Estatística Descritiva

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Estat´ıstica Descritiva
Dennis Marinho1
1Departamento de Engenharia Ele´trica
Universidade Federal do Vale do Sa˜o Francisco
dennis.marinho@univasf.edu.br tel. 2102-7630
23 de novembro de 2017
Prof. Dennis Marinho O R de Souza Estat´ıstica Descritiva
Estat´ıstica Descritiva
E´ uma ferramenta muito u´til para resumir a descric¸a˜o de uma ou
va´ris se´ries de valores. Dessa maneira torna-se poss´ıvel realizar um
estudo GLOBAL sobre o comportamento, organizac¸a˜o, descric¸a˜o e
apresentac¸a˜o dos dados.
As treˆs formas, principais, para apresentac¸a˜o dos dados:
1 Tabelas;
2 Gra´ficos;
3 Medidas Descritivas.
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Fundamentos da Estat´ıstica
POPULAC¸A˜O: E´ a catalogac¸a˜o de TODOS os elementos
desejados por uma varia´vel.
AMOSTRA: E´ uma parte da catalogac¸a˜o de parte da
populac¸a˜o, de acordo com a varia´vel.
1 Status Finita;
2 Status Infinita.
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Varia´vel
E´ a medida da qual desejamos catalogar em nosso conjuto ou
banco ou massa de dados.
Pode ser chamada de x ou y ou z...
Tipo de Varia´vel
1 Na˜o-Aleato´ria: Segue um comportamento padronizado.
2 Aleato´ria: Segue um comportamento na˜o padronizado.
Exemplo: Saber na UNIVASF a me´dia dos alunos que
recebem bolsa (x) e possuem algum v´ınculo.
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Forma ou N´ıveis de Varia´veis
Qualitativa: Classifica o objeto em estudo por um nome.
1 Ordinal: Segue uma ordem natural, exemplo do Estado Civil.
2 Nominal: Apresenta um nu´mero espec´ıfico, dentro de uma
cadeia lo´gica, exemplo de cor de pelo ou nota escolar.
Quantitativa: Classifica o objeto em estudo por um nu´mero
Real ou Natural.
1 Discreto: A varia´vel e´ um nu´mero inteiro.
2 Cont´ınuo: A varia´vel e´ um nu´mero cont´ınuo.
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Observac¸a˜o da Coleta de Dados
Dados Brutos: Sa˜o varia´veis que chegaram do campo sem
nenhuma alterac¸a˜o estat´ıstica.
Rol: Primeiro tratamento aplicado aos dados, do qual
organiza os dados de maneira crescente ou decrescente.
Observac¸a˜o: Coleta na˜o deve seguir nenhum interesse ou
vantagem, os dados registrados integralmente.
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Tabelas
Simples;
Clara;
Objetiva;
Auto Explicativa.
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Elementos da Tabela
T´ıtulo: Descreve fenoˆmeno, e´poca e local de ocorreˆcnia.
Cabec¸alho: Simplifica os conteu´dos das colunas.
Coluna: Simplifica o conteu´do das linhas
Corpo: Mostra os dados da tabela.
Fonte: Local de extrac¸a˜o das informac¸o˜es.
Nota: Explica a metodologia aplica (ver ABNT).
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Modelo de Tabela
Figura: Tabela
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Distribuic¸a˜o de Frequeˆncia
E´ o nu´mero de vezes ou percentual que determinada varia´vel
ou intervalo ou ponto acorreu.
Tipos de Frequeˆncia:
1 Pontual;
2 Intervalar ou Classe.
Exemplo:
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Somas das Frequeˆncias
Simples Absoluta;
Simples Relativa;
Acumulada Crescente;
Acumulada Decrescente.
