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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: CA´LCULO NI
PROFESSOR: Gilson Carvalho
3a LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Use a definic¸a˜o de derivada em um ponto para calcular as derivadas das seguintes func¸o˜es f nos pontos
p dados.
a) f(x) = 2x e p = 3 b) f(x) = x3 e p = −1
c) f(x) = (x+ 2)2 e p = 12 d) f(x) = x
2 − 1 e p = y
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto p em cada um dos itens da questa˜o
anterior.
3. Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es dadas nos itens abaixo, considerando sempre os elentos
x que esta˜o no domı´nio da func¸a˜o f .
a)f(x) = x2 − 5x+ 2 b)f(x) = 3x3 − 3
2
x2 − 12
c)f(x) = 14− 8
5
x−4 d)f(x) = (2x+ 1).(6x3 + 2)
e)f(x) = 3x+
√
x f)f(x) =
5x+ 3
5x− 3
g)f(x) =
2
x2
+ 5x−
3
2 h)f(x) =
3x2 + 6x− 7
3x+ 2
i)f(x) = 8x2 + 3cosx j)f(x) =
senx
x4 + 2
l)f(x) = 5
√
x.tgx m)f(x) =
x+ senx
x− cosx
n)f(x) = x2.ex o)f(x) = −3x−5.lnx
p)f(x) =
senx
1 + lnx
q)f(x) =
lnx
secx+ ex
r)f(x) =
x+ 1
x+ 2
.(3x
5
3 + x) s)f(x) =
x+ 3
√
x
senx
.(2 + cosx)
4. Use a regra da cadeia e as regras de derivac¸a˜o para calcular as derivadas de cada uma das func¸o˜es nos
itens abaixo.
1
2
a)y = sen(4x) b)y = cos(x3)
c)y = ln(2x−2 + 5) d)y = esent
e)y = tg(ex) f)y = (cossecx+ 5x3)2
g)y =
(
7x+ 5
2x3 − x
)3
h)y = −9e3x2−6x+7
i)y =
√
sen(2x) + lnx j)y =
3
√
x6 + 3x−2
x+ 4
l)y = x2.ln(2x+ 1) m)y = (e−x + ex
2
)7
n)y = (sen(3x2 − 8x))− 52 o)y = (2cotg(4x) + x
5)
ex4−x3+7
5. Seja f : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que f ′(2) = 5. Se g : R → R e´ uma func¸a˜o dada por
g(t) = f(t2 + 1), quanto vale g′(1)?
6. Sejam f : R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel e g : R→ R uma func¸a˜o dada por g(x) = xf(x2).
a)Calcule g′(x).
b)Se f(4) = 3 e f ′(4) = −2, calcule g′(2).
7. Em cada um dos itens abaixo, decida se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel no ponto dado. Justifique suas respostas
a)f(x) = |x+ 5| em p = −5. b)f(x) =
 2x+ 1 se x < 25 se x ≥ 2 em p = 2.
c)f(x) =
 x
2 + 2x se x > 3
−3x+ 2 se x ≤ 3
em p = 3. d)f(x) =
x
2 − 4x+ 2 se x > 3
2x− 4 se x ≤ 3
em p = 3.
8. Seja f : R+ → R dada em cada item abaixo. Sabendo que g e´ a inversa de f , use a derivada da func¸a˜o
inversa para calcular a derivada de g
a)f(x) = 2x+ 1. b)f(x) = ex.
c)f(x) = cosx. d)f(x) = x2 + 2.
