Slides Estatística

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BIBLIOGRAFIA 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva,2001. 
DORNELLES JÚNIOR, Luiz Arthur. Probabilidade e estatística; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, Sabrina Bleicher. – 2. ed. – 
Palhoça: UnisulVirtual, 2011. 
, Giuseppe. Estatística Aplicada. São Paulo: Atlas, 1995 
SILVA, Ermes Medeiros da. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis – Vol.1. São Paulo: Atlas, 1996 
SPIEGEL, Murray R. Estatística: 383 problemas resolvidos, 416 problemas suplementares. São Paulo: Makron Books, 1994. 
STEVENSON, Willian. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 1981. 
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. São Paulo: Pioneira, 2003. 
http://alea-estp.ine.pt 
http://vejaonline.abril.com.br/notitia 
http://www.fgv.br 
http://www.fipe.comFLEMMING, Diva Marília. Representações Gráficas. São José: Ed. Saint Germain, 2003 
LEVIN, Jack. Estatística Aplicada às Ciências Humanas. São Paulo: Habra, 1987. 
MILONE 
http://www.ibge.gov.br 
http://www.dieese.org.br 
http://www.ipeadata.gov.br/ 
http://www.mdic.gov.br/comext/decex/siscomex.html 
http://www.bacen.gov.br/ 
http://www.bovespa.com.br/ 
http://www.adinvest.com.br/ 
http://www.secovi-sp.com.br/index.php 
http://www.cni.org.br/ 
http://www.juliobattisti.com.br/excel120/excel120.asp 
http://www.esgb-antero-quental.rcts.pt/NMAT/estatistica.htm#Cuidado 
 
 
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1 
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2 
ESTATÍSTICA 
l A palavra Estatística origina-se do latim e 
o seu radical, status, significa estado. 
Sendo assim, a palavra estatística 
significa o estudo do Estado. 
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3 
ESTATÍSTICA 
l  Um conjunto de métodos científicos para a coleta, 
organização, apresentação e análise de dados, bem 
como, para a conclusão e tomada de decisões 
baseadas em tais análises. 
DEFINIÇÃO 
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4 
ESTATÍSTICA 
l Se confunde com a história dos números. 
Quando a estatística começou a ser aplicada? 
NÔMADE SEDENTÁRIO 
CONTAGEM 
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5 
ESTATÍSTICA 
DUAS ESCOLAS (principais) 
COMO CIÊNCIA, É BASTANTE RESCENTE 
Inglaterra - Séc. XVI Alemanha - Séc XVIII 
Estatística 
demográfica 
Termo 
Estatística 
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6 
ESTATÍSTICA 
DIVISÕES DA ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA INDUTIVA(probabilidade) 
Observar 
Organizar 
Analisar, etc. 
Estimar 
Prever 
Amostrar, etc 
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ESTATÍSTICA 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
ð definição do problema; 
ð planejamento; 
ð coleta de dados; 
ð crítica e apuração dos dados; 
ð apresentação dos dados; 
ð análise e interpretação dos dados; 
ð relatório final e publicação. 
 
Arei 
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8 
ESTATÍSTICA 
PROCESSO DE PESQUISA 
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9 
ESTATÍSTICA 
CUIDADO COM AS ESTATÍSTICAS 
Fonte: http://www.esgb-antero-quental.rcts.pt/NMAT/estatistica.htm, em 01/03 
1º caso: Por vezes a Estatística pode originar 
alguns mal entendidos... 
“No aviário do ti’ 
Januário D. Estatística 
dizia: Uma galinha... 
Coitadinha!... Põe ovo e 
meio por dia!” 
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10 
ESTATÍSTICA 
CUIDADO COM AS ESTATÍSTICAS 
2º caso: Cuidado com informações maliciosas e 
tendenciosas ... 
Analise o 
seguinte 
gráfico... 
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ESTATÍSTICA 
CUIDADO COM AS ESTATÍSTICAS 
2º caso (cont.): Cuidado com informações 
maliciosas e tendenciosas ... 
Na realidade, 
ele deveria ser 
assim ... 
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ESTATÍSTICA 
1ª ETAPA: DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 
2ª ETAPA: PLANEJAMENTO DA PESQUISA 
ð Formulação dos objetivos 
ð Definir população e amostra 
ð Definir coleta de dados 
Variáveis Plano de coleta Plano de amostragem 
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ESTATÍSTICA 
3ª ETAPA: COLETA DE DADOS 
4ª ETAPA: CRÍTICA E APURAÇÃO DOS DADOS 
ð Organização dos dados 
ð Medidas 
ð Testes 
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ESTATÍSTICA 
5ª ETAPA: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS 
6ª ETAPA: RELATÓRIO FINAL E PUBLICAÇÃO 
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ESTATÍSTICA 
O que é População e Amostra? 
Você prova sua comida quando 
cozinha? 
População: é o conjunto total de 
elementos com pelo menos uma 
característica em comum, cujo 
comportamento interessa estudar. 
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ESTATÍSTICA 
POPULAÇÃO 
OBJETIVOS DA PESQUISA 
POPULAÇÃO 
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ESTATÍSTICA 
POPULAÇÃO: 
N= número de elementos da população 
Elementos da população: 
Animados Inanimados 
Número de elementos: 
Finita Infinita 
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18 
ESTATÍSTICA 
AMOSTRA: 
n= número de elementos da amostra 
Amostra: é o conjunto de elementos ou 
observações, recolhidos a partir de um 
subconjunto da população, que se 
estuda com o objetivo de tirar 
conclusões para a população de onde foi 
recolhida 
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ESTATÍSTICA 
Por que usar amostragem? 
ECONOMIA 
TEMPO 
CONFIABILIDADE 
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ESTATÍSTICA 
PLANO DE AMOSTRAGEM 
OBJETIVOS DA PESQUISA 
POPULAÇÃO 
AMOSTRAGEM 
Forma de seleção 
dos elementos 
Estimar os parâmetros 
necessários 
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ESTATÍSTICA 
O objetivo da amostragem é fazer inferências, 
estimar e tirar conclusões a respeito da população. 
AMOSTRA DEVE SER 
REPRESENTATIVA 
EVITAR DISTORÇÃO DA 
REALIDADE 
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Parâmetro: usado para designar alguma 
característica descritiva dos elementos da 
população (percentagem, média, etc.); 
ESTATÍSTICA 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
Censo: é uma coleção de dados relativos a 
todos os elementos de uma população 
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ESTATÍSTICA 
Formas de seleção dos elementos da amostra 
(e/ou tipos de amostra) 
Amostra aleatória ou probabilística 
Amostra sistemática 
Amostra estratificada 
Amostra intencional ou não probabilística 
Amostra de conglomerados 
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ESTATÍSTICA 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
Estimação: é uma avaliação indireta de um 
parâmetro, com base em uma estimativa, onde 
utilizamos o cálculo de probabilidades 
Parâmetro: usado para designar alguma 
característica descritiva dos elementos da 
população (percentagem, média, etc.); 
Censo: é uma coleção de dados relativos a todos 
os elementos de uma população 
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25 
l O que são dados primários? 
l O que são dados secundários? 
ESTATÍSTICA 
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26 
Qualitativas 
ESTATÍSTICA 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
O que são Variáveis? 
Quantitativas 
Tipos de Variáveis 
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Nominais 
ESTATÍSTICA 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
Qualitativas 
Ordinais 
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28 
Discretas 
ESTATÍSTICA 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
Quantitativas 
Contínuas 
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29 
ESTATÍSTICA 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
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30 
ESTATÍSTICA 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Série Temporal 
Meses / 2003 Vendas Nominais 
01 291.812,23 
02 310.306,87 
03 318.536,23 
04 315.063,48 
05 325.684,84 
06 308.901,45 
 
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ESTATÍSTICA 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Série Geográfica 
Estado Índice (base fixa:2002=100) 
Amazonas 129,34 
Bahia 102,59 
Ceará 114,80 
Espírito Santo 113,28 
Goiás 116,25 
Minas Gerais 118,28 
Pernambuco 89,25 
Paraná 169,61 
Rio de Janeiro 130,09 
R.Grande do Sul 182,49 
Santa Catarina 100,07 
São Paulo 203,63 
 
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ESTATÍSTICA 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Série Específica 
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33 
ESTATÍSTICA 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Séries conjugadas 
Setor Ano 
Agropecuária Indústria Serviços 
1998 1,94 -1,45 1,111999 8,33 -2,22 2,01 
2000 2,15 4,81 3,80 
2001 5,71 -0,31 1,86 
2002 5,79 1,52 1,49 
 
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ESTATÍSTICA 
ELABORAÇÃO DO QUESTIONÁRIO 
PROBLEMA 
OBJETIVOS 
PLANO DE 
AMOSTRAGEM 
POPULAÇÃO 
REDAÇÃO DO 
QUESTIONÁRIO 
PRÉ-TESTAGEM DO 
QUESTIONÁRIO 
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ESTATÍSTICA 
ELABORAÇÃO DO QUESTIONÁRIO 
SEPARAR AS CARACTERÍSTICAS A SEREM LEVANTADAS 
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE O ASSUNTO E CONHECER 
MELHOR AS CARACTERÍSTICAS A SEREM MEDIDAS 
DEFINIR FORMA DE MENSURAÇÃO DAS VARIÁVEIS 
ELABORAR UMA OU MAIS PERGUNTAS PARA CADA 
CARACTERÍSTICA A SER OBSERVADA 
VERIFICAR CLAREZA DAS QUESTÕES 
VERIFICAR SE QUESTÃO NÃO INDUZ ALGUMA RESPOSTA 
VERIFICAR SE A(S) RESPOSTA(S) NÃO É(SÃO) ÓBVIA(S) 
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ESTATÍSTICA 
FORMAS DE APLICAÇÃO 
RESPONDIDO PELO ELEMENTO DA POPULAÇÃO (SEM 
INTERFERÊNCIA) 
RESPONDIDO COM INTERFERÊNCIA DE UM ENTREVISTADOR 
DAR PREFERÊNCIA A QUESTIONÁRIOS ANÔNIMOS 
TREINAR ENTREVISTADORES 
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ARREDONDAMENTO DE DADOS 
ð IBGE - resolução 886/66 
ð ABNT - NBR 5891/77 
CASO I: 
ð O algarismo seguinte à casa é 0, 1, 2, 3 ou 4 
Exemplo 01: 
ð Arredondar para a primeira casa decimal: 
158,4385 → → há uma perda de 
 
ð Arredondar para a segunda casa decimal: 
24,1028 → → há uma perda de 
ESTATÍSTICA 
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ARREDONDAMENTO DE DADOS 
CASO II: 
ð O algarismo seguinte à casa é 5, 6, 7, 8 ou 9 
Exemplo 02: 
ð Arredondar para a 2ª casa decimal: 
158,4385 → → há uma ganho de 
 