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Exemplo: Calcule as frequeˆncias:
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Exemplo de tabelas:
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Classe da Tabela
Amplitude dos Dados: At = Xmaximo − Xminimo
Quantidade de Classes:
1 Para n ≤ 25, considere ate´ 5 classes (ma´ximo);
2 Para n > 25, utilizar Sturges: k = 1 + 3.22log(n)
Limites das Classes:
1 Limite Superior ou Ls
2 Limite Inferior ou Li
Tipos dos Limites das Classes:
1 Li | − |Ls equivalente: Li ≤ Xi ≤ Ls
2 Li ` Ls equivalente: Li ≤ Xi < Ls
3 Li a Ls equivalente: Li < Xi ≤ Ls
4 Li − Ls equivalente: Li < Xi < Ls
Amplitude da Classe (h) ou tamanho da classe: h = Atk
Ponto Me´dio da Classe: divide ao meio a classe, XM =
Ls+Li
2
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Exemplo: Organize os dados abaixo em tabela de
distribuic¸a˜o de frequeˆncia, contendo classe, ponto me´dio, a
frequeˆncia absoluta-relativa e acumulada absoluta-relativa.
20 22 23 23 23 24 26 27 22
24 24 26 25 25 25 21 23 21
25 25 25 25 26 26 22 20 20
26 26 20 26 26 26 21 27 27
26 26 27 27 25 25 23 20 20
27 27 28 28 29 28 23 29 21
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Gra´ficos
Recurso visual;
Menor grau de detalhe, maior velocidade de leitura;
Visa˜o global dos dados.
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Barra
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Coluna
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Categorizado
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Setores ou Pizza
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Linhas
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Basta˜o
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Histograma
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Histograma: Observac¸o˜es
Gra´fico de colunas, no entanto sa˜o justapostas;
Representam a distribuic¸a˜o de frequeˆncia para dados
cont´ınuos-discretos;
O Eixo y pode receber a quantidade absoluta ou relativa ou
decimal;
O Eixo x pode trabalhar com valores pontuais ou intervalares.
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Ogivas
Observac¸a˜o: Gra´fico constru´ıdo a partir da frequeˆncia
acumulada absoluta ou relativa.
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Medidas Descritivas
E´ uma forma de resumir os dados atrave´s de um nu´mero ou
intervalo de nu´meros;
As informac¸o˜es podera˜o ser expressas em termos populacionais
ou amostrais, de acordo com a simbologia apresentada abaixo:
Medida Paraˆmetro (Pop.) Estimador(Amost.)
Nu´mero de Elmentos N n
Me´dia µ x
Variaˆncia σ2 S2
Desvio Padra˜o σ S
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Divisa˜o das Medidas Descritivas
Medidas de Posic¸a˜o
1 Me´dia;
2 Mediana;
3 Moda
4 Separatrizes: Quartil-Decil-Percentil
Medidas de Dispersa˜o
1 Amplitude total;
2 Desvio Me´dio;
3 Variaˆncia;
4 Desvio Padra˜o;
5 Coeficiente de Variac¸a˜o.
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
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Medidas de Posic¸a˜o ou Tendeˆncia Central
1 Me´dia;
2 Mediana;
3 Moda
4 Separatrizes: Quartil-Decil-Percentil
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Me´dia
E´ a soma de todos os valores de xi dividido pelo nu´mero de
elementos.
Dados Na˜o Agrupados em Classe de Frequeˆncia:
µ =
∑N
i=1 Xi
N
x =
∑n
i=1 xi
n
Dados Agrupados em Classe de Frequeˆncia:
µ =
∑N
i=1 XiFi
N
x =
∑n
i=1 xi fi
n
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Vantagens e Desvantagens da informac¸a˜o Me´dia
Fa´cil obtenc¸a˜o;
Estat´ıstica de maior uso;
Tratada alebricamente (manipulada);
Facilmente influenciada por valores extermos;
Na˜o e´ boa para dados muito heterogeˆneos (altos e baixos).
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Propriedades da Me´dia
A somato´ria das diferenc¸as entre cada valor observado xi e
sua respectiva me´dia resultara´ em zero;
n∑
i=1
(xi − x) = 0
A multiplicac¸a˜o de cada elemento xi por uma constante C,
gera a pro´pria me´dia multiplicada pela constante.∑n
i=1 xi ∗ C
n
= C ∗
∑n
i=1 xi
n
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Exemplo:Calculando a me´dia aritme´tica da tabela abaixo:
IDADE FREQUEˆNCIA
18 2
19 1
20 6
21 2
22 1
23 1
24 1
25 3
26 1
29 1
30 1
35 1
37 1
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Exemplo: Calculando a me´dia aritme´tica da tabela abaixo:
Idade Xi Fabsoluta FAbs−Relativa% FAcumAbsol FAcumAbsolRela%
18 ` 22 20 11 50 11 50
22 ` 26 24 6 27,27 17 77,27
26 ` 30 28 2 9,09 19 86,36
30 ` 34 32 1 4,55 20 90,91
34 ` 38 36 2 9,09 22 100
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Moda - Mo
Sa˜o os valores de maior frequeˆncia na amostra;
Os gra´ficos sa˜o facilmente observados:
Amodal: Sem moda;
Modal: Um u´nico valor se apresenta;
Bimodal: Dois valores se destacam ao mesmo tempo.
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Exemplo: Observe os valores e classifique a sua moda ou
na˜o.
2 2 3 3 5 5 8 8
2 2 3 5 5 5 8 8
2 2 2 3 5 5 5 8
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Moda para dados AGRUPADOS:
Func¸a˜o de Czuber
Mo = LinferiorModa +
FAbsolModal − FAbsolAnt
2.FAbsolModal − (FAbsolAnt + FAbsolPost)h
Pearson Mo = 3Md = 2x
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Observac¸o˜es da Moda
Na˜o e´ influenciada pelo valor, mas sim pela quantidade;
Na˜o depende de todos os valores do banco de dados;
Possui ac¸a˜o mais significativa nos bancos significativamente
grandes;
Abre possibilidades para outros estudos.
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Calcule a Moda
Idade Xi Fabsoluta FAbs−Relativa% FAcumAbsol FAcumAbsolRela%
18 ` 22 20 11 50 11 50
22 ` 26 24 6 27,27 17 77,27
26 ` 30 28 2 9,09 19 86,36
30 ` 34 32 1 4,55 20 90,91
34 ` 38 34 2 9,09 22 100
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Mediana - Md
Valor que ocupa posic¸a˜o central em relac¸a˜o aos dados ordenados
(considerando que todos apresentam igual possibilidade de
ocorreˆncia) ou e´ o ponto central que divide os dados em 50% para
ambos os lados.
Dados Na˜o Agrupados
n ı´mpar: apenas o valor central.
n par: me´dia entre os dois valores centrais.
Me =
x n
2
+ x n+2
2
2
Dados Agrupados
Md = LimInf. Med. +
n
2 − FAcum. Ant. Med.
FSimples Med.
.h
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Exemplo: Determine a Mediana
Notas Frequeˆncia (fi )
0 ` 2 3
2 ` 4 5
4 ` 6 10
6 ` 8 8
8 ` 10 4
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Separatrizes
E´ uma maneira fa´cil de ordenar o banco de dados, em grande
quantidade, e e´ poss´ıvel divir em blocos de informac¸o˜es;
Quartil (4) - Decil (10) - Percentil (100)
Caso Abordado: Quartil
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Quartil - Dados Na˜o Agrupados
Qj = Xk+(
j(n + 1)
4
−k)∗(Xk+1−Xk), onde: K (inteiro) < j(n + 1)
4
n Nu´mero de elementos;
j Nu´mero do quartil calculado;
k Maior inteiro, inferior a j(n+1)4 ;
X′s Elemento capturado.
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Boxplot
Gra´fico u´til para detectar padro˜es ou anormalidade nas
informac¸o˜es;
Figura: Boxplot
Amplitude:
Mı´nima ou Esquerda: Le = Q1 − (Q3 − Q1) ∗ 1.5
Ma´xima ou Direita: Ld = Q3 + (Q3 − Q1) ∗ 1.5
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Exemplo: Monte o boxplot com as informac¸o˜es das idades
dos alunos abaixo.
18 18 19 20
20 20 20 20
21 21 22 23
24 25 25 25
26 29 30 35
37 ** ** **
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Assimetria e Curtose
Assimetria: E´ o grau de distribuic¸a˜o sime´trica (ou assime´trica)
dos dados.
Curtose: E´ o grau de achatamento da curva de distribuic¸a˜o
dos dados (histograma).
