Notas de Aula para Eletromagnetismo 2013

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Notas de Aula para Eletromagnetismo
Prof. MSc. Antonio Morais
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Apresentação
O Eletromagnetismo (EM) é o ramo da Física, que possibilitou o nascimento da Engenharia Elé-
trica! Nele estudamos os fenômenos elétricos e magnéticos cujas aplicações são extremamente vastas:
microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo1, plasmas,
pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecâ-
nica de energia, meteorologia por radar, sensoreamento remoto e etc..
Por exemplo, Campos eletromagnéticos2 são utilizados em aquecedores indutivos3 para fundir, forjar,
recozer, temperar superfícies e para operações de soldagem. Equipamentos para aquecimento de
dielétricos utilizam ondas curtas para unir e selar lâminas finas de materiais plásticos. Os dispositivos
do EM incluem: transformadores, relés elétricos, rádio/TV, telefone, motores elétricos, linhas de
transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O projeto desses dispositivos
requer um profundo conhecimento das leis e dos princípios do eletromagnetismo. Consegue imaginar
um mundo sem Internet? Talvez...mas e sem eletricidade? :)
O estudo dos fenômenos do eletromagnetismo, pode ser resumido nas Equações de Maxwell: um
grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a força de Lorentz4, compõe a base
do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das
equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda
uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes.
As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James
1Células biológicas usam a bioeletricidade para armazenar energia metabólica, fazer trabalho ou desencadear mudanças
internas, entre um sinal elétrico e outro. O Bioeletromagnetismo é o resultado da ação da corrente elétrica produzida
por potenciais de açã o(uma descarga elétrica que percorre a membrana de uma célula) junto com os campos magnéticos
gerados pelo fenômeno de indução eletromagnética.
2Um campo composto de dois campos vetoriais: o campo elétrico e o campo magnético. Veremos o conceito de campo
mais adiante
3Os princípios físicos do processo de aquecimento indutivo, são conhecidos há mais de cem anos e foram disponibiliza-
dos para o uso prático no início do século XXI. As técnicas do aquecimento indutivo atualmente contribuem com quase
todas as indústrias de manufatura, desde a preparação de pastilhas de silício puro para componentes microeletrônicos até
o processamento de chapas de aço pesando 25 toneladas ou mais. O uso destas técnicas indubitavelmente crescerá com
a demanda do uso mais eficiente da energia elétrica e com outros recursos de produção associados com a necessidade de
um melhor ambiente de trabalho.
Quando uma peça de metal é colocada no interior de uma bobina indutiva alimentada por Corrente Alternada (CA),
as duas peças são interligadas por um campo eletro – magnético alternado e, desta forma, o campo magnético que
é absorvido pela peça criam um campo elétrico, que por sua vez gera a corrente induzida a qual irá aquecer a peça.
Normalmente a bobina indutora é refrigerada por água e se mantém fria.
A densidade da corrente induzida na superfície da peça é elevada, e diminui conforme aumentada a distância em relação
à superfície. Este fenômeno é conhecido como “efeito pelicula ” (SKIN EFFECT ≡ efeito de pele). A profundidade do
“efeito pelicular”, ou simplesmente a profundidade de penetração, é um conceitomatemático conveniente. A profundidade
de penetração é de extrema importância para a engenharia de aquecimento indutivo, pois é através da profundidade de
penetração que aproximadamente 90% da energia total é induzida na peça ou região a ser aquecida.
4A força de Lorentz representa a força eletromagnética total que atua em um portador de carga elétrica q quando
este se move com velocidade ~v em uma região do espaço sobre influência simultânea de um campo magnético ~B e um
campo elétrico ~E.
3
4
Clerk Maxwell5, e foram publicadas em um artigo dividido em quatro partes, intitulado On Physical
Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou entre 1861 e 1862. A forma
matemática da força de Lorentz também está presente neste artigo. Torna-se útil, geralmente, escrever
as equações de Maxwell em outras formas matemáticas. Estas representações matemáticas, ainda que
possam ser completamente diferentes uma das outras, descrevem basicamente os mesmos fenômenos
físicos e ainda são chamadas de "equações de Maxwell".
As equações de Maxwell na forma diferencial são listadas a seguir:
∇ · ~E = ρ
ε0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂
~B
∂t
∇× ~B = µ0~j + µ0ε0∂
~E
∂t
Para compreender essas equações, vamos desenvolver algumas ferramentas que pertencem ao cálculo
e a análise vetorial. Será interessante rever seus apontamentos de Álgebra Linear e Vetores!
É importante na formação de qualquer profissão, conhecer minimamente a evolução histórica da área
em que trabalhamos. Por isso, apresento um resumo bem abreviado da história do eletromagnetismo
com os princípios básicos de criação de ”eletricidade”. Antes de começar a revisão de vetores, é
apresentado o que você não deve esquecer de Física IV!
Este material de apoio não tem a pretensão de ser original! As biografias dos cien-
tistas que apresentamos, bem como a maioria das suas imagens, estão na Wikipédia,
http://pt.wikipedia.org/ e como estas notas de aula, como material de apoio, não são
para distribuição comercial, não fere as regras de sua utilização.
Os livros texto que usaremos são os seguintes em ordem de importância:
Bibliografia Principal
[1] Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman
[2] Engenharia Eletromagnética - Roberto Cardoso - Editora campus
[3] Eletromagnetismo para Engenharia: Estática e Quase-Estática, João Pedro Assumpção Bastos,
Editora da UFSC
Bibliografia Complementar
[4] Eletromagnetismo Aplicado - Stuart M. Wentworth , Bookman
[5] Ondas Eletromagnéticas - Carlos Peres Quevedo & Cláudia Quevedo- Lodi, Pearson
[6] Eletrodinâmica Clássica - José Maria Filardo Bassalo, Editorial LF (leitura avançada!)
[7] Eletromagnetismo: Teoria, Exercícios resolvidos e experiências práticas - Eduardo Montgomery M.
Costa, Editora Ciência Moderna
Um Engenheiro ( com ”E” maiúsculo) deve ter também uma boa cultura acadêmica. Não se iluda!
Muitas vezes não basta apenas saber engenharia elétrica...por isso, coloco aqui uma relação de livros
que, caso possa, leia!
- A convenção dos algarismos - Lázaro Coutinho. Editorial LF. Um narrativa romanceada do que
acontece numa convenção dos algarismos inusitada reunindo os algarismos indoarábicos, onde acontece
5Edimburgo, 13 de Junho de 1831 — Cambridge, 5 de Novembro de 1879
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de tudo, intrigas, ciúmes e vaidades que vão surgindo em meio a uma disputa frenética para chegar à
resposta: qual o algarismo que está acima de todos os outros? Durante a disputa os algarismos nos
trazem fatos descobertos de matemáticos famosos. Assim ficamos conhecendo melhor Carl Friederich
Gauss, O Príncipe dos Matemáticos, cuja história nos remete a uma escola do interior da Alemanha
dirigida sob rígidos princípios medievais.
- Matemática e Natureza - Michel Janos. Editorial LF. Livro indicado para compor o Programa Sala
de Leitura da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
- O Cálculo é Belo - Michel Janos. Editora Scortecci. Escrito para pessoas com base matemática
do 2º grau e que desejam conhecer as ideias do Cálculo. A obra deixa em segundo plano o estudo
da "teoria", como, por exemplo, muitos teoremas e suas provas, para se concentrar basicamente nas
ideias e nos problemas práticos do Cálculo.
- A Origem dos elementos químicos-uma introdução. Antonio M. A. Morais. Editorial LF. O livro
explica a origem dos elementos químicos mostrando as técnicas que permitem descobrir a composição
química das estrelas e discute o jogo de energia necessária para a formação dos elementos químicos.
- Gravitação e cosmologia - uma introdução. Antonio M. A. Morais. Editorial LF. Este livro possibilita
com que você possa entender um pouco mais sobre o Universo.
Há muitos mais...durante o curso, com certeza surgirão novas indicações, inclusive, de colegas teus!
Figura 0.0.1: Ser engenheiro é...
Figura 0.0.2: A grande cura!
Um excelente curso de Eletromagnetismo para você!
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Sumário
1 Conceitos básicos de eletricidade 11
1.1 Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Princípio de conservação da carga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Eletrização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Linhas de campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Potencial elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Noções de Cálculo Vetorial 19
2.1 Vetores, escalares e o que não deve esquecer! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Operador nabla ou operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Gradiente de uma função escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Divergente de uma função vetorial ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Rotacional de uma função vetorial ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 Identidades com operadores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Resolução das equações de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Classificação de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Mudança de coordenadas 29
3.1 Coordenadas cartesianas (x,y,z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Coordenadas cilíndricas circulares (ρ,φ, z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Coordenadas esféricas (r, θ,φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Exemplo de mudança de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Operadores vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.3 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Fluxos e integrais de linha 35
4.1 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Fluxo numa superfície fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7
8 SUMÁRIO
4.3 Integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Os teoremas da divergência e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Equações de Maxwell 41
5.1 Aspectos históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Domínios das equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 As grandezas fundamentais do eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 A densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.2 O campo magnético ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 Indução magnética ou fluxo magnético ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Densidade superficial de corrente ~J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.5 Densidade volumétrica de carga ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Grandezas complexas e fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.1 Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.2 Operações elementares com complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.3 Aplicações em eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 As Eq. de Maxwell e as relações constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.1 A primeira lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.2 A segunda lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.3 A terceira lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.4 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.5 Aplicações da terceira lei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.5.1 Tipos de transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.5.2 Transformadores de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.5.3 Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.5.4 Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.5.5 Transformador em vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.5.6 Exercícios de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.6 A quarta lei de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.6.1 A equação da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 As formas diferenciais das equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.1 Eletromagnetodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.2 No vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6.3 Equações de Maxwell na forma harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Campo e Potencial elétrico 79
6.1 Potencial e campo de um dipolo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Blindagem Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Carga esférica fechada por uma casca descarregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Eletrodos planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Gerador de Van de Graff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
SUMÁRIO 9
6.6 Pintura Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.7 Série triboelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.8 Para-raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.9 Efeito corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.11 Densidade de energia em
campos eletrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.12Energia radiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.12.1 Cinturões de Van Allen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Condutores, semicondutores e dielétricos 101
7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3.1 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4.1 Semicondutores Intrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.2 Semicondutores extrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5 Condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.1 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.5.2 Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.6 Capacitores e capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.6.1 Alguns tipos de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.1 Capacitores de mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.2 Capacitores de papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.3 Capacitores poliméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.4 Capacitores Stiroflex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.6.1.5 Capacitores de poliéster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6.1.6 Capacitores cerâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6.1.7 Capacitores eletrolíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.6.1.8 “Trimmers” e “Padders” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.7 Aplicações e exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7.1 Disco elétrico uniformemente polarizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7.1.1 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.7.2 Modelo de uma junção PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7.2.1 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.7.3 Capacitor esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.7.4 Cabo coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.7.5 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.8 Energia em capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10 SUMÁRIO
8 Magnetismo e magnetostática 123
8.1 Um pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3 Força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3.1 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4 Circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4.1 Magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5 Materiais magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.6 Histerese magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.7 O Ímã de neodímio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.7.1 Curvas de magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Exercícios Gerais 139
A Um pouco da História do Eletromagnetismo 155
B Uma pequena biografia de Maxwell 163
C Corrente alternada em resistores 167
D Corrente alternada em indutores 169
E Corrente alternada em capacitores 171
F Campo de um disco uniformemente carregado 173
G O potencial vetor e a densidade de corrente 177
Capítulo 1
Conceitos básicos de eletricidade
1.1 Carga Elétrica
Figura 1.1.1: Balança de Torção de Coulomb
Um corpo está carregado eletricamente quando possui uma pequena quantidade de carga desequili-
brada ou carga líquida. Objetos carregados eletricamente interagem exercendo forças, de atração ou
repulsão, uns sobre os outros. A unidade de medida da grandeza carga elétrica no Sistema Internaci-
onal de Unidades é o coulomb, representado por C, que recebeu este nome em homenagem ao físico
francês Charles Augustin de Coulomb. Mas o que é carga elétrica?
a carga elétrica é uma propriedade física da matéria
Tanto quanto a massa, a carga elétrica é uma propriedade intrínseca da matéria. E as observações
experimentais permitiram a descoberta de importantes propriedades que a carga elétrica possui (em
comum com a massa):
• cargas elétricas criam e são sujeitas à forças elétricas, o que facilmente se observa dos experi-
mentos de eletrização;
• cargas elétricas não podem ser criadas nem destruídas.
1.1.1 Princípio de conservação da carga elétrica
Em relação a segunda das assertivas acima, quando um corpo é eletrizado por fricção, por exemplo, o
estado de eletrização final se deve à transferência de cargas de um objeto para o outro. Não há criação
11
12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
de cargas no processo. Portanto, se um dos objetos cede uma certa carga negativa ao outro, ele ficará
carregado positivamente, com a mesma quantidade de carga cedida ao outro.
Esta observação é coerente com a observação de que a matéria neutra, isto é, sem excesso de cargas,
contém o mesmo número de cargas positivas (núcleo atômico) e negativas (elétrons). Estabelecemos
assim o princípio de conservação da carga elétrica.
Entre partículas elétricas existem forças gravitacionais de atração devido às suas massas e forças
elétricas devido às suas cargas elétricas. Nesse caso, as forças gravitacionais podem ser desprezadas,
visto que a massa de uma carga elétrica é ínfima. A força gravitacional só é perceptível quando há a
interação entre corpo de massas de grandes proporções.
A massa do elétron é me= 9,109 ×10−31kg
A massa do próton é mp= 1,673 ×10−27kg
A massa do nêutron é mn= 1,675 ×10−31kg
Os elétrons apresentam uma carga elétrica muito pequena e seu movimento gera corrente elétrica. Visto
que os elétrons das camadas mais externas de um átomo definem as atrações com outros átomos, estas
partículas possuem um papel importante na química.
O elétron tem uma carga elétrica negativa de e−= −1,6 × 10−19 C e o próton tem um valor de carga
simétrico 1,6 × 10−19 C . A eletricidade estática não é um fluxo de elétrons. É mais correto denominá-
la de "carga estática". Esta carga é causada por um corpo cujos átomos apresentam mais ou menos
elétrons que o necessário para equilibrar as cargas positivas dos núcleos dos seus átomos. Quando
existe um excesso de elétrons, diz-se que o corpo está carregado negativamente. Quando existem
menos elétrons que prótons, o corpo está carregado positivamente. Se o número total de prótons e
elétrons é equivalente, o corpo está num estado eletricamente neutro.
Robert Millikan (1868-1953) descobriu que que a carga elétrica era constituída por um múltiplo inteiro
de uma carga fundamental e, ou seja a carga Q de um certo objeto pode ser escrita como
Q = ne−
assim, sabendo o número de elétron livres, ou em falta, podemos determinar a carga de umcorpo.
1.2 Eletrização
Eletrização por atrito é o processo bem simples de geração de cargas eletrostáticas, ele pode ocorrer
sempre que dois corpos de materiais diferentes são esfregados um no outro. A eletrização por atrito não
acontece entre metais porque eles são bons condutores e a descarga é muito rápida, não conseguindo
mantê-los eletrificado.
O processo de indução eletrostática ocorre quando um corpo eletrizado redistribui cargas de um
condutor neutro. O corpo eletrizado, o indutor, é colocado próximo ao corpo neutro, o induzido, e
isso permite as cargas do indutor atrair ou repelir as cargas negativas do corpo neutro, devido a Lei
de Atração e Repulsão entre as cargas elétricas.
A distribuição de cargas no corpo induzido mantêm-se apenas na presença do corpo indutor. Para
eletrizar o induzido deve-se colocá-lo em contato com outro corpo neutro e de dimensões maiores,
antes de afastá-lo do indutor.
Deste modo, podemos sintetizar o seguinte; os métodos de eletrização mais conhecidos e utilizados
são os de eletrização por condução (ou por "fricção") e eletrização por indução. A eletrização por
condução se dá quando friccionamos entre si dois materiais isolantes (ou condutores isolados) inici-
almente descarregados, ou quando tocamos um material isolante (ou condutor isolado) inicialmente
descarregado com outro carregado.
1.2. ELETRIZAÇÃO 13
Durante o contato, ocorre uma transferência de elétrons entre os dois objetos. Suponhamos que
carreguemos desta forma um bastão de borracha atritado com pele de animal e uma barra de vidro
atritada com seda. Se suspendermos o bastão de borracha por um fio isolante e dele aproximarmos
outro bastão de borracha carregado da mesma maneira, os bastões repelir-se-ão. O mesmo acontece
para dois bastões de vidro, nesta situação. Por outro lado, se aproximarmos a barra de vidro ao bastão
de borracha, ocorrerá uma atração entre eles. Evidentemente constatamos que a borracha e o vidro
têm estados de eletrização diferentes, e pela experiência concluímos que;
• cargas iguais se repelem;
• cargas diferentes se atraem.
Franklin convencionou que a carga da barra de vidro é positiva e a do bastão de borracha é negativa.
Assim, todo o corpo que for atraído pelo bastão de borracha (ou repelido pelo bastão de vidro) deve
ter carga positiva. Da mesma forma, todo o corpo que for repelido pelo bastão de borracha (ou atraído
pela barra de vidro) deve ter carga negativa. No processo de eletrização por indução não há contato
entre os objetos. Através da indução podemos carregar os materiais condutores mais facilmente.
Vejamos como isto é possível. Suponhamos que aproximemos o bastão de borracha (carga negativa)
de uma barra metálica isolada e inicialmente neutra.
As cargas negativas (elétrons) da barra metálica serão repelidas para regiões mais afastadas e a região
mais próxima ao bastão ficará com um excesso de cargas positivas. Se agora ligarmos um fio condutor
entre a barra metálica e a terra (o que chamamos de aterramento), os elétrons repelidos pelo bastão
escaparão por este fio, deixando a barra carregada positivamente tão logo o fio seja removido. Se, por
outro lado, fosse a barra de vidro (carga positiva) aproximada da barra metálica, esta última ficaria
carregada negativamente, pois pelo fio condutor aterrado seriam atraídos elétrons da terra.
Observe que, em ambos os processos, os bastões carregados (indutores) não perderam carga alguma.
Situação parecida ocorre quando aproximamos objetos carregados dos isolantes. Novamente as cargas
serão separadas no material isolante e, uma vez afastado o bastão indutor, as cargas não retornam
às suas posições iniciais devido à pouca mobilidade que possuem no isolante. Dizemos então que o
isolante ficou polarizado.
Figura 1.2.1: Eletrização por atrito
Figura 1.2.2: Eletrização por contato
14 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
Figura 1.2.3: Eletrização por indução
1.3 Lei de Coulomb
Como vimos, a lei de força para cargas elétricas foi pensada como sendo semelhante a lei de Newton
da gravitação. Vimos também que Coulomb através de seu experimento com uma balança de torção,
observou que essa força era efetivamente de mesma natureza: diminuía com o inverso do quadrado da
distância.