9. Calcular a derivada y′ ou dydx em termos de x e de y definidas implicitamente pelas equac¸o˜es abaixo:
a)2x5 + y = 2 b)e2x + y = 4x
c)ey = x+ y d)x2 − y2 = 5
e)xy + y5 = x f)x3 + x2y + y2 = 0
g)tgy = xy h)y + ln(x2 + y2) = 10
10. A func¸a˜o y = f(x), com y > 0, e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o x2 + 4y2 = 2. Determine:
a)
dy
dx
dada implicitamente em func¸a˜o de x e y
b) A equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1, f(1))
3
11. Derive as func¸o˜es abaixo ate´ a ordem n em cada uma das func¸o˜es a seguir
a)f(x) =
8
25
x5 + 2x
5
2 −
√
3 quando n = 2 b)f(t) = e2t + 4t6 quando n = 4
c)f(θ) = cos(θ) quando n = 5 d)f(λ) = eλsen(3λ) quando n = 6
e)f(w) = w + 5 quando n = 12 f)f(x) = x2ex − x−3sen(8x) quando n = 3
12. Uma part´ıcula desloca-se sobre uma linha reta, sua posic¸a˜o no instante t e´ dada por s(t) = 16t − t2.
Calcule:
a) A velocidade da part´ıcula no instante t = 4
b) A acelerac¸a˜o da part´ıcula no instate t = 2, 5.
13. Uma ponto P move-se ao longo do gra´fico y =
1
x2 + 1
de tal modo que a sua abscissa x varia a uma
velcidade constante de 5m/s. Qual e´ a velocidade da part´ıcula P na direc¸a˜o da coordenada y no instante
em que x = 10m?
14. Uma part´ıcula move-se ao longo da semicircunfereˆncia x2(t) + y2(t) = 5, com y(t) > 0, e suponha que
dx
dt
> 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x.
15. Use uma das regras de L’Hospital para calcular cada um dos seguintes limites:
a) lim
x→2
2x− 4
5x− 10 b) limx→+∞
x− 10
3x− 2
c) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
d) lim
x→+∞
e3x
x2
e) lim
x→−∞
5− 5x
2− 2x f) limx→0
x
ex − cosx
g) lim
x→0+
senxlnx h) lim
x→0
(1− cosx) 1x
i) lim
x→+∞(x
2 + 1)
1
x j) lim
x→+∞
e2x
x3
16. Em cada um dos itens abaixo, fac¸a o seguinte:
1 - Determine o domı´nio de f ,
2 - Encontre os pontos cr´ıticos e classifique-os,
3 - Determine os intervalos de crescimento,
4 - Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexa˜o,
5 - Encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais, caso existam, 6 - Esboce o gra´fico de f .
a)f(x) = x2 − 4x+ 2 b)f(x) = x3 − 3x2 + 3x
c)f(x) =
2x
x+ 2
d)f(x) =
3x+ 1
(x+ 2)(x− 3)
e)f(x) =
x2 − x+ 1
x2
f)f(x) = x
3
2
g)f(x) = xe−3x h)f(x) =
2
x2 − 5x+ 4
i)f(x) = 3
√
x3 − x j)
√
x2 + 2x+ 5
4
17. Encontre dois nu´mero positivos cuja a soma seja 70 e o produto seja o ma´ximo poss´ıvel.
18. Determine as dimenso˜es de um retaˆngulo cujo o per´ımetro seja 32m e a´rea seja a ma´xima poss´ıvel.
19. Uma folha de papel conte´m 375cm2 de mate´ria impressa, com margem superior de 3, 5cm, margem
inferior de 2cm, margem lateral direita de 2cm e margem lateral esquerda de 2, 5cm. Determinar quais
devem ser as dimenso˜es da folha para que haja o ma´ximo de economia de papel.
20. Uma fa´brica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produc¸a˜o
e´ dado por C = 2x3 + 6x2 + 18x + 60 e o valor obtido na venda e´ dado por V = 60x − 12x2, determinar o
nu´mero o´timo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V − C.
21. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300kg. Ate´ agora ele gastou R$380.000, 00 para criar os
bois e continuara´ gastando R$2, 00 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma raza˜o de
1, 5kg por dia. Seu prec¸o de venda, hoje, e´ de R$18, 00 o quilo, mas o prec¸o cai 5 centavos por dia. Quantos
dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro?