Prova 4 FIS 201 2005-1

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Marque um X em sua turma Professor 
 T1 - 2a = 16-18 / 5a = 14-16 
 T8 - 2a = 10-12 / 5a = 08-10 Nemésio 
 T9 - 2a = 14-16 / 4a = 16-18 
 T2 - 4a = 08-10 / 6a = 10-12 Antônio 
 T3 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 Carlos 
 T4 - 3a = 16-18 / 6a = 14-16 Orlando 
 T5 - 3a = 10-12 / 6a = 08-10 
 T6 - 3a = 08-10 / 5a = 10-12 Gino 
 T7 - 3a = 14-16 / 5a = 16-18 
Nome: ___________________________________________________Matrícula:____________ 
EQUAÇÕES 
Fr
rrr ×=τ 
θ=τ senrF 
α=τ rr I 
2mhII CM +=
)cos()( φ+ω= txtx m 
f
T
π=π=ω 22 
2/ rGMmF =
amF r
r = 
xkF r
r −= 
rGMmU /−= 
2)2/1( kxU = 
2)21( mvKt = 
rs θ= ; rv ω= 
rat α= ; rvac 2= 
2)21( ω= IKr 
 
1. Uma partícula oscila com MHS de período T = 2 s. No instante t = 0 a partícula se encontra 
na posição de equilíbrio e se desloca com velocidade de π m/s, no sentido dos x crescentes. 
Determine (a) a fase inicial do movimento. Escreva as expressões (b) da posição x, (c) da 
velocidade v e (d) da aceleração a da partícula em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
QUARTA PROVA DE FIS 201 – 22/06/2005 
NOTA (100) 
Observações 
9 A prova contém 4 (quatro) questões; 
9 Todas as questões têm o mesmo valor; 
9 Não serão aceitas respostas sem justificativas; 
9 Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de 
referência, diagramas de corpos isolados e 
textos explicativos, durante a resolução do 
problema; 
9 Caso necessário, use o verso da folha; 
9 Utilize gr para a aceleração da gravidade. 
Escreva no espaço abaixo o seu nome, número de 
matrícula e marque um X, no quadro ao lado, 
na turma em que você é matriculado. 
T = 2 s ; srad
T
/2 π=π=ω 
(a) No instante t = 0, x = 0 e v = vm = π m/s 
 
 
( )
( )
( )
( )
2
3
2
1sen
0.sen
.sen
2
0cos
0.cos0
cos
ππ−=φ
−=φ
φ+ω−=
φ+ω−=
π±=φ
=φ
φ+ω=
φ+ω=
ou
vv
tvv
x
txx
mm
m
m
m
 
( )( )
( )( )
( )( )2cos)/()(
cos)((d)
2sen)/()(
sen)((c)
2cos)0,1()(
cos)((b)
/
0,1
22
2
222
π−ππ−=
φ+ωω−=
π−ππ−=
φ+ω−=
π−π=
φ+ω=
π=ω=
=π
π=ω=
tsmta
txta
tsmtv
tvtv
tmtx
txtx
smxa
mxxv
m
m
m
mm
mmm
 
2. Um pêndulo físico é constituído por um corpo esférico de raio r e massa m, suspenso por um 
fio de comprimento (L – r). A distância do centro da esfera ao eixo de rotação é L. Mostre 
que o período de oscilação deste pêndulo, para pequenas amplitudes, é dado por: 
 
2
2
0 5
21
L
rTT += 
onde g
LT π= 20 é o período de um pêndulo simples de comprimento L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia da esfera em relação ao eixo de 
rotação que passa pelo seu centro massa: 
2
5
2 mrICM = 
Momento de inércia da esfera em relação ao eixo de 
rotação que passa pelo ponto O . 
( )2222 52
55
2 LrmmLmrI O +=+= r 
L 
Fio 
m 
r 
O 
θ 
θ 
P
r
T
r
 
.TangP
r
 
radialP
r
( )
( ) θω+=θ
θω+=
α=Γ∑
222
222
.
0
52
5
.sen
52
5
LrmLmg
LrmLP
I
Tang
zo
 