Forças são grandezas vetoriais, representadas por ~F , ou F . O módulo ou intensidade dessas grandezas
é indicado por
∣∣∣~F ∣∣∣ou simplesmente F.
A intensidade da força gravitacional é dada por:
F1,2 =
GM1M2
r2
onde:
M1≡massa do corpo 1;
M2≡massa do corpo 2;
F1,2 ≡intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2;
r≡distância entre os centros dos corpos 1 e 2;
G ≡constante da gravitação universal, cujo valor é 6,67×10−11N.m2/kg2.
No caso da lei de Coulomb:
F1,2 =
k0Q1Q2
r2
onde:
Q1≡carga do corpo 1;
Q2≡carga do corpo 2;
F1,2 ≡intensidade da força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2;
r≡distância entre os centros dos corpos 1 e 2;
k0 ≡constante eletrostática, cujo valor é 8,988×109N.m2/C2.
Essa constante é definida em termos de outra constante, a permissividade elétrica do vácuo (ε0), da
seguinte maneira:
k0 =
1
4piε0
A permissividade é uma constante física que descreve como um campo elétrico afeta, e é afetado por
um meio. A permissividade do vácuo (ε0) vale 8,8541878176 × 10−12 F/m.
Vetorialmente, a lei de Coulomb pode ser escrita da seguinte forma:
~F1,2 =k0
Q1Q2
r2
~ur
1.4. CAMPO ELÉTRICO 15
onde ~uré o versor radial, na direção dos centros de carga. Esta notação é uma notação vetorial
compacta onde não é especificado qualquer sistema de coordenadas.
Se a carga 1 estiver na posição ~r1 e a carga 2 no ponto ~r ambos com origem no ponto (0,0,0) de um
sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) a lei de Coulomb toma a forma:
~F1,2 =
1
4piε0
Q1Q2
|~rj − ~ri|3/2
(~rj − ~ri)
Figura 1.3.1: Lei de Coulomb utilizando um sistema de coordenadas cartesiano
Para a lei de Coulomb, vale o princípio da superposição de forças: dada uma distribuição discreta de
cargas, a força resultante sobre uma carga i de um sistema de cargas com índices 1,2,3,..., j é:
~Fi =
∑
j 6=i
~Fji =
Qi
4piε0
∑
j 6=i
Qj
|~rj − ~ri|3/2
(~rj − ~ri)
1.4 Campo Elétrico
Ao contrário do que se pensava até fins do século XIX, as cargas elétricas são quantizadas. Não
assumem valores discretos, mas sim são múltiplos inteiros de uma carga elementar. A primeira prova
experimental de tal carga foi feita por Helmholtz em 1881 utilizando as leis da eletrólise de Faraday,
que diz que a passagem de uma certa quantidade de eletricidade através de um eletrólito sempre causa
o depósito, no eletrodo, de uma quantidade estritamente definida de um dado elemento. Mais tarde,
Millikan (1910-16) fez o famoso experimento da gota de óleo num campo elétrico. Em 1912 Ioffe, na
Rússia, fez um experimento semelhante ao de Millikan, porém utilizando a irradiação de partículas
de metal em pó (suspensas no ar) por luz ultravioleta. Todos os experimentos chegaram a mesma
conclusão, de que a carga é um múltiplo inteiro de uma carga elementar, e seu valor foi determinado
com maior ou menor precisão em cada um deles. O valor aceito atualmente desta carga elementar é .
Este é o valor da carga do elétron (negativo) e da carga do próton (positivo) como já vimos.
Existem cargas menores como a dos quarks, porém os quarks não "sobrevivem" isoladamente por
muito tempo. Logo eles se combinam com outros quarks formando prótons e nêutrons, ou formam
pares de quark-antiquark que são chamados mésons. Prótons e nêutrons são formados de 3 quarks
cada. O próton é formado por 2 quarks tipo u e um quark tipo d ( uud ) . E o nêutron por 2 quarks
tipo d e um quark tipo u ( udd ) . A carga do quark tipo u vale 2/3 e a do quark tipo d - 1/3e .
Para estudarmos portanto o campo elétrico gerado por uma carga Qj qualquer utilizaremos uma
segunda carga qi muito menor que a primeira. Uma carga elementar.Assim estudaremos os efeitos
causados em qi pela carga Qj . Desta forma, dizemos que o campo elétrico é dado pela força sentida
pela carga qi por unidade de carga. Ou seja:
16 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
~Ei=
~Fi
qi
para um sistema discreto de cargas, é fácil ver que:
~Ei =
1
4pi0
∑
j 6=i
Qj
(rji)
2 rˆji
A unidade de campo elétrico que você aprendeu é o N/C que é equivalente ao V/m, e será esta última
que utilizaremos no curso. O que aprendeu em Física IV foi o campo eletrostático (invariável no
tempo) no espaço livre (vácuo). Um campo eletrostático é gerado por uma distribuição de cargas
estáticas, por exemplo o campo encontrado no interior de tubos de raios catódicos.1
1.4.1 Linhas de campo elétrico
Uma visualização qualitativa do campo elétrico pode ser feita introduzindo-se as chamadas linhas de
campo. Na figura 2.2.1 foram desenhadas algumas destas linhas, possuindo as seguintes propriedades:
Figura 1.4.1: Linhas de campo Elétrico
• As linhas são tangentes, em cada ponto, à direção do campo elétrico neste ponto.
• A intensidade do campo é proporcional ao número de linhas por unidade de área de uma superfície
perpendicular às linhas.
Na figura 2.2.2 estão representadas as linhas as linhas de campo de uma carga puntiforme positiva e
de uma carga puntiforme negativa e negativa.
Figura 1.4.2: Linhas de campo de uma carga puntiforme
As linhas do campo de um dipolo estão representadas na figura 2.2.3.
1Os raios catódicos são radiações onde os elétrons emergem do polo negativo de um eletrodo, chamado ânodo, e se
propagam na forma de um feixe de partículas negativas ou feixe de elétrons acelerados. Isto ocorre devido à diferença
de potencial elevada entre os polos no interior de um tubo contendo gás rarefeito e também devido ao efeito termiônico,
ocasionado pelo aquecimento do metal que constitui o catodo. O dispositivo destinado para a produção de raios catódicos
chama-se tubo de Crookes. Quando a pressão interna no tubo chega a um décimo da pressão ambiente, o gás que existe
entre os eletrodos passa a emitir uma luminosidade. Quando a pressão diminui ainda mais (100 mil vezes menor que a
pressão ambiente) a luminosidade desaparece, restando uma "mancha" luminosa atrás do polo positivo.
1.5. POTENCIAL ELÉTRICO 17
Figura 1.4.3: Linhas de campo de um dipolo
Outras representações:
Figura 1.4.4: Outras representações de campo elétrico
1.5 Potencial elétrico
Suponha que desejamos movimentar uma carga pontual (ou puntiforme) q, de um ponto A para um
ponto B, em um campo elétrico ~E. A força sobre a carga é ~F = q ~E, e o trabalho realizado é:
dW= - q ~E·d~l
o sinal negativo indica que o trabalho é feito por um agente externo. Assim:
W = −q
Aˆ
B
~E · d~l
Dividindo o trabalho pela carga, obtemos a energia potencial elétrica por unidade de carga. Essa
grandeza, denominada por VAB, é a diferença de potencial. Define-se diferença de potencial entre os
pontos A e B como o trabalho realizado para transportar uma carga q de B até A, dividido pelo valor
da carga q:
VAB =
WBA
q
= −
Aˆ
B
~E · d~l
18 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ELETRICIDADE
VABé calculado através de uma integral de linha, cujo trabalho realizado independe da trajetória
escolhida. Vamos ver mais adiante que uma integral de linha é a soma dos produtos das componentes
tangenciais do campo pelos respectivos comprimentos dos trajetos, quando o caminho total é dividido
em infinitas partes. A escolha do ponto inicial B e não A, se deve ao fato de que na notação de
diferença de potencial, pela convenção universal da notação de duplo índice, a primeira letra deve
designar o ponto de maior potencial.
Nos problemas envolvendo cargas puntuais, é costume considerarmos um ponto no infinito como
referência, isto é que o potencial no infinito é zero. Assim o potencial num ponto dado por um sistema
de N cargas é:
V =
1
4piε0
N∑
i
qi
|~r − ~ri|
A energia potencial associada a duas cargas separadas pela distância r12 é:
U =
1
4piεo
q1q2
r12
Linhas equipotenciais, são linhas de mesmo potencial elétrico. As propriedades gerais de superfícies
equipotenciais são:
1. As linhas de campo elétrico são sempre perpendiculares as linhas equipotenciais e apontam do
potencial maior para o potencial menor.
2. Por simetria, as superfícies equipotenciais de uma carga pontual formam uma família de esferas con-
cêntricas e as superfícies equipotenciais de um plano infinito uma família de planos infinitos paralelos
ao plano.
3. A componente tangencial do campo elétrico ao longo de uma superfície equipotencial e sempre nula.
Caso contrario, teria de ser trabalho realizado para mover uma carga ao longo de uma superfície.
4. Nenhum trabalho e necessário para mover uma carga ao longo de uma superfície equipotencial.
Capítulo 2
Noções de Cálculo Vetorial
2.1 Vetores, escalares e o que não deve esquecer!
As grandezas da Física (e da engenharia também!) são costumeiramente classificadas como gran-
dezas escalares ou vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que só tem magnitude, ou seja, ficam
completamente especificadas com um número e uma unidade adequada.
Por exemplo, tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e energia são gran-
dezas escalares. Grandezas vetoriais são grandezas que tem magnitude e orientação, ou seja, direção
e sentido. Exemplos: velocidade, força, deslocamento, campo elétrico e campo magnético. Uma outra
categoria de grandezas físicas são denominadas de tensores, dos quais os escalares e os vetores são
casos particulares. Não vamos abordar esse formalismo no nosso curso! Na maior parte do tempo,
estaremos trabalhando com escalares e vetores.
Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por uma letra
com uma flecha sobre ela, tais como ~A e ~B, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Um
escalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: A e B, OU
∣∣∣ ~A∣∣∣ e ∣∣∣ ~B∣∣∣ . A teoria do
EM é essencialmente um estudo de campos. Um campo é uma função que especifica uma grandeza
particular em qualquer ponto de uma região. É uma função matemática das coordenadas e do tempo,
que é utilizada para descrever propriedades físicas da matéria.
Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é um campo escalar (ou vetorial). Exemplos de
campos escalares: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de som em um teatro
e o potencial elétrico em uma região. A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade
da água num tubo são exemplos de campos vetoriais.
2.2 Operador nabla ou operador de Hamilton1
∇ ≡ ∂
∂x
~ax +
∂
∂y
~ay +
∂
∂z
~ax
1William Rowan Hamilton (Dublin, 4 de agosto de 1805 - Dublin, 2 de setembro de 1865) foi um matemático, físico
e astrônomo irlandês. Contribuiu com trabalhos fundamentais ao desenvolvimento da óptica, dinâmica e álgebra. A sua
descoberta mais importante em matemática é a dos quatérnions, uma generalização do cálculo vetorial e dos números
complexos. Em física é muito conhecido pelo seu trabalho em mecânica analítica, que veio a ser influente nas áreas
da mecânica quântica e da teoria quântica de campos. Em sua homenagem são designados os hamiltonianos, por ele
inventados.
19
20 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
em coordenadas cartesianas.
Curiosidade....o símbolo para derivada parcial ∂ é chamado derronde, que é uma corruptela do francês
de rond que quer dizer ”dê redondo”. Isso se deveu ao fato de os franceses, na época da Revolução
Francesa, adotarem essa forma especial de escrever a letra d.
Nabla é um símbolo, escrito como ∇. O nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa
com uma forma semelhante. Palavras semelhantes existem também em Aramaico e Hebraico. Outro
nome, menos usado, para o símbolo é atled, porqueé um delta invertido verticalmente. Um operador
é como o nome diz um objecto que exerce uma operação. Por exemplo quando você vê o símbolo de
raiz quadrada
√
x sobre um número, sabe que tem de extrair a raiz quadrada desse número. Mas você
estar perguntando o que vai ”na frente” do símbolo da derivada parcial? vamos então ver isso...
2.3 Gradiente de uma função escalar
Dada uma função escalar f (x,y,z ), define-se gradiente da função f como:
∇f = ∂f
∂x
~ax +
∂f
∂y
~ay +
∂f
∂z
~ax
você já aprendeu o que era gradiente em cálculo II...o gradiente de um campo escalar V é um vetor que
representa a magnitude e orientação da máxima taxa de variação espacial de V. O campo eletrostático
pode ser escrito como o gradiente do potencial eletrostático.
~E = −∇V
Pratique um pouco...
Exercício 1 - Determine o campo eletrostático das seguintes funções potencial em volt/metro:
1. V = 10xy V (este último ’V’ é a unidade...volt!)
2. V = 2cos(x)sen(y) V
3. V = exsen(y)cos(z) V
4. V = 2xy2z2 V
Respostas:
1. −10y~ex − 10x~eyV/m
2. 2 sin (x) sin (y)~ex − 2 cos (x) cos (y)~eyV/m
3. −ex sin (y) cos (z)~ex − ex cos (y) cos (z)~ey + ex sin (y) sin (z)~ezV/m
4. −2y2z2~ex − 4xyz2~ey − 4xy2z~ezV/m
2.4. DIVERGENTE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL ~A 21
Figura 2.3.1: Campo vetorial gerado pelo gradiente
2.4 Divergente2 de uma função vetorial ~A
O divergente de uma função vetorial ~A é o produto escalar do operador nabla com a função ~A:
∇· ~A =∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
A divergência do ponto de vista físico é uma medida de quanto o campo diverge ou emana para um
ponto.
Figura 2.4.1: Exemplo de campo com divergente positivo
Figura 2.4.2: Exemplo de campo com divergente negativo
2Na realidade, o termo correto é divergência.
22 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Figura 2.4.3: Exemplo de campo com divergente nulo
Um exemplo da aplicação do divergente em eletromagnetismo, é a 1ª Lei de Maxwell:
∇ · ~E = ρ
ε0
onde ρé a densidade de carga.
Exercício 2 Determine o divergente dos campos vetoriais que encontrou no exercício 1, e determine
então a densidade de carga.
Respostas:
1. zero
2 . 4ε0 cos (x) sin (y)
3.exε0 sin (y) cos (z)
4. ε0
(−4xz2 − 4xy2)
2.5 Rotacional de uma função vetorial ~A
O rotacional de uma função vetorial ~A é o produto vetorial do operador nabla com a função ~A:
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣∣∣
~ax ~ay ~az
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣∣∣
o significado físico do rotacional é o seguinte: ele fornece o máximo valor de circulação por unidade
de área (ou densidade de circulação) e indica a orientação ao longo da qual seu máximo valor ocorre.
O rotacional de um campo vetorial ~A em torno de um ponto P, é a medida da circulação do campo,
ou seja o quanto esse gira em torno de P. Um exemplo é a 3ª Lei de Maxwell, ou lei de Faraday na
forma diferencial:
∇× ~E= - ∂
~B
∂t
Exercício 3 Determine o rotacional dos campos vetoriais que encontrou no exercício 1.
2.6. OPERADOR LAPLACIANO 23
Figura 2.5.1: Campo vetorial da função ~A = yz ~ax+4xy ~ay
Na figura acima, o rotacional do campo é o vetor ~C = y ~ay + (4y − z) ~ay. Note que os vetores em
algumas regiões do campo mudam de orientação.
2.6 Operador Laplaciano
O laplaciano de um campo escalar V, escrito como ∇2V , é o divergente do gradiente de V. Em
coordenadas cartesianas:
∇2V = ∂
2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
Um campo escalar é dito harmônico em uma dada região quando seu laplaciano de anula nessa região.
Ou seja, se ∇2V = 0 for satisfeita nessa região, a solução para V é harmônica (na forma de seno ou
cosseno). A equação ∇2V = 0 é chamada de equação de Laplace3.
Note que o resultado de um laplaciano é um campo escalar, obtido através de um campo escalar.
Define-se também o laplaciano de um campo vetorial, mas não da mesma forma que um escalar,
obviamente. Para um campo vetorial ~A, o laplaciano desse campo é calculado por:
∇2 ~A = ∇
(
∇ · ~A
)
−∇×∇× ~A
em coordenadas cartesianas:
∇2 ~A = ∇2Ax~ax +∇2Ay~ay +∇2Az~az
para treinar, encontre o laplaciano do campo escalar:
V = e−zsen(2x) cos(y)V
3Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 - Paris, 5 de março de 1827) foi um
matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática, sumarizando e ampliando o trabalho de
seus predecessores nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu
o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como
mecânica física, ou analítica.Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada de Laplace aparece em todos
os ramos da física matemática - campo em que teve um papel principal na formação. O operador diferencial de Laplace,
da qual depende muito a matemática aplicada, também recebe seu nome. Ele se tornou conde do Império em 1806 e foi
nomeado marquês em 1817, depois da restauração dos Bourbons.
24 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Figura 2.6.1: Retrato póstumo de Laplace pintado por Madame Feytaud, 1842
2.6.1 Identidades com operadores vetoriais
div rot ~f = 0 (2.6.1)
rot gradϕ = 0 (2.6.2)
rot rot ~f = grad div ~f −∇2 ~f (2.6.3)
grad (ϕψ) = ϕ gradψ + ψ gradϕ (2.6.4)
div (ϕ~f ) = ϕdiv ~f + ~f · gradϕ (2.6.5)
rot (ϕ~f ) = ϕ rot ~f + (gradϕ)× ~f (2.6.6)
∇2(ϕψ) = ϕ∇2ψ + ψ∇2ϕ+ 2 (gradϕ) · (gradψ) (2.6.7)
div (~f × ~g ) = ~g · rot ~f − ~f · rot~g (2.6.8)
rot (~f × ~g ) = ~f div~g − ~g div ~f + (~g · ∇) ~f − (~f · ∇)~g (2.6.9)
grad (~f · ~g ) = ~f × rot~g + ~g × rot ~f + (~f · ∇)~g + (~g · ∇) ~f (2.6.10)
Exercício: Utilize o operador nabla para escrever as identidades vetoriais acima.
grad→ ∇
div→ ∇·
rot→ ∇×
2.6.2 Resolução das equações de Laplace e Poisson
Várias vezes determinamos campos potenciais à partir de uma distribuição de cargas, integrando sobre
uma superfície ou volume especificado. Entretanto, podemos ter condições de obter campos potenciais
à partir de potenciais fixos conhecidos, dadas as condições de contorno, para problemas de geometria
simples. São as equações de Laplace e Poisson nos permitem atingir esse objetivo.
2.6. OPERADOR LAPLACIANO 25
Considere então as equações do gradiente de potencial e do divergente do campo elétrico:
E = −∇V
∇ · E = ρε0
Facilmente vemos que:
∇ · (−∇V ) = ρ
ε0
⇒ ∇2V = − ρ
ε0
A equação
∇2V = − ρ
ε0
é conhecida como equação de Poisson4.
Se o meio for isento de cargas, a equação se resume a:
∇2V = 0
que é a equação de Laplace que falamos no seção anterior.
