2017 PM Aula05 Dinâmica dos eixos

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Aula 5 – Dinâmica dos eixos 
11/09/2017 
Curso: Engenharia Mecânica 
Série: 10º Semestre 
PROJETOS MECÂNICOS 
Aula 5 – Dinâmica dos eixos 
Segunda 19:00 às 20:40 
 
Aula 5 – Dinâmica dos Eixos 
2 
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional 
Estudo do caso generalizado 
I1 
2 
I2 
I3 
1 
kt12 kt23 
q2 
q1 
q3 
3 
wn1 
wn2 
Quando o disco 1 oscila em relação ao disco 2, o balanço de torque nos dá: I1a1 + kt12 (q1 – q2) = 0 
Quando o disco 2 oscila em relação aos discos 1 e 3, o balanço de torque nos dá: I2a2 + kt12 (q2 – q1) + kt23 (q2 – q3) = 0 
Quando o disco 3 oscila em relação ao disco 2, o balanço de torque nos dá: I3a3 + kt23 (q3 – q2) = 0 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional 
Estudo do caso generalizado 
I1 
2 
I2 
I3 
1 
kt12 kt23 
q2 
q1 
q3 
3 
wn1 
wn2 
No movimento harmônico simples, podemos substituir a por –w2q em cada uma das 
equações e rearranjá-las para se obter: 
I1 w1
2 q1 = kt12 (q1 – q2) 
I2 w2
2 q2 = kt12 (q2 – q1) + kt23 (q2 – q3) 
I3 w3
2 q3 = kt23 (q3 – q2) 
A soma de todas estas equações resulta em: I1 w1
2 q1 + I2 w2
2 q2 + I3 w3
2 q3 = 0 
Para qualquer número de discos pode ser generalizado que: S I w
2 q = 0 
No método de Holzer, assumimos que q1 = 1 e calculamos as outras deflexões. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional 
Estudo do caso generalizado 
A deflexão no disco 2 pode ser encontrada rearranjando-se I1 w1
2 q1 = kt12 (q1 – q2) para se 
obter: 
𝜃2 = 𝜃1 − 
𝜔2
𝑘𝑡12
 𝐼1𝜃1 
A deflexão no disco 3 pode ser encontrada rearranjando-se I2 w2
2 q2 = kt12 (q2 – q1) + 
kt23 (q2 – q3) para se obter: 
𝜃3 = 𝜃2 − 
𝜔2
𝑘𝑡23
 (𝐼1𝜃1 + 𝐼2𝜃2) 
Caso tivéssemos 4 discos a deflexão no disco 4 seria: 
𝜃4 = 𝜃3 − 
𝜔2
𝑘𝑡34
 (𝐼1𝜃1 + 𝐼2𝜃2 + 𝐼3𝜃3) ... e assim sucessivamente. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional 
Estudo do caso generalizado 
Os torques atuantes são: 
 
- no disco 1: T1 = w
2 I1 q1 
- no disco 2: T2 = w
2 I2 q2 
- no disco 3: T3 = w
2 I3 q3 
... e da esquerda para a direita: 
 
T1 = w
2 I1 q1 
T2 = T1 + w
2 I2 q2 
T3 = T2 + w
2 I3 q3 
 
Uma vez que precisamos satisfazer a condição S I w
2 q = 0, a expressão de torque no 
último disco é igual a 0, já que a oscilação deste é livre. 
 
O problema consiste em encontrar os valores de w que satisfazem esta condição, e 
estes são numericamente iguais às frequências naturais do sistema. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Exercício 3 
Um eixo possui três inércias montadas sobre ele, sendo estas de 2, 4 e 2 kgm2, 
respectivamente, quando vistas da esquerda para a direita. O eixo conectando as 
duas primeiras inércias tem rigidez torcional de 3.106 Nm/rad e o eixo conectando 
as duas últimas tem o valor correspondente de 2.106 Nm/rad. O sistema é 
suportado por mancais nas duas extremidades. Ignore a inércia dos eixos e 
encontre as frequências naturais do sistema. 
I1 = 2 kgm
2 
2 
I2 = 4 kgm
2 
I3 = 2 kgm
2 
1 
Kt12 = 3.10
6 Nm/rad 
q2 
q1 
q3 
3 
wn1 
wn2 
Kt23 = 2.10
6 Nm/rad 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Recomendações gerais [2] 
1 – Mantenha os eixos tão curtos quanto possível, com mancais próximos das 
carga aplicadas. Isto reduz as deflexões e momentos fletores e aumentam 
as velocidades críticas; 
 
2 – Posicione concentradores de tensões necessários distantes das regiões 
mais solicitadas dos eixos, se possível. Quando não for possível, use 
grande raios de concordância e bons acabamentos superficiais. Considere 
as possibilidades de tratamentos superficiais (como shot peening); 
 
3 – Use aços mais baratos, desde que atendam às exigências de tensões 
atuantes, uma vez que o módulo de elasticidade é o mesmo; 
 
4 – Quando o peso for um limitante, considere a possibilidade de eixos ocos. 
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Bibliografia 
 
Bibliografia Básica 
[1] BUDYNAS, R. G.; NISBETT J. K. Elementos de Máquinas de Shigley – Projeto de 
engenharia mecánica. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
[2] JUVINALL, Robert & MARSHEK, Kurt M., Projeto de Componentes de Máquinas, Rio de 
Janeiro: Editora LTC, 2008. 
[3] NORTON, Robert L., Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada, Porto Alegre: 
Bookmann, 2013. 
 
Bibliografia Complementar 
[4] CUNHA, Lamartine. – Elementos de Máquinas – Rio de Janeiro – Editora LTC – 2009. 
[5] RESHETOV, D. N. Atlas de construção de Máquinas. São Paulo: Hemus Editora, 2005. 
[6] NIEMANN, G. Elementos de Máquinas. Ed. Edgard Blücher ,2002. (3v). 
[7] COLLINS, J. A. Projeto mecânico de elementos de máquinas. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
[8] MELCONIAN, S, Fundamentos De Elementos De Máquinas: Transmissões, Fixações E 
Amortecimento. São Paulo: Saraiva, 2014. 
[9] Rao, Sighiresu S., Vibrational Mechanics, Pearson, 2011. 
 
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