ð Arredondar para a 3ª casa decimal: 
24,1029 → → há uma ganho de 
 
ð Arredondar para a 1ª casa decimal: 
67,97 → → há uma ganho de 
ESTATÍSTICA 
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ARREDONDAMENTO DE DADOS 
CASO III: 
ð O algarismo seguinte à casa é 5 – é um caso especial previsto pela 
norma. Não é muito usado. O critério que adotaremos em nosso 
estudo será o caso dois (slide anterior) 
NÃO VAMOS USAR ESTE CRITÉRIO 
PARA O 5 VALE O CASO II 
ESTATÍSTICA 
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NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Seja x={x1, x2, x3, x4, ... xn}. A soma dos elementos deste conjunto pode 
ser representada por: 
Exemplo 03: 
€ 
xi
i=1
n
∑ =
€ 
a) xi
i=1
6
∑ =
b) xi
i=4
9
∑ =
c) xi
i=25
39
∑ =
ESTATÍSTICA 
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NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Exemplo 03 (cont.): 
€ 
d) xi
i=1
6
∑ yi =
e) xi( )
2
i=4
9
∑ =
Exemplo 04: sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule: 
€ 
a) xi
i=1
3
∑ =
b) yi 
i=1
3
∑ =
€ 
c) (xi + yi) 
i=1
3
∑ =
d) xi
i=1
3
∑ + yi 
i=1
3
∑ =
€ 
(xi ± yi ) = 
i=1
n
∑ xi
i=1
n
∑ ± yi
i=1
n
∑
ESTATÍSTICA 
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NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Exemplo 05: sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule: 
€ 
a) xi
i=1
3
∑ =
b) yi 
i=1
3
∑ =
€ 
c) (xi .yi) 
i=1
3
∑ =
d) xi
i=1
3
∑ . yi 
i=1
3
∑ =
€ 
(xi .yi)≠
i=1
n
∑ xi
i=1
n
∑ . yi
i=1
n
∑
€ 
xi 
i=1
n
∑
# 
$ 
% 
& 
' 
( 
2
≠ xi( )
i=1
n
∑
2
€ 
a) (xi)2 
i=1
3
∑ =
b) xi
i=1
3
∑
# 
$ 
% 
& 
' 
( 
2
=
Exemplo 06: sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule: 
ESTATÍSTICA 
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43 
NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Exemplo 07: Calcule as seguintes quantidades para os dados abaixo: 
€ 
a) xi ∑ =
b) fi ∑ =
c) xi fi ∑ =
d) (xi)2 ∑ =
e) fi(xi)2 ∑ =
ESTATÍSTICA 
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44 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
l O que são dados brutos? 
l O que são dados agrupados? 
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45 
Para uma variável qualitativa nominal. 
I M R P I I P R 
P R I P P I R I 
P P P M I P P P 
M P I I I M P R 
M R R P M M P R 
I R M P P I R P 
M P I P P M P I 
 
Legenda 
I – Investimentos imobiliários 
M – Investimento em mercado de ações 
P – Investimento em poupança 
R – Investimento em fundos de renda fixa 
 
A seguir está relacionado o tipo de investimento preferido por 
clientes de um banco: 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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46 
Para uma variável qualitativa ordinal. 
A seguir está relacionada a satisfação de cada cliente com os 
serviços de um banco: 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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l  Para uma variável quantitativa discreta. 
A seguir está relacionado o número de defeitos por peça 
conforme são produzidas neste lote: 
1 1 4 1 0 0 1 6 
5 0 0 0 0 0 0 0 
0 1 0 0 1 0 3 2 
4 2 0 0 2 0 1 0 
0 0 3 3 0 0 4 0 
0 1 0 2 0 0 1 0 
3 0 0 0 3 0 0 0 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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48 
l  Para uma variável quantitativa contínua 
Os valores anotados a seguir representam o volume de vendas 
mensal de 56 representantes: 
23,25 27,43 17,76 33,33 33,05 16,08 34,49 23,74 
32,63 20,58 18,50 16,69 16,43 20,08 19,00 16,13 
21,36 26,60 22,49 22,77 23,05 33,55 22,73 24,89 
24,11 34,83 21,73 31,53 35,13 34,36 20,80 16,84 
29,55 34,76 31,72 24,89 21,65 22,65 30,43 30,93 
17,25 17,05 19,67 22,79 25,30 23,08 25,77 35,03 
16,59 15,90 20,30 33,86 17,76 30,93 20,81 29,05 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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49 
 Título 
Coluna 
numérica Coluna 
indicadora 
Corpo 
Rodapé 
Total 
Linhas 
Cabeçalho 
l  TABELAS 
Ano PIB (em bilhões de dólares) 
1996 775,5 
1997 807,8 
1998 787,9 
1999 531,1 
2000 594,2 
2001 503,9 
Total 4000,4 
 
O PIB do Brasil em bilhões de dólares – 1996-2001 
Fonte: IBGE 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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50 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA NOMINAL? 
1º) Organizar os dados por semelhança 
I I I I I I I I 
I I I I I I M M 
M M M M M M M M 
P P P P P P P P 
P P P P P P P P 
P P P P P P R R 
R R R R R R R R 
 
I – Investimentos imobiliários 
M – Investimento em mercado de ações 
P – Investimento em poupança 
R – Investimento em fundos de renda fixa 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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51 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA? 
2º) Escrever cada uma das opções verificadas e contar 
I 14 
M 10 
P 22 
R 10 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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52 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA? 
3º) Montar a tabela 
Tipo de investimento Número de clientes 
Imobiliário 14 
Mercado de ações 10 
Poupança 22 
Fundos de renda fixa 10 
Total 56 
 
Investimentos mais confiáveis segundo clientes do banco 
Fonte: dados fictícios 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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53 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL? 
1º) Organizar os dados por semelhança 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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54 
2º) Escrever cada uma das opções verificadas e contar 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL? 
Satisfação com os serviços prestados pelo banco 
Fonte: dados fictícios 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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55 
3º) Pode ser usado escala numérica: 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL? 
Satisfação com os serviços prestados pelo banco 
Fonte: dados fictícios 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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56 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
1º) Organize os dados em ordem crescente - ROL 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 2 2 2 2 3 3 
3 3 3 4 4 4 5 6 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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57 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
2º) Escrever cada uma das opções verificadas 
 
0 33 
1 9 
2 4 
3 5 
4 3 
5 1 
6 1 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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58 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
 
3º) Montar a tabela 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx 
Fonte: Setor de Controle de Qualidade fictício 
Número de defeitos (xi) Número de peças (fi) 
0 33 
1 9 
2 4 
3 5 
4 3 
5 1 
6 1 
Total (Σfi) 56 
 
 Freqüência 
simples 
Valores que a 
variávelpode 
assumir 
Freqüência 
total 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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59 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
1º) Organize os dados em ordem crescente - ROL 
15,90 16,08 16,13 16,43 16,59 16,69 16,84 17,05 
17,25 17,76 17,76 18,50 19,00 19,67 20,08 20,30 
20,58 20,80 20,81 21,36 21,65 21,73 22,49 22,65 
22,73 22,77 22,79 23,05 23,08 23,25 23,74 24,11 
24,89 24,89 25,30 25,77 26,60 27,43 29,05 29,55 
30,43 30,93 30,93 31,53 31,72 32,63 33,05 33,33 
33,55 33,86 34,36 34,49 34,76 34,83 35,03 35,13 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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60 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
2º) Número de intervalos (k) - são usados dois critérios 
Critério da raiz 
Fórmula de Sturges 3,3.logn1k +=
nk =
k=? 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
3º) Amplitude Total (At) 
At=? AT=L(máx) – l(min) 
 
4º) Amplitude do intervalo de classe (h) 
k
ATh = h=? 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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62 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
l Amplitude total 19,23 (At=19,23) 
l Sete intervalos (k=7) 
l Cada um com o tamanho de 2,8 (h=2,8) 
RESUMINDO 
h.k>AT 
 
5º) Testar os cálculos 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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63 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
6º) Escrever os intervalos da tabela 
(15,9); 
15,9 |--- 18,7 
18,7 |--- 21,5 
21,5 |--- 24,3 
24,3 |--- 27,1 
27,1 |--- 29,9 
29,9 |--- 32,7 
32,7 |--- 35,5 
 
Começar pelo menor valor 
Somar 2,8 (h): 
l Amplitude total 19,23 (At=19,23) 
l Sete intervalos (k=7) 
l Cada um com o tamanho de 2,8 (h=2,8) 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
64 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
7º) Construção da tabela 
Classe Volume de vendas 
(em mil reais) 
 
1 15,9 |--- 18,7 
2 18,7 |--- 21,5 
3 21,5 |--- 24,3 
4 24,3 |--- 27,1 
5 27,1 |--- 29,9 
6 29,9 |--- 32,7 
7 32,7 |--- 35,5 
 Total (Σfi) 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
65 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
8º) Contar e marcar o número de valores em cada intervalo 
15,90 16,08 16,13 16,43 16,59 16,69 16,84 17,05 
17,25 17,76 17,76 18,50 19,00 19,67 20,08 20,30 
20,58 20,80 20,81 21,36 21,65 21,73 22,49 22,65 
22,73 22,77 22,79 23,05 23,08 23,25 23,74 24,11 
24,89 24,89 25,30 25,77 26,60 27,43 29,05 29,55 
30,43 30,93 30,93 31,53 31,72 32,63 33,05 33,33 
33,55 33,86 34,36 34,49 34,76 34,83 35,03 35,13 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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66 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
8º) Contar e marcar o número de valores em cada intervalo 
Classe Volume de vendas 
(em mil reais) 
Contagem Nº de representantes 
(fi) 
1 15,9 |--- 18,7 
 
12 
2 18,7 |--- 21,5 
 
8 
3 21,5 |--- 24,3 
 
12 
4 24,3 |--- 27,1 
 
5 
5 27,1 |--- 29,9 
 
3 
6 29,9 |--- 32,7 6 
7 32,7 |--- 35,5 
 
10 
 Total (Σfi) 56 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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67 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
9º) A tabela 
Volume de vendas 
(em mil reais) 
Nº de representantes 
(fi) 
15,9 |--- 18,7 12 
18,7 |--- 21,5 8 
21,5 |--- 24,3 12 
24,3 |--- 27,1 5 
27,1 |--- 29,9 3 
29,9 |--- 32,7 6 
32,7 |--- 35,5 10 
Total (Σfi) 56 
 
