custo de capital desse projeto é de 8% a.a., qual a taxa interna de retorno desse investimento?
2)Uma pessoa investiu R$100 000,00 na data zero e obteve entradas iguais de 
R$ 36720,90 nos três meses subsequentes. Qual a taxa interna de retorno dessa aplicação, sabendo que o custo de capital é de 6% a.m.
Problemas Propostos
1)Um investimento proposto custando R$ 50 000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa após o imposto de renda durante um período de quatro meses:
	Mês
	Valor
	1
	10 000
	2
	15000
	3
	15 000
	4
	20 000
Determine a TIR, sabendo que o custo de capital é de 6% a.m.
2) Um investimento de R$ 40 000,00 deverá ser realizado, e proporcionará retornos resgatados em quatro parcelas de R$ 10 000,00, R$ 12 000,00, R$ 14000,00 e
R$ 15000,00 no final dos meses 1, 2, 3 e 4, respectivamente, sendo o custo de capital de 2% a.m. Calcule a taxa interna de retorno.
3)Um empreendimento exige investimentos de R$ 65 000,00 e proporciona retornos de R$ 15 000,00 no final do primeiro mês, R$ 22 000,00 no final do segundo mês e R$ 33 000,00 no final do terceiro mês. Qual a taxa interna de retorno desse investimento, sendo que os custos desse projeto são de 4,5% a.m.?
4) Considereos seguintes projetos. Se o custo de capital for de 7%. Qual projeto você escolheria? Pelo critérioda TIR.
	Ano
	A
	B
	Investimentos
	480 000
	300 000
	1
	50000
	260000
	2
	200000
	20 000
	3
	300 000
	55 000
5)Você e analista financeiro de Damon ElectronicsCompany. O responsável pelo orçamento de capital pediu-lhe que analisasse dois investimentos de capital propostos, os Projetos X e Y. Cada projeto tem um custo de R$10000 e um custo de capital de 12%. Os fluxos de caixa líquidos esperados dos dois projetos são os seguintes:
	Fluxos de Caixa Líquidos Esperados
	Ano
	Projeto X
	Projeto Y
	1
	6 500
	3 500
	2
	3 000
	3 500
	3
	3 000
	3 500
	4
	1 000
	3 500
Calcule para cada projeto a TIR.
5 - PAYBACK
Calculando o Tempo Necessário para Recuperar um investimento
Payback é o tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento. O payback pode ser:
Nominal, se calculado com base no fluxo de caixa com valores nominais, e
Presente líquido, se calculado com base no fluxo de caixa com valores trazidos ao valor presente líquido.
Payblack Simples:
Exemplo: 1) Calcule o Valor do Payback simples para o fluxo de caixa descrito na tabela: 
	Ano
	Fluxo de Caixa
(FC)
	Saldo
	0
	-500
	
	1
	200
	
	2
	250
	
	3
	400
	
Vantagens do Payback Simples:
*Fácil de Calcular;
*Fácil de Entender.
Perigo do Payback Simples:
*Não considera o valor do dinheiro no tempo;
Payback Descontado:
É preciso trazer o fluxo de caixa para o presente: VP= VF: (1+ i)n
Exemplo: 2) Calcule o Valor do Payback Descontado para o fluxo de caixa descrito na tabela: 
	Ano
	Fluxo de Caixa
	Operação
	Valor presente
do
(FC)
	Saldo
	0
	-500
	
	
	
	1
	200
	
	
	
	2
	250
	
	
	
