Notas de Aula para Eletromagnetismo 2013

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Notas de Aula para Eletromagnetismo
Prof. MSc. Antonio Morais
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Apresentação
O Eletromagnetismo (EM) é o ramo da Física, que possibilitou o nascimento da Engenharia Elé-
trica! Nele estudamos os fenômenos elétricos e magnéticos cujas aplicações são extremamente vastas:
microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo1, plasmas,
pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecâ-
nica de energia, meteorologia por radar, sensoreamento remoto e etc..
Por exemplo, Campos eletromagnéticos2 são utilizados em aquecedores indutivos3 para fundir, forjar,
recozer, temperar superfícies e para operações de soldagem. Equipamentos para aquecimento de
dielétricos utilizam ondas curtas para unir e selar lâminas finas de materiais plásticos. Os dispositivos
do EM incluem: transformadores, relés elétricos, rádio/TV, telefone, motores elétricos, linhas de
transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O projeto desses dispositivos
requer um profundo conhecimento das leis e dos princípios do eletromagnetismo. Consegue imaginar
um mundo sem Internet? Talvez...mas e sem eletricidade? :)
O estudo dos fenômenos do eletromagnetismo, pode ser resumido nas Equações de Maxwell: um
grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a força de Lorentz4, compõe a base
do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das
equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda
uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes.
As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James
1Células biológicas usam a bioeletricidade para armazenar energia metabólica, fazer trabalho ou desencadear mudanças
internas, entre um sinal elétrico e outro. O Bioeletromagnetismo é o resultado da ação da corrente elétrica produzida
por potenciais de açã o(uma descarga elétrica que percorre a membrana de uma célula) junto com os campos magnéticos
gerados pelo fenômeno de indução eletromagnética.
2Um campo composto de dois campos vetoriais: o campo elétrico e o campo magnético. Veremos o conceito de campo
mais adiante
3Os princípios físicos do processo de aquecimento indutivo, são conhecidos há mais de cem anos e foram disponibiliza-
dos para o uso prático no início do século XXI. As técnicas do aquecimento indutivo atualmente contribuem com quase
todas as indústrias de manufatura, desde a preparação de pastilhas de silício puro para componentes microeletrônicos até
o processamento de chapas de aço pesando 25 toneladas ou mais. O uso destas técnicas indubitavelmente crescerá com
a demanda do uso mais eficiente da energia elétrica e com outros recursos de produção associados com a necessidade de
um melhor ambiente de trabalho.
Quando uma peça de metal é colocada no interior de uma bobina indutiva alimentada por Corrente Alternada (CA),
as duas peças são interligadas por um campo eletro – magnético alternado e, desta forma, o campo magnético que
é absorvido pela peça criam um campo elétrico, que por sua vez gera a corrente induzida a qual irá aquecer a peça.
Normalmente a bobina indutora é refrigerada por água e se mantém fria.
A densidade da corrente induzida na superfície da peça é elevada, e diminui conforme aumentada a distância em relação
à superfície. Este fenômeno é conhecido como “efeito pelicula ” (SKIN EFFECT ≡ efeito de pele). A profundidade do
“efeito pelicular”, ou simplesmente a profundidade de penetração, é um conceitomatemático conveniente. A profundidade
de penetração é de extrema importância para a engenharia de aquecimento indutivo, pois é através da profundidade de
penetração que aproximadamente 90% da energia total é induzida na peça ou região a ser aquecida.
4A força de Lorentz representa a força eletromagnética total que atua em um portador de carga elétrica q quando
este se move com velocidade ~v em uma região do espaço sobre influência simultânea de um campo magnético ~B e um
campo elétrico ~E.
3
4
Clerk Maxwell5, e foram publicadas em um artigo dividido em quatro partes, intitulado On Physical
Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou entre 1861 e 1862. A forma
matemática da força de Lorentz também está presente neste artigo. Torna-se útil, geralmente, escrever
as equações de Maxwell em outras formas matemáticas. Estas representações matemáticas, ainda que
possam ser completamente diferentes uma das outras, descrevem basicamente os mesmos fenômenos
físicos e ainda são chamadas de "equações de Maxwell".
As equações de Maxwell na forma diferencial são listadas a seguir:
∇ · ~E = ρ
ε0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
∇× ~B = µ0~j + µ0ε0∂
~E
∂t
Para compreender essas equações, vamos desenvolver algumas ferramentas que pertencem ao cálculo
e a análise vetorial. Será interessante rever seus apontamentos de Álgebra Linear e Vetores!
É importante na formação de qualquer profissão, conhecer minimamente a evolução histórica da área
em que trabalhamos. Por isso, apresento um resumo bem abreviado da história do eletromagnetismo
com os princípios básicos de criação de ”eletricidade”. Antes de começar a revisão de vetores, é
apresentado o que você não deve esquecer de Física IV!
Este material de apoio não tem a pretensão de ser original! As biografias dos cien-
tistas que apresentamos, bem como a maioria das suas imagens, estão na Wikipédia,
http://pt.wikipedia.org/ e como estas notas de aula, como material de apoio, não são
para distribuição comercial, não fere as regras de sua utilização.
Os livros texto que usaremos são os seguintes em ordem de importância:
Bibliografia Principal
[1] Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman
[2] Engenharia Eletromagnética - Roberto Cardoso - Editora campus
[3] Eletromagnetismo para Engenharia: Estática e Quase-Estática, João Pedro Assumpção Bastos,
Editora da UFSC
Bibliografia Complementar
[4] Eletromagnetismo Aplicado - Stuart M. Wentworth , Bookman
[5] Ondas Eletromagnéticas - Carlos Peres Quevedo & Cláudia Quevedo- Lodi, Pearson
[6] Eletrodinâmica Clássica - José Maria Filardo Bassalo, Editorial LF (leitura avançada!)
[7] Eletromagnetismo: Teoria, Exercícios resolvidos e experiências práticas - Eduardo Montgomery M.
Costa, Editora Ciência Moderna
Um Engenheiro ( com ”E” maiúsculo) deve ter também uma boa cultura acadêmica. Não se iluda!
Muitas vezes não basta apenas saber engenharia elétrica...por isso, coloco aqui uma relação de livros
que, caso possa, leia!
- A convenção dos algarismos - Lázaro Coutinho. Editorial LF. Um narrativa romanceada do que
acontece numa convenção dos algarismos inusitada reunindo os algarismos indoarábicos, onde acontece
5Edimburgo, 13 de Junho de 1831 — Cambridge, 5 de Novembro de 1879
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de tudo, intrigas, ciúmes e vaidades que vão surgindo em meio a uma disputa frenética para chegar à
resposta: qual o algarismo que está acima de todos os outros? Durante a disputa os algarismos nos
trazem fatos descobertos de matemáticos famosos. Assim ficamos conhecendo melhor Carl Friederich
Gauss, O Príncipe dos Matemáticos, cuja história nos remete a uma escola do interior da Alemanha
dirigida sob rígidos princípios medievais.
- Matemática e Natureza - Michel Janos. Editorial LF. Livro indicado para compor o Programa Sala
de Leitura da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
- O Cálculo é Belo - Michel Janos. Editora Scortecci. Escrito para pessoas com base matemática
do 2º grau e que desejam conhecer as ideias do Cálculo. A obra deixa em segundo plano o estudo
da "teoria", como, por exemplo, muitos teoremas e suas provas, para se concentrar basicamente nas
ideias e nos problemas práticos do Cálculo.
- A Origem dos elementos químicos-uma introdução. Antonio M. A. Morais. Editorial LF. O livro
explica a origem dos elementos químicos mostrando as técnicas que permitem descobrir a composição
química das estrelas e discute o jogo de energia necessária para a formação dos elementos químicos.
- Gravitação e cosmologia - uma introdução. Antonio M. A. Morais. Editorial LF. Este livro possibilita
com que você possa entender um pouco mais sobre o Universo.
Há muitos mais...durante o curso, com certeza surgirão novas indicações, inclusive, de colegas teus!
Figura 0.0.1: Ser engenheiro é...
Figura 0.0.2: A grande cura!
Um excelente curso de Eletromagnetismo para você!