Volume de vendas mensal, em milhares de reais 
Fonte: Setor fictício de vendas 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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68 
Quais são os tipos de FREQUÊNCIAS? 
frequência acumulada direta ou "abaixo de" (fiacd) 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
69 
Quais são os tipos de FREQUÊNCIAS? 
frequência acumulada indireta ou "acima de" (fiaci) 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
70 
Quais são os tipos de FREQUÊNCIAS? 
frequência relativa (fr) 
n
ffr i=
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
71 
Quais são os tipos de FREQUÊNCIAS? 
frequência percentual (fp) fp = fr.100 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
72 
Quais são os tipos de FREQUÊNCIAS? 
Ponto médio de uma classe 2
LiliPM +=
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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73 
Veja como fica a tabela (distribuição de FREQUÊNCIAS) completa 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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74 
FREQUÊNCIAS acumuladas direta e indireta percentual 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
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75 
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
Ä Para que usar gráficos? 
Ü Representar dados de forma clara e simples 
Ü Possibilitar acesso rápido à informações 
Ä Requisitos de um gráfico 
Ü Simplicidade 
Ü Clareza 
Ü Veracidade 
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76 
Censo Demográfico - Brasil - 1890-
2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
18
90
19
20
19
50
19
70
19
90
Anos
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
Po
pu
la
çã
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
Ä Evitar distorções! 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
77 
Três tipos de gráficos mais usados 
Ü Diagramas 
Ü Cartogramas 
Ü Pictogramas 
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
78 
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
Po
pu
la
çã
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Sugestões para a construção de gráficos 
Escala horizontal 
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 
Título 
Fonte 
Fonte: IBGE 
Linhas de grade 
Escala vertical 
Identificação dos 
eixos 
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79 
Investimentos mais confiáveis segundo clientes do banco
14
10
22
10
0 5 10 15 20 25
Imobiliário
Mercado de
ações
Poupança
Fundos de
renda f ixa
Ti
po
 d
e 
in
ve
st
im
en
to
Nº de clientes
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
TEMPERATURA MÉDIA MENSAL EM 2000
0
1
0
20
30
40
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
 Diagramas 
Tipos de diagrama 
Ü  Gráficos em barras 
Ü  Gráficos em colunas 
Ü  Gráficos de setores (pizza) 
Ü  Gráfico de linhas ou curvas 
Ü  Gráfico Polar 
Volume de vendas mensal por representante de uma 
empresa que fabrica remédios – outubro/2003
0
2
4
6
8
10
12
14
15,9 |---
18,7
18,7 |---
21,5
21,5 |---
24,3
24,3 |---
27,1
27,1 |---
29,9
29,9 |---
32,7
32,7 |---
35,5
Volume de vendas (em mil reais)Investimentos mais 
confiáveis segundo clientes 
do banco
Mercado de 
ações
17,86%
Imobiliário
25,00%
Poupança
39,29%
Fundos de 
renda fixa
17,86%
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
80 
 Diagramas 
São mais usados para representar séries 
específicas, temporais e geográficas. 
Gráficos em barras 
Construção 
Ü  Eixos cartesianos 
Ü  Valores da variável - eixo vertical 
Ü  Freqüência - eixo horizontal 
Ü  Barras - mesma base (largura) 
Ü  Barras - comprimentos proporcionais às freqüências 
Ü  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
81 
 Diagramas 
Gráficos em barras - Exemplo 
Investimentos mais confiáveis segundo clientes do banco
14
10
22
10
0 5 10 15 20 25
Imobiliário
Mercado de
ações
Poupança
Fundos de
renda f ixa
Ti
po
 d
e 
in
ve
st
im
en
to
Nº de clientes
Fonte: dados fictícios 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
82 
 Diagramas 
São mais usados para representar séries 
específicas, temporais e geográficas. 
Gráficos em colunas 
Construção 
Ü  Eixos cartesianos 
Ü  Valores da variável - eixo horizontal 
Ü  Freqüência - eixo vertical 
Ü  Colunas - mesma base (largura) 
Ü  Colunas - comprimentos proporcionais às freqüências 
Ü  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
83 
 Diagramas 
Gráficos em colunas - Exemplo 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx
33
5
3
1 1
9
4
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 23 4 5 6
Número de defeitos (xi)
N
úm
er
o 
de
 p
eç
as
 (
fi)
Fonte: dados fictícios 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
84 
 Diagramas 
Gráficos em colunas - Exemplo 
Fonte: dados fictícios 
Volume de vendas mensal por representante de uma empresa 
que fabrica remédios – outubro/2003
12
5
3
6
10
12
8
0
2
4
6
8
10
12
14
15,9 |--- 18,718,7 |--- 21,521,5 |--- 24,324,3 |--- 27,127,1 |--- 29,929,9 |--- 32,732,7 |--- 35,5
Volume de vendas (em mil reais)
N
º 
de
 re
pr
es
en
ta
nt
es
 (f
i)
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
85 
 Diagramas 
É recomendado para situações em que se deseja 
evidenciar o quanto cada informação representa do total . 
Gráficos de setores (pizza) 
Construção 
Ü  Circunferência 
Ü  Soma ou 100% representa 360º 
Ü  Marcar cada ângulo – traças retas (separar setores) 
Ü  Pintar ou marcar cada setor 
Ü  Legenda 
Ü  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
86 
 Diagramas 
Gráficos de setores (pizza) - Exemplo 
Fonte: dados fictícios 
Investimentos mais confiáveis segundo 
clientes do banco
Mercado de 
ações
17,86%
Imobiliário
25,00%
Poupança
39,29%
Fundos de 
renda fixa
17,86%
Fonte: dados fictícios 
Investimentos mais confiáveis segundo 
clientes do banco
14
10
22
10 Imobiliário
Mercado de ações
Poupança
Fundos de renda fixa
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
87 
 Diagramas 
É mais utilizado para definir a tendência de aumento ou 
diminuição dos valores numéricos de uma dada informação 
ao longo do tempo (séries temporais). 
Gráficos de linhas ou curvas 
Construção 
Ü  Eixos vertical e horizontal 
Ü  Escalas - horizontal o tempo - vertical a freqüência 
Ü  Marcar os pontos 
Ü  Unir os pontos por linhas 
Ü  Legenda 
Ü  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
88 
 Diagramas 
Gráficos de linhas ou curvas - Exemplo 
Fonte: IBGE 
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
Po
pu
la
çã
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
89 
 Diagramas 
Gráfico Polar 
É indicado para representar variações cíclicas, ou seja, que 
se repetem em períodos pré-determinados. Mais utilizado 
em estudos climáticos (séries temporais). 
Construção 
Ü  Eixo vertical com escala e marcar ponto central 
Ü  Passar retas pelo ponto com mesmo ângulo 
Ü  O número de retas = número de observações 
Ü  Marcar pontos, usando escala do eixo vertical 
Ü  Unir pontos com semi-retas 
Ü  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
90 
 Diagramas 
Gráfico Polar- Exemplo 
Fonte: IBGE 
TEMPERATURA MÉDIA MENSAL EM 2000
0
10
20
30
40
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
91 
Características 
Ü  Símbolos auto-explicativos 
Ü  Quantidades - número de símbolos ou variações 
nos tamanhos; 
Ü  Sem muitos detalhes - visão geral 
Ü  Não serve para interpretações técnicas. 
Construídos a partir de figuras ou conjunto de figuras 
representativas do fenômeno. São mais utilizados em 
jornais, revistas, cartazes e propagandas. 
Pictogramas 
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92 
 Pictogramas 
Exemplo 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
93 
São usados para apresentar os dados estatísticos 
referentes à regiões bem definidas geograficamente. 
 CARTOGRAMAS 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
94 
Por que representativos? 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
Ü  Usados para interpretações de informações 
Ü  Análises de dados 
Ü  Dedução geométrica de fórmulas 
Principais gráficos 
Ü  Histograma 
Ü  Polígono de freqüências 
Ü  Histograma para freqüências acumuladas 
Ü  Polígono de freqüências acumuladas 
(Ogivas de Galton) 
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95 
Histograma 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
Ü  Semelhante ao gráfico de colunas 
Ü  Altura dos retângulos proporcionais à freqüência simples 
Ü  Área dos retângulos proporcionais à freqüência simples 
Ü  Soma das áreas proporcional à freqüência total 
A construção é semelhante à do gráfico 
de colunas 
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96 
Histograma - exemplo 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
EMISSÃO DE ÓXIDO DE ENXOFRE NOS ÚLTIMOS 70 MESES - em ton
6
10 11
20
13
7
3
0
5
10
15
20
25
6,2 |-- 9,99,9 |-- 13,613,6 |-- 17,317,3 |-- 2121 |-- 24,724,7 |-- 28,428,4 |-- 32,1
Toneladas
N
º 
de
 m
es
es
Fonte: dados fictícios 
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97 
Polígono de Freqüências 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
Unir por linhas retas os pontos médios das bases 
superiores dos retângulos do histograma 
EMISSÃO DE ÓXIDO DE ENXOFRE - EM TONELADAS
0
5
10
15
20
25
6,2 |-- 9,9 9,9 |-- 13,613,6 |-- 17,317,3 |-- 21 21 |-- 24,7 24,7 |-- 28,428,4 |-- 32,1
Toneladas
N
º 
de
 m
es
es
Polígono de 
Frequências 
Esses triângulos 
compensam os que ficam 
fora do polígono 
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98 
 Diagramas 
ANÁLISE DE UM GRÁFICO 
Fonte: Fonte: SECEX (Secretaria do Comércio Exterior). 
Exportações brasileiras - média mensal
em US$ (milhões)/Janeiro a Agosto/2003
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO
Meses
Vo
lu
m
e 
de
 e
xp
or
ta
çõ
es
 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
99 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Ä Medidas de tendência central 
Ü Média 
Ü Mediana 
Ü Moda 
Ä Separatrizes 
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100 
MÉDIA 
A média é uma das medidas mais importantes dentro 
da Estatística. Ela é o ponto de equilíbrio de uma série 
de dados. 
Notação: 
 para a amostra 
 para população 
X
µ
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101 
MÉDIA 
Tipos de média: 
Média Aritmética Simples 
x = xi∑n =
x1+x2+...+xn
n
Média Aritmética Ponderada 
€ 
x = xi pi∑ pi∑
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
102 
€ 
xg = x1
" 
# 
$ % 
& 
' 
p1
 . x
2
" 
# 
$ % 
& 
' 
p2
 ... x
n
" 
# 
$ % 
& 
' 
pnp
i
∑
Média Geométrica Ponderada 
 
€ 
xg = xi∏ n = x1. x2... xn n
Média Geométrica Simples 
MÉDIA 
Tipos de média: 
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103 
Média Harmônica Ponderada 
Média Harmônica Simples 
MÉDIA 
Tipos de média: 
€ 
xh =
n
1
xi
∑
€ 
xh =
pi∑
pi
xi
∑
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104 
MÉDIA 
Média aritmética para dados agrupados 
€ 
x =
xi fi∑
fi∑
Exemplo 01: Dados agrupados sem intervalos (variável discreta) 
Número de defeitos por peças analisadas do lote Zyz 
Número de 
defeitos (xi) 
Número de 
peças (fi) 
xi.fi 
0 33 
1 9 
2 4 
3 5 
4 3 
5 1 
6 1 
Total (Σfi) 56 
 