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Assimetria: Func¸o˜es e Ca´lculos
Primeira Assimetria de Pearson
A1 =
x −mo
sx
Segunda Assimetria de Pearson
A2 =
x − x˜
sx
Assimetria por Momento
Am = E [(
x − µ
σ
)3] =
1
n
n∑
i=1
(
xi − x
sx
)3
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Tipos de Assimetria: Positiva ou Direita
Figura: x > x˜ > mo
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Tipos de Assimetria: Negativa ou Esquerda
Figura: x < x˜ < mo
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Tipos de Assimetria: Simetria
Figura: x = x˜ = mo
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Classificac¸a˜o e Valores de Assimetria
Assimetria =

Negativa se A < 0
Sime´trica se A = 0
Positiva se A > 0
Grau de Simetria:
Praticamente Sime´trica se |A| < 0.15
Moderadamente Assime´trica se 0.15 < |A| < 1
Assime´trica se |A| > 1
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Curtose
Figura: x = x˜ = mo
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Curtose: Func¸o˜es e Ca´lculos
Curtose por Percetil
Kp =
Q3 − Q1
2(P90 − P10)
Curtose por Momento
Km =
m4
m22
=
m4
s4
= n
∑
(xi − x)4
(
∑
(xi − x)2)2
Curtose por Distribuic¸a˜o Teo´rica
Kd = E [(
(X − µ)4
σ4
)] =
1
n
∑
(xi − x)4
(s2)2
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Classificac¸a˜o e Valores de Curtose
Kp =
Q3 − Q1
2(P90 − P10)

K ∼ 0.263⇒ Distriuic¸a˜o Mesocu´rtica
K < 0.263⇒ Distriuic¸a˜o Leptocu´rtica
K > 0.263⇒ Distriuic¸a˜o Platicu´rtica
Km =
m4
m22

K ≈ 3⇒ Distribuic¸a˜o Mesocu´rtica
K < 3⇒ Distribuic¸a˜o Platicu´rtica
K > 3⇒ Distribuic¸a˜o Leptocu´rtica
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Exemplo:
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Assimetria: Func¸o˜es e Ca´lculos
Assimetria de Bowley
Aquartilica =
(Q3 − Q2)− (Q2 − Q1)
Q3 − Q1
Assimetria Amostral
Aa =
m3
s3
=
∑
(xi−x)3
n
(
√
(xi−x)2
n )
3
=
√
n ∗
∑
(xi − x)3
(
√∑
(xi − x)2)3
Observac¸a˜o:
(i) Momento Amostral: Mk = E (X
k) =
∑
xki
n
(ii) Momento CENTRAL Amostral: mk =
∑
(xi−x)k
n
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Medidas de Dispersa˜o
Descreve as informac¸o˜es estat´ıstica dentro de um intervalo de
resposta.
Observe os dados referentes as notas em 5 unidades:
Ada˜o 0 10 10 10 10
Felipe 6 8 6 10 10
Vicente 10 10 10 5 5
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Amplitude
Cada estat´ıstica envolvida apresentara´ uma ma´ximo e m´ınimo.
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Desvio Me´dio
E´ o acu´mulo das diferenc¸as entre me´dia e valor observado, em
mo´dulo.
1 Na˜o Agrupados:
Dm =
∑N
i=1 |Xi − µ|
N
dm =
∑n
i=1 |xi − x |
n
2 Agrupados:
Dm =
∑N
i=1 |Xi − µ|Fi
N
dm =
∑n
i=1 |xi − x |fi
n
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Variaˆncia e Desvio Padra˜o
Variabilidade do conjunto de dados em termos quadrados
(variaˆncia) considerando a me´dia obtida, ja´ o desvio padra˜o e´ a
raiz quadrada da variaˆncia.
Na˜o Agrupados:
σ2 =
∑N
i=1(Xi − µ)2
N
S2 =
∑n
i=1(xi − x)2
n − 1
Agrupados:
σ2 =
∑N
i=1(Xi − µ)2Fi
N
S2 =
∑n
i=1(xi − x)2fi
n − 1
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Coeficiente de Variac¸a˜o
Mede o grau de homo ou heterogeneidade que os dados
apresentam, cv > 50% forte heterogeneidade ou alterac¸a˜o dos
dados.
Populacional
CV =
σ.100
µ
Amostral
cv =
S .100
x
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Qual o melhor aluno?
Ada˜o 0 10 10 10 10
Felipe 6 8 6 10 10
Vicente 10 10 10 5 5
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