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Sumário
1 Conceitos básicos de eletricidade 11
1.1 Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Princípio de conservação da carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Eletrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Linhas de campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Potencial elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Noções de Cálculo Vetorial 19
2.1 Vetores, escalares e o que não deve esquecer! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Operador nabla ou operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Gradiente de uma função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Divergente de uma função vetorial ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Rotacional de uma função vetorial ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 Identidades com operadores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Resolução das equações de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Classificação de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Mudança de coordenadas 29
3.1 Coordenadas cartesianas (x,y,z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Coordenadas cilíndricas circulares (ρ,φ, z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Coordenadas esféricas (r, θ,φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Exemplo de mudança de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Operadores vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.3 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Fluxos e integrais de linha 35
4.1 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Fluxo numa superfície fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7
8 SUMÁRIO
4.3 Integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Os teoremas da divergência e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Equações de Maxwell 41
5.1 Aspectos históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Domínios das equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 As grandezas fundamentais do eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 A densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.2 O campo magnético ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 Indução magnética ou fluxo magnético ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Densidade superficial de corrente ~J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.5 Densidade volumétrica de carga ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Grandezas complexas e fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.1 Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.2 Operações elementares com complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.3 Aplicações em eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 As Eq. de Maxwell e as relações constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.1 A primeira lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.2 A segunda lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.3 A terceira lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.4 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.5 Aplicações da terceira lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.5.1 Tipos de transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.5.2 Transformadores de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.5.3 Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.5.4 Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.5.5 Transformador em vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.5.6 Exercícios de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.6 A quarta lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.6.1 A equação da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 As formas diferenciais das equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.1 Eletromagnetodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.2 No vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6.3 Equações de Maxwell na forma harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Campo e Potencial elétrico 79
6.1 Potencial e campo de um dipolo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Blindagem Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Carga esférica fechada por uma casca descarregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Eletrodos planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Gerador de Van de Graff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
SUMÁRIO 9
6.6 Pintura Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.7 Série triboelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.8 Para-raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.9 Efeito corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.11 Densidade de energia em
campos eletrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.12Energia radiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.12.1 Cinturões de Van Allen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Condutores, semicondutores e dielétricos 101
7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3.1 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4.1 Semicondutores Intrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.2 Semicondutores extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5 Condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.1 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.2 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.6 Capacitores e capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.6.1 Alguns tipos de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.1 Capacitores de mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.2 Capacitores de papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.3 Capacitores poliméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.4 Capacitores Stiroflex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.5 Capacitores de poliéster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6.1.6 Capacitores cerâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6.1.7 Capacitores eletrolíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6.1.8 “Trimmers” e “Padders” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.7 Aplicações e exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7.1 Disco elétrico uniformemente polarizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7.1.1 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7.2 Modelo de uma junção PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7.2.1 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7.3 Capacitor esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.7.4 Cabo coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.7.5 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.8 Energia em capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10 SUMÁRIO
8 Magnetismo e magnetostática 123
8.1 Um pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3 Força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3.1 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4 Circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4.1 Magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5 Materiais magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.6 Histerese magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.7 O Ímã de neodímio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.7.1 Curvas de magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Exercícios Gerais 139
A Um pouco da História do Eletromagnetismo 155
B Uma pequena biografia de Maxwell 163
C Corrente alternada em resistores 167
D Corrente alternada em indutores 169
E Corrente alternada em capacitores 171
F Campo de um disco uniformemente carregado 173
G O potencial vetor e a densidade de corrente 177
Capítulo 1
Conceitos básicos de eletricidade
1.1 Carga Elétrica
Figura 1.1.1: Balança de Torção de Coulomb
Um corpo está carregado eletricamente quando possui uma pequena quantidade de carga desequili-
brada ou carga líquida. Objetos carregados eletricamente interagem exercendo forças, de atração ou
repulsão, uns sobre os outros. A unidade de medida da grandeza carga elétrica no Sistema Internaci-
onal de Unidades é o coulomb, representado por C, que recebeu este nome em homenagem ao físico
francês Charles Augustin de Coulomb. Mas o que é carga elétrica?
a carga elétrica é uma propriedade física da matéria
Tanto quanto a massa, a carga elétrica é uma propriedade intrínseca da matéria. E as observações
experimentais permitiram a descoberta de importantes propriedades que a carga elétrica possui (em
comum com a massa):
• cargas elétricas criam e são sujeitas à forças elétricas, o que facilmente se observa dos experi-
mentos de eletrização;
• cargas elétricas não podem ser criadas nem destruídas.
1.1.1 Princípio de conservação da carga elétrica
Em relação a segunda das assertivas acima, quando um corpo é eletrizado por fricção, por exemplo, o
estado de eletrização final se deve à transferência de cargas de um objeto para o outro. Não há criação
11
12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
de cargas no processo. Portanto, se um dos objetos cede uma certa carga negativa ao outro, ele ficará
carregado positivamente, com a mesma quantidade de carga cedida ao outro.
Esta observação é coerente com a observação de que a matéria neutra, isto é, sem excesso de cargas,
contém o mesmo número de cargas positivas (núcleo atômico) e negativas (elétrons). Estabelecemos
assim o princípio de conservação da carga elétrica.
Entre partículas elétricas existem forças gravitacionais de atração devido às suas massas e forças
elétricas devido às suas cargas elétricas. Nesse caso, as forças gravitacionais podem ser desprezadas,
visto que a massa de uma carga elétrica é ínfima. A força gravitacional só é perceptível quando há a
interação entre corpo de massas de grandes proporções.
A massa do elétron é me= 9,109 ×10−31kg
A massa do próton é mp= 1,673 ×10−27kg
A massa do nêutron é mn= 1,675 ×10−31kg
Os elétrons apresentam uma carga elétrica muito pequena e seu movimento gera corrente elétrica. Visto
que os elétrons das camadas mais externas de um átomo definem as atrações com outros átomos, estas
partículas possuem um papel importante na química.
O elétron tem uma carga elétrica negativa de e−= −1,6 × 10−19 C e o próton tem um valor de carga
simétrico 1,6 × 10−19 C . A eletricidade estática não é um fluxo de elétrons. É mais correto denominá-
la de "carga estática". Esta carga é causada por um corpo cujos átomos apresentam mais ou menos
elétrons que o necessário para equilibrar as cargas positivas dos núcleos dos seus átomos. Quando
existe um excesso de elétrons, diz-se que o corpo está carregado negativamente. Quando existem
menos elétrons que prótons, o corpo está carregado positivamente. Se o número total de prótons e
elétrons é equivalente, o corpo está num estado eletricamente neutro.
Robert Millikan (1868-1953) descobriu que que a carga elétrica era constituída por um múltiplo inteiro
de uma carga fundamental e, ou seja a carga Q de um certo objeto pode ser escrita como
Q = ne−
assim, sabendo o número de elétron livres, ou em falta, podemos determinar a carga de umcorpo.
1.2 Eletrização
Eletrização por atrito é o processo bem simples de geração de cargas eletrostáticas, ele pode ocorrer
sempre que dois corpos de materiais diferentes são esfregados um no outro. A eletrização por atrito não
acontece entre metais porque eles são bons condutores e a descarga é muito rápida, não conseguindo
mantê-los eletrificado.
O processo de indução eletrostática ocorre quando um corpo eletrizado redistribui cargas de um
condutor neutro. O corpo eletrizado, o indutor, é colocado próximo ao corpo neutro, o induzido, e
isso permite as cargas do indutor atrair ou repelir as cargas negativas do corpo neutro, devido a Lei
de Atração e Repulsão entre as cargas elétricas.
A distribuição de cargas no corpo induzido mantêm-se apenas na presença do corpo indutor. Para
eletrizar o induzido deve-se colocá-lo em contato com outro corpo neutro e de dimensões maiores,
antes de afastá-lo do indutor.
Deste modo, podemos sintetizar o seguinte; os métodos de eletrização mais conhecidos e utilizados
são os de eletrização por condução (ou por "fricção") e eletrização por indução. A eletrização por
condução se dá quando friccionamos entre si dois materiais isolantes (ou condutores isolados) inici-
almente descarregados, ou quando tocamos um material isolante (ou condutor isolado) inicialmente
descarregado com outro carregado.
1.2. ELETRIZAÇÃO 13
Durante o contato, ocorre uma transferência de elétrons entre os dois objetos. Suponhamos que
carreguemos desta forma um bastão de borracha atritado com pele de animal e uma barra de vidro
atritada com seda. Se suspendermos o bastão de borracha por um fio isolante e dele aproximarmos
outro bastão de borracha carregado da mesma maneira, os bastões repelir-se-ão. O mesmo acontece
para dois bastões de vidro, nesta situação. Por outro lado, se aproximarmos a barra de vidro ao bastão
de borracha, ocorrerá uma atração entre eles. Evidentemente constatamos que a borracha e o vidro
têm estados de eletrização diferentes, e pela experiência concluímos que;
• cargas iguais se repelem;
• cargas diferentes se atraem.
Franklin convencionou que a carga da barra de vidro é positiva e a do bastão de borracha é negativa.
Assim, todo o corpo que for atraído pelo bastão de borracha (ou repelido pelo bastão de vidro) deve
ter carga positiva. Da mesma forma, todo o corpo que for repelido pelo bastão de borracha (ou atraído
pela barra de vidro) deve ter carga negativa. No processo de eletrização por indução não há contato
entre os objetos. Através da indução podemos carregar os materiais condutores mais facilmente.
Vejamos como isto é possível. Suponhamos que aproximemos o bastão de borracha (carga negativa)
de uma barra metálica isolada e inicialmente neutra.
As cargas negativas (elétrons) da barra metálica serão repelidas para regiões mais afastadas e a região
mais próxima ao bastão ficará com um excesso de cargas positivas. Se agora ligarmos um fio condutor
entre a barra metálica e a terra (o que chamamos de aterramento), os elétrons repelidos pelo bastão
escaparão por este fio, deixando a barra carregada positivamente tão logo o fio seja removido. Se, por
outro lado, fosse a barra de vidro (carga positiva) aproximada da barra metálica, esta última ficaria
carregada negativamente, pois pelo fio condutor aterrado seriam atraídos elétrons da terra.
Observe que, em ambos os processos, os bastões carregados (indutores) não perderam carga alguma.
Situação parecida ocorre quando aproximamos objetos carregados dos isolantes. Novamente as cargas
serão separadas no material isolante e, uma vez afastado o bastão indutor, as cargas não retornam
às suas posições iniciais devido à pouca mobilidade que possuem no isolante. Dizemos então que o
isolante ficou polarizado.