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105 
MEDIANA 
A mediana é valor que divide o total de observações em duas 
partes iguais. Notação: Me ou Md 
Nº par de
observações
Nº ímpar de
observações
Para dados brutos
Nº par de
observações
Nº ímpar de
observações
Para variáveis
Discretas
(sem intervalos)
Para variáveis
Contínuas
(com intervalos)
Para dados agrupados
MEDIANA
Formas de cálculo
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
106 
Mediana para dados brutos – nº ímpar de observações 
MEDIANA 
Exemplo 02: X: 5, 30, 27, 9, 15, 19, 24, 20, 31 
1º passo: Rol - ordem crescente 
2º passo: posição 
3º passo: identificar a Mediana !!
"
#
$$
%
& +=
2
1nPos
Posição 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 
5 9 15 19 20 24 27 30 31 
 Interpretação: 50% dos valores da série são menores ou iguais a 20 
e 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 20. 
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107 
Mediana para dados brutos – nº par de observações 
Exemplo 03: X: 5, 30, 27, 9, 15, 19, 24, 20 
1º passo: Rol - ordem crescente 
Rol: X: 5, 9, 15, 19, 20, 24, 27, 30 
Posição1 Posição2 
€ 
Pos1 = n
2
" 
# 
$ 
% 
& 
' =
8
2
= 4o
€ 
Pos2 = n
2
+1
" 
# 
$ 
% 
& 
' =
8
2
+1 = 5o
2º passo: posição 
MEDIANA 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
108 
Mediana para dados brutos – nº par de observações 
3º passo: identificar e calcular a Mediana 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 
5 9 15 19 Me 20 24 27 30 
 
€ 
Me = 19 + 20
2
=
39
2
=19,5Interpretação: 50% dos valores da série são menores que 19,5 
e 50% dos valores da série são valores maiores que 19,5. 
MEDIANA 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
109 
Mediana para dados agrupados 
Exemplo 04: Sem intervalos (variável discreta) exemplo para n par 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx 
Número de 
defeitos (xi) 
Número de 
peças (fi) 
fiacd 
0 33 33 
1 9 42 
2 4 46 
3 5 51 
4 3 54 
5 1 55 
6 1 56 
Total (Σfi) 56 
 
Posição 
€ 
Pos1= 56
2
=28o
€ 
Pos2 = 562 +1= 29
o
Me=0 Interpretação: 50% das peças apresentaram zero 
(nenhum) defeito e 50% das peças apresentaram 
zero ou mais defeitos. 
MEDIANA 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
110 
Exemplo 05: Sem intervalos (variável discreta) exemplo para n ímpar 
Posição 
€ 
Pos = 63+12 = 32
o
Me=19 
Interpretação: 50% dos estagiários tem idade menor 
ou igual a 19 anos e 50% dos estagiários tem idade 
maior ou igual a 19 anos . 
Idade dos estagiários da empresa 
Idade (xi) Número de 
estagiários (fi) 
fiacd 
17 5 5 
18 20 25 
19 22 47 
20 10 57 
21 6 63 
Total (Σfi) 63 
 
Mediana para dados agrupados MEDIANA 
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111 
MODA 
A moda é o valor que mais se repete, ou seja, o valor de maior 
frequência. Notação: Mo 
Para dados brutos
Para variáveis
Discretas
(sem intervalos)
Para variáveis
Contínuas
(com intervalos)
Para dados agrupados
Moda
Formas de cálculo
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
112 
Moda para dados brutos 
Exemplo 06: X: 15, 16, 19, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28 
Interpretação: O elemento que mais se repete é o 22. 
MODA 
Mo=22 
A moda é o valor que mais se repete, ou seja, o valor de maior 
frequência. Notação: Mo 
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113 
Moda para dados brutos 
Exemplo: X: 20, 20, 22, 22, 25, 25, 28,28 
Interpretação: Na série acima não se tem um elemento que 
mais se repete 
MODA 
Mo=não existe 
Exemplo 07: X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28 
Interpretação: Os elementos que mais se repetem são o 20 e o 22 
Mo1=20 e Mo2=22 
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114 
Moda para dados agrupados sem intervalos 
MODA 
Exemplos 08 e 09: Sem intervalos (variável discreta) 
Remuneração da empresa – filial 1 
Nº de salários-
mínimos 
fi 
1 29 
2 28 
3 20 
4 18 
5 16 
6 15 
7 9 
Σ 135 
 
Remuneração da empresa – filial 2 
Nº de salários-
mínimos 
fi 
1 9 
2 25 
3 16 
4 18 
5 20 
6 22 
7 25 
Σ 134 
 
Mo=1 Mo1=2 e Mo2=7 
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115 
MODA 
Exemplo 10: Sem intervalos (variável discreta) 
Mo=não existe 
Remuneração da empresa – filial 3 
Nº de salários-
mínimos 
fi 
1 7 
2 7 
3 7 
4 7 
5 7 
6 7 
7 7 
Σ 49 
 
Moda para dados agrupados sem intervalos 
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116 
MÉDIA 
Média aritmética para dados agrupados 
Exemplo 11: Dados agrupados com intervalos (variável contínua) 
 
€ 
x =
PM. f i∑
f i∑
Volume de vendas mensal, em milhares de reais 
Volume de vendas 
(em mil reais) 
Nº de 
Representantes (fi) 
PM PM.fi 
15,9 |--- 18,7 12 17,3 
18,7 |--- 21,5 8 20,1 
21,5 |--- 24,3 12 22,9 
24,3 |--- 27,1 5 25,7 
27,1 |--- 29,9 3 28,5 
29,9 |--- 32,7 6 31,3 
32,7 |--- 35,5 10 34,1 
Total (Σfi) 56 
 
Volume de vendas mensal, em milhares de reais 
Volume de vendas 
(em mil reais) 
Nº de 
Representantes (fi) 
PM PM.fi 
15,9 |--- 18,7 12 17,3 
18,7 |--- 21,5 8 20,1 
21,5 |--- 24,3 12 22,9 
24,3 |--- 27,1 5 25,7 
27,1 |--- 29,9 3 28,5 
29,9 |--- 32,7 6 31,3 
32,7 |--- 35,5 10 34,1 
Total (Σfi) 56 
 
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117 
Com intervalos (variável contínua) 
€ 
Me= lime+
n
2
− f
iacd
ant
f
i
me
# 
$ 
% 
% 
% 
% 
& 
' 
( 
( 
( 
( 
.h
Posição 
2
nPos =
lime = limite inferior da classe mediana 
n = número de elementos da série 
fiacdant = frequência acumulada direta anterior 
fime = frequência simples da classe mediana 
h = amplitude do intervalo de classe 
Mediana para dados agrupados MEDIANA 
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118 
Exemplo 12: Com intervalos (variável contínua) 
€ 
Me= lime+
n
2
− f
iacd
ant
f
i
me
# 
$ 
% 
% 
% 
% 
& 
' 
( 
( 
( 
( 
.h
Posição 
€ 
Pos = n
2
lime = 
n = 
fiacdant = 
fime = 
h = 
Me=23,3667 
Mediana para dados agrupados MEDIANA 
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119 
Moda para dados agrupados MODA 
Com intervalos (variável contínua) 
€ 
Mo= limo+
f
i
mo - f
i
ant
2. f
i
mo - ( f
i
ant+ f
i
post)
" 
# 
$ 
$ 
$ 
% 
& 
' 
' 
' 
.h
limo = limite inferior da classe modal 
fimo = frequência simples da classe modal 
fiant = frequência simples anterior à classe modal 
fipost = frequência simples posterior à classe modal 
h = amplitude do intervalo de classe 
Moda de Czuber 
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120 
Moda para dados agrupados MODA 
Exemplo 13: Com intervalos (variável contínua) 
Moda 1 
limo = 
fimo = 
fiant = 
fipost = 
h = 
Mo1=22,5182 
Mo2=18 
Moda 2 
limo = 
fimo = 
fiant = 
fipost = 
h = 
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121 
SEPARATRIZES 
Separatrizes são medidas de posição que separam a série de 
dados, ordenados, em partes que contém a mesma quantidade 
de elementos da série. 
Conjunto de 
medidas Conceito Notação Denominação 
QUARTÍS 
divide uma série ordenada em 
4 partes iguais, ou seja, em 
partes de 25% cada 
Q1, Q2 e Q3 
1º quartil, 2º 
quartil e 3º 
quartil 
DECIL 
divide uma série ordenada em 
10 partes iguais, ou seja, em 
partes de 10% cada 
D1, D2, .... e D9. 
1º decil, 2º 
decil, ... e 9º 
decil 
PERCENTIL 
divide uma série ordenada em 
100 partes iguais, ou seja, em 
partes de 1% cada 
P1, P2, .... e 
P99. 
1º percentil, 2º 
percentil, ... e 
99º percentil 
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122 
SEPARATRIZES 
Separatrizes são medidas de posição que separam a série de 
dados, ordenados, em partes que contém a mesma quantidade 
de elementos da série. 
Note que a mediana também é uma separatriz. Você saberia 
dizer com quais separatrizes se pode comparar? 
Q2=D5=P50=Me 
Todas essas medidas dividem a série de dados pela metade. 
50% dos valores são menores que Q2=D5=P50=Me e, 50% 
dos valores são maiores que Q2=D5=P50=Me. 
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123 
Separatrizes 
Como calcular separatrizes para dados brutos ? 
Observe as seguintes relações: 
Q1=P25 
Q2=P50 
Q3=P75 
D1=P10 
D2=P20 
D3=P30 
D4=P40 
D5=P50 
D6=P60 
D7=P70 
D8=P80 
D9=P90 
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124 
Separatrizes 
Como calcular PERCENTIS para dados brutos (n impar) ? 
Exemplo 01: Calcule o P23 para a série: 
X: 22, 15, 20, 22, 28, 20, 20, 22, 25, 26, 16 
PPi =
i(n−1)
100
+1
1º passo: Ordenar os valores da série: 
X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26, 28 
i= 
n= 
2º passo: Calcular a posição do P23: 
3º passo: Identificar o P23 no rol: 
X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26, 28 
Interpretação: 23% dos elementos da séries são menores que 20 e 
77% são maiores. 
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125 
Separatrizes 
Como calcular PERCENTIS para dados brutos (n par) ? 
Exemplo 02: Calcule o P65 para a série: 
X: 17, 15, 16, 21, 28, 20, 23, 22, 25, 26, 16, 24 
1º passo: Ordenar os valores da série: 
X: 15, 16, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28 
i= 
n= 
2º passo: Calcular a posição do P65 : 
3º passo: Identificar o P65 no rol: 
X: 15, 16, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28 
PPi =
i(n−1)
100
+1
Interpretação: 65% dos elementos da séries são menores que 23,15 
e 35% são maiores. 
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126 
Separatrizes 
Como calcular QUARTIS para dados brutos (n impar) ? 
Exemplo 03: Calcule o Q2 para a série: 
X: 22, 15, 20, 22, 28, 20, 20, 22, 25, 26, 16 
PPi =
i(n−1)
100
+1
1º passo: Ordenar os valores da série: 
X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26, 28 
2º passo: Identificar qual Percentil representa o Q2: 
Q2 = ?? 
i= 
n= 
3º passo: Calcular a posição do Q2: 
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127 
Separatrizes 
Como calcular QUARTIS para dados brutos ? 
4º passo: Identificaro Q2 no rol: 
X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26, 28 
Interpretação: 50% dos elementos da séries são menores ou igual a 
22 e 50% são maiores ou igual a 22. 
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128 
Separatrizes 
Como calcular QUARTIS para dados brutos (n par)? 
Exemplo 04: Calcule o Q3 para a série: 
X: 17, 15, 16, 21, 28, 20, 23, 22, 25, 26, 16, 24 
1º passo: Ordenar os valores da série: 
X: 15, 16, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28 
2º passo: Identificar qual Percentil representa o Q3: 
Q3 = ?? 
i= 
n= 
3º passo: Calcular a posição do Q3: 
PPi =
i(n−1)
100
+1
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129 
Separatrizes 
Como calcular QUARTIS para dados brutos ? 
4º passo: Identificar o Q3 no rol: 
X: 15, 16, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28 
Interpretação: 75% dos elementos da séries são menores ou igual a 
24,25 e 25% são maiores ou igual a 24,25. 
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130 
Separatrizes 
Como calcular DECIS para dados brutos (n impar)? 
Exemplo 05: Calcule o D7 para a série: 
X: 17, 15, 16, 21, 20, 23, 22, 25, 26, 16, 24 
PPi =
i(n−1)
100
+1
1º passo: Ordenar os valores da série: 
X: 15, 16, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 
2º passo: Identificar qual Percentil representa o D7: 
D7 = ?? 
i= 
n= 
3º passo: Calcular a posição do D7: 
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131 
Separatrizes 
Como calcular DECIS para dados brutos ? 
4º passo: Identificar o D7 no rol: 
X: 15, 16, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 
Interpretação: 70% dos elementos da séries são menores que 23 e 
30% são maiores que 23. 
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132 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS SEM INTERVALOS: 
Exemplo 06: Calcule o Q2, D4 e o 
P67. 
1º passo: Identificar quais 
Percentís representam o Q2 e o D4 : 
Q2 = ?? 
D4= ?? 
Idade Número de 
pessoas 
Fiacd 
“abaixo de” 
17 5 5 
18 20 25 
19 22 47 
20 10 57 
21 6 63 
 ( fi) 63 
 
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133 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS SEM INTERVALOS (n ímpar): 
PPi =
i(n−1)
100
+1
2º passo: Calcular a posição do Q2, 
D4 e do P67: 
Para o Q2 
i= 
n= 
Idade Número de 
pessoas 
Fiacd 
“abaixo de” 
17 5 5 
18 20 25 
19 22 47 
20 10 57 
21 6 63 
 ( fi) 63 
 
Para o D4 
i= 
n= 
3º passo: Identificar na 
tabela os elementos que 
representam as posições 
de Q2, D4 e o P67 : 
Para o P67 
i= 
n= 
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134 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS COM INTERVALOS: 
FÓRMULA: 
li = limite inferior da classe que contém a separatriz 
Pos = posição que a separatriz ocupa 
fiacdant = frequência acumulada direta anterior 
fi = frequência simples da classe que contém a separatriz 
h = amplitude do intervalo de classe 
€ 
Se= li +
Pos− f
iacd
ant
f
i
# 
$ 
% 
% 
% 
& 
' 
( 
( 
( 
.h
€ 
Pos = i.n
100
POSIÇÃO: 
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135 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS COM INTERVALOS: 
Exemplo 07: Calcule o Q3, o D6 e o 
P85. 
1º passo: Identificar quais 
Percentís representam o Q3 e o D6: 
Q3 = ?? 
D6= ?? 
Pontuação Nº de 
pessoas 
fiacd 
15,9 |--- 18,7 12 12 
18,7 |--- 21,5 8 20 
21,5 |--- 24,3 12 32 
24,3 |--- 27,1 5 37 
27,1 |--- 29,9 3 40 
29,9 |--- 32,7 6 46 
32,7 |--- 35,5 10 56 
Total ( fi) 56 
 
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136 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS SEM INTERVALOS: 
€ 
Pos = i.n
100
2º passo: Calcular a posição do Q3, 
do D6 e do P85. 
Para o Q3 
i= 
n= 
Para o D6 
i= 
n= 
Pontuação Nº de 
pessoas 
fiacd 
15,9 |--- 18,7 12 12 
18,7 |--- 21,5 8 20 
21,5 |--- 24,3 12 32 
24,3 |--- 27,1 5 37 
27,1 |--- 29,9 3 40 
29,9 |--- 32,7 6 46 
32,7 |--- 35,5 10 56 
Total ( fi) 56 
 
Para o P85 
i= 
n= 
3º passo: Identificar os intervalos em 
que as separatrizes estão: 
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137 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS SEM INTERVALOS: 
4º passo: Identificar os elementos da 
fórmula para cada separatriz. 
Para o Q3 
li = 
Pos = 
fiacdant = 
fi = 
h = 
Para o D6 
li = 
Pos = 
fiacdant = 
fi = 
h = 
Pontuação Nº de 
pessoas 
fiacd 
15,9 |--- 18,7 12 12 
18,7 |--- 21,5 8 20 
21,5 |--- 24,3 12 32 
24,3 |--- 27,1 5 37 
27,1 |--- 29,9 3 40 
29,9 |--- 32,7 6 46 
32,7 |--- 35,5 10 56 
Total ( fi) 56 
 
€ 
Se= li +
Pos− f
iacd
ant
f
i
# 
$ 
% 
% 
% 
& 
' 
( 
( 
( 
.h
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138 
Separatrizes 
Como calcular Separatizes para dados agrupados? 
AGRUPAMENTOS SEM INTERVALOS: 
4º passo: Identificar os elementos da 
fórmula para cada separatriz. 
Para o P85 
li = 
Pos = 
fiacdant = 
fi = 
h = 
Pontuação Nº de 
pessoas 
fiacd 
15,9 |--- 18,7 12 12 
18,7 |--- 21,5 8 20 
21,5 |--- 24,3 12 32 
24,3 |--- 27,1 5 37 
27,1 |--- 29,9 3 40 
29,9 |--- 32,7 6 46 
32,7 |--- 35,5 10 56 
Total ( fi) 56 
 
€ 
Se= li +
Pos− f
iacd
ant
f
i
# 
$ 
% 
% 
% 
& 
' 
( 
( 
( 
.h
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139 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Exemplo 01: Levantamento salarial de três filiais de uma empresa. 
Que medidas calcular??? 
€ 
X = 60
10
= 6Filial 1: 
Filial número de salários-mínimos por pessoa (10 pessoas) Total 
Filial 1: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 
Filial 2: 1 8 9 2 6 10 5 8 7 4 
Filial 3: 5 6 7 7 6 5 6 7 5 6 
 
€ 
X = 60
10
= 6Filial 3: 
€ 
X = 60
10
= 6Filial 2: 
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140 
  As principais medidas de dispersão absolutas são: 
ð  Amplitude total, 
ð  Desvio médio simples, 
ð  Variância e 
ð  desvio padrão. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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141 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
NOTAÇÃO USADA: 
POPULAÇÃO 
€ 
σ 2 (x) variância 
€ 
σ (x) desvio-padrão 
AMOSTRA 
(x)2S variância 
S (x) desvio-padrão 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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142 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
  Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Para dados brutos
Para variáveis
Discretas
(sem intervalos)
Para variáveis
Contínuas
(com intervalos)
Para dados agrupados
VARIÂNCIA E
DESVIO PADRÃO
Formas de cálculo
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143 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Para dados brutos: 
População 
€ 
σ 2 (x) = (xi −µ∑ )
2
n variância 
 
€ 
σ (x) = σ 2 (x) desvio-padrão 
Amostra 
1-n
)x(x
(x)S
2
2 i∑ −= variância 
(x)(x)S 2S= desvio-padrão 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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144 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Para dados brutos: 
Exemplo 02: Calcular as medidas de dispersão absolutas para o 
conjunto de dados: Notas: 7; 7,8; 6 e 8 
Passo 1 – Calcule a média 
€ 
µ = x =
7 + 7,8 + 6 + 8
4
=
28,8
4
= 7,2
€ 
S2(x) = Σ(xi − x )
2
n -1
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145 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Passo 2 – agora calcule os desvios (xi - ): x
(x1-x )=(7-7,2)=-0,2 
(x2-x )=(7,8-7,2)=0,6 
(x3-x )=(6-7,2)=-1,2 
(x4-x )=(8-7,2)=0,8 
€ 
S2(x) = Σ(xi − x )
2
n -1
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146 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Passo 3 – elevar ao quadrado cada desvio (xi - )2 x
(x1-x )2=(-0,2)2=0,04 
(x2-x )2=(0,6)2=0,36 
(x3-x )2=(-1,2)2=1,44 
(x4-x )2=(0,8)2=0,64 
€ 
S2(x) = Σ(xi − x )
2
n -1
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147 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Passo 4 – A média dos quadrados dos desvios 
Caso sejam dados de uma população: 
€ 
σ 2 (x) = (xi −µ∑ )
2
n
=
0,04 + 0,36 + 1,44 + 0,64
4
=
2,48
4
 
 
Então 
€ 
σ 2 (x) = 0,62 
€ 
S2(x) = Σ(xi − x )
2
n -1
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148 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Passo 4 – A média dos quadrados dos desvios 
VARIÂNCIA: (amostra) 
3
2,48
3
0,641,440,360,04
1-n
)x(x
(x)S
2
2i =
+++
=
−
=∑ 
Então 0,8267(x)S2 = 
 
€ 
S2(x) = Σ(xi − x )
2
n -1
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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149 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Passo 5 – desvio padrão - raiz da variância 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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150 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Dados agrupados sem intervalos (variável discreta) 
População 
€ 
σ 2 (x) = (xi −µ∑ )
2 . fi
fi∑ variância 
 
€ 
σ (x) = σ 2 (x) desvio-padrão 
Amostra 
1-f
.f)x(x
(x)S
i
ii
2
2
∑
∑ −
= variância 
(x)(x)S 2S= desvio-padrão 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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151 
Exemplo 03: Calcular as medidas de dispersão absolutas para 
os dados abaixo (variância e o desvio padrão) 
€ 
S2(x) = Σ(xi − x )
2. f i
Σf i -1
€ 
x =
Σxi . fi
Σf i
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152 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
VARIÂNCIA: população : 
€ 
σ 2 (x) = (xi −µ∑ )
2. fi
f i∑
=
490,015
135
= 3,6297 
VARIÂNCIA: amostra 
6568,3
341
015,490
1-351
015,490
1-f
.f)x(x
(x)S
i
ii
2
2 ===
−
=
∑
∑
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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153 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
DESVIO-PADRÃO: população : 
€ 
σ (x) = 3,6297 =1,9052 
DESVIO-PADRÃO: amostra 
 