	3
	400
	
	
	
i = 10% 
PROBLEMAS PROPOSTOS
Calcule o valor do payback simples: 
 a) b)
	Ano
	Fluxo de Caixa
(FC)
	0
	-1600
	1
	800
	2
	400
	3
	300
	4
	1000
	Ano
	Fluxo de Caixa
(FC)
	0
	-1800
	1
	800
	2
	600
	3
	300
	4
	1000
 c) d)
	Ano
	Fluxo de Caixa
(FC)
	0
	-2350
	1
	1000
	2
	200
	3
	1250
	4
	500
	5
	1000
	Ano
	Fluxo de Caixa
(FC)
	0
	-4580
	1
	2000
	2
	1000
	3
	2000
	4
	1000
	5
	1000
Calcule o valor do payback Descontado:
	Ano
	Fluxo de Caixa
	0
	-150 000
	1
	80 000
	2
	80 000
	3
	80 000
 b)
	Ano
	Fluxo de Caixa
	0
	-150 000
	1
	80 000
	2
	80 000
	3
	80 000
 i = 10% a.a i = 15 % a.a
 c) d)
	Ano
	Fluxo de Caixa
	0
	-200 000
	1
	20 000
	2
	40 000
	3
	80 000
	4
	160 000
	Ano
	Fluxo de Caixa
	0
	-200 000
	1
	160 000
	2
	80 000
	3
	40 000
	4
	20 000
 i = 10% a.a i= 12% a.a
6- ALAVANCAGEM FINANCEIRA
Alavancagem financeira é a intensidade com qual a empresa está endividada. Quanto mais financiamento por meio de capital de terceiros a empresa utilizar, maior será a alavancagem financeira empregada.
IMPACTO DA ALAVANCAGEM FINANCEIRA.
 Começamos a ilustrar como funciona a Alavancagem financeira por ora, ignoraremos o impacto do imposto de renda. Além disso, para facilitar a apresentação, descrevemos o impacto da alavancagem em termos do seu efeito sobre o lucro por ação, LPA, e o retorno sobre o capital próprio, ROE. Naturalmente essas não são medidas contábeis e, portanto, não são nossa preocupação principal. O uso de fluxos de caixa em vez dessas medidas contábeis levaria exatamente a mesma conclusão, mas seria necessário um pouco mais de trabalho.
ALAVANCAGEM FINANCEIRA, LPA E ROE: UM EXEMPLO
 Atualmente, a tranAm Corporation não tem dívidas em sua estrutura de capital. O presidente, Sr. Morris, está considerando uma reestruturação que envolveria a emissão de títulos de dívida com a utilização dos recursos para compor algumas ações existentes. A tabela abaixo apresenta tanto a estrutura atual quanto a estrutura de capital proposta.
	Corrente Proposto
*Ativo R$ 8.000.000,00 R$ 8.000.000,00
*Dívida R$ 0 R$ 4.000,000,00
*Capital Próprio R$ 8.000.000,00 R$ 4.000.000,00
*Quociente entre a dívida 
e capital próprio 0 1
*Preço da Ação R$ 20,00 R$20,00
*Número de ações 400 000 200000
*Taxa de Juros 0% 10%
Conforme é ilustrado, os ativos da empresa têm um valor de mercado de R$ 8 milhões, e existem R$ 400 mil ações. Como a Trans AM é financiada totalmente com capital próprio, o preço da ação é de R$ 20,00.
A emissão proposta geraria R$ 4 milhões; a taxa de juros seria 10%. Como a ação está cotada a R$ 20,00, os 4 milhões de dívidas seriam utilizados para comprar R$ R$4milhoes/20= 200.000 ações, sobrando 200.000 ações no capital. Após a reestruturação, a TransAm teria uma estrutura de capital com 50% de capital de terceiros e, portanto com um quociente entre dívidas e capital de próprio igual a 1. Observe que, por ora, estamos supondo que o preço da ação permanecerá igual a R$ 20,00.
Para investigar o impacto da reestruturação proposta, o Sr. Morris preparou a tabela abaixo que compara a estrutura atual de capital da empresa à estrutura proposta em três cenários. Os cenários refletem premissas diferentes sobre o LAJI(Lucro antes de juros e impostos) da empresa. No cenário esperado, o LAJI é igual a R$ 1 milhão. No cenário recessão, o LAJI cai para R$ 500 mil. No cenário de expansão, aumenta para R$ 1,5 milhão.
	Estrutura de capital corrente: Sem dívidas
	 Recessão Esperado Expansão
	LAJI R$ 500.000,00 R$ 1.000.000,00 R$ 1.500.000,00 
Juros 0 0 0
Lucro Líquido R$ 500.000,00 R$ 1.000.000,00 R$ 1.500.000,00 
ROE 6,25% 12,5% 18,75%
LPA R$1,25 R$ 2,50 R$ 3,75