Figura 1.2.1: Eletrização por atrito
Figura 1.2.2: Eletrização por contato
14 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
Figura 1.2.3: Eletrização por indução
1.3 Lei de Coulomb
Como vimos, a lei de força para cargas elétricas foi pensada como sendo semelhante a lei de Newton
da gravitação. Vimos também que Coulomb através de seu experimento com uma balança de torção,
observou que essa força era efetivamente de mesma natureza: diminuía com o inverso do quadrado da
distância.
Forças são grandezas vetoriais, representadas por ~F , ou F . O módulo ou intensidade dessas grandezas
é indicado por
∣∣∣~F ∣∣∣ou simplesmente F.
A intensidade da força gravitacional é dada por:
F1,2 =
GM1M2
r2
onde:
M1≡massa do corpo 1;
M2≡massa do corpo 2;
F1,2 ≡intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2;
r≡distância entre os centros dos corpos 1 e 2;
G ≡constante da gravitação universal, cujo valor é 6,67×10−11N.m2/kg2.
No caso da lei de Coulomb:
F1,2 =
k0Q1Q2
r2
onde:
Q1≡carga do corpo 1;
Q2≡carga do corpo 2;
F1,2 ≡intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2;
r≡distância entre os centros dos corpos 1 e 2;
k0 ≡constante eletrostática, cujo valor é 8,988×109N.m2/C2.
Essa constante é definida em termos de outra constante, a permissividade elétrica do vácuo (ε0), da
seguinte maneira:
k0 =
1
4piε0
A permissividade é uma constante física que descreve como um campo elétrico afeta, e é afetado por
um meio. A permissividade do vácuo (ε0) vale 8,8541878176 × 10−12 F/m.
Vetorialmente, a lei de Coulomb pode ser escrita da seguinte forma:
~F1,2 =k0
Q1Q2
r2
~ur
1.4. CAMPO ELÉTRICO 15
onde ~uré o versor radial, na direção dos centros de carga. Esta notação é uma notação vetorial
compacta onde não é especificado qualquer sistema de coordenadas.
Se a carga 1 estiver na posição ~r1 e a carga 2 no ponto ~r ambos com origem no ponto (0,0,0) de um
sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) a lei de Coulomb toma a forma:
~F1,2 =
1
4piε0
Q1Q2
|~rj − ~ri|3/2
(~rj − ~ri)
Figura 1.3.1: Lei de Coulomb utilizando um sistema de coordenadas cartesiano
Para a lei de Coulomb, vale o princípio da superposição de forças: dada uma distribuição discreta de
cargas, a força resultante sobre uma carga i de um sistema de cargas com índices 1,2,3,..., j é:
~Fi =
∑
j 6=i
~Fji =
Qi
4piε0
∑
j 6=i
Qj
|~rj − ~ri|3/2
(~rj − ~ri)
1.4 Campo Elétrico
Ao contrário do que se pensava até fins do século XIX, as cargas elétricas são quantizadas. Não
assumem valores discretos, mas sim são múltiplos inteiros de uma carga elementar. A primeira prova
experimental de tal carga foi feita por Helmholtz em 1881 utilizando as leis da eletrólise de Faraday,
que diz que a passagem de uma certa quantidade de eletricidade através de um eletrólito sempre causa
o depósito, no eletrodo, de uma quantidade estritamente definida de um dado elemento. Mais tarde,
Millikan (1910-16) fez o famoso experimento da gota de óleo num campo elétrico. Em 1912 Ioffe, na
Rússia, fez um experimento semelhante ao de Millikan, porém utilizando a irradiação de partículas
de metal em pó (suspensas no ar) por luz ultravioleta. Todos os experimentos chegaram a mesma
conclusão, de que a carga é um múltiplo inteiro de uma carga elementar, e seu valor foi determinado
com maior ou menor precisão em cada um deles. O valor aceito atualmente desta carga elementar é .
Este é o valor da carga do elétron (negativo) e da carga do próton (positivo) como já vimos.
Existem cargas menores como a dos quarks, porém os quarks não "sobrevivem" isoladamente por
muito tempo. Logo eles se combinam com outros quarks formando prótons e nêutrons, ou formam
pares de quark-antiquark que são chamados mésons. Prótons e nêutrons são formados de 3 quarks
cada. O próton é formado por 2 quarks tipo u e um quark tipo d ( uud ) . E o nêutron por 2 quarks
tipo d e um quark tipo u ( udd ) . A carga do quark tipo u vale 2/3 e a do quark tipo d - 1/3e .
Para estudarmos portanto o campo elétrico gerado por uma carga Qj qualquer utilizaremos uma
segunda carga qi muito menor que a primeira. Uma carga elementar.Assim estudaremos os efeitos
causados em qi pela carga Qj . Desta forma, dizemos que o campo elétrico é dado pela força sentida
pela carga qi por unidade de carga. Ou seja:
16 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
~Ei=
~Fi
qi
para um sistema discreto de cargas, é fácil ver que:
~Ei =
1
4pi0
∑
j 6=i
Qj
(rji)
2 rˆji
A unidade de campo elétrico que você aprendeu é o N/C que é equivalente ao V/m, e será esta última
que utilizaremos no curso. O que aprendeu em Física IV foi o campo eletrostático (invariável no
tempo) no espaço livre (vácuo). Um campo eletrostático é gerado por uma distribuição de cargas
estáticas, por exemplo o campo encontrado no interior de tubos de raios catódicos.1
1.4.1 Linhas de campo elétrico
Uma visualização qualitativa do campo elétrico pode ser feita introduzindo-se as chamadas linhas de
campo. Na figura 2.2.1 foram desenhadas algumas destas linhas, possuindo as seguintes propriedades:
Figura 1.4.1: Linhas de campo Elétrico
• As linhas são tangentes, em cada ponto, à direção do campo elétrico neste ponto.
• A intensidade do campo é proporcional ao número de linhas por unidade de área de uma superfície
perpendicular às linhas.
Na figura 2.2.2 estão representadas as linhas as linhas de campo de uma carga puntiforme positiva e
de uma carga puntiforme negativa e negativa.
Figura 1.4.2: Linhas de campo de uma carga puntiforme
As linhas do campo de um dipolo estão representadas na figura 2.2.3.
1Os raios catódicos são radiações onde os elétrons emergem do polo negativo de um eletrodo, chamado ânodo, e se
propagam na forma de um feixe de partículas negativas ou feixe de elétrons acelerados. Isto ocorre devido à diferença
de potencial elevada entre os polos no interior de um tubo contendo gás rarefeito e também devido ao efeito termiônico,
ocasionado pelo aquecimento do metal que constitui o catodo. O dispositivo destinado para a produção de raios catódicos
chama-se tubo de Crookes. Quando a pressão interna no tubo chega a um décimo da pressão ambiente, o gás que existe
entre os eletrodos passa a emitir uma luminosidade. Quando a pressão diminui ainda mais (100 mil vezes menor que a
pressão ambiente) a luminosidade desaparece, restando uma "mancha" luminosa atrás do polo positivo.
1.5. POTENCIAL ELÉTRICO 17
Figura 1.4.3: Linhas de campo de um dipolo
Outras representações:
Figura 1.4.4: Outras representações de campo elétrico
1.5 Potencial elétrico
Suponha que desejamos movimentar uma carga pontual (ou puntiforme) q, de um ponto A para um
ponto B, em um campo elétrico ~E. A força sobre a carga é ~F = q ~E, e o trabalho realizado é:
dW= - q ~E·d~l
o sinal negativo indica que o trabalho é feito por um agente externo. Assim:
W = −q
Aˆ
B
~E · d~l
Dividindo o trabalho pela carga, obtemos a energia potencial elétrica por unidade de carga. Essa
grandeza, denominada por VAB, é a diferença de potencial. Define-se diferença de potencial entre os
pontos A e B como o trabalho realizado para transportar uma carga q de B até A, dividido pelo valor
da carga q:
VAB =
WBA
q
= −
Aˆ
B
~E · d~l
18 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
VABé calculado através de uma integral de linha, cujo trabalho realizado independe da trajetória
escolhida. Vamos ver mais adiante que uma integral de linha é a soma dos produtos das componentes
tangenciais do campo pelos respectivos comprimentos dos trajetos, quando o caminho total é dividido
em infinitas partes. A escolha do ponto inicial B e não A, se deve ao fato de que na notação de
diferença de potencial, pela convenção universal da notação de duplo índice, a primeira letra deve
designar o ponto de maior potencial.
Nos problemas envolvendo cargas puntuais, é costume considerarmos um ponto no infinito como
referência, isto é que o potencial no infinito é zero. Assim o potencial num ponto dado por um sistema
de N cargas é:
V =
1
4piε0
N∑
i
qi
|~r − ~ri|
A energia potencial associada a duas cargas separadas pela distância r12 é:
U =
1
4piεo
q1q2
r12
Linhas equipotenciais, são linhas de mesmo potencial elétrico. As propriedades gerais de superfícies
equipotenciais são:
1. As linhas de campo elétrico são sempre perpendiculares as linhas equipotenciais e apontam do
potencial maior para o potencial menor.
2. Por simetria, as superfícies equipotenciais de uma carga pontual formam uma família de esferas con-
cêntricas e as superfícies equipotenciais de um plano infinito uma família de planos infinitos paralelos
ao plano.
3. A componente tangencial do campo elétrico ao longo de uma superfície equipotencial e sempre nula.
Caso contrario, teria de ser trabalho realizado para mover uma carga ao longo de uma superfície.