€ 
S(x) = 3,6568 =1,9123 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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154 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
Dados agrupados com intervalos (variável contínua) 
POPULAÇÃO 
€ 
σ 2 (x) = (PMi −µ∑ )
2. fi
f i∑ variância 
 
€ 
σ (x) = σ 2 (x) desvio-padrão 
AMOSTRA 
1-f
.f)x(PM
(x)S
i
i
2
i2
∑
∑ −= variância 
(x)(x)S 2S= desvio-padrão 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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155 
Exemplo 04: Calcular as medidas de dispersão absolutas para 
os dados abaixo (variância e o desvio padrão) 
€ 
S2(x) = Σ(PMi − x )
2. f i
Σf i -1
€ 
x =
ΣPMi . f i
Σf i
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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156 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
VARIÂNCIA: população : 
€ 
σ 2 (x) = (PMi −µ∑ )
2. fi
fi∑
=
2058,42
56
= 36,7575 
VARIÂNCIA: amostra 
4258,37
55
42,2058
1-56
42,2058
1-f
.f)x(PM
(x)S
i
ii
2
2 ===
−
=
∑
∑
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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157 
  Como calcular a variância e o desvio padrão? 
DESVIO-PADRÃO: população : 
€ 
σ (x) = 36,7575 = 6,0628 
DESVIO-PADRÃO: amostra 
1177,64258,37(x)S2 == 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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158 
 Para entender melhor o desvio padrão 
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
s=0
1 2 3 4 5 6 7
s=0,8
1 2 3 4 5 6 7
s=1,2
1 2 3 4 5 6 7
s=3,0
O desvio padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
s=0
1 2 3 4 5 6 7
s=0,8
1 2 3 4 5 6 7
s=1,2
1 2 3 4 5 6 7
s=3,0
O desvio padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
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159 
Exemplo 05: Como comparar séries com médias iguais? 
Filial 1 Filial 2 
=µ 122 mil reais 
=σ )x( 4,5 mil reais 
=µ 122 mil reais 
=σ )x( 7,5 mil reais 
 
Filial 1 Filial 2 
=µ 145 mil reais 
=σ )x( 9,8 mil reais 
=µ 95 mil reais 
=σ )x( 7,5 mil reais 
 
Exemplo 06: Como comparar séries com médias diferentes? 
MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA 
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160 
  Coeficiente de Variação ? 
Exemplo 06 (cont.): 
Filial 1: 
Filial 2: 
0676,0
145
8,9)()( === µ
σ xxCV
0789,0
95
5,7)()( === µ
σ xxCV
Para a população 
€ 
CV(x) =σ (x)µ 
Para a amostra 
x
(x)SCV(x) =
 
 
Filial 1 Filial 2 
=µ 145 mil reais 
=σ )x( 9,8 mil reais 
=µ 95 mil reais 
=σ )x( 7,5 mil reais 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA 
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161 
Histograma - exemplo 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
Fonte: dados fictícios 
Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia 
de Florianópolis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15,9 |--- 18,7 18,7 |--- 21,5 21,5 |--- 24,3 24,3 |--- 27,1 27,1 |--- 29,9 29,9 |--- 32,7 32,7 |--- 35,5
Escore (em pontos)
N
º d
e 
es
tu
da
nt
es
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162 
Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia de 
Florianópolis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15,9 |--- 18,718,7 |--- 21,521,5 |--- 24,324,3 |--- 27,127,1 |--- 29,929,9 |--- 32,732,7 |--- 35,5
Escore (em pontos)
N
º 
de
 e
st
ud
an
te
s
Polígono de Frequências 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
Polígono de 
Freqüências 
Esses triângulos 
compensam os que ficam 
fora do polígono 
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163 
Características da curva Normal 
CURVA NORMAL 
Você observou que o polígono de freqüências tem um formato especial? 
Essa curva é chamada de curva Normal ou de Gauss-Laplace e ela tem algumas 
características bem especiais. Veja a seguir: 
X=Me=Mo
f
x
ü A curva se caracteriza por ter a forma de um sino. 
ü A curva normal é simétrica com relação à média. 
ü A área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é 1 ou 100% 
ü A curva é assintótica. 
ü A curva normal é unimodal 
ü Coincidem a moda, a média e a mediana. 
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164 
Características da curva Normal 
13,59%
34,13%
0,5 ou 50%
2,15%
X
CURVA NORMAL 
(µ−σ,µ+σ )⇒68,26%
(µ−2σ,µ+2σ )⇒95,44%
(µ−3σ,µ+3σ )⇒99,74%
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165 
Características da curva Normal - exemplo 
13,59%
34,13% 34,13%
13,59%
2,15% 2,15%
68,26%
95,44%
99,74%
71 74 77 =80 83 86 89
CURVA NORMAL 
µ = 80 e σ = 3
(77,83)⇒ 68,26%
(74,86)⇒ 95, 44%
(71,89)⇒ 99, 74%
"
#
$
%
$
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166 
ASSIMETRIA 
Medidas que ajudam o pesquisador a identificar se uma série de 
dados é simétrica ou assimétrica. 
CURVA NORMAL - SIMÉTRICA 
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167 
ASSIMETRIA 
Curvas Assimétricas – Características 
ð Mediana fica entre a média e a moda; 
ð A média fica mais próxima da cauda; 
ð A moda fica mais próxima do “Pico” da série (mais frequente). 
Veja os exemplos a baixo e sua classificação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimétrica positiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assimétrica negativa 
 
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168 
ASSIMETRIA 
Curvas Assimétricas – Características 
Comparando o Histograma e o polígono: 
Assimétrica positiva Assimétrica negativa 
 
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169 
ASSIMETRIA 
Assimetria é a medida do grau de deformação de uma 
curva de frequência e pode ser classificada em: 
ð Simétrica; 
ð Assimétrica positiva e 
ð Assimétrica negativa. 
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170 
ASSIMETRIA 
Coeficientes de Assimetria: 
 
Coeficiente de Pearson: 
 
 
Coeficiente Percentílico: 
 
 
Classificação dos resultados: 
ð  As=0 ⇒ a distribuição é simétrica; 
ð  As<0 ⇒ a distribuição é assimétrica negativa; 
ð  As>0 ⇒ a distribuição é assimétrica positiva. 
As = 3.(x −Me)
σ (x)*
As = P90 +P10 − 2.Me
P90 −P10
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171 
Exemplo 01: Calcule o Coeficiente de Pearson e o Percentílico para 
a distribuição abaixo – considere uma amostra e os valores das 
medidas apresentados abaixo. Classifique a série quanto a 
assimetria: 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx 
Número de 
defeitos (xi) 
Número de 
peças (fi) 
fiacd 
0 33 33 
1 9 42 
2 4 46 
3 5 51 
4 3 54 
5 1 55 
6 1 56 
Total (Σfi) 56 
 
ASSIMETRIA 
X = 0,9821
Me = 0
S(x) =1, 5074
P10 = 0
P90 = 3
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172 
Exemplo 02: Calcule o Coeficiente de Pearson e o Percentílico para 
a distribuição abaixo – considere uma amostra e os valores das 
medidas apresentados abaixo. Classifique a série quanto a 
assimetria: 
ASSIMETRIA 
X = 24, 75
Me = 23,3667
S(x) = 3,1176
P10 =17, 2067
P90 = 33, 932
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173 
CURTOSE 
Medida que ajuda a avaliar a série quanto a dispersão. 
Possibilita classificar a série em três tipos: 
1º caso: Leptocúrtica – os dados estão fortemente concentrados 
em torno da moda, o que faria acurva de frequência ser bastante 
afilada no centro 
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174 
CURTOSE 
2º caso: Mesocúrtica – Os dados estão razoavelmente 
concentrados em torno da moda, o que faria a curva de 
frequência ser razoavelmente afilada no centro 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
175 
CURTOSE 
3º caso: Platicúrtica – Os dados estão fracamente 
concentrados em torno da moda, o que faria a curva de 
frequência ser fracamente afilada no centro centro 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
176 
Coeficiente de Curtose: 
 
 
 
Classificação dos resultados: 
ð  K=0,263 ⇒ a distribuição é mesocúrtica; 
ð  K>0,263 ⇒ a distribuição é platicúrtica; 
ð  K<0,263 ⇒ a distribuição é leptocúrtica. 
K = Q3 −Q1
2.(P90 −P10 )
CURTOSE 
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177 
Exemplo 04: Calcule o Coeficiente de curtose para a distribuição 
abaixo – considere uma amostra e os valores das medidas 
apresentados abaixo. Classifique a série quanto a curtose: 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx 
Número de 
defeitos (xi) 
Número de 
peças (fi) 
fiacd 
0 33 33 
1 9 42 
2 4 46 
3 5 51 
4 3 54 
5 1 55 
6 1 56 
Total (Σfi) 56 
 