	Estrutura Proposta de Capital: dívida = R$ 4 milhões
	 Recessão Esperado Expansão
	LAJI R$ 500.000,00 R$ 1.000.000,00 R$ 1.500.000,00 
Juros R$ 400.000,00 R$ 400.000,00 R$ 400.000,00 
Lucro Líquido R$ 100.000 R$ 600.000,00 R$ 1.100.000,00 
ROE 2,5% 15,00% 27,50%
LPA R$0,50 R$ 3,00 R$ 5,50
Para ilustrar alguns cálculos da tabela considere o caso expansão. O LAJI é igual a R$ 1,5 milhão. Sem dívidas ( a estrutura de capital atual) e sem impostos de, o lucro líquido também é igual a R$ 1,5 milhão. Nesse caso existem ações valendo R$ 8 milhões no total. O LPA, portanto é igual a R$ 1,5 milhão/400.000=R$ 3,75 por ação. Além disso, como o retorno contábil do capital próprio ROE, é igual ao lucro líquido dividido pelo capital próprio total, o ROE é de R$ 1.5 milhão/8 milhões = 18,75%.
Com R$ 4 milhões de capitais de terceiros (a estrutura proposta de capital), as coisas são um tanto quanto diferentes. Como a taxa de juros é de 10, os juros a pagar totalizarão R$ 400.000,00. Sendo o LAJI igual a R$ 1,5 milhão, as despesas dos juros a R$ 400.000,00 e inexistindo o imposto de renda, o lucro líquido é R$1.1 mihão/ 200.000 = R$ 5,50, contra R$ 3,75 que havíamos calculado anteriormente. Além disso o ROE, é R$1,1 milhão/4 milhões = 27,50%. O que é bem maior do que os 18,75% que havíamos calculado para a estrutural de capital atual.
Com base nas tabelas acima, o Sr. Morris chegou as seguintes conclusões:
O efeito de alavancagem financeira nesse caso depende da LAJI da empresa. Se o LAJI for relativamente alto, a alavancagem será benéfica.
De acordo com os cenários esperados a alavancagem aumentará o retorno para os acionistas, medido tanto pelo ROE quanto pelo LPA.
Os acionistas estarão expostos as mais riscos na estrutura de capital proposta, uma vez que o LPA e o ROE são bem mais sensíveis a alterações do LAJI nesse caso.
Problema Proposto
A Empresa Debreu não tem dívidas e tem um valor de mercado total de R$ 75.000,00. O lucro antes de juros e impostos (LAJI) está projetado em R$ 10.000,00, caso as condições econômicas sejam normais. Se houver uma forte expansão da economia então o LAJI será 30% maior. Se houver recessão, o LAJI será 40% inferior. O gerente dessa Empresa está pensando em emitir R$ 36.000,00 em novos títulos de dívida a taxa de 10%. Os recursos serão utilizados para recomprar ações. Atualmente, existem 1.000 ações. Ignore os impostos nesse problema. a) Esboce uma tabela representando a estrutura atual da empresa quanto a estrutura de capital proposta.
b) Esboce uma tabela e calcule o lucro por ação em cada um dos três cenários econômicos antes e depois da emissão de títulos de dívida. Além disso, calcule a porcentagem de variação do LPA e o valor do ROE. Análise as duas estruturas montadas: sem a dívida e com a dívida, e exponha o que você conclui.
7 - LAJI DE EQUILIBRIO
Ao analisar o impacto da Alavancagem Financeira, é necessário saber qual o ponto de equilíbrioou seja a partir de qual ponto é viável fazer a Alavancagem Financeira. Utilizaremos a seguinte equação:
Vamos analisar o Problema Proposto anterior e apartir da dessa análise calcular o LAJI de equilíbrio.
Problemas Propostos
A MPD Corporation decidiu fazer uma reestruturação de capital. Atualmente, a MPD não utiliza capital de terceiros, ou seja, não tem dívidas. De acordo com a reestruturação, no entanto as dívidas passarão a ser de R$ 1 milhão. A taxa de juros será de 9%. Atualmente, a MPD possui 200 000 ações a um preço de R$ 20,00 cada. Qual o nível mínimo de LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos) que a administração da MPD deve esperar?
A empresa Milhone está comparando duas estruturas de capital diferentes, um plano sem dívidas (Plano I) e um plano com dívidas (Plano II). De acordo com o plano I, a empresa teria 200 000 ações. De acordo com o plano II teria 100 000 ações e uma dívida de R$ 4 milhões. A taxa de juros é de 10%.
Se o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos)for R$ 600 000,00 qual dos Planos resultará em um LPA (lucro por Ação) mais alto?
Se o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos)for R$ 3,4 milhões qual dos Planos resultará em um LPA (lucro por Ação) mais alto?
Qual é o valor o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos) de equilíbrio?
Atualmente, a Empresa Magna não tem dívidas em sua estrutura de capital. O Gerente está considerando uma reestruturação que envolveria a emissão de títulos de dívida com a utilização dos recursos para compor algumas ações existentes. A Empresa hoje tem 15 000 ações no valor de R$ 10,00 cada uma totalizando um ativo de R$ 150 000,00. A estrutura de capital proposta geraria uma dívida de R$ 70 000,00 a taxa de juros de 12%. Com um estudo realizado verificou-se que o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos) previsto para esta empresa seria no cenário esperado de R$ 50 000,00, no cenário expansão de R$ 70 000,00 e no cenário Recessão R$ 30 000,00.
a) Esboce uma tabela representando a estrutura atual da empresa quanto a estrutura de capital proposta.
b) Esboce uma tabela e calcule o lucro por ação em cada um dos três cenários econômicos antes e depois da emissão de títulos de dívida. Além disso, calcule a porcentagem de variação do LPA (lucro por Ação) e o valor do ROE (Retorno sobre o capital próprio.
Uma empresa está realizando uma reestruturação de capital. Atualmente está empresa não tem dívidas (Alavancagem Financeira). Após a reestruturação, no entanto as dívidas passarão a ser de R$ 840 mil. A taxa de juros será de 10%. Atualmente, a Empresa possui 40 mil ações a um preço de R$ 30,00 cada. Qual o nível mínimo de LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos) que a administração dessa empresa deve esperar?
O presidente de uma empresa está analisando duas estruturas de capital diferentes, um plano sem dívidas (Plano A) e um plano com dívidas (Plano B). De acordo com o plano A, a empresa teria 350 000 ações. De acordo com o plano B teria 200 000 ações e uma dívida de R$ 1 milhão. A taxa de juros é de 8%.
Se o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos)for R$ 800 000,00 qual dos Planos resultará em um LPA (lucro por Ação) mais alto?
Se o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos)for R$ 2,3 milhões qual dos Planos resultará em um LPA (lucro por Ação) mais alto?
Qual é o valor o LAJI (Lucro Antes de Juros e Impostos) de equilíbrio?
06) A Empresa MN não tem dívidas e tem um valor de mercado total de R$ 120 000,00. O lucro antes de juros e impostos (LAJI) está projetado em R$ 30 000,00, caso as condições econômicas sejam normais. Se houver uma forte expansão da economia então o LAJI será 40% maior. Se houver recessão, o LAJI será 30% inferior. O gerente dessa Empresa está teria uma proposta com uma estrutura de 50% do capital da empresa em dívidas a taxa de 10%. Os recursos serão utilizados para recomprar ações. Atualmente, existem 20 000 ações. Ignore os impostos nesse problema. 
a) Esboce uma tabela representando a estrutura atual da empresa quanto a estrutura de capital proposta.
 b)Esboce uma tabela e calcule o lucro por ação em cada um dos três cenários econômicos antes e depois da emissão de títulos de dívida. Além disso, calcule a porcentagem de variação do LPA e o valor do ROE.

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