4. Nenhum trabalho e necessário para mover uma carga ao longo de uma superfície equipotencial.
Capítulo 2
Noções de Cálculo Vetorial
2.1 Vetores, escalares e o que não deve esquecer!
As grandezas da Física (e da engenharia também!) são costumeiramente classificadas como gran-
dezas escalares ou vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que só tem magnitude, ou seja, ficam
completamente especificadas com um número e uma unidade adequada.
Por exemplo, tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e energia são gran-
dezas escalares. Grandezas vetoriais são grandezas que tem magnitude e orientação, ou seja, direção
e sentido. Exemplos: velocidade, força, deslocamento, campo elétrico e campo magnético. Uma outra
categoria de grandezas físicas são denominadas de tensores, dos quais os escalares e os vetores são
casos particulares. Não vamos abordar esse formalismo no nosso curso! Na maior parte do tempo,
estaremos trabalhando com escalares e vetores.
Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por uma letra
com uma flecha sobre ela, tais como ~A e ~B, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Um
escalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: A e B, OU
∣∣∣ ~A∣∣∣ e ∣∣∣ ~B∣∣∣ . A teoria do
EM é essencialmente um estudo de campos. Um campo é uma função que especifica uma grandeza
particular em qualquer ponto de uma região. É uma função matemática das coordenadas e do tempo,
que é utilizada para descrever propriedades físicas da matéria.
Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é um campo escalar (ou vetorial). Exemplos de
campos escalares: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de som em um teatro
e o potencial elétrico em uma região. A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade
da água num tubo são exemplos de campos vetoriais.
2.2 Operador nabla ou operador de Hamilton1
∇ ≡ ∂
∂x
~ax +
∂
∂y
~ay +
∂
∂z
~ax
1William Rowan Hamilton (Dublin, 4 de agosto de 1805 - Dublin, 2 de setembro de 1865) foi um matemático, físico
e astrônomo irlandês. Contribuiu com trabalhos fundamentais ao desenvolvimento da óptica, dinâmica e álgebra. A sua
descoberta mais importante em matemática é a dos quatérnions, uma generalização do cálculo vetorial e dos números
complexos. Em física é muito conhecido pelo seu trabalho em mecânica analítica, que veio a ser influente nas áreas
da mecânica quântica e da teoria quântica de campos. Em sua homenagem são designados os hamiltonianos, por ele
inventados.
19
20 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
em coordenadas cartesianas.
Curiosidade....o símbolo para derivada parcial ∂ é chamado derronde, que é uma corruptela do francês
de rond que quer dizer ”dê redondo”. Isso se deveu ao fato de os franceses, na época da Revolução
Francesa, adotarem essa forma especial de escrever a letra d.
Nabla é um símbolo, escrito como ∇. O nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa
com uma forma semelhante. Palavras semelhantes existem também em Aramaico e Hebraico. Outro
nome, menos usado, para o símbolo é atled, porqueé um delta invertido verticalmente. Um operador
é como o nome diz um objecto que exerce uma operação. Por exemplo quando você vê o símbolo de
raiz quadrada
√
x sobre um número, sabe que tem de extrair a raiz quadrada desse número. Mas você
estar perguntando o que vai ”na frente” do símbolo da derivada parcial? vamos então ver isso...
2.3 Gradiente de uma função escalar
Dada uma função escalar f (x,y,z ), define-se gradiente da função f como:
∇f = ∂f
∂x
~ax +
∂f
∂y
~ay +
∂f
∂z
~ax
você já aprendeu o que era gradiente em cálculo II...o gradiente de um campo escalar V é um vetor que
representa a magnitude e orientação da máxima taxa de variação espacial de V. O campo eletrostático
pode ser escrito como o gradiente do potencial eletrostático.
~E = −∇V
Pratique um pouco...
Exercício 1 - Determine o campo eletrostático das seguintes funções potencial em volt/metro:
1. V = 10xy V (este último ’V’ é a unidade...volt!)
2. V = 2cos(x)sen(y) V
3. V = exsen(y)cos(z) V
4. V = 2xy2z2 V
Respostas:
1. −10y~ex − 10x~eyV/m
2. 2 sin (x) sin (y)~ex − 2 cos (x) cos (y)~eyV/m
3. −ex sin (y) cos (z)~ex − ex cos (y) cos (z)~ey + ex sin (y) sin (z)~ezV/m
4. −2y2z2~ex − 4xyz2~ey − 4xy2z~ezV/m
2.4. DIVERGENTE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL ~A 21
Figura 2.3.1: Campo vetorial gerado pelo gradiente
2.4 Divergente2 de uma função vetorial ~A
O divergente de uma função vetorial ~A é o produto escalar do operador nabla com a função ~A:
∇· ~A =∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
A divergência do ponto de vista físico é uma medida de quanto o campo diverge ou emana para um
ponto.
Figura 2.4.1: Exemplo de campo com divergente positivo
Figura 2.4.2: Exemplo de campo com divergente negativo
2Na realidade, o termo correto é divergência.
22 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Figura 2.4.3: Exemplo de campo com divergente nulo
Um exemplo da aplicação do divergente em eletromagnetismo, é a 1ª Lei de Maxwell:
∇ · ~E = ρ
ε0
onde ρé a densidade de carga.
Exercício 2 Determine o divergente dos campos vetoriais que encontrou no exercício 1, e determine
então a densidade de carga.
Respostas:
1. zero
2 . 4ε0 cos (x) sin (y)
3.exε0 sin (y) cos (z)
4. ε0
(−4xz2 − 4xy2)
2.5 Rotacional de uma função vetorial ~A
O rotacional de uma função vetorial ~A é o produto vetorial do operador nabla com a função ~A:
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~ax ~ay ~az
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣∣
o significado físico do rotacional é o seguinte: ele fornece o máximo valor de circulação por unidade
de área (ou densidade de circulação) e indica a orientação ao longo da qual seu máximo valor ocorre.
O rotacional de um campo vetorial ~A em torno de um ponto P, é a medida da circulação do campo,
ou seja o quanto esse gira em torno de P. Um exemplo é a 3ª Lei de Maxwell, ou lei de Faraday na
forma diferencial:
∇× ~E= - ∂
~B
∂t
Exercício 3 Determine o rotacional dos campos vetoriais que encontrou no exercício 1.
2.6. OPERADOR LAPLACIANO 23
Figura 2.5.1: Campo vetorial da função ~A = yz ~ax+4xy ~ay
Na figura acima, o rotacional do campo é o vetor ~C = y ~ay + (4y − z) ~ay. Note que os vetores em
algumas regiões do campo mudam de orientação.
2.6 Operador Laplaciano
O laplaciano de um campo escalar V, escrito como ∇2V , é o divergente do gradiente de V. Em
coordenadas cartesianas:
∇2V = ∂
2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
Um campo escalar é dito harmônico em uma dada região quando seu laplaciano de anula nessa região.
Ou seja, se ∇2V = 0 for satisfeita nessa região, a solução para V é harmônica (na forma de seno ou
cosseno). A equação ∇2V = 0 é chamada de equação de Laplace3.
Note que o resultado de um laplaciano é um campo escalar, obtido através de um campo escalar.
Define-se também o laplaciano de um campo vetorial, mas não da mesma forma que um escalar,
obviamente. Para um campo vetorial ~A, o laplaciano desse campo é calculado por:
∇2 ~A = ∇
(
∇ · ~A
)
−∇×∇× ~A
em coordenadas cartesianas:
∇2 ~A = ∇2Ax~ax +∇2Ay~ay +∇2Az~az
para treinar, encontre o laplaciano do campo escalar:
V = e−zsen(2x) cos(y)V
3Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 - Paris, 5 de março de 1827) foi um
matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática, sumarizando e ampliando o trabalho de
seus predecessores nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu
o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como
mecânica física, ou analítica.Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada de Laplace aparece em todos
os ramos da física matemática - campo em que teve um papel principal na formação. O operador diferencial de Laplace,
da qual depende muito a matemática aplicada, também recebe seu nome. Ele se tornou conde do Império em 1806 e foi
nomeado marquês em 1817, depois da restauração dos Bourbons.
24 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Figura 2.6.1: Retrato póstumo de Laplace pintado por Madame Feytaud, 1842
2.6.1 Identidades com operadores vetoriais
div rot ~f = 0 (2.6.1)
rot gradϕ = 0 (2.6.2)
rot rot ~f = grad div ~f −∇2 ~f (2.6.3)
grad (ϕψ) = ϕ gradψ + ψ gradϕ (2.6.4)
div (ϕ~f ) = ϕdiv ~f + ~f · gradϕ (2.6.5)
rot (ϕ~f ) = ϕ rot ~f + (gradϕ)× ~f (2.6.6)
∇2(ϕψ) = ϕ∇2ψ + ψ∇2ϕ+ 2 (gradϕ) · (gradψ) (2.6.7)
div (~f × ~g ) = ~g · rot ~f − ~f · rot~g (2.6.8)
rot (~f × ~g ) = ~f div~g − ~g div ~f + (~g · ∇) ~f − (~f · ∇)~g (2.6.9)
grad (~f · ~g ) = ~f × rot~g + ~g × rot ~f + (~f · ∇)~g + (~g · ∇) ~f (2.6.10)
Exercício: Utilize o operador nabla para escrever as identidades vetoriais acima.
grad→ ∇
div→ ∇·
rot→ ∇×
2.6.2 Resolução das equações de Laplace e Poisson
Várias vezes determinamos campos potenciais à partir de uma distribuição de cargas, integrando sobre
uma superfície ou volume especificado. Entretanto, podemos ter condições de obter campos potenciais
à partir de potenciais fixos conhecidos, dadas as condições de contorno, para problemas de geometria
simples. São as equações de Laplace e Poisson nos permitem atingir esse objetivo.
2.6. OPERADOR LAPLACIANO 25
Considere então as equações do gradiente de potencial e do divergente do campo elétrico:
E = −∇V
∇ · E = ρε0
Facilmente vemos que:
∇ · (−∇V ) = ρ
ε0
⇒ ∇2V = − ρ
ε0
A equação
∇2V = − ρ
ε0
é conhecida como equação de Poisson4.
Se o meio for isento de cargas, a equação se resume a:
∇2V = 0
que é a equação de Laplace que falamos no seção anterior.
Figura 2.6.2: Siméon Denis Poisson
A resolução da equação de Poisson normalmente nos leva a procedimentos matemáticos mais complexos
e frequentemente o seu uso se faz concomitantemente com outras relações e equações. Por esta razão,
tendo em conta o nosso curso, vamos mostrar como resolver, em alguns casos, apenas problemas que
são descritos pela equação de Laplace.
1. Determinar como varia o potencial entre duas placas planas infinitas, como mostrado abaixo:
4Siméon Denis Poisson (Pithiviers, 21 de Junho de 1781 - Paris, 25 de Abril de 1840) foi um matemático e físico
francês, filho do soldado Siméon Poisson. Em 1798 entrou na École Polytechnique em Paris, como primeiro colocado de
sua turma, atraindo imediatamente a atenção dos professores da escola, deixando-o livre para escolher o que estudar. Em
1800, menos de dois anos depois de seu ingresso, publicou duas memórias, uma sobre o método da eliminação de Étienne
Bézout, e a outra sobre o número de integrais de uma equação em diferenças finitas. Esta última foi examinada por
Sylvestre François Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que recomendaram sua publicação no Recueil des savants étrangers,
uma honra sem precedentes para um jovem de dezoito anos.
Poisson desenvolveu o expoente de Poisson, usado na transformação adiabáticade um gás. Este expoente é a razão
entre a capacidade térmica molar de um gás a pressão constante e a capacidade térmica molar de um gás a volume
constante. A lei de transformação adiabática de um gás diz que o produto entre a pressão de um gás e o seu volume
elevado ao expoente de Poisson é constante.
26 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Figura 2.6.3: Potencial entre duas placas infinitas
O sistema apresenta simetria cartesiana e neste caso:
∇2V = ∂
2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
= 0
Observamos que o potencial não varia em função de x e y, logo, suas derivadas se anulam:
∇2V = ∂
2V
∂z2
= 0
Vamos resolver essa equação diferencial por integrações sucessivas:
∂2V
∂z2
= 0→ ∂V
∂z
= C1 → V = C1z + C2
As constantes de integração podem ser obtidas pelas condições de contorno, onde sabemos que :
V ( z = 0) = 0 e V (z = z,) = V 1. Aplicando a primeira condição de contorno, temos: 0 = C1.0
+ C2 , logo: C2 = 0 e portanto: V = C1z. Aplicando a segunda condição de contorno: V (z =
z,) = V 1, logo V 1 = C1z1, e portanto C1 = V1/z1. Assim, o potencial V varia entre as placas
linearmente pela relação:
V =
V1
z1
z
2. Determinar a variação de potencial devido a uma esfera mantida a um potencial V1.
Figura 2.6.4: Esfera mantida em um potencial V1
Pela simetria do problema, devemos usar o operador de Laplace em coordenadas esféricas ( veja
o resumo de cálculo vetorial colocado na central do aluno para a equação correspondente). Pela
simetria do problema, não há variação do potencial em função de θ e φ. Logo:
1
r2
∂
(
r2 ∂V∂r
)
∂r
= 0⇒ ∂
(
r2 ∂V∂r
)
∂r
= 0
2.6. OPERADOR LAPLACIANO 27
Integrando sucessivamente, temos:
r2
∂V
∂r
= C1 → ∂V
∂r
=
C1
r2
→ V = −C1
r
+ C2
Condições de contorno:
V(r=r) = V1
V(r=∞) = 0
Pela primeira condição de contorno:
0 = −C1∞ + C2 → C2 = 0
Pela primeira condição de contorno:
V1 = −C1
r1
→ C1 = −V1r1
Logo, o potencial será dado por:
V =
V1r1
r
3. Determinar o potencial em todos os pontos do cabo coaxial abaixo:
Figura 2.6.5: Exemplo de cabo coaxial
O problema tem simetria cilíndrica, logo usamos o laplaciano em coordenadas cilíndricas. Pela
simetria do problema, concluímos que não há variação do potencial em função de φ e de z. Suas
derivadas então se anulam e o Laplaciano fica reduzido a
∇2V = 1
ρ
∂
(
ρ∂V∂ρ
)
∂ρ
= 0⇒
∂
(
ρ∂V∂ρ
)
∂ρ
= 0
Integrando sucessivamente, temos
r
∂V
∂r
= C1 → ∂V
∂r
=
C1
r
→ V = C1 ln r + C2
Condições de contorno:
V(r=ra) = V1
V(r=rb) = 0
Pela segunda condição de contorno:
0 = C1 ln rb + C2 → C2 = −C1 ln rb
28 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Pela primeira condição de contorno:
V1 = C1 ln ra + C2 → V1 = C1 ln ra − C1 ln rb
V1 = C1 ln
ra
rb
→ C1 = V1ln ra
rb
portanto:
C2 = − V1
ln rarb
ln rb
Finalizando, o valor de V será:
V =
V1
ln rarb
ln r − V1
ln rarb
ln rb
2.7 Classificação de campos vetoriais
Um campo vetorial é univocamente determinado pelo seu divergente e pelo seu rotacional. Individu-
almente, eles não são suficientes para descrever completamente o campo. Todos os campos podem ser
classificados em termos de anulação ou não-anulação de seu divergente ou de seu rotacional, como se
segue:
(a)∇ · ~A = 0,∇× ~A = 0
(b)∇ · ~A 6= 0,∇× ~A = 0
(c)∇ · ~A = 0,∇× ~A 6= 0
(c)∇ · ~A 6= 0,∇× ~A 6= 0
Figura 2.7.1: Exemplos de (a) e (b)
Figura 2.7.2: Exemplos de (c) e (d)
Um campo vetorial ~A é dito solenoidal ( ou não divergente) se ∇ · ~A = 0
Um campo vetorial ~A é dito irrotacional ( ou potencial) se ∇× ~A = 0
Capítulo 3
Mudança de coordenadas
As quantidades com que trabalhamos no eletromagnetismo são funções do espaço e do tempo. Para
descrever as variações espaciais dessas quantidades devemso ser capazes de definir todos os pontos de
maneira unívoca1 no espaço e de forma adequada.
Pontos ou um vetores, podem se representados em quaisquer sistemas de coordenadas curvilíneo,
ortogonal ou não-ortogonal. Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas são mutuamente
perpendiculares.
Os sistemas ortogonais incluem diversos sistemas como o cartesiano (ou retangular), o cilíndrico circu-
lar, o esférico, o cilíndrico elíptico, o cilíndrico parabólico, o cônico, o esferoidal, o esferoidal oblongo,
o esferoidal achatado e o elipsoidal.
A escolha de um sistema adequado de coordenadas leva a uma grande economia de tempo e de papel!
3.1 Coordenadas cartesianas (x,y,z )
Figura 3.1.1: Coordenadas cartesianas
Os intervalos de variação das variáveis coordenadas é:
−∞ <x <∞
−∞ <y <∞
−∞ <z <∞
A escrita de um vetor em coordenadas cartesianas pode ser por terna ordenada, ou escrevendo expli-
citamente suas componentes com os respectivos versores da base:
~A = (Ax, Ay, Az) ou ~A =
(
Ax ~ax +Ay ~ay+Ay ~az
)
1adj. Que mantém o mesmo sentido em empregos diferentes, que só pode ser interpretado de uma forma. Na
Matemática diz-se da correspondência entre dois conjuntos, na qual um elemento do primeiro conduz a um, e somente
a um, elemento do segundo.
29
30 CAPÍTULO 3. MUDANÇA DE COORDENADAS
3.2 Coordenadas cilíndricas circulares (ρ,φ, z )
Figura 3.2.1: Coordenadas cilíndricas
Os intervalos de variação das variáveis coordenadas são:
0 ≤ρ <∞
0 ≤φ < 2pi
−∞ <z <∞
A escrita de um vetor em coordenadas cartesianas pode ser por terna ordenada, ou escrevendo expli-
citamente suas componentes com os respectivos versores da base:
~A = (Aρ, Aφ, Az) ou ~A =
(
Aρ ~aρ +Aφ ~aφ+Ay ~az
)
A magnitude de ~A é dada por:
A =
√
A2ρ +A
2
φ +A
2
z
As relações com as coordenadas cartesianas são as seguintes:
x = ρ cosφ
y = ρsenφ
z = z
da figura 4.2.1 é fácil ver que:
ρ =
√
x2 + y2
φ = tg−1
( y
x
)
z = z
As relações entre os versores cartesianos e os das coordenadas cilíndricas circulares pode ser dada na
forma matricial:  ~ax~ay
~az
=
 cos(φ) −sen|(φ) 0sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 ~aρ~aφ
~az

ou
3.3. COORDENADAS ESFÉRICAS (R, θ,φ) 31 ~aρ~aφ
~az
=
 cos(φ) sen|(φ) 0−sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 ~ax~ay
~az

Apenas para relembrar, na operação acima utilizamos o cálculo da matriz inversa: AA−1= I onde I
é matriz identidade.