ASSIMETRIA 
Q1 = 0
Q3 =1,25
P10 = 0
P90 = 3
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178 
Exemplo 05: Calcule o Coeficiente de curtose para a distribuição 
abaixo – considere uma amostra e os valores das medidas 
apresentados abaixo. Classifique a série quanto a curtose: 
ASSIMETRIA 
Q1 =19, 4
Q3 = 30,83333
P10 =17,2067
P90 = 33, 932
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179 
TIPOS DE FENÔMENOS 
ð  Fenômenos determinísticos: 
São fenômenos em que as condições iniciais 
determinam um único resultado; 
ð Fenômenos aleatórios: 
São fenômenos em que as condições iniciais não 
determinam a possibilidade da existência de um 
resultado em particular 
PROBABILIDADE 
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180 
  As principais conceitos 
ð  O que é espaço amostral? 
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento 
(fenômeno) aleatório 
Notação: 
Representação do conjunto espaço amostral – S 
número de elementos de S= n(S) 
Exemplo 01: Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas 
possíveis, sendo somente uma delas a correta. 
Pode-se construir o seguinte conjunto: 
S={a, b, c, d, e }: Observe que são todas as possibilidades para a questão. 
 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
181 
  As principais conceitos 
ð  O que são eventos? 
É qualquer subconjunto do espaço amostral determinado pelo 
experimento (fenômeno) aleatório em estudo. 
Notação: 
Representação do subconjunto evento – A (letra maiúscula). 
Número de elementos de A = n(A) 
Exemplo 02: Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas 
possíveis, sendo somente uma delas a correta. Identifique o número de 
elementos do evento A: acertar a questão 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
182 
  As principais conceitos 
ð  Evento simples: Formado por apenas um elemento 
- n(A)=1 
ð Evento composto: Formado por dois ou mais 
elementos - n(B)=5 
ð Evento impossível: Não ocorre, seja qual for a 
realização do experimento aleatório. - n(C)=0 
ð Evento certo: É quando o evento é o próprio espaço 
amostral. - n(D)=n(S) 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
183 
  Operações com eventos 
ð  União de eventos 
A B
S
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
184 
  Operações com eventos 
ð  Interseção de eventos 
A B
S
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
185 
A
S
A’
  Operações com eventos 
ð  Complementar de um evento 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
186 
A B
S
  Operações com eventos 
ð  Subtração de eventos 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
187 
A
B
S
C
  Operações com eventos 
ð  Eventos excludentes 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
188 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
ð  Probabilidade clássica: A probabilidade de ocorrer um determinado 
resultado na realização de um experimento é igual ao quociente entre o número 
de casos favoráveis ao sucesso (número de elementos do evento A) e o 
número de casos possíveis (número de elementos do espaço amostral - S). 
Probabilidade de um evento A ocorrer: 
)S(n
)A(n)A(P = = p = sucesso 
OBS: A probabilidade de não-ocorrência pode ser representada por: 
)A(P1)A(P −= = q = fracasso 
 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
189 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
ð  Exemplo 02: Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas 
possíveis, sendo somente uma delas a correta. Qual a probabilidade de errar a 
questão? 
ð  Exemplo 03: Se jogar um dado não viciado, qual a probabilidade de sair: 
a) O número 3? 
b) O número 3 ou 6? 
c) Um número par? 
d) Um número ímpar ou 4? 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
190 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
ð  Exemplo 04: O quadro abaixo representa levantamento realizado em um lote 
fabricado de peças de um determinado produto, quanto ao número de defeitos 
que estas peças apresentaram. Se escolhermos, ao acaso, uma peça deste 
lote, qual a probabilidade dela apresentar: 
a) Menos que 3 defeitos? 
b) Somente 3 defeitos? 
c) Mais que 3 defeitos? 
d) Entre 2 e 6 defeitos? 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
191 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
192 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
ð  frequência Relativa : A frequência relativa de um evento A é calculada 
dividindo o número de vezes que ocorre o evento A pelo total de observação do 
experimento. É chamada, também, de probabilidade avaliada ou probabilidade 
estimada. 
Freqüência relativa de um evento A: 
sobservaçõe de total número
 Aocorreu que vezes de número
=Afr 
 
É importante que você saiba que essa aproximação para o 
cálculo de probabilidade só será considerável caso aja um 
número bastante grande de tentativas de execução do 
experimento. 
 
PROBABILIDADE 
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193 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
ð  Exemplo 05: Um estudo de 3.500 voos da Gol, selecionados aleatoriamente 
mostrou que 875 chegaram no horário (com base nos dados do Ministério dos 
Transportes). Qual é a probabilidade estimada (frequência relativa) de um voo 
da Gol, chegar no horário? Você acha que é um resultado satisfatório, com 
relação às possibilidades de atraso? 
A: um voo da Gol, chegar no horário. 
Número de vezes que ocorre A: 875 
Número total de observações: 3500 
25% ou 0,25
3500
875
sobservaçõe de total número
 Aocorreu que vezes de número
===Afr
PROBABILIDADE 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
194 
  Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
 Algumas considerações 
ð Para cada evento A 
ð P(S) = 1 
ð Sejam A, B e C, todos os eventos possíveis do espaço amostral, então: 
P(A) + P(B) + P(C) = 1 ou 100% 
ð Quando A e B são mutuamente exclusivos: P(A U B) = P(A) + P(B) 
ð Quando A e B não são mutuamente exclusivos: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
ð Se A, B, C, ... são uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, 
então: P(A U B U C U ...) = P(A) + P(B) + P(C) + .... 
PROBABILIDADE 
0 ≤ P(A) ≤1
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
195 
  Exemplo 06: 
ð Quantos números de dois algarismos distintos podem ser 
formados usando os algarismos 2, 3, 4, 5 ? 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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196 
  Exemplo 07: 
ð Quantas comissões de duas pessoas podem ser formadas com 
4 alunos? ALUNOS:{A, B, C, D} 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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197 
  FATORIAL – Exemplo 08 
ð 0!= 
ð 1!= 
ð 5! + 3! = 
ð 5! . 3! = 
ð 8!/4!= 
ð . 
ð . 
 
=
− )!022(!0
!22
=
− )!422(!4
!22
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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198 
  ANÁLISE COMBINATÓRIAð Arranjo - grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza 
dos elementos componentes. 
ð Combinações - grupo é diferente de outro apenas pela natureza 
dos elementos componentes. 
An,k =
n!
(n− k)!
Cn,k =
n!
k!.(n− k)!
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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199 
  ANÁLISE COMBINATÓRIA 
ð Permutação Simples 
Ex 09: Quantos são os anagramas da palavra 
CANTOR? 
Pn = n!
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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200 
  ANÁLISE COMBINATÓRIA 
ð Permutação com Repetição 
Ex 10: Quantos são os anagramas da palavra 
RALADOR? 
Pn
α ,β ,!,γ n!
α!β!!γ !
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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201 
  EXEMPLOS 
11) Ao jogar dois dados, não viciados, simultaneamente, qual a probabilidade de 
sair, na face superior, soma dos pontos maior que 8? 
 
12) De um baralho de 52 cartas extraímos duas sucessivamente e sem 
reposição. Calcule a probabilidade de ambas serem valetes? 
 
13) De um baralho de 52 cartas, extraímos uma carta. Qual a probabilidade de 
que a carta seja um rei, sabendo que ela é uma figura? 
 
14) Um número inteiro de 1 a 260 é escolhido aleatoriamente. Qual a 
probabilidade de que esse número seja divisível por 7? 
PROBABILIDADE 
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202 
  EXEMPLOS 
15) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas 
antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a 
figura: 
 
 
 
 
 
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade 
que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na 
área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Qual á a probabilidade de 
isto ocorrer? 
PROBABILIDADE 
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203 
  EXEMPLOS 
16) Um número de três algarismos é chamado palíndromo quando o algarismo 
das unidades é igual ao algarismo das centenas. Por exemplo, o número 464 é 
um palíndromo. Escolhe-se aleatoriamente um número dentre todos os números 
de três algarismos formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Qual a 
probabilidade de um número escolhido ao acaso ser um palíndromo? 
 
17) Uma comissão de 3 pessoas é formada ao acaso entre Antônio, Benedito, 
César, Denise, Eliete, Fábio e Guilherme. Qual a probabilidade de Antônio 
pertencer a esta comissão? 
 
18) Com 6 mulheres (dentre as quais Maria) e 5 homens (dentre os quais João) 
pretende-se formar comissões de 3 homens e 3 mulheres. Qual a probabilidade 
de que nessas comissões Maria sempre esteja presente e João ausente? 
PROBABILIDADE 
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204 
PROBABILIDADE 
Regra da Adição 
ð Para eventos mutuamente exclusivos 
 Exemplo 01: No lançamento de um dado, qual a probabilidade 
de se obter um 4 OU um número ímpar? 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
A: obter 4 
B : obter número ímpar 
A={4} 
B={1,3,5} 
 
n(A) =1
n(B) = 3
P(A∪B) = P(A)+P(B)
P(A∪B) = 1
6
+
3
6
=
4
6
=
2
3
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205 
PROBABILIDADE 
Regra da Adição 
ð Para eventos que não são mutuamente exclusivos 
 Exemplo 02: No lançamento de um dado, calcule a probabilidade 
de o número obtido ser ímpar OU maior do que 4 ? 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
A: obter ímpar 
B : obter número maior que 4 
A={1,3,5} 
B={5,6} 
A E B=A∩B={5} 
n(A) =1
n(B) = 3
n(A∩B) =1
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A∪B) = 3
6
+
2
6
−
1
6
=
4
6
=
2
3
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206 
PROBABILIDADE 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
ð Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S, e 
sendo P(A) ≠ 0. Definimos a probabilidade condicional do 
evento B dado que ocorreu o evento A, como sendo: 
A B
S
)(
)(
AP
BAP
A
BP ∩=!
"
#
$
%
&
OBS: como os eventos são 
condicionados eles possuem 
elementos comuns 
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207 
PROBABILIDADE 
 Exemplo 03: Considerando o experimento lançamento de um dado, 
observando a face superior. 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
A = { sair a face 3 } - A = { 3 } 
B = { sair um número ímpar } 
B = { 1, 3, 5 } 
Qual a probabilidade da ocorrência de sair 3 se já saiu um número ímpar? 
6
1
)(
)()( ==
Sn
BAnBAP ∩∩ 
2
1
6
3
)(
)()( ===
Sn
BnBP 
)(
)(
BP
BAP
B
AP ∩=!
"
#
$
%
& 
3
1
2
1
6
1
)(
)(
===!
"
#
$
%
&
BP
BAP
B
AP ∩ 
 
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208 
PROBABILIDADE 
EXEMPLOS 
4) Considere um baralho comum de 52 cartas. Retirando-se uma ao acaso, qual a 
probabilidade de obtermos: 
a) um às, sabendo que a carta já é de copas? 
b) uma carta de copas, sabendo que a carta já é um às? 
 
5) (Fuvest) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões 
ou mais é 95%. A probabilidade de ela ser de 110 milhões ou menos é 8%. Calcule a 
probabilidade de essa população ser de 110 milhões. 
 
6) A diretoria de uma empresa é formada por 5 homens e 5 mulheres. Ao formarmos 
comissões de 3 pessoas, qual a probabilidade de que ela contenha pelo menos uma 
mulher? 
 
7) No lançamento de dois dados distintos e não viciados, qual a probabilidade de 
obtermos soma dos pontos igual a 8, sabendo que os resultados da face superior 
possuem a mesma paridade? 
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209 
PROBABILIDADE 
 REGRA DO PRODUTO 
ð Para eventos independentes: a ocorrência de um 
evento não afeta a probabilidade de outro evento 
ocorrer. 
 Exemplo 01: Joga-se um dado duas vezes, qual a 
probabilidade de sair um 6 na primeira jogada E uma face par na 
segunda? 
S = {1,2,3,4,5,6} 
A = {6} 
B = {2,4,6} 
 
 
n(A) =1
n(B) = 3
P(A∩B) = P(A).(B)
P(A∩B) = 1
6
. 3
6
=
3
36
=
1
12
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210 
PROBABILIDADE 
 Exemplo 02: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-
se duas peças uma após a outra, sem reposição. Qual a 
probabilidade de ambas serem boas? 
 
