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1. Determine a velocidade necessária para se escapar da atração gravitacional de um asteróide de raio R e densidade volumétrica ρ. Dados: R e ρ. Resolução: Velocidade de escape (ve) é a velocidade inicial mínima necessária para se escapar da atração gravitacional de um corpo, partindo-se da superfície do mesmo e chegando ao repouso somente no infinito. Nessa distância, a energia mecânica será nula. Assim, pelo princípio de conservação da energia mecânica, E(R) = E(∞) (1) U(R) + K(R) = U(∞) + K(∞) = 0 (2) 0 2 1 2 e =+− mv R GMm (3) R GM v 2 e = (4) Mas, como ρπ=ρ= 3 3 4 RVM (5) ρ π = GRv 3 8 e UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205 CAPÍTULO 12 – GRAVITAÇÃO 2. (a) Segundo o livro “Da Terra até a Lua” escrito por Júlio Verne em 1865, um objeto foi arremessado por um gigantesco canhão, na superfície da Terra, em direção à Lua. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra, a atração da Lua e, sabendo que a massa da Terra é M, o raio da Terra R e a constante gravitacional G, determine a velocidade mínima do objeto na boca do canhão para que o mesmo atinja uma altura igual ao raio da Terra. (b) Duas partículas, A (massa M) e B (massa 4M), encontram-se separadas por uma distância L. A que distância (x) da partícula A, na linha que une A e B, devemos colocar uma terceira partícula, de tal forma que a força gravitacional resultante exercida pelas partículas A e B sobre ela seja nula? Expresse sua resposta em função de L. R M m v r h Terra Pelo Princípio de Conservação da Energia Mecânica, a energia mecânica do objeto no lançamento, na superfície da Terra deverá ser no mínimo suficiente para que o objeto “apenas” atinja uma altura h = R. Neste caso a Energia cinética a uma altura h poderá ser igual a zero. R GM v R GM R GM v R GMm R GMm mv R GMm mv R GMm UKU EE fii finalinicial = = −= −= −=+− =+ = 2 1 2 1 1 2 1 22 1 22 1 2 2 2 Lx Lx xLx x xL x xL xL MmG x GMm FF F BA 3 1 3 2 2 4 )( )( 4 0 2 2 22 = = −= = − = − − = = =∑ r L - x 0 x B A M 4M m AF r BF r x 3. É teoricamente possível colocar um satélite entre a Terra e o Sol, sobre a reta que une os dois astros, num ponto onde as forças gravitacionais do Sol e da Terra sobre o satélite se combinam de modo que a órbita do satélite seja circular e síncrona com o movimento de revolução da Terra. O satélite fica sempre sobre a reta que une o centro do Sol ao centro da Terra. Dar a expressão da velocidade orbital v do satélite, nessa situação, em função de G, MS, MT, D e r. Dados: G, MS, MT, D e r Solução: ∑ −= radrad maF cTS maFF −=+− ×(-1) r v m rD mGM r mGM TS 2 22 )( = − − × m r Resposta: ( ) − −= 2 rD rM r M Gv TS MS MT r D m Sol Satélite Terra
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