Deste modo, uma mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas circulares é realizada com a
operação:  AρAφ
Az
=
 cos(φ) sen|(φ) 0−sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 AxAy
Az

ou  AxAy
Az
=
 cos(φ) −sen|(φ) 0sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 AρAφ
Az

3.3 Coordenadas esféricas (r, θ,φ)
Figura 3.3.1: Coordenadas esféricas
Os intervalos de variação das variáveis coordenadas são:
0 ≤r <∞
0 ≤θ ≤ pi
0 ≤φ < 2pi
A escrita de um vetor em coordenadas cartesianas pode ser por terna ordenada, ou escrevendo expli-
citamente suas componentes com os respectivos versores da base:
~A = (Ar, Aθ, Aφ) ou ~A =
(
Ar ~ar +Aθ ~aθ+Aφ ~aφ
)
32 CAPÍTULO 3. MUDANÇA DE COORDENADAS
A magnitude de ~A é dada por:
A =
√
A2r +A
2
θ +Aφ
2
As relações com as coordenadas cartesianas são as seguintes:
x = rsenθ cosφ
y = rsenθsenφ
z = r cos θ
da figura 4.3.1:
r =
√
x2 + y2 + z2
θ = cos−1
(
z√
x2+y2+z2
)
ϕ = tg−1
( y
x
)
As relações entre os versores cartesianos e os das coordenadas esféricas pode ser dada na forma
matricial: ~ax~ay
~az
=
 sen(θ)cos(φ) cos(θ)cos(φ) −sen(φ)sen(θ)sen(φ) cos(θ)sen(φ) cos(φ)
cos(θ) −sen(θ) 0
 ~ar~aθ
~aφ

ou ~ar~aθ
~aφ
=
 sen(θ)cos(φ) sen(θ)sen(φ) cos(θ)cos(θ)cos(φ) cos(θ)sen(φ) −sen(θ)
−sen(φ) cos(φ) 0
 ~ax~ay
~az

As mudanças de coordenadas são feitas substituindo os versores pelas componentes, como no caso
anterior!
3.4 Exemplo de mudança de coordenadas
Você pode usar as matrizesacima para realizar as transformações de coordenadas, ou as relações com
as cartesianas no caso de um ponto.
Utilize essas relações para determinar o ponto P(-2,6,3) em coordenadas cilíndricas circulares e esfé-
ricas.
Resposta: P cilindricas(6,32;108,43º;3); Pesfe´ricas(7;64,62º;108,43º)
Suponha que tem de escrever o vetor
~B = y ~ax + (x+ z) ~ay
em coordenadas cilíndricas. Vamos usar tabelas em que temos o resultado dos produtos escalares
entre os versores dos sistemas ortogonais de coordenadas que vimos anteriormente e propriedades do
produto escalar.
~aρ ~aφ ~az
~ax cos(φ) −sen(φ) 0
~ay sen(φ) cos(φ) 0
~az 0 0 1
Tabela 3.4.1: Resultado do produto escalar dos versores cartesianos e dos versores do sistema cilíndrico
3.4. EXEMPLO DE MUDANÇA DE COORDENADAS 33
Vamos ver então....o vetor ~B em coordenadas cilíndricas tem coordenadas ~B =(Bρ, Bφ, Bz). É fácil ver
que o produto escalar de um vetor por um de seus versores de base resulta na respectiva componente.
Por exemplo, Ax = ~A · ~ax. Então:
Bρ = ~B · ~aρ=(y ~ax + (x+ z) ~ay) · ~aρ
⇐⇒Bρ =(y ~ax · ~aρ + (x+ z) ~ay · ~aρ)
olhando na tabela:
~ax · ~aρ =cos(φ)
~ay · ~aρ =sen(φ)
logo
Bρ = ycos(φ) + (x+ z)sen(φ)
analogamente
Bφ = −ysen(φ) + (x+ z)cos(φ)
Bz = 0
como
x = ρ cosφ
y = ρsenφ
z = z
substituindo, obtemos a equação de ~B em coordenadas cilíndricas:
~B = [ρ cos (φ) sen (φ) + (ρ cos (φ) + z) sen (φ)]~aρ
+
[−ρsen2 (φ) + (ρ cos (φ) + z) cos (φ)]~aφ
Se quisermos saber o valor de ~B em P(-2,6,3) utilizamos:
ρ =
√
x2 + y2
φ = tg−1
( y
x
)
~B = −0, 9487~aρ − 6, 008~aφ
para terminar este capítulo, a seguir a tabela para a conversão cartesianas←→esféricas:
~ar ~aθ ~aφ
~ax sen(θ)cos(φ) cos (θ) cos(φ) −sen (φ)
~ay sen (θ) sen(φ) cos(θ)sen (φ) cos (φ)
~az cos (θ) −sen (θ) 0
Tabela 3.4.2: Resultado do produto escalar dos versores cartesianos e dos versores do sistema esférico.
34 CAPÍTULO 3. MUDANÇA DE COORDENADAS
3.5 Operadores vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas
3.5.1 Coordenadas cilíndricas
gradϕ =
∂ϕ
∂ρ
eˆρ +
1
ρ
∂ϕ
∂φ
eˆφ +
∂ϕ
∂z
kˆ (3.5.1)
div ~f =
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ fρ
)
+
1
ρ
∂fθ
∂φ
+
∂fz
∂z
(3.5.2)
rot ~f =
(1
ρ
∂fz
∂φ
− ∂fφ
∂z
)
eˆρ+
(∂fρ
∂z
− ∂fz
∂ρ
)
eˆφ+
1
ρ
[
∂
∂ρ
(ρfφ)− ∂fρ
∂φ
]
kˆ (3.5.3)
∇2 = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2
∂φ2
+
∂2
∂z2
(3.5.4)
3.5.2 Coordenadas esféricas
gradϕ =
∂ϕ
∂r
eˆr +
1
r
∂ϕ
∂θ
eˆθ +
1
r sen θ
∂ϕ
∂φ
eˆφ (3.5.5)
div ~f =
1
r2
∂
∂r
(
r2fr
)
+
1
r sen θ
∂
∂θ
(
fθ sen θ
)
+
1
r sen θ
∂fφ
∂φ
(3.5.6)
rot ~f =
1
r sen θ
[
∂
∂θ
(
fφ sen θ
)− ∂fθ
∂φ
]
eˆr +
1
r sen θ
[
∂fr
∂φ
− sen θ ∂
∂r
(
rfφ
)]
eˆθ
+
1
r
[
∂
∂r
(
rfθ
)− ∂fr
∂θ
]
eˆφ (3.5.7)
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂
∂θ
)
+
1
r2 sen2θ
∂2
∂φ2
(3.5.8)
3.5.3 Diferenciais
Comprimento
d~`= dx~ax + dy~ay + dz~az
d~`= dρ~aρ + ρdφ~aφ + dz~az
d~`= dr~ar + rdθ~aθ + rsen (θ) dφ~aφ
Área
d~S = dydz~ax + dxdz~ay + dzdy~az
d~S = ρdφdz~aρ + dρdz~aφ + ρdφdρ~az
d~S = r2sen (θ) dθdφ~ar + rsen (θ) drdφ~aθ + rdrdθ~aφ
Volume
dV = dxdydz
dV = ρdρdφdz
dV = r2sen (θ) drdθdφ
Capítulo 4
Fluxos e integrais de linha
4.1 Fluxo de um campo vetorial
Suponha inicialmente uma superfície plana de área A dentro de um campo de velocidades ~v . Este
campo pode ser, por exemplo, um córrego, o fluxo de gás dentro de uma tubulação, etc. De qualquer
forma, haverá nesse campo um fluido onde a cada ponto associaremos um vetor velocidade ~v .
Vamos supor inicialmente que o campo é uniforme (ou seja, a velocidade é a mesma para todos os
pontos desse espaço e a direção e sentido se mantem constante) e que a superfície esteja perpendicular
ao campo. Definimos então
Φ =
Quantidade de fluido que atravessa a superf ı´cieA
tempo
Figura 4.1.1: Superfície aberta perpendicular ao fluxo
Podemos expressar esta definição em termos de v e de A com a seguinte consideração: num tempo
Dt, cada partícula do fluido percorre uma distância v Dt. Assim, se construirmos um paralelepípedo
de base A e comprimento v Dt, notaremos que toda a partícula que estiver dentro desta "caixa"
atravessa a superfície A no tempo Dt. As partículas que estiverem fora não conseguirão, neste tempo,
atravessar a superfície. Assim, a quantidade de fluido que atravessa a superfície A no tempo D t será
simplesmente o volume dessa "caixa" , ou seja v Dt A. O fluxo será então:
Φ =
v∆tA
∆t
=vA
Suponha agora que a superfície A esteja inclinada de um ângulo j, como mostra a figura 5.1.2. Observe
que a quantidade de fluido que atravessa A no tempo Dt é a mesma que atravessa A’ (que é a projeção
de A em um plano perpendicular às linhas de campo) . Assim ΦA = ΦA′ = v A’ .
35
36 CAPÍTULO 4. FLUXOS E INTEGRAIS DE LINHA
Figura 4.1.2: Superfície inclinada relativamente ao fluxo
como A’ = Acos (θ), então ΦA = vAcos (θ)
⇒ΦA = ~v · ~A, onde ~A = A~n e ~n um vetor unitário normal a superfície.
4.1.1 Fluxo numa superfície fechada
Considere a figura a seguir:
Figura 4.1.3: Superfície fechada
O fluxo através da superfície é:
Φ = Φsai − Φentra
observando localmente a superfície (figura 5.1.4), observamos que igualdade acima pode ser escrita
como:
Φ =
5∑
j=1
~v · ~Aj
Figura 4.1.4: Fluxos nas superfícies do sólido
Podemos generalizar esse resultado supondo um superfície fechada composta de N superfícies planas
e inclusive super que o campo de velocidades não é uniforme, mas assuma um valor constante na
superfície ~Aj :
Φsuperf.fechada =
N∑
j=1
~vj · ~Aj
4.2. INTEGRAL DE LINHA 37
4.2 Integral de linha
Vamos agora ver o caso em que o integrando envolve um vetor. Linha será uma trajetória ao longo de
uma curva, no espaço.
Poe definição, a integral de linha
ˆ
L
~A · d~l
é a integral da componente tangencial de ~A ao da curva L. assim, dado um campo vetorial ~A e uma
curva L:
ˆ
L
~A · d~l =
bˆ
a
A cos (θ)dl
Figura 4.2.1: Integral de linha
Se o caminho de integração é uma curva fechada como na figura 5.2.2, o integral torna-se um integral
de linha fechado, e simboliza-se por:
˛
L
~A · d~l
que é denominada a circulação de ~A em torno de L.
Figura 4.2.2: Integral de linha de um caminho fechado
4.3 Integral de superfície
Dado um campo vetorial ~A, contínuo em uma região contendo uma curva suave S, definimos o integral
de superfície, ou fluxo de ~A através de S como
ˆ
S
~A · ~andS =
ˆ
S
A cos (θ)dS
38 CAPÍTULO 4. FLUXOS E INTEGRAIS DE LINHA
Figura 4.3.1: Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície S
ou simplesmente
Φ =
ˆ
S
~A · d~S
Para uma superfície fechada, definindo um volume, a equação acima torna-se:
Φ =
˛
S
~A · d~S
que é o fluxo líquido de ~A que sai de S. Observe que o caminho fechado define uma superfície aberta,
enquanto que uma superfície fechada define um volume.
Definimos o integral
ˆ
V
ρV dV
como o integral de volume do escalar ρV sobre o volume V.
O significado físico de uma integral de linha, de superfície ou de volume depende das quantidades
físicas representadas por ~A ou ρV .
Por exemplo:
1- Lei de Gauss: O fluxo elétrico total Φatravés de qualquer superfícies fechada é igual a carga total
encerrada por essa superfície:
Φ =
˛
S
~E · d~S = Qint
ε0
2- 1ª Lei de Kirchhoff : A soma dos potenciais elétricos ao percorrer uma malha fechada é zero (num
caminho fechado A coincide com B):
VAB =
˛
~E · d~l = 0
Os elementos infinitesimais dl, dS e dV nos três sistemas de coordenadas que aprendemos você encon-
tra nomaterial de apoio formulario_calc_vet_diferenciais.pdf. Lembre-se que você tem de memorizar
os três em coordenadas cartesianas!
4.4 Os teoremas da divergência e de Stokes
Teorema da divergência: O fluxo total de um campo vetorial ~A que sai de uma superfície fechada S é
igual a integral de volume da divergência de ~A.
4.4. OS TEOREMAS DA DIVERGÊNCIA E DE STOKES 39
˛
S
~A · d~S =
ˆ
V
∇ · ~AdV
Utilizando o teorema de Gauss e o teorema da divergência, chegamos na forma diferencial da 1ª lei de
Maxwell:
˛
S
~E · d~S =
ˆ
V
∇ · ~EdV
como
˛
S
~E · d~S = Qint
ε0
e
Qint =
ˆ
V
ρdV
então:
∇ · ~E = ρ
ε0
Teorema de Stokes: A circulação de um campo vetorial ~A em torno de um caminho fechado L é igual
à integral de superfície do rotacional de ~A sobre a superfície aberta S, limitada por L, desde que ~A e
~∇×A sejam contínuos sobre S.
˛
L
~A · d~l =
ˆ
S
(
∇× ~A
)
· d~S
40 CAPÍTULO 4. FLUXOS E INTEGRAIS DE LINHA
Capítulo 5
Equações de Maxwell
5.1 Aspectos históricos
As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que
incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a Lei de Ampère
corrigida, uma equação de três componentes; a Lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a
relação entre densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre
campo magnético e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a
ausência de monopolos magnéticos; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial,
descrita por equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos
elétrico e de deslocamento, descrita por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona
intensidade de corrente e campo elétrico, descrita por equações de três componentes; e a equação
de continuidade, que relaciona a intensidade de corrente e densidade de carga, descrita por uma
equação. A formulação matemática moderna das equações de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside1
e Willard Gibbs2, que em 1884 reformularam o sistema original de equações em uma representação
mais simples, utilizando-se de cálculo vetorial. Maxwell também havia publicado seu trabalho, em
1873, utilizando notações com base em quatérnions, que acabou se tornando impopular. A mudança
para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção
das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente
o desenvolvimento posterior da física.
1Oliver Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850- Torquay, 3 de fevereiro de 1925), foi um matemático inglês. Aos 16
anos abandonou a escola para seguir o sonho de ser telegrafista. Nos tempos livres estudava eletricidade, chegando a
publicar alguns artigos inspirados pelo Tratado de Eletricidade e Magnetismo de Maxwell. Apesar dos vários contributos
para o eletromagnetismo, é mais conhecido pelo estudo da análise vetorial; introduziu o cálculo operacional para resolver
equações diferenciais dos circuitos, tornando-as equações algébricas facilmente resolúveis.
2Josiah Willard Gibbs (New Haven, 11 de fevereiro de 1839 - New Haven, 28 de abril de 1903) foi um físico, químico
teórico e matemático norteamericano. Gibbs estudou matemática e ciências naturais na Universidade de New Haven.
Foi tutor de 1863 a 1866 no Colégio de Yale. Foi então para a Europa, onde prosseguiu seus estudos em Paris, Berlim e
Heidelberg. Em 1871 foi professor na Universidade Yale. Seus trabalhos estão em áreas tão diversas como a mecânica
estatística, o cálculo vetorial e a teoria eletromagnética da luz. Seus Scientific Papers (1906) e Collected Works (1928)
foram recolhidos e publicados após sua morte.
41
42 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Figura 5.1.1: Oliver Heaviside
Figura 5.1.2: Willard Gibbs
5.2 Domínios das equações de Maxwell
Dentro do eletromagnetismo, podemos distinguir dois domínios que estão inclusos nas equações de
Maxwell:
1. Domínio das altas frequências. Contém a análise e estudo de ondas eletromagnéticas e a propa-
gação de energia pelas mesmas; frequências superiores a algumas dezenas de kHz.
2. Domínio das baixas frequências. Neste domínio estão a maior parte dos dispositivos eletro-
magnéticos como motores elétricos, relés, transformadores e disjuntores; frequências abaixo de
dezenas de kHz.
A área das baixas frequências corresponde aos estados quase-estacionários onde podemos estudar
campos elétricos e magnéticos separadamente, ao contrário do domínio de altas frequências onde estes
campos são interdependentes.
A seguir um diagrama didático desta divisão do eletromagnetismo extraído de Eletromagnetismo para
Engenharia: Estática e Quase-Estática, João Pedro Assumpção Bastos, Editora da UFSC.
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 43
Figura 5.2.1: Diagrama didático dos domínios do eletromagnetismo
5.3 As grandezas fundamentais do eletromagnetismo
1. Campo elétrico ~E;
2. Indução elétrica ou fluxo elétrico ~D;
3. Campo magnético ~H;
4. Indução magnética ou fluxo magnético ~B;
5. Densidade superficial de corrente ~J ;
6. Densidade volumétrica de carga ρ.
Vamos definir ainda as seguintes grandezas:
• A permeabilidade magnética µ;
• A permissividade elétrica ε;
• A condutividade elétrica σ.
Já conhecemos o campo elétrico, vamos definir agora as outras grandezas.
5.3.1 A densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica
O fluxo devido ao campo elétrico, como vimos, pode ser calculado por
ˆ
S
~A · d~S
ou, para uma superfície fechada: ˛
S
~A · d~S
a intensidade do campo elétrico depende do meio onde as cargas estão inseridas. Na física IV e até este
momento o meio foi sempre o vácuo. Isto está explícito na dependência do campo do a permissividade
elétrica do vazio, ε0, que definimos no capítulo 2. Por isso, definimos um novo campo vetorial ~D,
independente do meio e definido por :
~D = ε0 ~E
44 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
e vamos definir o fluxo elétrico Ψem termos de ~D através da equação:
Ψ =
ˆ
S
~D · d~S
Em unidades do SI, uma linha de fluxo elétrico se inicia numa carga de + 1,0 C e termina em uma
carga de - 1,0 C, por isso o fluxo é medido em coulombs [C]. O campo vetorial ~D é denominado
de densidade de fluxo elétrico e medido em coulomb/metro quadrado [C/m2]. Por razões históricas,
também é denominado de deslocamento elétrico.
Outra maneira de definir esta grandeza, é através de uma experiência realizada por Faraday3 em 1837.
Ele realizou uma experiência com um par de esferas concêntricas, sendo a externa constituída de dois
hemisférios e ambas separadas por uma camada isolante. A esfera interna, de raio “a”é então carregada
positivamente. Em seguida, os hemisférios, de raio “b”,são montados em torno da esfera carregada,
sendo a camada isolante de ¾ de polegada. Faz-se uma conexão momentânea da esfera externa à terra.
Na sequência o equipamento é desmontado e a carga de cada hemisfério cuidadosamente medida.
Concluiu então que a carga na esfera externa é igual em magnitude à da esfera interna, independente
do material isolante utilizado.
Figura 5.3.1: Esferas da experiência de Faraday
3Michael Faraday (Newington, Surrey, 22 de setembro de 1791 - Hampton Court, 25 de agosto de 1867) foi um físico
e químico inglês, sendo considerado um dos cientistas mais influentes de todos os tempos.[1] Suas contribuições mais
importantes e seus trabalhos mais conhecidos foram nos intimamente conectados fenômenos da eletricidade, eletroquímica
e do magnetismo, e diversas outras contribuições muito importantes na física e na química. Faraday foi principalmente
um experimentalista, e de fato, ele foi descrito como o "melhor experimentalista na história da ciência", emboranão
conhecesse matemática avançada, como cálculo infinitesimal. Tanto suas contribuições para a ciência, e o impacto delas
no mundo, são certamente grandes: suas descobertas científicas cobrem áreas significativas das modernas física e química,
e a tecnologia desenvolvida baseada em seu trabalho está ainda mais presente. Suas descobertas em eletromagnetismo
deixaram a base para os trabalhos de engenharia no fim do século XIX por pessoas como Edison, Siemens, Tesla e
Westinghouse, que tornaram possível a eletrificação das sociedades industrializadas, e seus trabalhos em eletroquímica
são agora amplamente usados em química industrial. Na física, foi um dos primeiros a estudar as conexões entre
eletricidade e magnetismo. Em 1821, logo após Oersted ser o primeiro a descobrir que a eletricidade e o magnetismo
eram associados entre si, Faraday publicou seu trabalho que chamou de "rotação eletromagnética" (princípio por trás do
funcionamento do motor elétrico). Em 1831, Faraday descobriu a indução eletromagnética, o princípio por trás do gerador
elétrico e do transformador elétrico. Suas ideias sobre os campos elétricos e os magnéticos, e a natureza dos campos em
geral, inspiraram trabalhos posteriores nessa área (como as equações de Maxwell), e campos do tipo que ele fitou são
conceitos-chave da física atual. Na química, descobriu o benzeno, produziu os primeiros cloretos de carbono conhecidos
(C2C`6 e C2C`4), ajudou a estender as fundações da metalurgia e metalografia, além de ter tido sucesso em liquefazer
gases nunca antes liquefeitos (dióxido de carbono, cloro, entre outros), tornando possíveis métodos de refrigeração que
foram muito usados. Talvez sua maior contribuição foi em virtualmente fundar a eletroquímica, e introduzir termos como
eletrólito, ânodo, catodo, eletrodo, e íon.
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 45
Figura 5.3.2: Michael Faraday
Ele concluiu que havia um certo tipo de deslocamento da esfera interna para a esfera externa, o qual
chamou de “fluxo de deslocamento” ou simplesmente “fluxo elétrico”. Mudando a carga da esfera
interna, Faraday concluiu que a carga induzida na esfera externa também se altera, havendo portanto
uma relação de proporcionalidade entre o fluxo e a carga.
Ψ= α Q
No SI α = 1, logo Ψ= Q. As linhas de fluxo se estendem radialmente da esfera interna para a
externa. Na superfície da esfera interna, Ψ coulombs de fluxo são produzidos pela carga Q, distribuídos
uniformemente sobre os 4pia2 de área superficial. Logo, a densidade de fluxo junto à superfície da esfera
de raio a , será:
~Da =
Ψ
A
~ar =
Q
4pia2
~ar
E então ~Dé a densidade de fluxo elétrico. Da mesma forma, junto à superfície de raio b, será:
~Db =
Ψ
A
~ar =
Q
4pib2
~ar
Se fizermos o raio “a”tender a zero, a carga Q torna-se pontual. Então, para uma distância radial r
< b, teremos:
~D =
Q
4pir2
~ar
Lembrando que a intensidade de campo para uma carga pontual é dada por:
~E =
Q
4piε0r2
~ar
comparamos as duas equações e chegamos a:
~D = ε0 ~E
Podemos afora definir a permissividade elétrica do meio, ou simplesmente permissividade elétrica, de-
terminada pela habilidade de um material de polarizar-se em resposta a um campo elétrico aplicado.
Está diretamente relacionado com a susceptibilidade elétrica, uma medida aproximada da susceptibi-
lidade ou sensibilidade aos campos elétricos:
ε = εrε0 = (1 + χe)ε0
46 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
εr é a permissividade relativa ou constante dielétrica do material (adimensional):
εr =
ε
ε0
e χe a susceptibilidade elétrica.
Por exemplo, em um capacitor uma alta permissividade faz que a mesma quantidade de carga elétrica
seja guardada com um campo elétrico menor e, portanto, a um potencial menor, levando a uma maior
capacitância do mesmo.
Num meio material, portanto, ~D = ε ~E ou
~D = ε0(1 + χe) ~E.
5.3.2 O campo magnético ~H
Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de Abril de 1820, Ørsted4 desenvolveu uma
experiência que forneceu evidências que o surpreenderam. Enquanto preparava os seus materiais,
reparou que a agulha de uma bússola desviava do norte magnético quando a corrente eléctrica da ba-
teria que estava usando era ligada e desligada. Esta deflexão convenceu-o que os campos magnéticos
radiam a partir de todos os lados de um fio carregando uma corrente elétrica, tal como ocorre com
a luz e o calor, e que isso confirmava uma relação direta entre eletricidade e magnetismo. Na época
desta descoberta, Ørsted não sugeriu nenhuma explicação satisfatória para esse fenômeno, nem tentou
representar o mesmo numa estrutura matemática. No entanto, três meses mais tarde deu início a in-
vestigações mais intensivas publicando as suas descobertas e provando que a corrente eléctrica produz
um campo magnético à medida que flui através de um fio. As suas descobertas resultaram numa pes-
quisa intensa em eletrodinâmica por parte da comunidade científica, influenciando o desenvolvimento
de uma forma matemática única que representasse as forças magnéticas entre condutores portadores
de corrente estabelecida por parte do físico francês André-Marie Ampère. As descobertas de Ørsted
representaram também um grande passo em direção a um conceito de energia unificado.
Figura 5.3.3: Hans Christian Ørsted
Assim, cargas elétricas em movimento, produzem corrente elétrica que produz então um campo mag-
nético ~H. A sua unidade é ampère/metro [A/m].
4Hans Christian Ørsted (Rudkøbing, 14 de Agosto de 1777 - Copenhague, 9 de Março de 1851) foi um físico e químico
dinamarquês. É conhecido sobretudo por ter descoberto que as correntes elétricas podem criar campos magnéticos que
são parte importante do Eletromagnetismo.
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 47
5.3.3 Indução magnética ou fluxo magnético ~B
A densidade de fluxo magnético, é similar a densidade de fluxo elétrico ~D. Relaciona-se com a
intensidade de campo magnético ~H por:
~B = µ0 ~H
onde µ0 é a permeabilidade ou permissividade magnética do espaço livre (ou vazio) e vale 4pi×10−7H/m
(henry5/metro). Apenas por curiosidade, os termos ~B e ~H são acompanhados de uma "confusão" em
suas nomenclaturas. Segundo Griffths, J. David, em seu livro Introduction to Eletrodynamics, Third
Edition, pág. 271 " Em um laboratório você vai ouvir frequentemente as pessoas falando sobre o ~H ,
(mais do que o ~B em si)... A razão é esta:
”...para construir um eletroímã você circula uma certa corrente em uma bobina. A corrente é a grandeza
mensurável no instrumento, e ela determina ~H (ou sua integral de linha). ~B depende especificamente
dos materiais sendo utilizados, e no caso do ferro, até mesmo da história do seu magneto. Vários
autores chamam ~H , e não ~B, de "campo magnético". Então eles têm que inventar um novo nome
para ~B: a "densidade de fluxo magnético", ou "indução magnética" (uma escolha absurda, uma
vez que este termo tem pelo menos dois outros significados em eletrodinâmica). De qualquer modo,
~B é inquestionavelmente a quantidade fundamental. e assim continuaremos a chamá-la de campo
magnético. como todos o fazem na linguagem falada. ~H não tem nome específico: simplesmente
chame-o ~H ." (ou campo ~H , ou indução ~H )...”
De qualquer forma, ~B, é determinado através de seu fluxo:
Ψ =
ˆ
S
~B · d~S
Sendo que o fluxo é medido em weber6 [Wb] e a densidade de fluxo magnético em Wb
m2
=T (tesla), em
homenagem a Nikola Tesla7.
5Joseph Henry (Albany, 17 de dezembro de 1797 -Washington, D.C., 13 de maio de 1878) foi um cientista estaduni-
dense. Em 1830, enquanto construía eletroimãs, descobriu o fenômeno eletromagnético chamado indução eletromagnética
ou auto-indutância e a indutância mútua. O seu trabalho foi desenvolvido independentemente de Michael Faraday, mas
é a este último que se atribuí a honra da descoberta por ter publicado primeiro as suas conclusões. A Henry também