A: primeira peça boa 
B: segunda peça boa 
 
 
 
 REGRA DO PRODUTO 
ð Para eventos dependentes: a ocorrência de um 
evento afeta a probabilidade de outro evento ocorrer. 
n(S1) =12
n(A) = 8
!
"
#
⇒
n(S2 ) =11
n(B) = 7
%
&
'
P(A∩B) = P(A).P(B)
P(A∩B) = 8
12
. 7
11
=
56
132
=
14
33
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211 
PROBABILIDADE 
 Exemplos 
03) Uma urna contém 7 bolas amarelas e 3 brancas. Duas são 
retiradas, uma após a outra, com reposição. Calcule a 
probabilidade dos eventos: 
a) Ambas serem amarelas; 
b) A primeira ser amarela e a segunda ser branca. 
 
04) Lançando-se uma moeda 5 vezes consecutivas, qual a 
probabilidade de obtermos 5 caras? 
 REGRA DO PRODUTO 
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212 
PROBABILIDADE 
Exemplos 
5) Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de que 
sejam dois meninos e uma menina? 
 
6) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é 
1/2 , a de que outro aluno B o resolva é 1/3 e a de que um 
terceiro aluno C o resolva é 1/4. Qual a probabilidade de que: 
a) os três resolvam o problema? 
b) ao menos um resolva o problema? 
c) exatamente dois deles resolva o problema? 
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213 
PROBABILIDADE 
Exemplos 
7) (Fgv 2012) Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas, 
num total de 7 bolas idênticas, exceto pelas cores. Retira-se 
aleatoriamente dessa caixa, e sem reposição, uma bola por vez 
até que todas as bolas brancas, ou todas as bolas pretas, 
tenham sido retiradas, o que acontecer primeiro. Qual a 
probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta? 
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214 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
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215 
  Distribuição de Bernoulli 
ð Exemplo 04: Uma questão de um exame tem 5 respostas e 
somente uma está correta. Qual a probabilidade, ao respondermos 
aleatoriamente, de errarmos a questão? 
ð FRACASSO ⇒NÃO OCORRER ⇒P(F)=q 
ð SUCESSO ⇒OCORRER ⇒P(S)=p 
ð p+q=1 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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216 
  Distribuição de Binomial 
1)Experimento for repetido “n” vezes independentes; 
2) A cada tentativa admitir somente dois resultados: Sucesso ou 
Fracasso 
3) Estudar o número de sucessos e fracassos, sem importar a 
ordem em que acontecem 
SejaX: o número de sucessos em “n” tentativas do experimento 
€ 
P(X = k) = Cn,k .p
k .qn−k
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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217 
  Distribuição de Binomial 
Exemplo 05: Num exame com 4 questões, sendo que cada uma delas 
apresentam 5 alternativas e somente uma está correta, calcule a 
probabilidade de, por acaso (a resolução será feita em sala de aula): 
a) Acertar três questões; 
b) Acertar uma questão; 
c) Errar três questões; 
d) Errar uma questão; 
e) Acertar nenhuma questão; 
f) Acertar todas questões; 
g) Errar todas questões; 
h) Errar nenhuma questão; 
i) Acertar três ou menos questões; 
j) Errar uma ou mais questões; € 
P(X = k) = Cn,k .p
k .qn−k
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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218 
  Representação gráfica de uma distribuição Binomial 
Número de 
erros
P(X)
0 0,0016
1 0,0256
2 0,1536
3 0,4096
4 0,4096
Total 1
Probabilidade de errar as questões do teste
Probabilidade de errar as questões do teste
0,0016
0,0256
0,1536
0,4096 0,4096
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
Número de erros
Pr
ob
ab
ilid
ad
e
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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219 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
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220 
Histograma - exemplo 
Fonte: dados fictícios 
Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia 
de Florianópolis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15,9 |--- 18,7 18,7 |--- 21,5 21,5 |--- 24,3 24,3 |--- 27,1 27,1 |--- 29,9 29,9 |--- 32,7 32,7 |--- 35,5
Escore (em pontos)
N
º d
e 
es
tu
da
nt
es
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
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221 
Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia de 
Florianópolis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15,9 |--- 18,718,7 |--- 21,521,5 |--- 24,324,3 |--- 27,127,1 |--- 29,929,9 |--- 32,732,7 |--- 35,5
Escore (em pontos)
N
º 
de
 e
st
ud
an
te
s
Polígono de FREQUÊNCIAS 
Polígono de 
FREQUÊNCIAS 
Esses triângulos 
compensam os que ficam 
fora do polígono 
GRÁFICOS REPRESENTATIVOS 
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222 
Características da curva Normal 
Você observou que o polígono de FREQUÊNCIAS tem um formato especial? 
Sim, ele tem o formato de um sino. Essa curva é chamada de curva Normal ou de 
Gauss-Laplace e ela tem algumas características bem especiais. Veja a seguir: 
ð Forma de um sino 
ð É simétrica com relação à média 
ð Área total é 1 ou 100% 
ð É assintótica 
ð É unimodal 
ð MODA = MÉDIA = MEDIANA 
f
xa b
P(a<x<b)
€ 
P(a < x < b) = f (x)
a
b
∫ = 1
σ. 2π
.e
−
1
2
x − µ
σ
& 
' 
( 
) 
* 
+ 
2
a
b
∫
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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223 
Distribuição Padronizada - Z 
 
Exemplo 01: Calcule P(21<x<28) 
X1 = 28 µ (x)= 21 σ (x) = 7 
Cálculo da variável padronizada: 
 
 
 
 
Onde: 
 
X1 = valor da v.a. (limite do intervalo) 
µ = média 
σ = desvio padrão 
 
 
€ 
Z =
(x − µ)
σ
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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224 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA (Z) 
 
Distribuição Padronizada – Z - Tabela 
 
P(21<X1< 28)=0,3413 ou 34,13% 
Procurar 1,0 
Procurar 0,00 
Cruzando	a	
linha	com	a	
coluna...	
Cruzando	a	
linha	com	a	
coluna...	
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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225 
Distribuição Padronizada - Z 
Cálculo da variável padronizada: 
 
 
 e 
 
Onde: 
X1 e X2 = limites do intervalo 
µ = média 
σ = desvio padrão 
 
σ
µ−
=
)x(
Z 11 σ
µ−
=
)X(
Z 22
P(z <Z<z )1 2
x1 x2 x
z1 z2 z0
P(x1<x<x2)
 
Exemplo 02: Calcule P(13,65<x<27,6528) 
X1 = 13,65 e X2= 27,65 µ (x)= 21 σ (x) = 7 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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226 
Distribuição Padronizada - Z 
Z 0,00 0,01 ... 0,04 0,05 
0,0 0,0000 0,0040 ... 0,0160 0,0199 
0,1 0,0398 0,0438 ... 0,0557 0,0596 
0,2 0,0793 0,0832 ... 0,0948 0,0987 
... ... ... ... ... ... 
0,8 0,2881 0,2910 ... 0,2995 0,3023 
0,9 0,3159 0,3186 ... 0,3264 0,3289 
1,0 0,3413 0,3438 ... 0,3508 0,3531 
1,1 0,3643 0,3665 ... 0,3729 0,3749 
1,2 0,3849 0,3869 ... 0,3925 0,3944 
 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... 
Procurar 0,05 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... Procurar 1,0 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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227 
Distribuição Padronizada - Z 
Procurar 0,9 
Procurar 0,05 Z 0,00 ... 0,04 0,05 
0,0 0,0000 ... 0,0160 0,0199 
0,l 0,0398 ... 0,0557 0,0596 
... ... ... ... ... 
0,7 0,2580 ... 0,2704 0,2734 
0,8 0,2881 ... 0,2995 0,3023 
0,9 0,3159 ... 0,3264 0,3289 
1,0 0,3413 ... 0,3508 0,3531 
1,1 0,3643 ... 0,3729 0,3749 
 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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228 
Distribuição Padronizada - Z 
P(13,65 <X1< 27,65)=0,3531+0,3289= 
P(13,65 <X1< 27,65) =0,682 ou 68,2% 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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229 
Distribuição Padronizada - Z 
z=0,95
µ=24 x1=29,7
Área
0
Área
Exemplo 03: Calcule a 
probabilidade no intervalo 
limitado abaixo por x=29,7 e 
sem limite acima. Dados: 
ð Média: µ=24 
ð Desvio padrão: σ(x)=6 
ð X1=29,7 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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230 
Distribuição Padronizada - Z 
ð Média: µ=24 
ð Desvio padrão: σ(x)=6 
ð Limitado abaixo por x=29,7 e não tem limite acima 
z=0,950
0,3289
0,5-0,3289
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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231 
Distribuição Padronizada - Z 
Exemplo 04: Calcule a probabilidade no intervalo limitado 
abaixo por x=21 e sem limite acima. Dados: 
ð Média: µ=24 
ð Desvio padrão: σ(x)=3 
ð X1=21 
0,3413
ou
34,13%
0,5
X
50%
ou
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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232 
Distribuição Padronizada - Z 
Exemplo 05: Numa prova final de Estatística, as notas dos alunos 
tiveram uma distribuição normal com média 6,0 e desvio padrão 1,5. 
Sendo 5,0 a nota mínima de aprovação, qual a proporção de alunos 
reprovados? 
z
µ=
0
x
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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233 
Distribuição Padronizada - Z 
Exemplo 06: O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 
5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas 
individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com 
média 240.000 u.m. e desvio padrão 30.000 u.m. Qual o volume de 
vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado? 
z
µ=
0
x
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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234 
Distribuição Padronizada - Z 
Exemplo 07: O volume de exportações de uma empresa, durante um 
determinado período, se distribui normalmente. Apresentou uma média 
de 250 u.m. e um desvio padrão de 50. Dentre os meses pesquisados, 
qual a probabilidade de escolhermos um que tenha um volume de 
exportação: 
ð Maior que 250 u.m.? 
ð Maior que 312,5 u.m.? 
ð Menor que 187,5 u.m.? 
ð Entre 295 e 344 u.m.? 
 
z
µ=
0
x
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
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235 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
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236 
O que é População e Amostra? 
População: é o conjunto total de elementos com pelo 
menos uma característica em comum, cujo comportamento 
interessa estudar. 
N= número de elementos da população 
Amostra: é o conjunto de elementos ou 
observações, recolhidos a partir de um 
subconjunto da população, que se estuda com o 
objetivo de tirar conclusões para a população de 
onde foi recolhida. 
n= número de elementos da amostra 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
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237 
O objetivo da amostragem é fazer inferências, 
estimar e tirar conclusões a respeito da população. 
AMOSTRA DEVE SER 
REPRESENTATIVA 
EVITAR DISTORÇÃO DA 
REALIDADE 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
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238 
Que informações a amostragem pode revelar? 
Intenções de votos - Pesquisa Eleitoral
39%37%
35%
26%24%26%
9%
15%
11%10% 7%
11%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Agosto Setembro Outubro
A
B
C
D
Outras informações: 
Margem de erro: 2 % 
Tamanho da amostra: 
2000 eleitores 
Nível de confiança: 95% 
Intervalo: 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM