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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Matema´tica 1 Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 Temas abordados : Aplicac¸o˜es da integral 1) Nos itens a seguir, determine a a´rea da regia˜o R: (a) R e´ a regia˜o limitada pela curva y = 2 + x− x2 e o eixo Ox. (b) R e´ a regia˜o limitada pelas curvas y = 8/x e y = x1/2 e pelas retas y = 0 e x = 8. (c) R e´ a regia˜o limitada pela curva y = x4 e pela reta y = x. (d) R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada pela reta y = 7x e pelas curvas y = 8−x2 e y = x2. 2) Determine a func¸a˜o y(x) cuja reta tangente no ponto (x, y(x)) e´ x(x2 + 1)3 e cujo gra´fico passa pelo ponto (1, 5). 3) Estima-se que daqui a x semanas o nu´mero de passageiros de uma nova linha de metroˆ estara´ aumentando a` raza˜o de 18x2 + 500 passageiros por semana. No momento, 8000 passageiros esta˜o usando a linha. Quantos a estara˜o usando daqui a 5 semanas? 4) Dados colhidos pela Secretaria de Seguranc¸a Pu´blica mostram que daqui a x anos o nu´mero de presidia´rios do munic´ıpio estara´ aumentando a` taxa de 280e0,2x presidia´rios por ano. No momento, existem 2000 detentos nas priso˜es do munic´ıpio. Quantos detentos tera´ o munic´ıpio daqui a 10 anos? 5) Uma a´rvore foi transplantada e apo´s x anos esta´ crescendo a` raza˜o de h′(x) = 0, 5 + (x+ 1)−2 metros por ano. Quanto a a´rvore cresceu no segundo ano? 6) Quando tem t anos de uso, certa ma´quina industrial gera receita a uma taxa R′(t) = 5000 − 20t2 reais por ano; a taxa de aumento dos custos de operac¸a˜o e manutenc¸a˜o da ma´quina e´ dada por C ′(t) = 2000 + 10t2 reais por ano. (a) Apo´s quantos anos de uso a rentabilidade da ma´quina comec¸a a diminuir? (b) Calcule a receita l´ıquida(*) gerada pela ma´quina durante o per´ıodo de tempo cal- culado no item anterior. (*) Em muitas aplicac¸o˜es pra´ticas, conhecemos a taxa de variac¸a˜o Q′(x) de uma grandeza e estamos interessados em calcular a variac¸a˜o l´ıquida de Q(x), V L = Q(b)−Q(a), quando x varia de x = a para x = b. O valor me´dio VM de uma func¸a˜o cont´ınua f(x) no intervalo [a, b] e´ dado pela inte- gral definida VM = 1 b−a ∫ b a f(x)dx.De posse desta informac¸a˜o, resolva os dois exerc´ıcios seguintes. 7) Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um per´ıodo t´ıpico de 24 horas, a temperatura em certa cidade e´ dada por C(t) = 3− 2 3 (t− 13)2, 0 ≤ t ≤ 24 graus celsius. Qual e´ a temperatura me´dia na cidade entre 6 da manha˜ e 4 da terde? Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 - Pa´gina 1 de 3 8) Com t meses de experieˆncia, um funciona´rio do correio e´ capaz de separar Q(t) = 700− 400e−0,5t cartas por hora. Qual e´ a velocidade me´dia com que um funciona´rio do correio consegue separar as correspondeˆncias durante os treˆs primeiros meses de trabalho? 9) A func¸a˜o p = D(q) usada para determinar o prec¸o por unidade que os consumidores esta˜o dispostos a pagar para comprar a q-e´sima unidade de um produto e´ conhecida na econo- mia por func¸a˜o de demanda do consumidor para este produto. Esta func¸a˜o tambe´m pode ser encarada como a taxa de variac¸a˜o da quantia total A(q) que os consumidores esta˜o dispostos a gastar para comprar q unidades, ou seja, dA/dq = D(q). Sabemdo que a func¸a˜o de demanda do consumidor de um certo produto e´ D(q) = 4(25− q2) reais por unidade, determine a quantia total qure os consumidores esta˜o dispostos a gastar para adquirir treˆs unidades do produto. 10) Calcule as integrais abaixo: (a) ∫ 1 0 (5x4 − 8x3 + 1) dx (b) ∫ 4 1 ( √ x + x−3/2) dx (c) ∫ 2 −1 30(5x− 2)2 dx (d) ∫ (x + 2)(x2 + 4x + 2)5 dx (e) ∫ 1 0 2xex 2−1 dx (f) ∫ 5e3x dx (g) ∫ sec(2t) tan(2t) dt (h) ∫ ln 3x x dx (i) ∫ 1 −1 3x + 6 (x2 + 4x + 5)2 dx (j) ∫ 1 −1 xex dx (k) ∫ e2 e 1 x(lnx)2 dx (l) ∫ e −1 x2 lnx dx (m) ∫ 2x ln(x2 + 1) dx (n) ∫ pi/3 pi/6 [1− cos(3t)]sen(3t) dt Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 - Pa´gina 2 de 3 RESPOSTAS 1) (a) 9/2 (b) 16/3 + 8 ln 2 (c) 3/10 (d) 13/2 2) y(x) = 1 8 (x2 + 1)4 + 3 3) 11250 passageiros 4) 10945 detentos 5) 0,67 m 6) (a) Tomando por P (t) = R(t) − C(t) o lucro associado a` ma´quina apo´s t anos de uso, observe que a rentabilidade deixa de aumentar quando P ′(t) = 0, o que ocorre para t = 10. (b) A receita l´ıquida durante os primeiros 10 anos de uso da ma´quina e´ dada por RL = P (10)− P (0) = 20000 reais. 7) −5, 22◦C 8) 493 cartas por hora 9) R$ 264,00 10) (a) 0 (b) 17/3 (c) 1710 (d) 1 12 (x2 + 4x + 2)6 + C (e) 1− 1/e (f) 5 3 e3x + C (g) 1 2 sec(2t) + C (h) 1 2 (ln 3x)2 + C (i) 3/5 (j) 2/e (k) 1/2 (l) 1 9 (2e3 + 1) (m) (x2 + 1)[ln(x2 + 1)− 1] + C (n) 1/2 Lista de Exerc´ıcios – Semana 16 - Pa´gina 3 de 3
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