Para pequenos ângulos (θ < 0,1 rad) 
 sen θ = tan θ = θ (rad) 
( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
+π=+π=+π=
+=
π
+=ω
θω+=θ
2
2
2
22
2
2222
222
2
22
2
222
5
21
5
)52(2
5
)52(2
5
)52(2
)52(
54
)52(
5
52
5
.
L
rTT
L
Lr
g
L
gL
LLr
gL
LrT
Lr
gL
T
Lr
gL
LrmLmg
O
 
3. A extremidade A da barra AB da figura abaixo repousa sobre uma superfície horizontal sem 
atrito, e a extremidade B está articulada. A barra é homogênea e possui peso P
r
. Uma força 
horizontal F
r
é aplicada à barra na extremidade A, sendo F = 2P. Determine, em função de 
P, θ e dos vetores unitários que se fizerem necessários, (a) a força exercida sobre a barra 
pela superfície horizontal e (b) a força exercida sobre a barra pela articulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as condições de equilíbrio: 
 
∑∑ =Γ= 00 OeF rr 
 
PFF
FF
F
H
H
x
2
0
0
==
=−
=∑
 
 
 
 
V
V
y
FPN
FPN
F
+=
=−−
=∑
0
0
 
 
 
 
 
 
 
θ 
F
r
 
i
)
 
j
)
k
)
B 
A 
HF
r
 
VF
r
 
F
r
 
N
r
P
r
O (eixo de rotação) 
θ 
F = 2P 
 
 
( )θ−θ=−θ=
θ−θ=θ
=θ−θ−θ
=θ−θ−θ
=θ−θ−θ
=Γ∑
tan4
tan22tan
2
2
sencos2sen
0
2
sensencos2
0sen
2
sencos2
0sen
2
sencos
0
PPPF
PPF
PFP
LPLFPL
LPLFLF
V
V
V
V
VH
O
 
( )θ+θ=θ+=
−θ+=
tan4
tan2tan
2
2
2tan
2
PPPN
PPPN
 
Assim: 
( )
( ) )(tan4
tan2
)(2)(
)(tan4
tan2
)(
. j
PiPFb
jPNFa
Art
SH
))r
)rr
−θ−θ+−=
θ+θ== 
4. (a) Segundo o livro “Da Terra até a Lua” escrito por Júlio Verne em 1865, um objeto foi 
arremessado por um gigantesco canhão, na superfície da Terra, em direção à Lua. 
Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra, a atração da Lua e, sabendo que a 
massa da Terra é M, o raio da Terra R e a constante gravitacional G, determine a velocidade 
mínima do objeto na boca do canhão para que o mesmo atinja uma altura igual ao raio da 
Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Duas partículas, A (massa M) e B (massa 4M), encontram-se separadas por uma 
distância L. A que distância (x) da partícula A, na linha que une A e B, devemos colocar uma 
terceira partícula, de tal forma que a força gravitacional resultante exercida pelas partículas A 
e B sobre ela seja nula? Expresse sua resposta em função de L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOAS FÉRIAS! 
L - x0 
x B A 
M 4M 
R 
M 
m 
vr 
h 
Terra 
Pelo Princípio de Conservação da Energia Mecânica, a energia 
mecânica do objeto no lançamento, na superfície da Terra deverá 
ser no mínimo suficiente para que o objeto “apenas” atinja uma 
altura h = R. Neste caso a Energia cinética a uma altura h poderá 
ser igual a zero. 
R
GMv
R
GM
R
GMv
R
GMm
R
GMmmv
R
GMmmv
R
GMm
UKU
EE
fii
finalinicial
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−=
−=+−
=+
=
2
1
2
11
2
1
22
1
22
1
2
2
2
 
m AF
r
 BF
r
 
Lx
Lx
xLx
x
xL
x
xL
xL
MmG
x
GMm
FF
F
BA
3
1
3
2
2
4)(
)(
4
0
2
2
22
=
=
−=
=−
=−
−=
=
=∑ r
 
x