Figura 2.6.2: Siméon Denis Poisson
A resolução da equação de Poisson normalmente nos leva a procedimentos matemáticos mais complexos
e frequentemente o seu uso se faz concomitantemente com outras relações e equações. Por esta razão,
tendo em conta o nosso curso, vamos mostrar como resolver, em alguns casos, apenas problemas que
são descritos pela equação de Laplace.
1. Determinar como varia o potencial entre duas placas planas infinitas, como mostrado abaixo:
4Siméon Denis Poisson (Pithiviers, 21 de Junho de 1781 - Paris, 25 de Abril de 1840) foi um matemático e físico
francês, filho do soldado Siméon Poisson. Em 1798 entrou na École Polytechnique em Paris, como primeiro colocado de
sua turma, atraindo imediatamente a atenção dos professores da escola, deixando-o livre para escolher o que estudar. Em
1800, menos de dois anos depois de seu ingresso, publicou duas memórias, uma sobre o método da eliminação de Étienne
Bézout, e a outra sobre o número de integrais de uma equação em diferenças finitas. Esta última foi examinada por
Sylvestre François Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que recomendaram sua publicação no Recueil des savants étrangers,
uma honra sem precedentes para um jovem de dezoito anos.
Poisson desenvolveu o expoente de Poisson, usado na transformação adiabáticade um gás. Este expoente é a razão
entre a capacidade térmica molar de um gás a pressão constante e a capacidade térmica molar de um gás a volume
constante. A lei de transformação adiabática de um gás diz que o produto entre a pressão de um gás e o seu volume
elevado ao expoente de Poisson é constante.
26 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Figura 2.6.3: Potencial entre duas placas infinitas
O sistema apresenta simetria cartesiana e neste caso:
∇2V = ∂
2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
= 0
Observamos que o potencial não varia em função de x e y, logo, suas derivadas se anulam:
∇2V = ∂
2V
∂z2
= 0
Vamos resolver essa equação diferencial por integrações sucessivas:
∂2V
∂z2
= 0→ ∂V
∂z
= C1 → V = C1z + C2
As constantes de integração podem ser obtidas pelas condições de contorno, onde sabemos que :
V ( z = 0) = 0 e V (z = z,) = V 1. Aplicando a primeira condição de contorno, temos: 0 = C1.0
+ C2 , logo: C2 = 0 e portanto: V = C1z. Aplicando a segunda condição de contorno: V (z =
z,) = V 1, logo V 1 = C1z1, e portanto C1 = V1/z1. Assim, o potencial V varia entre as placas
linearmente pela relação:
V =
V1
z1
z
2. Determinar a variação de potencial devido a uma esfera mantida a um potencial V1.
Figura 2.6.4: Esfera mantida em um potencial V1
Pela simetria do problema, devemos usar o operador de Laplace em coordenadas esféricas ( veja
o resumo de cálculo vetorial colocado na central do aluno para a equação correspondente). Pela
simetria do problema, não há variação do potencial em função de θ e φ. Logo:
1
r2
∂
(
r2 ∂V∂r
)
∂r
= 0⇒ ∂
(
r2 ∂V∂r
)
∂r
= 0
2.6. OPERADOR LAPLACIANO 27
Integrando sucessivamente, temos:
r2
∂V
∂r
= C1 → ∂V
∂r
=
C1
r2
→ V = −C1
r
+ C2
Condições de contorno:
V(r=r) = V1
V(r=∞) = 0
Pela primeira condição de contorno:
0 = −C1∞ + C2 → C2 = 0
Pela primeira condição de contorno:
V1 = −C1
r1
→ C1 = −V1r1
Logo, o potencial será dado por:
V =
V1r1
r
3. Determinar o potencial em todos os pontos do cabo coaxial abaixo:
Figura 2.6.5: Exemplo de cabo coaxial
O problema tem simetria cilíndrica, logo usamos o laplaciano em coordenadas cilíndricas. Pela
simetria do problema, concluímos que não há variação do potencial em função de φ e de z. Suas
derivadas então se anulam e o Laplaciano fica reduzido a
∇2V = 1
ρ
∂
(
ρ∂V∂ρ
)
∂ρ
= 0⇒
∂
(
ρ∂V∂ρ
)
∂ρ
= 0
Integrando sucessivamente, temos
r
∂V
∂r
= C1 → ∂V
∂r
=
C1
r
→ V = C1 ln r + C2
Condições de contorno:
V(r=ra) = V1
V(r=rb) = 0
Pela segunda condição de contorno:
0 = C1 ln rb + C2 → C2 = −C1 ln rb
28 CAPÍTULO 2. NOÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL
Pela primeira condição de contorno:
V1 = C1 ln ra + C2 → V1 = C1 ln ra − C1 ln rb
V1 = C1 ln
ra
rb
→ C1 = V1ln ra
rb
portanto:
C2 = − V1
ln rarb
ln rb
Finalizando, o valor de V será:
V =
V1
ln rarb
ln r − V1
ln rarb
ln rb
2.7 Classificação de campos vetoriais
Um campo vetorial é univocamente determinado pelo seu divergente e pelo seu rotacional. Individu-
almente, eles não são suficientes para descrever completamente o campo. Todos os campos podem ser
classificados em termos de anulação ou não-anulação de seu divergente ou de seu rotacional, como se
segue:
(a)∇ · ~A = 0,∇× ~A = 0
(b)∇ · ~A 6= 0,∇× ~A = 0
(c)∇ · ~A = 0,∇× ~A 6= 0
(c)∇ · ~A 6= 0,∇× ~A 6= 0
Figura 2.7.1: Exemplos de (a) e (b)
Figura 2.7.2: Exemplos de (c) e (d)
Um campo vetorial ~A é dito solenoidal ( ou não divergente) se ∇ · ~A = 0
Um campo vetorial ~A é dito irrotacional ( ou potencial) se ∇× ~A = 0
Capítulo 3
Mudança de coordenadas
As quantidades com que trabalhamos no eletromagnetismo são funções do espaço e do tempo. Para
descrever as variações espaciais dessas quantidades devemso ser capazes de definir todos os pontos de
maneira unívoca1 no espaço e de forma adequada.
Pontos ou um vetores, podem se representados em quaisquer sistemas de coordenadas curvilíneo,
ortogonal ou não-ortogonal. Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas são mutuamente
perpendiculares.
Os sistemas ortogonais incluem diversos sistemas como o cartesiano (ou retangular), o cilíndrico circu-
lar, o esférico, o cilíndrico elíptico, o cilíndrico parabólico, o cônico, o esferoidal, o esferoidal oblongo,
o esferoidal achatado e o elipsoidal.
A escolha de um sistema adequado de coordenadas leva a uma grande economia de tempo e de papel!
3.1 Coordenadas cartesianas (x,y,z )
Figura 3.1.1: Coordenadas cartesianas
Os intervalos de variação das variáveis coordenadas é:
−∞ <x <∞
−∞ <y <∞
−∞ <z <∞
A escrita de um vetor em coordenadas cartesianas pode ser por terna ordenada, ou escrevendo expli-
citamente suas componentes com os respectivos versores da base:
~A = (Ax, Ay, Az) ou ~A =
(
Ax ~ax +Ay ~ay+Ay ~az
)
1adj. Que mantém o mesmo sentido em empregos diferentes, que só pode ser interpretado de uma forma. Na
Matemática diz-se da correspondência entre dois conjuntos, na qual um elemento do primeiro conduz a um, e somente
a um, elemento do segundo.
29
30 CAPÍTULO 3. MUDANÇA DE COORDENADAS
3.2 Coordenadas cilíndricas circulares (ρ,φ, z )
Figura 3.2.1: Coordenadas cilíndricas
Os intervalos de variação das variáveis coordenadas são:
0 ≤ρ <∞
0 ≤φ < 2pi
−∞ <z <∞
A escrita de um vetor em coordenadas cartesianas pode ser por terna ordenada, ou escrevendo expli-
citamente suas componentes com os respectivos versores da base:
~A = (Aρ, Aφ, Az) ou ~A =
(
Aρ ~aρ +Aφ ~aφ+Ay ~az
)
A magnitude de ~A é dada por:
A =
√
A2ρ +A
2
φ +A
2
z
As relações com as coordenadas cartesianas são as seguintes:
x = ρ cosφ
y = ρsenφ
z = z
da figura 4.2.1 é fácil ver que:
ρ =
√
x2 + y2
φ = tg−1
( y
x
)
z = z
As relações entre os versores cartesianos e os das coordenadas cilíndricas circulares pode ser dada na
forma matricial:  ~ax~ay
~az
=
 cos(φ) −sen|(φ) 0sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 ~aρ~aφ
~az

ou
3.3. COORDENADAS ESFÉRICAS (R, θ,φ) 31 ~aρ~aφ
~az
=
 cos(φ) sen|(φ) 0−sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 ~ax~ay
~az

Apenas para relembrar, na operação acima utilizamos o cálculo da matriz inversa: AA−1= I onde I
é matriz identidade.
Deste modo, uma mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas circulares é realizada com a
operação:  AρAφ
Az
=
 cos(φ) sen|(φ) 0−sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 AxAy
Az

ou  AxAy
Az
=
 cos(φ) −sen|(φ) 0sen(φ) cos(φ) 0
0 0 1

 AρAφ
Az

3.3 Coordenadas esféricas (r, θ,φ)
Figura 3.3.1: Coordenadas esféricas
Os intervalos de variação das variáveis coordenadas são:
0 ≤r <∞
0 ≤θ ≤ pi
0 ≤φ < 2pi
A escrita de um vetor em coordenadas cartesianas pode ser por terna ordenada, ou escrevendo expli-
citamente suas componentes com os respectivos versores da base:
~A = (Ar, Aθ, Aφ) ou ~A =
(
Ar ~ar +Aθ ~aθ+Aφ ~aφ
)
32 CAPÍTULO 3. MUDANÇA DE COORDENADAS
A magnitude de ~A é dada por:
A =
√
A2r +A
2
θ +Aφ
2
As relações com as coordenadas cartesianas são as seguintes:
x = rsenθ cosφ
y = rsenθsenφ
z = r cos θ
da figura 4.3.1:
r =
√
x2 + y2 + z2
θ = cos−1
(
z√
x2+y2+z2
)
ϕ = tg−1
( y
x
)
As relações entre os versores cartesianos e os das coordenadas esféricas pode ser dada na forma
matricial: ~ax~ay
~az
=
 sen(θ)cos(φ) cos(θ)cos(φ) −sen(φ)sen(θ)sen(φ) cos(θ)sen(φ) cos(φ)
cos(θ) −sen(θ) 0
 ~ar~aθ
~aφ

ou ~ar~aθ
~aφ
=
 sen(θ)cos(φ) sen(θ)sen(φ) cos(θ)cos(θ)cos(φ) cos(θ)sen(φ) −sen(θ)
−sen(φ) cos(φ) 0
 ~ax~ay
~az

As mudanças de coordenadas são feitas substituindo os versores pelas componentes, como no caso
anterior!
3.4 Exemplo de mudança de coordenadas
Você pode usar as matrizesacima para realizar as transformações de coordenadas, ou as relações com
as cartesianas no caso de um ponto.
Utilize essas relações para determinar o ponto P(-2,6,3) em coordenadas cilíndricas circulares e esfé-
ricas.
Resposta: P cilindricas(6,32;108,43º;3); Pesfe´ricas(7;64,62º;108,43º)
Suponha que tem de escrever o vetor
~B = y ~ax + (x+ z) ~ay
em coordenadas cilíndricas. Vamos usar tabelas em que temos o resultado dos produtos escalares
entre os versores dos sistemas ortogonais de coordenadas que vimos anteriormente e propriedades do
produto escalar.
~aρ ~aφ ~az
~ax cos(φ) −sen(φ) 0
~ay sen(φ) cos(φ) 0
~az 0 0 1
Tabela 3.4.1: Resultado do produto escalar dos versores cartesianos e dos versores do sistema cilíndrico
3.4. EXEMPLO DE MUDANÇA DE COORDENADAS 33
Vamos ver então....o vetor ~B em coordenadas cilíndricas tem coordenadas ~B =(Bρ, Bφ, Bz). É fácil ver
que o produto escalar de um vetor por um de seus versores de base resulta na respectiva componente.
Por exemplo, Ax = ~A · ~ax. Então:
Bρ = ~B · ~aρ=(y ~ax + (x+ z) ~ay) · ~aρ
⇐⇒Bρ =(y ~ax · ~aρ + (x+ z) ~ay · ~aρ)
olhando na tabela:
~ax · ~aρ =cos(φ)
~ay · ~aρ =sen(φ)
logo
Bρ = ycos(φ) + (x+ z)sen(φ)
analogamente
Bφ = −ysen(φ) + (x+ z)cos(φ)
Bz = 0
como
x = ρ cosφ
y = ρsenφ
z = z
substituindo, obtemos a equação de ~B em coordenadas cilíndricas:
~B = [ρ cos (φ) sen (φ) + (ρ cos (φ) + z) sen (φ)]~aρ
+
[−ρsen2 (φ) + (ρ cos (φ) + z) cos (φ)]~aφ
Se quisermos saber o valor de ~B em P(-2,6,3) utilizamos:
ρ =
√
x2 + y2
φ = tg−1
( y
x
)
~B = −0, 9487~aρ − 6, 008~aφ
para terminar este capítulo, a seguir a tabela para a conversão cartesianas←→esféricas:
~ar ~aθ ~aφ
~ax sen(θ)cos(φ) cos (θ) cos(φ) −sen (φ)
~ay sen (θ) sen(φ) cos(θ)sen (φ) cos (φ)
~az cos (θ) −sen (θ) 0
Tabela 3.4.2: Resultado do produto escalar dos versores cartesianos e dos versores do sistema esférico.
34 CAPÍTULO 3. MUDANÇA DE COORDENADAS
3.5 Operadores vetoriais em coordenadas cilíndricas e esféricas
3.5.1 Coordenadas cilíndricas
gradϕ =
∂ϕ
∂ρ
eˆρ +
1
ρ
∂ϕ
∂φ
eˆφ +
∂ϕ
∂z
kˆ (3.5.1)
div ~f =
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ fρ
)
+
1
ρ
∂fθ
∂φ
+
∂fz
∂z
(3.5.2)
rot ~f =
(1
ρ
∂fz
∂φ
− ∂fφ
∂z
)
eˆρ+
(∂fρ
∂z
− ∂fz
∂ρ
)
eˆφ+
1
ρ
[
∂
∂ρ
(ρfφ)− ∂fρ
∂φ
]
kˆ (3.5.3)
∇2 = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2
∂φ2
+
∂2
∂z2
(3.5.4)
3.5.2 Coordenadas esféricas
gradϕ =
∂ϕ
∂r
eˆr +
1
r
∂ϕ
∂θ
eˆθ +
1
r sen θ
∂ϕ
∂φ
eˆφ (3.5.5)
div ~f =
1
r2
∂
∂r
(
r2fr
)
+
1
r sen θ
∂
∂θ
(
fθ sen θ
)
+
1
r sen θ
∂fφ
∂φ
(3.5.6)
rot ~f =
1
r sen θ
[
∂
∂θ
(
fφ sen θ
)− ∂fθ
∂φ
]
eˆr +
1
r sen θ
[
∂fr
∂φ
− sen θ ∂
∂r
(
rfφ
)]
eˆθ
+
1
r
[
∂
∂r
(
rfθ
)− ∂fr
∂θ
]
eˆφ (3.5.7)
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2 sen θ
∂
∂θ
(
sen θ
∂
∂θ
)
+
1
r2 sen2θ
∂2
∂φ2
(3.5.8)
3.5.3 Diferenciais
Comprimento
d~`= dx~ax + dy~ay + dz~az
d~`= dρ~aρ + ρdφ~aφ + dz~az
d~`= dr~ar + rdθ~aθ + rsen (θ) dφ~aφ
Área
d~S = dydz~ax + dxdz~ay + dzdy~az
d~S = ρdφdz~aρ + dρdz~aφ + ρdφdρ~az
d~S = r2sen (θ) dθdφ~ar + rsen (θ) drdφ~aθ + rdrdθ~aφ
Volume
dV = dxdydz
dV = ρdρdφdz
dV = r2sen (θ) drdθdφ
Capítulo 4
Fluxos e integrais de linha
4.1 Fluxo de um campo vetorial
Suponha inicialmente uma superfície plana de área A dentro de um campo de velocidades ~v . Este
campo pode ser, por exemplo, um córrego, o fluxo de gás dentro de uma tubulação, etc. De qualquer
forma, haverá nesse campo um fluido onde a cada ponto associaremos um vetor velocidade ~v .
Vamos supor inicialmente que o campo é uniforme (ou seja, a velocidade é a mesma para todos os
pontos desse espaço e a direção e sentido se mantem constante) e que a superfície esteja perpendicular
ao campo. Definimos então
Φ =
Quantidade de fluido que atravessa a superf ı´cieA
tempo
Figura 4.1.1: Superfície aberta perpendicular ao fluxo
Podemos expressar esta definição em termos de v e de A com a seguinte consideração: num tempo
Dt, cada partícula do fluido percorre uma distância v Dt. Assim, se construirmos um paralelepípedo
de base A e comprimento v Dt, notaremos que toda a partícula que estiver dentro desta "caixa"
atravessa a superfície A no tempo Dt. As partículas que estiverem fora não conseguirão, neste tempo,
atravessar a superfície. Assim, a quantidade de fluido que atravessa a superfície A no tempo D t será
simplesmente o volume dessa "caixa" , ou seja v Dt A. O fluxo será então:
Φ =
v∆tA
∆t
=vA
Suponha agora que a superfície A esteja inclinada de um ângulo j, como mostra a figura 5.1.2. Observe
que a quantidade de fluido que atravessa A no tempo Dt é a mesma que atravessa A’ (que é a projeção
de A em um plano perpendicular às linhas de campo) . Assim ΦA = ΦA′ = v A’ .
35
36 CAPÍTULO 4. FLUXOS E INTEGRAIS DE LINHA
Figura 4.1.2: Superfície inclinada relativamente ao fluxo
como A’ = Acos (θ), então ΦA = vAcos (θ)
⇒ΦA = ~v · ~A, onde ~A = A~n e ~n um vetor unitário normal a superfície.
4.1.1 Fluxo numa superfície fechada
Considere a figura a seguir:
Figura 4.1.3: Superfície fechada
O fluxo através da superfície é:
Φ = Φsai − Φentra
observando localmente a superfície (figura 5.1.4), observamos que igualdade acima pode ser escrita
como:
Φ =
5∑
j=1
~v · ~Aj
Figura 4.1.4: Fluxos nas superfícies do sólido
Podemos generalizar esse resultado supondo um superfície fechada composta de N superfícies planas
e inclusive super que o campo de velocidades não é uniforme, mas assuma um valor constante na
superfície ~Aj :
Φsuperf.fechada =
N∑
j=1
~vj · ~Aj
4.2. INTEGRAL DE LINHA 37
4.2 Integral de linha
Vamos agora ver o caso em que o integrando envolve um vetor. Linha será uma trajetória ao longo de
uma curva, no espaço.
Poe definição, a integral de linha
ˆ
L
~A · d~l
é a integral da componente tangencial de ~A ao da curva L. assim, dado um campo vetorial ~A e uma
curva L:
ˆ
L
~A · d~l =
bˆ
a
A cos (θ)dl
Figura 4.2.1: Integral de linha
Se o caminho de integração é uma curva fechada como na figura 5.2.2, o integral torna-se um integral
de linha fechado, e simboliza-se por:
˛
L
~A · d~l
que é denominada a circulação de ~A em torno de L.
Figura 4.2.2: Integral de linha de um caminho fechado
4.3 Integral de superfície
Dado um campo vetorial ~A, contínuo em uma região contendo uma curva suave S, definimos o integral
de superfície, ou fluxo de ~A através de S como
ˆ
S
~A · ~andS =
ˆ
S
A cos (θ)dS
38 CAPÍTULO 4. FLUXOS E INTEGRAIS DE LINHA
Figura 4.3.1: Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície S
ou simplesmente
Φ =
ˆ
S
~A · d~S
Para uma superfície fechada, definindo um volume, a equação acima torna-se:
Φ =
˛
S
~A · d~S
que é o fluxo líquido de ~A que sai de S. Observe que o caminho fechado define uma superfície aberta,
enquanto que uma superfície fechada define um volume.
Definimos o integral
ˆ
V
ρV dV
como o integral de volume do escalar ρV sobre o volume V.
O significado físico de uma integral de linha, de superfície ou de volume depende das quantidades
físicas representadas por ~A ou ρV .
Por exemplo:
1- Lei de Gauss: O fluxo elétrico total Φatravés de qualquer superfícies fechada é igual a carga total
encerrada por essa superfície:
Φ =
˛
S
~E · d~S = Qint
ε0
2- 1ª Lei de Kirchhoff : A soma dos potenciais elétricos ao percorrer uma malha fechada é zero (num
caminho fechado A coincide com B):
VAB =
˛
~E · d~l = 0
Os elementos infinitesimais dl, dS e dV nos três sistemas de coordenadas que aprendemos você encon-
tra nomaterial de apoio formulario_calc_vet_diferenciais.pdf. Lembre-se que você tem de memorizar
os três em coordenadas cartesianas!
4.4 Os teoremas da divergência e de Stokes
Teorema da divergência: O fluxo total de um campo vetorial ~A que sai de uma superfície fechada S é
igual a integral de volume da divergência de ~A.
4.4. OS TEOREMAS DA DIVERGÊNCIA E DE STOKES 39
˛
S
~A · d~S =
ˆ
V
∇ · ~AdV
Utilizando o teorema de Gauss e o teorema da divergência, chegamos na forma diferencial da 1ª lei de
Maxwell:
˛
S
~E · d~S =
ˆ
V
∇ · ~EdV
como
˛
S
~E · d~S = Qint
ε0
e
Qint =
ˆ
V
ρdV
então:
∇ · ~E = ρ
ε0
Teorema de Stokes: A circulação de um campo vetorial ~A em torno de um caminho fechado L é igual
à integral de superfície do rotacional de ~A sobre a superfície aberta S, limitada por L, desde que ~A e
~∇×A sejam contínuos sobre S.
˛
L
~A · d~l =
ˆ
S
(
∇× ~A
)
· d~S
40 CAPÍTULO 4. FLUXOS E INTEGRAIS DE LINHA
Capítulo 5
Equações de Maxwell
5.1 Aspectos históricos
As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que
incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a Lei de Ampère
corrigida, uma equação de três componentes; a Lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a
relação entre densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre
campo magnético e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a
ausência de monopolos magnéticos; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial,
descrita por equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos
elétrico e de deslocamento, descrita por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona
intensidade de corrente e campo elétrico, descrita por equações de três componentes; e a equação
de continuidade, que relaciona a intensidade de corrente e densidade de carga, descrita por uma
equação. A formulação matemática moderna das equações de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside1
e Willard Gibbs2, que em 1884 reformularam o sistema original de equações em uma representação
mais simples, utilizando-se de cálculo vetorial. Maxwell também havia publicado seu trabalho, em
1873, utilizando notações com base em quatérnions, que acabou se tornando impopular. A mudança
para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção
das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente
o desenvolvimento posterior da física.
1Oliver Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850- Torquay, 3 de fevereiro de 1925), foi um matemático inglês. Aos 16
anos abandonou a escola para seguir o sonho de ser telegrafista. Nos tempos livres estudava eletricidade, chegando a
publicar alguns artigos inspirados pelo Tratado de Eletricidade e Magnetismo de Maxwell. Apesar dos vários contributos
para o eletromagnetismo, é mais conhecido pelo estudo da análise vetorial; introduziu o cálculo operacional para resolver
equações diferenciais dos circuitos, tornando-as equações algébricas facilmente resolúveis.
2Josiah Willard Gibbs (New Haven, 11 de fevereiro de 1839 - New Haven, 28 de abril de 1903) foi um físico, químico
teórico e matemático norteamericano. Gibbs estudou matemática e ciências naturais na Universidade de New Haven.
Foi tutor de 1863 a 1866 no Colégio de Yale. Foi então para a Europa, onde prosseguiu seus estudos em Paris, Berlim e
Heidelberg. Em 1871 foi professor na Universidade Yale. Seus trabalhos estão em áreas tão diversas como a mecânica
estatística, o cálculo vetorial e a teoria eletromagnética da luz. Seus Scientific Papers (1906) e Collected Works (1928)
foram recolhidos e publicados após sua morte.
41
42 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Figura 5.1.1: Oliver Heaviside
Figura 5.1.2: Willard Gibbs
5.2 Domínios das equações de Maxwell
Dentro do eletromagnetismo, podemos distinguir dois domínios que estão inclusos nas equações de
Maxwell:
1. Domínio das altas frequências. Contém a análise e estudo de ondas eletromagnéticas e a propa-
gação de energia pelas mesmas; frequências superiores a algumas dezenas de kHz.
2. Domínio das baixas frequências. Neste domínio estão a maior parte dos dispositivos eletro-
magnéticos como motores elétricos, relés, transformadores e disjuntores; frequências abaixo de
dezenas de kHz.
A área das baixas frequências corresponde aos estados quase-estacionários onde podemos estudar
campos elétricos e magnéticos separadamente, ao contrário do domínio de altas frequências onde estes
campos são interdependentes.
A seguir um diagrama didático desta divisão do eletromagnetismo extraído de Eletromagnetismo para
Engenharia: Estática e Quase-Estática, João Pedro Assumpção Bastos, Editora da UFSC.
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 43
Figura 5.2.1: Diagrama didático dos domínios do eletromagnetismo
5.3 As grandezas fundamentais do eletromagnetismo
1. Campo elétrico ~E;
2. Indução elétrica ou fluxo elétrico ~D;
3. Campo magnético ~H;
4. Indução magnética ou fluxo magnético ~B;
5. Densidade superficial de corrente ~J ;
6. Densidade volumétrica de carga ρ.
Vamos definir ainda as seguintes grandezas:
• A permeabilidade magnética µ;
• A permissividade elétrica ε;
• A condutividade elétrica σ.
Já conhecemos o campo elétrico, vamos definir agora as outras grandezas.
5.3.1 A densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica
O fluxo devido ao campo elétrico, como vimos, pode ser calculado por
ˆ
S
~A · d~S
ou, para uma superfície fechada: ˛
S
~A · d~S
a intensidade do campo elétrico depende do meio onde as cargas estão inseridas. Na física IV e até este
momento o meio foi sempre o vácuo. Isto está explícito na dependência do campo do a permissividade
elétrica do vazio, ε0, que definimos no capítulo 2. Por isso, definimos um novo campo vetorial ~D,
independente do meio e definido por :
~D = ε0 ~E
44 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
e vamos definir o fluxo elétrico Ψem termos de ~D através da equação:
Ψ =
ˆ
S
~D · d~S
Em unidades do SI, uma linha de fluxo elétrico se inicia numa carga de + 1,0 C e termina em uma
carga de - 1,0 C, por isso o fluxo é medido em coulombs [C]. O campo vetorial ~D é denominado
de densidade de fluxo elétrico e medido em coulomb/metro quadrado [C/m2]. Por razões históricas,
também é denominado de deslocamento elétrico.
Outra maneira de definir esta grandeza, é através de uma experiência realizada por Faraday3 em 1837.
Ele realizou uma experiência com um par de esferas concêntricas, sendo a externa constituída de dois
hemisférios e ambas separadas por uma camada isolante. A esfera interna, de raio “a”é então carregada
positivamente. Em seguida, os hemisférios, de raio “b”,são montados em torno da esfera carregada,
sendo a camada isolante de ¾ de polegada. Faz-se uma conexão momentânea da esfera externa à terra.
Na sequência o equipamento é desmontado e a carga de cada hemisfério cuidadosamente medida.
Concluiu então que a carga na esfera externa é igual em magnitude à da esfera interna, independente
do material isolante utilizado.
Figura 5.3.1: Esferas da experiência de Faraday
3Michael Faraday (Newington, Surrey, 22 de setembro de 1791 - Hampton Court, 25 de agosto de 1867) foi um físico
e químico inglês, sendo considerado um dos cientistas mais influentes de todos os tempos.[1] Suas contribuições mais
importantes e seus trabalhos mais conhecidos foram nos intimamente conectados fenômenos da eletricidade, eletroquímica
e do magnetismo, e diversas outras contribuições muito importantes na física e na química. Faraday foi principalmente
um experimentalista, e de fato, ele foi descrito como o "melhor experimentalista na história da ciência", emboranão
conhecesse matemática avançada, como cálculo infinitesimal. Tanto suas contribuições para a ciência, e o impacto delas
no mundo, são certamente grandes: suas descobertas científicas cobrem áreas significativas das modernas física e química,
e a tecnologia desenvolvida baseada em seu trabalho está ainda mais presente. Suas descobertas em eletromagnetismo
deixaram a base para os trabalhos de engenharia no fim do século XIX por pessoas como Edison, Siemens, Tesla e
Westinghouse, que tornaram possível a eletrificação das sociedades industrializadas, e seus trabalhos em eletroquímica
são agora amplamente usados em química industrial. Na física, foi um dos primeiros a estudar as conexões entre
eletricidade e magnetismo. Em 1821, logo após Oersted ser o primeiro a descobrir que a eletricidade e o magnetismo
eram associados entre si, Faraday publicou seu trabalho que chamou de "rotação eletromagnética" (princípio por trás do
funcionamento do motor elétrico). Em 1831, Faraday descobriu a indução eletromagnética, o princípio por trás do gerador
elétrico e do transformador elétrico. Suas ideias sobre os campos elétricos e os magnéticos, e a natureza dos campos em
geral, inspiraram trabalhos posteriores nessa área (como as equações de Maxwell), e campos do tipo que ele fitou são
conceitos-chave da física atual. Na química, descobriu o benzeno, produziu os primeiros cloretos de carbono conhecidos
(C2C`6 e C2C`4), ajudou a estender as fundações da metalurgia e metalografia, além de ter tido sucesso em liquefazer
gases nunca antes liquefeitos (dióxido de carbono, cloro, entre outros), tornando possíveis métodos de refrigeração que
foram muito usados. Talvez sua maior contribuição foi em virtualmente fundar a eletroquímica, e introduzir termos como
eletrólito, ânodo, catodo, eletrodo, e íon.
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 45
Figura 5.3.2: Michael Faraday
Ele concluiu que havia um certo tipo de deslocamento da esfera interna para a esfera externa, o qual
chamou de “fluxo de deslocamento” ou simplesmente “fluxo elétrico”. Mudando a carga da esfera
interna, Faraday concluiu que a carga induzida na esfera externa também se altera, havendo portanto
uma relação de proporcionalidade entre o fluxo e a carga.
Ψ= α Q
No SI α = 1, logo Ψ= Q. As linhas de fluxo se estendem radialmente da esfera interna para a
externa. Na superfície da esfera interna, Ψ coulombs de fluxo são produzidos pela carga Q, distribuídos
uniformemente sobre os 4pia2 de área superficial. Logo, a densidade de fluxo junto à superfície da esfera
de raio a , será:
~Da =
Ψ
A
~ar =
Q
4pia2
~ar
E então ~Dé a densidade de fluxo elétrico. Da mesma forma, junto à superfície de raio b, será:
~Db =
Ψ
A
~ar =
Q
4pib2
~ar
Se fizermos o raio “a”tender a zero, a carga Q torna-se pontual. Então, para uma distância radial r
< b, teremos:
~D =
Q
4pir2
~ar
Lembrando que a intensidade de campo para uma carga pontual é dada por:
~E =
Q
4piε0r2
~ar
comparamos as duas equações e chegamos a:
~D = ε0 ~E
Podemos afora definir a permissividade elétrica do meio, ou simplesmente permissividade elétrica, de-
terminada pela habilidade de um material de polarizar-se em resposta a um campo elétrico aplicado.
Está diretamente relacionado com a susceptibilidade elétrica, uma medida aproximada da susceptibi-
lidade ou sensibilidade aos campos elétricos:
ε = εrε0 = (1 + χe)ε0
46 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
εr é a permissividade relativa ou constante dielétrica do material (adimensional):
εr =
ε
ε0
e χe a susceptibilidade elétrica.
Por exemplo, em um capacitor uma alta permissividade faz que a mesma quantidade de carga elétrica
seja guardada com um campo elétrico menor e, portanto, a um potencial menor, levando a uma maior
capacitância do mesmo.
Num meio material, portanto, ~D = ε ~E ou
~D = ε0(1 + χe) ~E.
5.3.2 O campo magnético ~H
Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de Abril de 1820, Ørsted4 desenvolveu uma
experiência que forneceu evidências que o surpreenderam. Enquanto preparava os seus materiais,
reparou que a agulha de uma bússola desviava do norte magnético quando a corrente eléctrica da ba-
teria que estava usando era ligada e desligada. Esta deflexão convenceu-o que os campos magnéticos
radiam a partir de todos os lados de um fio carregando uma corrente elétrica, tal como ocorre com
a luz e o calor, e que isso confirmava uma relação direta entre eletricidade e magnetismo. Na época
desta descoberta, Ørsted não sugeriu nenhuma explicação satisfatória para esse fenômeno, nem tentou
representar o mesmo numa estrutura matemática. No entanto, três meses mais tarde deu início a in-
vestigações mais intensivas publicando as suas descobertas e provando que a corrente eléctrica produz
um campo magnético à medida que flui através de um fio. As suas descobertas resultaram numa pes-
quisa intensa em eletrodinâmica por parte da comunidade científica, influenciando o desenvolvimento
de uma forma matemática única que representasse as forças magnéticas entre condutores portadores
de corrente estabelecida por parte do físico francês André-Marie Ampère. As descobertas de Ørsted
representaram também um grande passo em direção a um conceito de energia unificado.
Figura 5.3.3: Hans Christian Ørsted
Assim, cargas elétricas em movimento, produzem corrente elétrica que produz então um campo mag-
nético ~H. A sua unidade é ampère/metro [A/m].
4Hans Christian Ørsted (Rudkøbing, 14 de Agosto de 1777 - Copenhague, 9 de Março de 1851) foi um físico e químico
dinamarquês. É conhecido sobretudo por ter descoberto que as correntes elétricas podem criar campos magnéticos que
são parte importante do Eletromagnetismo.
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 47
5.3.3 Indução magnética ou fluxo magnético ~B
A densidade de fluxo magnético, é similar a densidade de fluxo elétrico ~D. Relaciona-se com a
intensidade de campo magnético ~H por:
~B = µ0 ~H
onde µ0 é a permeabilidade ou permissividade magnética do espaço livre (ou vazio) e vale 4pi×10−7H/m
(henry5/metro). Apenas por curiosidade, os termos ~B e ~H são acompanhados de uma "confusão" em
suas nomenclaturas. Segundo Griffths, J. David, em seu livro Introduction to Eletrodynamics, Third
Edition, pág. 271 " Em um laboratório você vai ouvir frequentemente as pessoas falando sobre o ~H ,
(mais do que o ~B em si)... A razão é esta:
”...para construir um eletroímã você circula uma certa corrente em uma bobina. A corrente é a grandeza
mensurável no instrumento, e ela determina ~H (ou sua integral de linha). ~B depende especificamente
dos materiais sendo utilizados, e no caso do ferro, até mesmo da história do seu magneto. Vários
autores chamam ~H , e não ~B, de "campo magnético". Então eles têm que inventar um novo nome
para ~B: a "densidade de fluxo magnético", ou "indução magnética" (uma escolha absurda, uma
vez que este termo tem pelo menos dois outros significados em eletrodinâmica). De qualquer modo,
~B é inquestionavelmente a quantidade fundamental. e assim continuaremos a chamá-la de campo
magnético. como todos o fazem na linguagem falada. ~H não tem nome específico: simplesmente
chame-o ~H ." (ou campo ~H , ou indução ~H )...”
De qualquer forma, ~B, é determinado através de seu fluxo:
Ψ =
ˆ
S
~B · d~S
Sendo que o fluxo é medido em weber6 [Wb] e a densidade de fluxo magnético em Wb
m2
=T (tesla), em
homenagem a Nikola Tesla7.
5Joseph Henry (Albany, 17 de dezembro de 1797 -Washington, D.C., 13 de maio de 1878) foi um cientista estaduni-
dense. Em 1830, enquanto construía eletroimãs, descobriu o fenômeno eletromagnético chamado indução eletromagnética
ou auto-indutância e a indutância mútua. O seu trabalho foi desenvolvido independentemente de Michael Faraday, mas
é a este último que se atribuí a honra da descoberta por ter publicado primeiro as suas conclusões. A Henry tambémé creditada a invenção do motor elétrico, embora mais uma vez não tenha sido o primeiro a registrar a patente. Seus
estudos acerca do relê eletromagnético foram a base do telégrafo elétrico, inventado por Morse e Wheatstone. Mais tarde
provou que as correntes podem ser induzidas à distância, magnetizando uma agulha com a ajuda de um relâmpago a
13 quilômetros de distância. Em 1832, Henry tornou-se professor de física no College of New Jersey, mais tarde conhe-
cido como Universidade de Princeton. Foi professor na Academia de Albany (EUA) e o primeiro diretor do Instituto
Smithsoniano, de 1846 até à sua morte, 32 anos depois. À frente deste instituto desempenhou importantíssimo papel no
desenvolvimento da ciência norte-americana. Em 1849 foi presidente da Associação Americana para o Avanço da Ciência.
6Wilhelm Eduard Weber (Wittenberg, 24 de Outubro de 1804 - Göttingen, 23 de Junho de 1891) foi um físico alemão
e, com Carl Friedrich Gauss, inventor do primeiro telégrafo electromagnético.
7Nikola Tesla (Smiljan, Império Austríaco, 10 de Julho de 1856 - Nova Iorque, 7 de Janeiro de 1943) foi um inventor
nos campos da engenharia mecânica e electrotécnica, de etnia sérvia nascido na aldeia de Smiljan, Vojna Krajina, no
território da atual Croácia. Era súbdito do Império Austríaco por nascimento e mais tarde tornou-se um cidadão
norteamericano.Tesla é muitas vezes descrito como um importante cientista e inventor da idade moderna, um homem
que "espalhou luz sobre a face da Terra". É mais conhecido pela suas muitas contribuições revolucionárias no campo do
electromagnetismo no fim do século XIX e início do século XX. As patentes de Tesla e o seu trabalho teórico formam
as bases dos modernos sistemas de potência eléctrica em corrente alterna (AC), incluindo os sistemas polifásicos de
distribuição de energia e o motor AC, com os quais ajudou na introdução da Segunda Revolução Industrial. Depois da
sua demonstração de transmissão sem fios (rádio) em 1894 e após ser o vencedor da "Guerra das Correntes", tornou-
se largamente respeitado como um dos maiores engenheiros eletrotécnicos que trabalhavam nos EUA. Muitos dos seus
primeiros trabalhos foram pioneiros na moderna engenharia eletrotécnica e muitas das suas descobertas foram importantes
a desbravar caminho para o futuro. Durante este período, nos Estados Unidos, a fama de Tesla rivalizou com a de
qualquer outro inventor ou cientista da história e cultura popular, mas devido à sua personalidade excêntrica e às suas
afirmações aparentemente bizarras e inacreditáveis sobre possíveis desenvolvimentos científicos, Tesla caiu eventualmente
no ostracismo e era visto como um cientista louco.Nunca tendo dado muita atenção às suas finanças, Tesla morreu
empobrecido aos 86 anos.
48 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Podemos agora definir a permissividade ou permeabilidade magnética do material, µ, de maneira
similar a que definimos a permissividade elétrica:
µ = µrµ0 = (1 + χm)µ0
Num meio material, portanto, ~B = µ ~H ou
~B = µ0(1 + χm) ~H.
Figura 5.3.4: Nikola Tesla
5.3.4 Densidade superficial de corrente ~J
Sabemos que a diferença de potencial elétrico e a corrente elétrica são duas quantidades fundamentais
em Engenharia Elétrica. A corrente elétrica é provocada pelo movimento de cargas elétricas. Poe
definição:
A corrente elétrica através de uma área é a quantidade de carga que atravessa essa área na unidade
de tempo.
Ou seja:
I =
dQ
dt
Introduzimos então o conceito de densidade de corrente ~J medida em ampère/metro quadrado [A/m2].
Se uma corrente ∆I atravessa uma superfície ∆S, a densidade de corrente é dada por:
Jn =
4I
4S
considerando que a densidade de corrente é perpendicular à superfície. Não sendo normal a superfície:
∆I = ~J ·∆~S
logo
I =
ˆ
~J · d~S
e definimos a densidade de corrente em um dado ponto como a corrente através da área unitária normal
àquele ponto.
Dependendo de como a corrente I é gerada, haverá diferentes tipos de densidade de corrente:
5.3. AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DO ELETROMAGNETISMO 49
• corrente de convecção;
• corrente de condução
• corrente de deslocamento
A equação integral acima se aplica a qualquer tipo de densidade de corrente. A corrente de convecção,
não envolve condutores e, consequentemente, não satisfaz a lei de Ohm. Ela resulta do fluxo de cargas
através de um meio isolante tal como um fluido ou o vácuo. Um feixe de elétrons por exemplo num
tubo de vácuo é uma corrente de convecção. Em geral a a densidade de corrente de convecção pode
ser calculada por:
~J = ρconvec~v
onde ρconvec é a densidade de cargas de convecção e ~v a sua velocidade.
A corrente de condução ocorre necessariamente em condutores. Um condutor é caracterizado por ter
uma grande quantidade de elétrons livres que promovem a corrente de condução ao ser aplicado um
campo elétrico no condutor. Aplicando um campo elétrico a um condutor, a força sobre um elétron é:
~F = −e ~E
O elétron não está no espaço livre e sendo acelerado pelo campo elétrico irá colidir com os outros
elétrons da rede desviando de um átomo para outro. Se um elétron com massa m, move-se num
campo elétrico ~E com uma velocidade média de desvio ~vd, a variação média de seu momento linear
será:
m~vd
τ
= −e ~E
sendo τ o tempo médio de colisão. Dessa equação é fácil ver que:
~vd = −τe
m
~E
se houver n elétron por unidade de volume, a densidade de carga eletrônica é:
ρV = −ne
e a densidade de corrente de condução é:
~J = ρV ~v =
nτe2
m
~E
definimos agora a condutividade elétrica σcomo sendo:
σ =
nτe2
m
e chegamos a
~J = σ ~E
conhecida como forma puntual da lei de Ohm. A condutividade é medida em siemens/metro [S/m].
Condutividade de alguns condutores metálicos:
• Alumínio: 3,82 x 107 S/m
• Cobre: 5,80 x 107 S/m
50 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
• Prata: 6,17 x 107 S/m
• Esses valores são aproximadamente constantes, visto que a condutividade é constante para uma
larga faixa de densidades de corrente e intensidade de campo elétrico.
Condutores metálicos obedecem bem a lei de Ohm, que é uma relação linear. A condutividade é
função da temperatura. A resistividade (recíproco da condutividade) Varia quase linearmente com a
temperatura na região de temperatura ambiente e, para o alumínio, o cobre e a prata, aumenta de
0,4% para uma variação de temperatura de 1,0 K.
Para diversos metais, a resitividade cai abruptamente até zero para temperaturas de alguns kelvin.
Essa propriedade é chamada de supercondutividade. O cobre e a prata Não são supercondutores,
apesar de o alumínio ser em temperaturas abaixo de 1,14 K.
Vamos agora deduzir a lei de Ohm na forma que você conhece! Vamos aplicar a lei pontual de Ohm
para uma porção macroscópica de matéria. Vamos assumir que a densidade de corrente e a intensidade
de campo elétrico são uniformes em uma região cilíndrica como mostrada a seguir:
Figura 5.3.5: Condutor com densidade de corrente e campo elétrico constante.
Como a densidade de corrente e o campo elétrico são uniformes, tendo o cilindro comprimento L e
área S:
I =
ˆ
~J · d~S = JS ⇔ J = I
S
Vab = −
a´
b
~E · d~l = −E
a´
b
dl = −ELba = ELab
⇔ V = EL
já que Lab = L
Agora, usando as relações acima, e a lei puntual de Ohm:
J = IS = σE ⇔ J = σ VL
I
S = σ
V
L ⇔ V = LσS I
definindo
R =
L
σS
finalmente:
V = RI
A corrente de deslocamento veremos mais adiante.
5.4. GRANDEZAS COMPLEXAS E FASORES 51
5.3.5 Densidade volumétrica de carga ρ
Esta grandeza é definição bem simples, pois sua definição está no próprio nome:
ρV =
dQ
dV
e para determinar a carga distribuída no volume:
Q =
ˆ
ρV dV
5.4 Grandezas complexas e fasores
5.4.1 Números complexos8
O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos
que se depararam com esta questão, atéa concepção do dos números complexos. Um número complexo
é um número z que pode ser escrito na forma z = x + yj , em que x e y e são números reais e j
9denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade j2 = −1, sendo que x e y são chamados
respectivamente parte real e parte imaginária de z.
O conjunto dos números complexos, denotado por C, contém o conjunto dos números reais. Munido
de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação
nos números reais, adquire uma estrutura algébrica10 denominada corpo algebricamente fechado11,
sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as soluções
de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos
complexos).
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo,
dado por:
r = |z| =
√
x2 + y2
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a
parte real, x, no eixo horizontal e a parte imaginária, y, no eixo vertical. Os números complexos são
utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica,
teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear
complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações
diferenciais.
O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do
conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta está associado um
número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto ( x , y ) do plano ao número complexo
x + yj. Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:
8Depois de estudar este capítulo, acesse:
http://www.es.iff.edu.br/softmat/projetotic/complexos/applets.html
9Normalmente em livros de matemática irá encontrara a letra i em vez de j
10Em álgebra abstrata, uma estrutura algébrica consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o
conjunto que satisfazem certos axiomas Caso não existam ambiguidades, geralmente identifica-se o conjunto com a
estrutura algébrica.
11Em Matemática, um corpo H diz-se algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável e grau maior ou
igual a 1, com coeficientes em H , tiver uma raiz em H. Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente
fechado, pois a equação polinomial 3x2 + 1 = 0 não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes (3 e 1) serem reais.
O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado.
52 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
• Forma retangular ou cartesiana. Representa o número z em coordenadas cartesianas separando
a parte real da parte imaginária:
z = (x, y) = x+ yj
• Forma polar :
z = r(cosθ + jsenθ)
onde r é a distância euclidiana do ponto z(x, y) até a origem do sistema de coordenadas, chamada de
módulo do número complexo, enquanto θ é o ângulo entre a semirreta OZ e o semieixo real, chamado
de argumento do número complexo z e denotado por arg(z ) .
Figura 5.4.1: No plano de Argand-Gauss, parte real é representada pela reta das abscissas (x, hori-
zontal) e a parte imaginária pela reta das ordenadas (y, vertical)
5.4.2 Operações elementares com complexos
O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e
multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um
inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser performadas através das propriedades
associativa, comutativa e distributiva, levando em consideração a identidade j2 = −1.
Sejam z e w dois números complexos dados por z = (a, b) e w = (c, d) então definem-se as relações e
operações elementares tal como segue:
• Identidade:
z = w ⇔ a = c, b = d
• Soma:
z + w = w + z
= (a+ bj) + (c+ dj) = (a+ c) + (b+ d)j
• Produto:
zw = wz
= (a+ bj)(c+ dj) = (ac− bd) + (bc+ ad)j
• Conjugado:
z¯ = a− bj
onde z¯ denota o conjugado de z. Outra notação para o conjugado de z é z?.
5.4. GRANDEZAS COMPLEXAS E FASORES 53
• Produto de um complexo por seu conjugado:
z · z¯ = (a+ bj)(a− bj)
= a2 − abj + ab− b2j2 = a2 − b2j2
como j2 = −1, temos que o produto de um número complexo a+ bj pelo seu conjugado a− bj
é zz¯ = a2 + b2.
• Módulo:
|z| =
√
x2 + y2
• Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z =
1
a+bj =
a−bj
(a+bj)(a−bj) =
a−bj
a2+b2
= z¯|z|2
As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em
multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente. Algumas operações são mais facilmente
realizadas na forma polar:
z = a+ bj = r(cos θ + j sin θ) = rejθ
• Produto:
zw = r1e
jθ1r2e
jθ2 = r1r2e
j(θ1+θ2)
• Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
=
1
r1ejθ1
=
1
r1
e−j(θ1)
• Divisão:
z
w
=
r1e
jθ1
r2ejθ2
=
r1
r2
ej(θ1−θ2)
• Potenciação:
zn =
(
r1e
jθ1
)n
= rn1 e
jnθ1 , n = 0, 1, 2, 3, . . .
• Conjugado:
z¯ = r1e
−jθ1
A produto de um número complexo pelo seu conjugado é:
zz¯ = r1e
jθ1r1e
−jθ1 = r1r1ejθ1−jθ1 = r21e
0 = r21
Sejam z e w dois números complexos dados por z = (a, b) e w = (c, d), então o módulo possui as
seguintes propriedades:
|z| = √a2 + b2
|z¯| = |z|
|zw| = |z| |w|
|z + w| ≤ |z|+ |w|
|z| = 0⇔ z = 0
A distância entre dois números complexos é definida como:
54 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
dist (z, w) = |z − w|
5.4.3 Aplicações em eletromagnetismo
Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma senóide. O uso de números
complexos para resolver problemas em circuitos de corrente alternada foi apresentado pela primeira
vez por Charles Proteus Steinmetz em um artigo de 1893. Ele nasceu em Breslau, na Alemanha, filho
de um ferroviário. Tornou-se um gênio da ciência apesar de ser um deficiente físico de nascença e ter
perdido a mãe com apenas 1 ano de idade. Assim com seu trabalho sobre as leis da histerese atraíram
a atenção da comunidade científica, suas atividades políticas na Universidade de Breslau atraíram a
polícia política. Foi forçado a fugir da Alemanha sem conseguir concluir seu trabalho de doutorado.
Trabalhou em inúmeras pesquisas nos Estados Unidos, principalmente na General Electric Company.
A GE havia sido fundada por Thomas Edison que a dirigiu entre 1876 a 1892. O período de 1892
a 1923 ficou conhecido como sendo a Era Steinmetz, por razões óbvias. Seu “paper” sobre números
complexos revolucionou a análise de circuitos AC apesar de terem dito (naquela época) que ninguém,
exceto Steinmetz, entendia o método.
Figura 5.4.2: Charles Proteus Steinmetz.
Escrevemos um fasor na forma:
z = x+ yj = r∠θ
onde
r = |z| =
√
x2 + y2
e θ = tg−1
(y
x
)
chamamos de fase de z.
5.4. GRANDEZAS COMPLEXAS E FASORES 55
Um campo harmônico no tempo é aquele que varia periodicamente ou sinusoildamente com o tempo.
Podemos inserir a variação temporal definindo:
θ = ωt+ θ0
É fácil ver que:
rejθ = rejθejωt
e podemos escrever as partes reais e imaginárias da seguinte forma:
Re
(
rejθ
)
= r cos (ωt+ θ0)
Im
(
rejθ
)
= rsen (ωt+ θ0)
Considere uma CA sinosoidal dada por I (t) = I0cos (ωt+ θ0). Observe que é igual à parte real de
I0e
jθ0ejωt. A corrente I ′ (t) = I0sen (ωt+ θ0), é a parte imaginária de I0ejθ0ejωt.
O termo complexo I0ejθ0é denominado fasor da corrente, e vamos o denotar por IS , logo:
IS = I0e
jθ0 = I0∠θo
Portanto, podemos escrever a intensidade de corrente como
I (t) = Re
(
ISe
jωt
)
Um fasor pode ser um escalar ou um vetor. Se um vetor ~A (x, y, z, t)é um campo harmônico no tempo,
a forma fasorial de ~Aé ~A (x, y, z), estando estas grndezas relacionadas por
~A = Re
(
~ASe
jωt
)Por exemplo, se ~A = A0cos (ωt− λy) ~ax, escrevemos ~A como
~A = Re
(
A0e
−jλy~axejωt
)
onde concluímos que a forma fasorial de ~A é:
~AS = A0e
−jλy~ax
O fato de trabalharmos na forma complexa, trás vantagens. Por exemplo:
∂ ~A
∂t
=
∂
∂t
[
Re
(
~ASe
jωt
)]
= Re
(
jω ~ASe
jωt
)
logo, determinar a derivada temporal é equivalente a multiplicar sua forma fasorial por jω! Logo
∂ ~A
∂t
→ jω ~AS
e de forma similar: ˆ
~A∂t→
~AS
jω
56 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
5.5 As Eq. de Maxwell e as relações constitutivas
Conceitualmente, as equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas agem
como fontes dos campos elétrico e magnético. Além do mais, as equações de Maxwell descrevem
como um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que também varia no tempo,
e vice-versa. Das quatro equações, duas delas, a lei de Gauss e a lei de Gauss para o magnetismo,
descrevem como os campos são gerados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga
magnética, as linhas de campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como
trajetórias fechadas. As outras duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas
respectivas fontes: o campo magnético "circula" em torno de correntes elétricas e de campos elétricos
variantes com o decorrer do tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do próprio Maxwell;
campos elétricos "circulam" em torno da campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei
de Faraday.
Tenha em mente sempre o seguinte:
Cargas estacionárias → campos eletrostáticos
Correntes contínuas → campos magnetostáticos
Correntes variáveis → campos eletromagnéticos
Correntes variáveis, são correntes com variação temporal, e campos eletromagnéticos são ondas ele-
tromagnéticas.
5.5.1 A primeira lei de Maxwell
A primeira lei de Maxwell, que já deduzimos utilizando o teorema do divergente, descreve a relação
entre um campo elétrico e as cargas elétricas geradoras do campo. O campo elétrico aponta para fora
de cargas positivas em direção a cargas negativas. Na descrição em termos de linhas de campo, as
linhas de campo elétrico começam das cargas positivas e terminam nas cargas negativas. "Contando"
o número de linhas de campo em uma superfície fechada, portanto, obtém-se o total de cargas inclusas
naquela superfície. Tecnicamente, a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de qualquer
superfície gaussiana fechada para as cargas elétricas na superfície .
Forma integral: ˛
S
~E · d~S = Qinterna
εo
Forma diferencial:
∇ · ~E = ρ
εo
5.5.2 A segunda lei de Maxwell
A lei de Gauss para o magnetismo afirma que não há cargas ou monopólos magnéticos análogos às
cargas elétricas. Em vez disso, o campo magnético é gerado por uma configuração chamada dipolo. Isto
significa que toda linha de campo é uma linha contínua e fechada, ou seja, partindo do pólo N vai ao
pólo S por fora do imã e, daí, por dentro, retorna ao pólo N. Tecnicamente, o fluxo magnético através de
qualquer superfície gaussiana é zero, ou, o campo magnético é um campo vetorial solenoidal. Portanto,
a lei de Gauss para o magnetismo expressa a inseparabilidade dos pólos magnéticos, ou
seja, a inexistência de pólos magnéticos isolados (monopólos magnéticos).
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 57
Figura 5.5.1: Na figura acima, é fácil notar que que o número de linhas de campo magnético que
passam através de qualquer uma das três superfícies S1, S2 e S3 de fora para dentro é igual ao número
de linhas de campo que passam de dentro para fora, de modo que o fluxo magnético total, para cada
superfície, é nulo. O mesmo vale para qualquer outra superfície fechada que se tome.
Forma integral: ˛
S
~B · d~S = 0
Forma diferencial:
∇ · ~B = 0
Como já vimos, a divergência do rotacional de um campo vetorial é sempre nula. Este resultado implica
que todos os campos solenoidais,ou seja de divergência nula, podem ser escritos como o rotacional de
um outro campo vetorial. Assim,
~B = ∇× ~A
sendo ~A denominado de potencial vetor.
Utilizando conforme vimos no capítulo 2 a identidade
∇2 ~A = ∇
(
∇ · ~A
)
−∇×∇× ~A
podemos mostrar (veja apêndice G) que:
∇2 ~A = −µ0 ~J
Este resultado é a equação de Poisson, escrita para cada componente do potencial vector.
∇2 ~Ai = −µ0 ~Ji
A partir do momento em que conhe¸camos uma solução da equação de Poisson, por exemplo através
de um problema electrostático, podemos utilizar essa solução na magnetostática. A unidade no SI do
potencial vetor é o Wb/m (weber por metro).
58 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
5.5.3 A terceira lei de Maxwell
A lei de Faraday-Neumann12-Lenz13, ou lei da indução eletromagnética, é uma lei que quantifica a
indução eletromagnética: o efeito da produção de corrente elétrica em um circuito colocado sob efeito
de um campo magnético variável ou por um circuito em movimento em um campo magnético constante.
Esta lei, é a base do funcionamento dos alternadores, dínamos e transformadores.
Tal lei é derivada da união de diversos princípios. A lei da indução de Faraday, elaborada por Michael
Faraday em 1831, afirma que a corrente elétrica induzida em um circuito fechado por um campo
magnético, é proporcional ao número de linhas do fluxo que atravessa a área envolvida do circuito, na
unidade de tempo. ou seja, Faraday descobriu que a fem induzida(� em volts), em qualquer circuito
fechado é igual á taxa de variação no tempo do fluxo magnético enlaçado pelo circuito:
� = −N dφ
dt
onde N é o número de espiras, e φ o fluxo em cada espira. O sinal negativo mostra que a tensão
induzida age de forma a se opor ao fluxo que a produziu.
Essa propriedade é conhecida como lei de Lenz e destaca o fato de que o sentido do fluxo da corrente
no circuito é tal que o campo magnético produzido pela corrente induzida se opõe ao campo magnético
original.
Há campos elétricos que não são causados diretamente por cargas elétricas. Por exemplo, os campos
causados por fem’s. Fontes de fem’s incluem geradores elétricos, baterias, termopares, células de carga
e células fotovoltaicas. Todos convertem energia não elétrica em elétrica.
Mas o que é a força eletromotriz (fem)? Força eletromotriz é a propriedade de um dispositivo, que
tende a produzir corrente elétrica num circuito. É uma grandeza escalar e não pode ser confundida
com uma diferença de potencial elétrico (ddp), apesar de ambas terem a mesma unidade de medida.
No Sistema Internacional de Unidades a unidade da força eletromotriz e da ddp é J/C (Joule por
Coulomb), mais conhecida como V (Volt). A ddp entre dois pontos é o trabalho por unidade de carga
que a força eletrostática realiza sobre uma carga que é transportada de um ponto até o outro sendo
independente do caminho ou trajeto que une um ponto ao outro.
A força eletromotriz é o trabalho por unidade de carga que uma força não-eletrostática realiza quando
uma carga é transportada de um ponto a outro por um particular trajeto; isto é, a força eletromotriz,
contrariamente da ddp, depende da trajetória.
Por exemplo, a força eletromotriz em uma pilha ou bateria somente existe entre dois pontos conectados
por um caminho interno a essas fontes. Todos os materiais exercem uma certa resistência, por menor
que seja, ao fluxo de elétrons, o que provoca uma perda indesejada de energia (o efeito Joule). Nos
geradores, enquanto a corrente passa do polo negativo para o positivo, há uma perda de energia devido
12Franz Ernst Neumann (Joachimsthal, Alemanha, 11 de setembro de 1798 -Königsberg, Alemanha, 23 de maio de
1895) foi um mineralogista, físico e matemático alemão. É considerado um dos fundadores da física teórica. Interrompeu
seus estudos em Berlim em 1815 para servir como voluntário na campanha contra Napoleão Bonaparte, sendo ferido na
batalha de Ligny. Depois da guerra, foi estudarteologia na Universidade de Berlim, mas logo desviou seus interesses
para assuntos científicos. Seus trabalhos tratam principalmente de cristalografia. Logo sua reputação o levou à docência
na Universidade de Königsberg, onde, em 1829, tornou-se professor de mineralogia e física. Em 1831 passou a se dedicar
ao estudo do calor específico dos corpos, e chegou à lei que leva seu nome: o calor molecular de um corpo é igual à soma
do calor atômico de seus componentes. Estabeleceu matematicamente a lei de Faraday em termos de fem.
13Heinrich Friedrich Emil Lenz (Tartu (actual Estonia), 12 de Fevereiro de 1804 -Roma, 10 de Fevereiro de 1865). Após
completar o ensino secundário em 1820, Lenz estudou química e física na Universidade de Tartu. Viajou com Otto von
Kotzebue na sua terceira expedição à volta do mundo entre 1823 e 1826. Durante a viagem, Lenz estudou as condições
climatéricas e as propriedades físicas da água do mar. formulou a sua lei em 1833. Pesquisou condutividade de vários
materiais sujeitos a corrente elétrica e o efeito da temperatura sobre a condutividade além de descobrir a reversibilidade
das máquinas elétricas.
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 59
à resistência interna do próprio dispositivo. Assim sendo a energia que chegará no resistor conectado
ao gerador não será total, visto que a ddp entre os terminais do gerador e os terminais do resistor
serão diferentes.
Para calcularmos qual será a ddp dos terminais do resistor, utilizamos a chamada equação do gerador
que, matematicamente, se traduz na forma
V = �− ri
Não existem geradores cuja força eletromotriz seja igual à ddp, uma vez que todo e qualquer material
exerce resistência. No entanto, para efeito de cálculos, é bastante comum o uso da expressão gerador
ideal, que nada mais seria que aquele cuja resistência interna é nula, ou seja, não haveria perdas
indesejadas na potência do circuito.
A força eletromotriz pode ser gerada de diversas formas, destacam-se, entre outras:
• Efeito Peltier: é a produção de um gradiente de temperatura em duas junções de dois condutores
(ou semicondutores) de materiais diferentes quando submetidos a uma tensão elétrica em um
circuito fechado (consequentemente, percorrido por uma corrente elétrica).
• Força eletromotriz inversa: a tensão elétrica desenvolvida num circuito indutivo por uma corrente
variável ou alternada atravessando-o. A polaridade da tensão é a cada instante, oposta à da
tensão aplicada, a amplitude ou intensidade nunca é maior do que o valor nominal constante. A
força eletromotriz inversa, é também chamada de força contraeletromotriz.
• Força fotoeletromotriz: é gerada quando um feixe luminoso incide sobre uma placa metálica.
Isto ocorre porque as partículas contendo energia (chamada de fóton) permitem que o elétron
escape da superfície metálica gerando uma corrente elétrica. Os elétrons emitidos pelo metal
ao ser captados voltam à placa percorrendo um circuito elétrico. Este efeito observado em
1887 por Hertz, somente foi explicado por Einstein em 1905 usando a explicação de Planck
sobre os pacotes ou quantidades fixas de energia chamados de quantum. Em seu postulado
Einstein desenvolveu a idéia de que a radiação consiste em quanta, ou fótons, e estes têm um
comportamento de partículas aceleradas que deslocam os elétrons de suas órbitas, fazendo-os
ganhar energia, gerando portanto, quando num metal e em circuito fechado, uma corrente elétrica
que pode ser medida. As modernas células solares funcionam desta forma, pois geram energia
elétrica a partir da luz solar.
Considere o circuito elétrico a seguir, onde uma bateria é fonte de fem. A ação eletroquímica da
bateria resulta em um campo ~Ef produzida por uma fem.
Devido ao acúmulo de cargas nos terminais da bateria, um campo eletrostático ~Ee (-∇ · V ) é criado.
Figura 5.5.2: Circuito mostrando a fem que produz um campo ~Ef e campos eletrostáticos ~Ee
60 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
O campo elétrico total em qualquer ponto do circuito é
~E = ~Ef + ~Ee
Fora da bateria ~Ef = 0, dentro da bateria ~Ef e ~Ee tem orientações opostas e a orientação de ~Ee no
interior da bateria é oposta a do campo fora dela. integrando sobre o circuito fechado
˛
L
~E · d~l =
˛
L
~Ef · d~l + 0 =
Pˆ
N
~Ef · d~l
onde
¸
~Ee ·d~l = 0 porque ~Ee é conservativo. A fem da bateria é a integral de linha do campo produzido
pela fem, ou seja:
� =
Pˆ
N
~Ef · d~l = −
Pˆ
N
~Ee · d~l = RI
já que ~Ef e ~Eetem orientações diferentes dentro da bateria. O que calculamos foi a diferença de
potencial (Vp − VN )entre os terminais da bateria a circuito aberto. Por fim, é importante concluir
então que:
1. Um campo eletrostático ~Ee, não pode manter uma corrente contínua em circuito fechado, já
que
¸
~Ee · d~l = 0 = RI ;
2. Um campo ~Ef produzido por uma fem é não conservativo;
3. Exceto em eletrostática, a tensão e a diferença de potencial são usualmente não equivalentes.
Por fim, a formulação da terceira lei de Maxwell na forma integral é
ˆ
C
~E · d~l = −dΦB
dt
O fluxo ΦB é
ΦB =
˛
S
~B · d~S
portanto ˛
C
~E · d~l = − d
dt
˛
S
~B · d~S

como ~B é função da posição e do tempo,
d
dt
→ ∂
∂t
e a equação acima fica
˛
C
~E · d~l = − ∂
∂t
˛
S
~B · d~S

que é a forma integral da terceira lei de Maxwell.
Usando o teorema de Stokes ˛
C
~E · d~l =
˛
S
∇× ~E · d~S
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 61
portanto ˛
S
∇× ~E · d~S = − ∂
∂t
˛
S
~B · d~S

de onde concluímos que
∇× ~E = −∂
~B
∂t
que é a forma diferencial da terceira lei de Maxwell.
Se o campo magnético associado ao circuito está diminuindo, o campo magnético gerado pela corrente
induzida irá na mesma direção do campo original (se opõem a diminuição), se, pelo contrário, o campo
magnético concatenado está aumentando, o campo magnético gerado irá em direção oposta ao original
(se opõem ao aumento). Esta última análise é compatível com o princípio da conservação de energia.
Se o circuito é aberto e não há fluxo de corrente, não há dissipação de energia pelo efeito Joule.
Por este motivo não há uma força de reação à variação do campo magnético e o movimento do
magneto ou do circuito não realiza trabalho. Se ao contrário, existir corrente circulando no circuito
(com dissipação de energia), a variação do campo magnético resultará numa resistência que demandará
a realização de trabalho.
Com base neste princípio, um gerador consome tanto mais energia mecânica quanto mais energia
elétrica ele produz (sem considerar a energia perdida por atrito e pelo efeito Joule).
5.5.4 Indutância
Um indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético,
normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica. O indutor pode ser utilizado em
circuitos como um filtro passa baixa, rejeitando as altas frequências. Também costumam ser chamados
de bobina, choke ou reator. Geralmente é uma bobina de material condutor, por exemplo, um fio de
cobre. Um núcleo de material ferromagnético aumenta a indutância concentrando as linhas de força
de campo magnético que fluem pelo interior das espiras.
A Indutância é a grandeza física associada aos indutores, é simbolizada pela letra L, medida em henry
(H), sendo que graficamente o indutor é representado por um fio helicoidal. O fluxo magnético total em
um indutor formado por N espiras é proporcional ao campo magnético, que por sua vez é proporcional
à corrente elétrica nas espiras: Φ ∝ I sendo a constante de proporcionalidade a indutância L:
Φ = LI
Aplicando a lei de Faraday
� = −dφ
dt
� = −LdI
dt
5.5.5 Aplicações da terceira lei
• Alternador: é uma máquina que transforma energia mecânica em energia elétrica. É utilizado em
diversas áreas, desde geradores de energia portáteis, em automóveise até nas usinas hidrelétricas.
Em um alternador a corrente elétrica flui através do rotor14 criando um campo magnético que
14Rotor é tudo que gira em torno de seu próprio eixo produzindo movimentos de rotação. Qualquer máquina rotativa,
como turbinas, compressores, redutores, entre outros, possuem eixos rotativos apoiados em mancais de deslizamento,
rolamento ou magnéticos. É esse conjunto que chamamos de Rotor.
62 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
induz a movimentação dos elétrons nas bobinas do estator15, que resultará em corrente alternada.
É importante saber que a intensidade desta tensão/corrente não é constante. Após cada giro de
360 graus, o ciclo da tensão se repete. Por isso, num giro uniforme consegue-se uma alteração
periódica da tensão, que pode ser representada como onda senoidal com meia-onda positiva e
meia negativa.
Figura 5.5.3: Alternador de fábrica têxtil
Figura 5.5.4: Esquema simples de um alternador
Figura 5.5.5: Estator de motor trifásico de corrente alternada.
• Dínamo: é um aparelho que gera corrente contínua (CC), convertendo energia mecânica em
eléctrica , através de indução eletromagnética. É constituído por um ímã e uma bobina. A
15Estator é a parte de um motor ou gerador elétrico que se mantém fixo à carcaça e tem por função conduzir energia
elétrica, nos motores para rotacionar e nos geradores para transformar a energia cinética do induzido. Nas máquinas
assíncronas e nas máquinas síncronas pequenas é nele que, assim como nas bobinas, é formado o campo magnético capaz
de induzir no rotor uma corrente. É formado basicamente por ferro tratado termicamente e dotado de ranhuras (também
chamados de canais) no seu interior onde são alojados as bobinas, e na sua face externa observa-se que possui aletas para
melhor dissipação do calor.
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 63
energia mecânica (de um rio, por exemplo) faz girar um eixo no qual se encontra o ímã, fazendo
alternar os polos norte e sul na bobina e por indução geram uma energia eléctrica e campo
magnético. Os dínamos podem retirar energia mecânica das turbinas, que podem ser frias(no
caso da queda d’água) ou quentes (no caso do vapor da água). As polaridades são invertidas
a cada 180 graus de rotação para que o dínamo gere uma corrente contínua, ao contrário dos
alternadores, que transformam energia de movimento em energia elétrica alternada, ou seja, que
possuem pausas, mas estas pausas são tão rápidas que não são detectáveis.
Figura 5.5.6: Dínamo Hjorth 1855.
Figura 5.5.7: Dínamo do francês Hippolyte Pixii (1836).
Figura 5.5.8: Dínamo do italiano Antonio Pacinotti (1860)
64 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Figura 5.5.9: Dínamo do belga Zénobe Gramme (1871).
• Transformador: é um dispositivo destinado a transmitir energia elétrica ou potência elétrica de
um circuito a outro, transformando tensões, correntes e ou de modificar os valores das impedân-
cias elétricas de um circuito elétrico. Um transformador é formado basicamente de:
1. Enrolamento. O enrolamento de um transformador é formado de varias bobinas que em geral
são feitas de cobre eletrolítico e recebem uma camada de verniz sintético como isolante.
2. Núcleo. Em geral é feito de um material ferromagnético e o responsável por transferir a corrente
induzida no enrolamento primário para o enrolamento secundário.
Esses dois componentes do transformador são conhecidos como parte ativa, os demais componentes do
transformador fazem parte dos acessórios complementares. No caso dos transformadores de dois enro-
lamentos, é comum se denominá-los como enrolamento primário e secundário, existem transformadores
de três enrolamentos sendo que o terceiro é chamado de terciário. Há também os transformadores que
possuem apenas um enrolamento, ou seja, o enrolamento primário possui um conexão com o enrola-
mento secundário, de modo que não há isolação entre eles, esses transformadores são chamados de
autotransformadores.
5.5.5.1 Tipos de transformadores
Os transformadores são classificados de acordo com vários critérios. As classificações de acordo com a
finalidade, o tipo, o material do núcleo e o número de fases são algumas das mais importantes.
Figura 5.5.10: Transformador
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 65
Quanto a finalidade
• Transformadores de corrente transformadores de potencial
• Transformadores de distribuição
• Transformadores de força
Quanto ao tipo
• Dois ou mais enrolamentos
• Autotransformador
Quanto ao material do núcleo
• Ferromagnético
• Núcleo de ar
Quanto ao número de fases
• Monofásico
• Polifásico
Figura 5.5.11: Transformador trifásico
Para se reduzir as perdas o núcleo de muitos transformadores são laminados para reduzir a indução
de correntes parasitas ou de Foucault, no próprio núcleo. Em geral se utiliza aço-silício com o intuito
de se aumentar a resistividade e diminuir ainda mais essas correntes parasitas. Esses transformadores
são chamados transformadores de núcleo ferromagnético. Há ainda os transformadores de núcleo de
ar, que possui seus enrolamentos em contato com a atmosfera. Transformadores também podem ser
utilizados para o casamento de impedâncias. Esse tipo de ligação consiste em modificar o valor da
impedância vista pelo lado primário do transformador, são em geral de baixa potência.
5.5.5.2 Transformadores de potência
Os transformadores trifásicos ou de potência são destinados a rebaixar ou elevar a tensão e conse-
quentemente elevar ou reduzir a corrente de um circuito, de modo que não se altere a potência do
circuito.
66 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Figura 5.5.12: Transformador de distribuição
Esses transformadores podem ser divididos em dois grupos:
• Transformador de força: esses transformadores são utilizados para gerar, transmitir e distribuir
energia em subestações e concessionárias. Possuem potência de 5 até 300 MVA. Quando operam
em alta tensão têm até 550 kV.
• Transformador de distribuição: esses transformadores são utilizados para rebaixar a tensão para
ser entregue aos clientes finais das empresas de distribuição de energia. São normalmente insta-
lados em postes ou em câmaras subterrâneas. Possuem potência de 30 a 300 kVA; em alta tensão
têm tensão de 15 ou 24,2 kV, já o transformador de baixa tensão tem 380/220 ou 220/127 V.
5.5.5.3 Autotransformadores
Nos autotransformadores os enrolamentos primário e secundário estão em contato entre si. O enrola-
mento tem pelo menos três saídas, onde as conexões elétricas são realizadas. Um autotransformador
pode ser menor, mais leve e mais barato do que um transformador de enrolamento duplo padrão.
Entretanto, o autotransformador não fornece isolamento elétrico.
O autotransformador caracteriza-se pela existência de uma conexão elétrica entre os lados de alta e
baixa tensão e portanto, somente pode ser utilizado quando não é necessário o isolamento elétrico entre
os dois enrolamentos. No entanto, o autotransformador apresenta algumas vantagens com relação à
potência transmitida e à eficiência.
Figura 5.5.13: Em (a) temos dois enrolamentos que formam um transformador. A relação de espiras é
N1/N2. Em (b), os mesmos enrolamentos são conectados na forma de um autotransformador. Deve-se
notar que as tensões e correntes em cada enrolamento individualmente não mudam nos dois casos.
Autotransformadores são muitas vezes utilizados como elevadores ou rebaixadores entre as tensões na
faixa 110-117-120 volts e tensões na faixa 220-230-240 volts. Por exemplo, a saída de 110 ou 120V
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 67
de uma entrada de 230V, permitindo que equipamentos a partir de 100 ou 120V possam ser usados
em uma região de 230V. Um autotransformador variável é feito expondo-se partes das bobinas do
enrolamento e fazendo a conexão secundária através do deslizamento de um conector, resultando em
variação narelação das espiras.Tal dispositivo é normalmente chamado pelo nome de marca Variac.
Figura 5.5.14: Um autotransformador variável
5.5.5.4 Transformador ideal
Um transformador ideal é aquele em que o acoplamento entre suas bobinas é perfeito, ou seja, todas
concatenam, ou “abraçam”, o mesmo fluxo, o que vale dizer que não há dispersão de fluxo. Isso implica
assumir a hipótese de que a permeabilidade magnética do núcleo ferromagnético é alta ou, no caso
ideal, infinita, e o circuito magnético é fechado. Além disso, admite-se que o transformador não possui
perdas de qualquer natureza, seja nos enrolamentos, seja no núcleo.
5.5.5.5 Transformador em vazio
Considerando, um transformador ideal, sendo o fluxo total, φ, o mesmo em ambas as bobinas, já que
se desprezam os fluxos dispersos e o núcleo tem µ→ ∞, as f.e.m.’s, �1e �2, induzidas nessas bobinas ,
escrevem-se como:
�1 = N1
dφ
dt
�2 = N2
dφ
dt
Dividindo-se estas duas expressões, chega-se à relação de tensões entre primário e secundário:
�1
�2
=
N1
N2
= β
Sendo β a denominada relação de espiras ou relação de transformação. Esta é a primeira propriedade
do transformador que é a de transferir a tensão de um lado para outro segundo uma constante β.
Convencionando-se N1 como a espira acoplada à ddp do circuito (primário) tem-se: N1>N2 para um
abaixador de tensão e N1< N2 para um elevador de tensão.
5.5.5.6 Exercícios de aplicação
1 - Num transformador, a razão entre o número de espiras no primário (N 1) e o número de espiras
no secundário (N 2) é N1/N2 = 10. Aplicando-se uma diferença de potencial alternada V1no primário,
a diferença de potencial induzida no secundário é V2. Supondo tratar-se de um transformador ideal,
qual a relação entre V2e V1?
a) V2 = V1/100
b) V2 = 10V1
68 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
c) V2 = 100V1
d) V2 = V1
e) V2 = V1/10
2 - Uma máquina de solda elétrica precisa operar com uma corrente elétrica de 400 A para que
haja potência dissipada suficiente para fundir as peças metálicas. A potência necessária é dada por
P = Ri2, onde R é a resistência dos eletrodos de solda. Com a intenção de obter esse valor de corrente
elétrica, utiliza-se um transformador, que está ligado a uma rede elétrica cuja tensão vale 110 V, e
pode fornecer um máximo de 40 A. Qual deve ser a razão do número de espiras entre o enrolamento
primário e o secundário do transformador, e qual a tensão de saída?
a) N1/N2 = 5;V = 9V
b) N1/N2 = 10;V = 11V
c) N1/N2 = 15;V = 15V
d) N1/N2 = 20;V = 20V
e) N1/N2 = 25;V = 22V
3 - Marque a alternativa ERRADA.
a) Transformadores são dispositivos eletromagnéticos que transformam o valor da tensão elétrica
alternada, aplicada em sua entrada, para uma tensão alternada diferente na saída.
b) Os transformadores podem ser usados tanto para aumentar quanto para diminuir o valor da tensão.
c) Um transformador consiste em duas bobinas enroladas no mesmo núcleo de ferro.
d) Um transformador consiste em uma bobina enrolada em dois núcleos de ferro.
e) Em transformadores com dois enrolamentos, é comum denominá-los de enrolamento primário e
enrolamento secundário.
Respostas:
1 (e); 2 (b); 3(d)
4- Seja considerado um transformador monofásico, ideal, cuja potência seja de 1000W, a tensão do
seu circuito primário de 220 V e a do seus circuito secundário de 110 V, determine:
a) Sua relação de transformação;
b) Considerando-o com o rendimento igual a um, quais os valores das correntes do seu circuito primário
e secundário, respectivamente?
c) Este transformador é elevador, abaixador ou isolador?
d) Se o número de espiras do seu secundárioNs for de 400 espiras, qual será o número de espiras do
seu circuito primário Np?
Resposta
a)β = 220/110 = 2
b)1000 = 110Ip ⇒ Ip = 9, 0A
c)Transformador Abaixador
d) Vp/Vs = Np/Ns ⇒ 220/110 = Np/400 ⇒ 2 = Np/400 ⇒ Np = 800
5.5.6 A quarta lei de Maxwell
A lei de Ampère, assim chamada em homenagem ao físico francês André-Marie Ampère16, afirma
que campos magnéticos podem ser gerados em duas formas: através de correntes elétricas, que é a
16André-Marie Ampère (Lyon, 20 de janeiro de 1775 -Marselha, 10 de junho de 1836). Nasceu em Lyon, foi professor
de análise na École Polytechnique de Paris e no Collège de France. Em 1814 foi eleito membro da Académie des Sciences.
Ocupou-se com vários ramos do conhecimento humano, deixando obras de importância, principalmente no domínio da
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 69
lei de Ampère original, e por campos elétricos que variam no tempo, que é a correção proposta por
Maxwell. A correção de Maxwell proposta à lei de Ampère é particularmente importante: significa
que um campo magnético que varia no tempo cria um campo elétrico que varia no tempo, e que um
campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que varia no tempo. Estas equações
permitem a existência de ondas eletromagnéticas através do espaço vazio. A velocidade calculada
para as ondas eletromagnéticas, que podia ser prevista através de experimentos em cargas e correntes,
coincide exatamente com a velocidade da luz. Portanto, a luz é uma forma de onda eletromagnética.
Maxwell entendeu esta relação entre a luz e o eletromagnetismo em 1861, unificando, portanto, duas
áreas da Física até então distintas: o eletromagnetismo e a óptica.
Figura 5.5.15: Ampère
a lei de Ampère na forma integral é ˛
L
~H · d~l = I
Figura 5.5.16: Memória de núcleo magnético de An Wang (1954), uma aplicação da lei de Ampère.
cada núcleo armazena um bit de memória.
Uma aplicação da lei de Ampère é a memória de ferrite, um tipo de memória usada em computadores
na década de 1950. As memória de ferrite eram compostas de pequenas “rosquinhas” magnéticas
física e da matemática. Partindo das experiências feitas pelo dinamarquês Hans Christian Oersted sobre o efeito magnético
da corrente elétrica, soube estruturar e criar a teoria que possibilitou a construção de um grande número de aparelhos
eletromagnéticos. Além disso descobriu as leis que regem as atrações e repulsões das correntes elétricas entre si. Idealizou
o galvanômetro, inventou o primeiro telégrafo elétrico e, em colaboração com Arago, o electroíman. Entre suas obras,
deixou por terminar Ensaio sobre a filosofia das Ciências, na qual iniciou a classificação do conhecimento do homem.
Publicou Recueil d’Observations électro-dynamiques; La théorie des phénomènes électro-dynamiques; Précis de la théorie
des phénomènes électro-dynamiques; Considérations sur la théorie mathématique du jeu; Essai sur la philosophie des
sciences. Em sua homenagem, foi dado o nome de ampère (símbolo: A) à unidade de medida da intensidade de corrente
elétrica. O seu filho Jean-Jacques Ampère (1800-1864) foi filólogo, erudito, viajante e historiador literário francês.
70 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
onde pequenos fios de cobre se entrelaçavam, formando uma rede protegida por chapas metálicas. A
pequena “rosca” se magnetizava por impulsos elétricos, sinalizando “on” ou “off”; os ”famosos” 0 e 1
dos números binários que os computadores utilizam. Existiam apenas 1024 dessas "rosquinhas" em
cada memória, já que elas representavam um bit de informação cada uma.
Como vimos, a corrente elétrica pode ser calculada pelo integral da densidade de corrente:
I =
˛
S
~J · d~S
Usando o teorema de Stokes ˛
L
~H · d~l =
˛
S
∇× ~H · d~S
de onde podemos escrever a igualdade
˛
S
∇× ~H · d~S =
˛
S
~J · d~S
e concluir que
∇× ~H = ~J
5.5.6.1 A equação da continuidade
Devido ao princípio de conservação da carga, a taxa de diminuição da carga em um dado volume, em
um determinado tempo, deve ser igual à corrente líquida que sai da superfície fechada que limita esse
volume. Dessa forma, a corrente I, que sai da superfície fechada, é dada por
I =
˛
S
~J · d~S = −dQint
dt
onde Qint é a carga total no interior dasuperfície fechada. Usando o teorema da divergência:
˛
S
~J · d~S =
ˆ
V
∇ · ~JdV
e
−dQint
dt
= − d
dt
ˆ
V
ρV dV = −
ˆ
V
∂ρV
∂t
dV
de onde concluimos que ˆ
V
∇ · ~JdV = −
ˆ
V
∂ρV
∂t
dV
ou
∇ · ~J = −∂ρV
∂t
que é conhecida como equação da continuidade de corrente. Deve-se ter em mente que essa equação
é derivada do princípio de conservação da carga e basicamente diz que a carga elétrica não pode ser
destruída. Para correntes estacionárias, ∂ρV∂t = 0 e portanto, ∇· ~J = 0, mostrando que a carga total que
sai desse volume é a mesma carga que entra nesse volume. A segunda lei de Kirchhoff é consequência
dessa propriedade.
5.5. AS EQ. DE MAXWELL E AS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 71
A lei circuital de Ampère leva a equação que deduzimos acima:
∇× ~H = ~J
. Entretanto a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é identicamente zero. Logo
∇ ·
(
∇× ~H
)
= 0 = ∇ · ~J
Entretanto, a continuidade da corrente requer que
∇ · ~J = −∂ρV
∂t
6= 0
obviamente essas equações são incompatíveis...para compatibilizar essas duas equações, vamos adici-
onar um termo na lei de Ampére na forma diferencial
∇× ~H = ~J + ~JD
onde o termo ~JD deve ser determinado e definido. Aplicando novamente a divergência
∇ ·
(
∇× ~H
)
= ∇ · ~J +∇ · ~JD = 0
logo
∇ · ~JD = −∇ · ~J = ∂ρV
∂t
A primeira lei de Maxwell pode ser escrita em função do vetor densidade de fluxo elétrico
∇ · ~E = ρVε0
~D = ε0 ~E
}
⇒ ∇ · ~D = ρV
logo
∂ρV
∂t
=
∂
∂t
(
∇ · ~D
)
= ∇ · ∂
~D
∂t
e concluimos que
~JD =
∂ ~D
∂t
Por fim, chegamos a quarta equação de Maxwell, uma equação para campos variáveis no tempo
∇× ~H = ~J + ∂
~D
∂t
O termo ~JD = ∂
~D
∂t é conhecido como densidade de corrente de deslocamento e ~J é a já conhecida
densidade de corrente de condução. O termo da densidade decorrente de deslocamento foi uma das
maiores contribuições de Maxwell pois, sem ela, a propagação de ondas eletromagnéticas não poderia
ter sido prevista. Em frequências baixas, ~JD é desprezível quando comparado com ~J , entretanto, em
frequências altas, como ondas de rádio, os dois termos são comparáveis.
Maxwell não podia verificar experimentalmente isso devido a não ter disponível fontes de alta frequên-
cia. Hertz17 pôs em evidência em 1888 a existência das ondas eletromagnéticas imaginadas por James
17Heinrich Rudolf Hertz (Hamburgo, 22 de Fevereiro de 1857 - Bonn, 1 de Janeiro de 1894) físico alemão que demonstrou
a existência da radiação electromagnética criando aparelhos emissores e detectores de ondas de rádio. Interessou-se desde
muito cedo pela construção de mecanismos, tema que sempre o atraiu, mesmo enquanto trabalhou na área da física.
Levado por essa sua apetência, frequentou uma faculdade de engenharia durante dois anos. No entanto, a sua vontade
72 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Maxwell em 1873.
Tendo como base a densidade de corrente de deslocamento, definimos a corrente de deslocamento
como:
ID =
ˆ
~JD · d~S =
ˆ
∂ ~D
∂t
· d~S
Esta corrente é resultado de um campo elétrico variável no tempo e, um exemplo típico é a corrente
através de do capacitor quando uma fonte de tensão alternada é aplicada em seus terminais.
5.6 As formas diferenciais das equações de Maxwell
5.6.1 Eletromagnetodinâmica
A equação de força de Lorentz representa a força eletromagnética total que atua em um portador
de carga elétrica q quando este se move com velocidade~v em uma região do espaço sobre influência
simultânea de um campo magnético ~B e um campo elétrico ~E.
Matematicamente ela é expressa por:
~F = q
(
~E + ~v × ~B
)
a força de Lorentz não constitui-se em um novo tipo de força. Esta representa apenas a soma da
força elétrica ( ~FE = q ~E ) e da força magnética ( ~FM = q
(
~v × ~B
)
) que atuam simultaneamente sobre
a partícula durante seu movimento.
Percebe-se facilmente que, enquanto a componente elétrica da força de Lorentz mostra-se independente
do movimento da partícula, existindo com esta em movimento ou em repouso, a parcela associada à
força magnética é explicitamente dependente da velocidade da partícula, sendo nula caso a partícula
encontre-se em repouso no referencial em questão.
A componente elétrica da força mostra-se sempre paralela ao campo elétrico ao passo que a compo-
nente magnética da força mostra-se sempre simultaneamente perpendicular à velocidade da partícula
e ao campo magnético (vide regra da mão direita) em virtude do produto vetorial entre estas duas
grandezas.
A adição das parcelas deve obedece às regras associadas à soma vetorial visto que não há obrigação
alguma de que as parcelas elétrica e magnética sejam paralelas. A força de Lorentz é importante no
estudo da dinâmica de partículas em tubos de raios catódicos e em ciclotrons18.
de levar a cabo investigação científica fê-lo optar pela física, tendo ingressado na Universidade Humboldt de Berlim em
1878. Obteve, em 1880, num trabalho proposto por Hermann von Helmholtz, seu professor, intitulado Sobre a Energia
Cinética da Electricidade, um resultado excepcional, dada a pesquisa original que efectuara. Torna-se, nesse mesmo
ano, assistente de von Helmholtz, ocupação durante a qual estuda a elasticidade dos gases e a propagação de descargas
eléctricas através deles. Três anos mais tarde, torna-se professor na Universidade de Kiel, onde inicia investigações sobre
a electrodinâmica de Maxwell, a qual se opunha à electrodinâmica mecanicista e a anteriores teorias sobre a natureza
da acção a distância. Muda-se novamente em 1885, desta vez para Karlsruhe, onde leccionou na Escola Politécnica.
Casa-se, um ano mais tarde, com Elisabeth Doll, filha de um seu colega professor. A partir de 1883, ano da sua mudança
para Kiel, descobre a produção e propagação das ondas electromagnéticas bem como formas de controlar a frequência
das ondas produzidas. Todas essas experiências permitiram-lhe demonstrar a existência de radiação electromagnética,
tal como previsto teoricamente por Maxwell. A respeito das propriedades das ondas electromagnéticas, que Heinrich
Rudolf Hertz passa a estudar, descobriu que a sua velocidade de propagação é igual à velocidade da luz no vácuo, que
têm comportamento semelhante ao da luz, e que oscilam num plano que contém a direcção de propagação. Demonstrou
também a refracção, reflexão e a polarização das ondas. Em 1888, apresentou os resultados das suas experiências à
comunidade científica, os quais obtiveram o sucesso merecido.
18Na física de partículas, cíclotron (português brasileiro) ou ciclotrão (português europeu) é um equipamento no qual
um feixe de partículas sofre a ação de um campo elétrico com uma frequência alta e constante e um campo magnético
perpendicular estático. Foi inventado em 1929 por Ernest Lawrence que o usou em experimentos com partículas com 1
MeV (Um Mega elétron-Volt).
5.6. AS FORMAS DIFERENCIAIS DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL 73
Para determinar a direção e o sentido da força, no caso do campo magnético, usamos a regra da
mão esquerda ou regra de Fleming é utilizada para força magnética que atua sobre uma carga elétrica
lançada num campo magnético ou força magnética que atura sobre um fio percorrido por uma corrente
elétrica quando ele é mergulhado num campo magnético. Vejamos: para carga é assim: polegar: indica
o sentido da força, o dedo indicador indica o sentido do campo magnético e o dedo médio indica o
sentido da velocidade. (Faça a regra como se fosse um revólver, mas com o dedo médio perpendicular
à palma da mão). Agora, tome cuidado pois a regra é valida para cargas positivas, caso a carga seja
negativa vc inverte apenas o sentido da força (polegar) Para um fio, onde temos corrente elétrica, o
princípio é o mesmo trocando apenas o dedo médio pelo sentido da corrente elétrica.
Figura 5.6.1: Regra da mão esquerda.
A força de Lorentz,juntamente com as equações
∇ · ~E = ρVε0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂ ~B∂t
∇× ~B = µ0 ~J + µ0εo ∂ ~E∂t
completam um conjunto para o eletromagnetismo. Essa formulação é em termos de carga e corrente
totais. A equação da continuidade está implícita nas equações de Maxwell.
para terminar o conjunto, os conceitos de homogeneidade, isotropia e linearidade de um meio material
também se aplicam para campos variáveis no tempo. As equações que levam isso em conta chamam-se
relações de constituição, ou constituitivas, sendo elas:
~B = µ ~H = µ0
(
~H + ~M
)
~D = ε ~E = ε0 ~E + ~P
~J = σ ~E + ρV ~v
onde ~M é o vetor de magnetização e ~P o vetor de polarização que estudaremos em outros capítulos.
5.6.2 No vácuo
O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas sabemos que são
designadas por ε0 e m0, desprezando-se pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos. Caso
não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂ ~B∂t
∇× ~B = µ0εo ∂ ~E∂t
74 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as
direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com
os dois campos em fase19:
∇2 ~E = µ0ε0 ∂2 ~E∂t2
∇2 ~B = µ0ε0 ∂2 ~B∂t2
Da teoria das equações diferencias, a equação da onda é uma equação de derivadas parciais que descreve
a propagação de uma onda:
∇2u = 1
v2
∂2u
∂t2
onde:
u é uma função da posição e do tempo que descreve o comportamento da onda;
v é a velocidade da onda;
t é o instante temporal.
Cuja solução é
u = Asin(~k · ~r − ωt)
sendo:
A é a amplitude da onda;
ω = 2pif é a frequência angular;
f é a frequência de oscilação da onda;
t é o instante temporal:
~r é a posição;
~k é o vetor de onda.
Para o vetor de onda temos as seguintes relações:
~k = ~kx + ~ky + ~kz
~kn =
2pi
λn
onde λn é o comprimento de onda medido na direção n.
Compare a equação de onda com as soluções das equações de Maxwell no vácuo e poderá concluir que
são equações de onda onde:
v = c =
1√
µ0ε0
5.6.3 Equações de Maxwell na forma harmônica
Na forma harmônica, as equações de Maxwell ficam sob a seguinte forma
∇ · ~DS = ρV
∇ · ~Bs = 0
∇× ~Es = −jω ~BS
∇× ~HS = ~JS + jω ~DS
5.7 Exercícios resolvidos
Capítulo 3, Eletromagnetismo- Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição
19Caso tenha curiosidade qualquer um dos livros da bibliografia tem essa dedução
5.7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 75
E3.1 - Dada uma carga pontual de 60µC posicionada na origem , calcule o fluxo elétrico total que
passa por:
(a)a porção da esfera de r = 26 cm limitada por
0 < θ < pi2
0 < φ < pi2
Solução
Temos que o fluxo elétrico será Φ= 60µC. De acordo com as coordenadas esféricas fornecidas temos um
porção esférica equivalente a 18 do total da esfera original. A densidade de fluxo elétrico é constante,
logo :
D = Q
4pir2
= ΦS
D′ = 608 = 7, 5µC
(b) superfície fechada definida por ρ = 20 cm e z = ±26 cm.
Solução
Temos agora uma superfície fechada envolvendo todo o fluxo gerado pela carga Q , logo Φ = Q = 60µC.
(c) o plano z = 26 cm
Solução
Temos um plano que por definição se estende ao infinito, como a carga situa-se na origem e o plano
no eixo positivo de z, temos que apenas metade do fluxo elétrico gerado pela carga será usado, logo
Φ =
Q
2
= 30µC.
Capítulo 4, Eletromagnetismo- Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição
E4.4 - Um campo elétrico é expresso em coordenadas cartesianas por
~E = 6x2~ax + 6y~ay + 4~azV/m
Calcule:
(a) VMN se os pontos M e N são especificados por M (2,6,-1) e N (-3,-3,2)
Solução
VMN = −
M´
N
~E · d~l
d~l = dx~ax + dy~ay + dz~az
~E · d~l = 6x2dx+ 6ydy + 4dz
Logo
VMN = −
M´
N
(
6x2dx+ 6ydy + 4dz
)
VMN = −
[
2´
−3
6x2dx+
6´
−3
6ydy +
−1´
2
4dz
]
logo VMN = −139 V
(b)VM se V = 0 em Q(4,-2,-35)
Solução
76 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
~E · d~l = 6x2dx+ 6ydy + 4dz
VMQ = VM − VQ = −
[
2´
4
6x2dx+
6´
−2
6ydy +
−1´
35
4dz
]
VM − 0 = −120V
(c)VN se V = 2 V em P(1,2,-4)
Solução
~E · d~l = 6x2dx+ 6ydy + 4dz
VPN = VP − VN = −
[
1´
−3
6x2dx+
2´
−3
6ydy +
−4´
2
4dz
]
2− VN = −17
VN = 19V
Capítulo 5, Eletromagnetismo- Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição
E5.1 - Dado o vetor densidade de corrente:
~J = 10ρ2z~aρ − 4cos2 (φ)~aφmA/m2
(a) calcule a densidade de corrente em P(ρ = 3 ;φ = 30º; z = 2)
Solução
Basta substituir os valores:
~J = 180~aρ − 3~aφmA/m2
(b) determine a corrente total que flui para fora da faixa circular ρ = 3 ; 0 < φ < 2pi ; 2 < z < 2, 8
Solução
Devemos calcular a corrente que fui na direção perpendicular a área demarcada pelas coordenadas
cilíndricas fornecidas no problema. As mesmas nos levam a um cilindro de raio 3 e altura de 0,8 (h
= z = 2,8 - 2,0) centrado no eixo z (ver figura abaixo). O vetor densidade de corrente não possui
componentes na direção z, desta forma apenas teremos corrente fluindo para fora da área lateral do
cilindro.
Figura 5.7.1: Faixa circular no cilindro
I =
ˆ
S
~J · d~S
lembrando que
~J · d~S = ~J · ~ndS
5.7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 77
onde é ~n o vetor unitário normal à superfície dS. Da figura ~n = ~aρ e dS = ρdφdz. Assim
I =
´
S
10ρ2zρdφdz = 10ρ3
2,8´
2
zdz
2p´i
0
dφ
I = 10× 33 × 2pi
[
z2
2
]2,8
2
I ∼= 3, 26A
E5.4 Um condutor de cobre tem 15,24 mm de diâmetro e 365,7 m de comprimento. Considere que por
ele circule uma corrente total de 50 A.
Dado: a condutividade do cobre é σCu = 5, 8× 107S/m
(a) Calcule a resistência total do condutor.
Solução
R =
L
σA
. Substituindo os valores R = 0,035Ω
(b) Que valor de densidade de corrente existe nele?
Solução
J =
I
A
. Substituindo os valores J = 2, 74× 105 A/m2
(c) Qual é a tensão contínua entre as extremidades do condutor?
Solução
V = RI. Substituindo os valores V = 1,37 V
(d) Quanta potência é dissipada no fio?
Solução
P = RI2. Substituindo os valores P = 86,4 W
Capítulo 9 - Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman
Exemplo 9.4 - Um capacitor de placas paralelas, com área de placa 5 cm2 e separação entre placas de
3 mm, tem uma tensão aplicada às suas placas de 50 sen
(
103t
)
V. Calcule a corrente de deslocamento
considerando ε = 2ε0.
Resolução
D = εE = ε
V
d
JD =
∂D
∂t
=
ε
d
dV
dt
JD =
2ε0
d
d
(
50sen
(
103t
))
dt
JD =
2× 8, 854× 10−12
3× 10−3 × 10
3 × 50cos (103t)
Como ID = JDS
então
ID =
2× 8, 854× 10−12
3× 10−3 × 10
3 × 50cos (103t)× 5× 10−4
ID = 1, 476× 10−7cos
(
103t
)
A
78 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DE MAXWELL
Capítulo 6
Campo e Potencial elétrico
Nos capítulos anteriores, já estudamos o potencial elétrico e inclusive vimos quando a ddp é diferente
da fem. Neste capítulo iremos dar ênfase nas aplicações de cálculo do potencial e do campo elétrico.
6.1 Potencial e campo de um dipolo elétrico
Um dipolo elétrico é um tipo de distribuição de cargas que se aparece frequentemente como veremos
ao estudar os dielétricos. É formado por duas cargas, uma positiva +q e outra negativa -q de mesmo
valor, separadas por uma distância d.
Figura 6.1.1: Potencial elétrico de um dipolo
O potencial no ponto P distante r1 da carga –q e r2 da carga +q é
V = V+ + V− =
1
4piε0
(
q
r+
− q
r−
)
Definimos momento do dipolo elétrico como sendo a medida da polaridade1 de um sistema de car-
gas elétricas. O momento do dipolo elétrico para uma distribuição discreta de cargas pontuais é
1Polaridade (polarity na língua inglesa), em eletrônica é a condição elétrica que determina o sentido, no qual uma
correnteelétrica tende a circular. Geralmente aplicada a baterias e outros componentes eletrônicos de corrente contínua.
Também considera-se polaridade a qualidade de cargas elétricas opostas, sendo uma negativa e outra positiva. Em
magnetismo, considera-se a polaridade sendo a qualidade de pólos magnéticos opostos, Norte e Sul respectivamente. Na
química também há referência de polaridade: quando 2 ou mais átomos se unem em uma ligação química, se os elétrons
desta ligação tenderem a ficar a maior parte do tempo em volta de um átomo ou grupo preferencialmente ao outro, é
criado um dipolo elétrico.
Esta descrição em mecânica quântica é interpretada como uma diferença na probabilidade de encontrar um elétron
de um local para outro. Este conceito é importante em solubilidade e mecanismos de reação química (ver polaridade
molecular). Compostos químicos cujas moléculas apresentam polaridade são chamados polares, e são normalmente
solúveis em água, e compostos químicos cujas moléculas não apresentam polaridade são chamados compostos apolares.
79
80 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
simplesmente a soma vetorial dos produtos da carga pela posição vetorial de cada carga.
~p =
∑
i
qi~ri
Esta definição discreta também pode ser dada em uma forma contínua utilizando-se a densidade da
carga ρ no lugar da carga q
~p =
ˆ
ρ(~x)~rdV
O momento do dipolo elétrico para um par de cargas opostas de magnitude q é definido como a
magnitude da carga vezes a distância entre eles e a direção definida em relação à carga positiva
p = q~d. Vamos aplicar a equação do potencial das duas carga ao dipolo da figura acima. Vamos
chamar r+ ≡ r1 e r− ≡ r2. É fácil ver que
V = V1 + V2 =
1
4piε0
(
q
r1
− qr2
)
V = q4piε0
(
r2−r1
r1r2
)
da figura, também é fácil observarmos que:
r1 = r − d2 cos θ
r2 = r +
d
2 cos θ
fazendo r2 − r1 obtemos que
r2 − r1 = dcosθ
e r1r2
r1r2 = r
2 − d
2
4
cos2 (θ)
r1r2 = r
2
(
1− d
2
4r2
cos2 (θ)
)
se dr << 1
r1r2 ≈ r2
Substituindo na equação do potencial:
V =
q
4piε0
d cos θ
r2
V =
1
4piε0
p cos θ
r2
V =
1
4piε0
~p · ~ar
r2
Note que o potencial diminui com 1/r2 em vez de 1/r como no caso de uma carga elétrica.
O campo elétrico devido ao dipolo com centro na origem como na figura pode ser obtido por
~E = −∇V
Exemplos típicos de compostos polares são os sais dos metais alcalinos com halogênios, como o cloreto de sódio ou o
brometo de lítio, ou os álcalis fortes, como o hidróxido de potássio. Exemplos típicos de compostos apolares são os
hidrocarbonetos, como os derivados de petróleo, como a gasolina, ou os óleos vegetais e diversos lipídios.
6.2. BLINDAGEM ELETROSTÁTICA 81
e temos então:
~E = −
[
∂V
∂r
~ar +
1
r
∂V
∂θ
~aθ
]
~E =
qd cos θ
2piεor3
~ar +
qdsenθ
4piεor3
~aθ
ou
~E =
p
4piεor3
(2 cos θ~ar + senθ~aθ)
onde p = |p| = qd.
Observe que uma carga pontual é um monopolo e seu campo elétrico varia inversamente com r2,
enquanto o seu potencial varia inversamente com r. O campo devido um dipolo varia com r3 e o seu
potencial com r2. Os campos elétricos devido a multipolos de ordem sucessivamente superiores, como
o quadrupolo, e o octupolo, variam com r4 e r5 e os potenciais com r3 e r4.
6.2 Blindagem Eletrostática
Texto extraído de Eletromagnetismo, Branislav M. Notaros, Pearson , páginas 33 a 55.
”Consideremos uma esfera metálica num campo eletrostático externo como na figura a seguir.
Figura 6.2.1: Esfera metálica descarregada em um campo externo uniforme eletrostático.
Como não há nenhum campo no interior da esfera, podemos removê-lo, sem afetar o campo fora da
esfera. Assim, obtemos um domínio sem campo, delimitado por uma casca metálica (Figura 8.2.2).
Figura 6.2.2: Escudo metálico em um campo eletrostático - gaiola de Faraday.
Isto significa que o espaço dentro da cavidade está perfeitamente protegido (isolado) do campo ele-
trostático externo. A espessura da casca pode ser arbitrária, e sua forma não precisa ser esférica.
Assim, uma casca fechada arbitrária representa uma blindagem eletrostática perfeita ou a proteção
82 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
de seu domínio interior. Chamamos tal blindagem de gaiola de Faraday. Se o campo fora da gaiola
for alterado, a carga sobre as paredes se redistribuirá de modo que o interior do campo permanecerá
zero. Vemos que uma gaiola de Faraday fornece proteção absoluta para o seu interior de um campo
eletrostático externo. Vamos agora inverter o problema. Pode um campo eletrostático ser encapsulado
por um escudo metálico para que o domínio fora da casca fique protegido das fontes de dentro dele?
A resposta para essa questão importante é dupla. Chegaremos a ela graças à análise de dois exemplos
simples. Considere primeiro uma carga pontual única positiva Q arbitrariamente posicionada dentro
de uma blindagem condutora esférica descarregada. A distribuição de cargas induzidas nas superfícies
da casca e as linhas de campo estão esboçadas na Figura 8.2.3.
Figura 6.2.3: Carga pontual única dentro de uma gaiola de Faraday
O total de cargas induzidas sobre as superfícies internas e externas são −Q e Q, respectivamente (ver
exemplo da carga esférica fechada por uma casca descarregada). A concentração de cargas negativas
induzidas é maior no lado da superfície interna mais próxima da carga pontual. Como não há campo
na parede da casca, a carga positiva na superfície da casca exterior é distribuída independentemente
da posição da carga pontual dentro da cavidade, o que significa de maneira uniforme, neste caso (a
superfície é lisa e simétrica). Vamos agora adicionar outra carga pontual na cavidade, e que seja
exatamente −Q, como mostra a Figura 8.2.4.
Figura 6.2.4: Duas cargas pontuais perfazendo um total de carga zero em uma gaiola de Faraday.
As cargas totais negativas e positivas induzidas na superfície interna da casca são ambas menores do
que Q em amplitude (pois algumas linhas de campo originárias na carga pontual positiva terminam na
negativa dentro da cavidade), mas mutuamente são iguais em amplitude e opostas em polaridade.
A carga líquida induzida na superfície interna é, portanto, zero, e isso implica que não há nenhuma
carga que esteja na superfície exterior da casca. Isto significa, por sua vez, que não há campo fora
da casca, o que também está de acordo com a lei de Gauss, aplicada a uma superfície esférica que
envolve a casca. Concluímos que uma gaiola de Faraday pode encapsular por completo um campo
6.3. CARGA ESFÉRICA FECHADA POR UMA CASCA DESCARREGADA 83
eletrostático interior, com um campo zero externo, somente se a carga total dentro da gaiola é zero.
Isto é verdade para qualquer distribuição de carga interior, desde que o objeto ou o sistema de objetos
(dispositivos) dentro da gaiola seja eletricamente neutro (sem carga) como um todo. Nos casos em
que a carga interior total não é zero, o domínio exterior (e objetos vizinhos) está no campo de cargas
induzidas na superfície externa da gaiola. O campo exterior, no entanto, é totalmente independente
da distribuição das fontes interiores. Sua distribuição relativa no espaço depende apenas da forma
da superfície externa da gaiola, enquanto seus valores absolutos em pontos individuais no espaço
também são proporcionais ao montante total da carga interior. É interessante notar que mesmo
cascas metálicas muito finas representam blindagens eletrostáticas ideais, tanto no modo de operação
ilustrado na Figura 8.2.2 como no da Figura 8.24. Entretanto, como veremos posteriormente, este
não é necessariamente o caso em campos variáveis no tempo, onde a eficácia de uma blindagem de
uma dada espessura depende da condutividade do metal e da taxa na qual o campo varia no tempo
(isto é, a frequência, no caso de campos harmônicos no tempo).”
6.3 Carga esférica fechada por uma casca descarregadaUma esfera metálica de raio a e carga Q positiva está delimitada por uma casca esférica metálica
concêntrica, de raio interno b e raio externo c (sendo a < b < c). A esfera está imersa no ar e é
preenchida pelo ar também. Vamos determinar o potencial no centro da esfera.
Figura 6.3.1: Distribuição de cargas e campos
Os metais são bons condutores e em condições de equilíbrio eletrostático o campo no seu interior é
nulo. Se o campo é nulo, o potencial é constante e pela primeira lei de Maxwell, não pode haver
excesso de carga no seu interior e estará em sua superfície. As cargas Qb e Qc denotam as cargas
totais induzidas nas superfícies interna e externa da casca. Como cada linha de campo que sai de Qa
termina na superfície interna da casca,
Qa = −Qb
mas como a casca está descarregada
Qb +Qc = 0
fácilmente vemos que Qc = Qa = −Qb. Com a lei de Gauss determinamos o campo elétrico dentro e
fora da esfera nas seguintes regiões:
a < r < b e c < r <∞
E (r) =
Qa
4piε0r2
enquanto que dentro do metal
84 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
0 ≤ r ≤ a e b ≤ r ≤ c
E(r) = 0
assim, o potencial será:
V =
∞ˆ
r=0
E (r)dr =
Qa
4piεo
 bˆ
a
dr
r2
+
∞ˆ
c
dr
r2

V =
Qa
4piεo
(
1
a
− 1
b
+
1
c
)
6.4 Eletrodos planos paralelos
Considere 5 eletrodos planos e paralelos como na figura a seguir no ar:
Figura 6.4.1: Geometria dos eletrodos
A espessura de cada eletrodo e a distância entre dois eletrodos adjacentes é de d = 2,0 cm. A área da
superfície dos eletrodos é de S = 1,0 m2 .O primeiro, o quarto e o quinto eletrodos estão aterrados e
o potencial do segundo eletrodo em relação à terra é de V = 2,0 kV. Sabendo que a carga do terceiro
eletrodo é de 2,0 µC, encontre a intensidade de campo elétrico entre os eletrodos.
As dimensões dos eletrodos são muito maiores que a separação entre eles, com isso podemos desprezar
os efeitos de borda, ou seja as não uniformidades do campo elétrico próximo as bordas dos eletrodos
bem como linhas de campo no espaço exterior dos eletrodos.
Desta forma, o campo elétrico está apenas no espaço entre os eletrodos sendo normal a eles. Os lados
adjacentes dos eletrodos ficam carregados com cargas em quantidades iguais, mas de sinais contrários.
Figura 6.4.2: Cargas e campos entre os eletrodos
Feita esta primeira análise, temos de partir do potencial conhecido V, do segundo eletrodo em relação
a terra e determinamos a intensidade do campo elétrico entre o primeiro e o segundo eletrodo através
6.5. GERADOR DE VAN DE GRAFF 85
de (o primeiro eletrodo está aterrado, logo seu potencial é ):
V =
eletrodo1ˆ
eletrodo2
~E · d~l = −E1d
Portanto, E1 = −Vd = −100 kV/m. Com o mesmo raciocínio, podemos calcular entre o segundo e o
quarto eletrodo (também aterrado) obtendo V = E2d+ E3d.
O campo entre o quarto e quinto eletrodos é nulo (estão ambos ligados as terra). Precisamos de mais
uma equação para obter os campos E2 e E3. Usando a lei de Gauss, envolvemos os eletrodos de
maneira o incluir a carga conhecida: ˛
S
~E · d~S = Q
ε0
e obtemos
−E2 + E3 = Q
ε0S
Resolvendo o sistema, obtemos E2 =-62,94 kV/m e E3 =162,94 kV/m.
6.5 Gerador de Van de Graff
Gerador eletrostático, concebido por Lord Kelvin em 1890 e implementado por Robert J. Van de
Graaff em 1931: uma pequena casca esférica condutora está localizada dentro de outra casca maior.
Se ligarmos as duas por um caminho condutor (como um fio) as duas cascas passam a formar um
condutor único isolado. Logo, a carga da esfera interna move-se inteiramente para a superfície externa
da esfera grande, não importando quanta carga esta já possua. Deste modo, o potencial na superfície
da esfera externa pode aumentar com o tempo até valores muito altos.
Quando se introduz um condutor carregado dentro de outro oco e estes sãos postos em contato, toda a
carga do primeiro passa ao segundo, qualquer que seja a carga inicial do condutor oco. Teoricamente,
o processo pode se repetir muitas vezes, aumentando a carga do condutor oco indefinidamente. Mas,
existe um limite devido as dificuldades de isolamento da carga. Quando é elevado o potencial, o ar
que o rodeia se torna condutor e começa a perder carga.
Num gerador de Van der Graaff a carga é introduzida num condutor oco de forma continua mediante
uma cinta transportadora. Van der Graaff inventou o gerador com o propósito de produzir uma
diferença de potencial muito alta (da ordem de 20 milhões de volts) para acelerar partículas carregadas
que se chocavam contra blocos fixos. Os resultados das colisões nos informam das características dos
núcleos do material que constituem o bloco.
Esse gerador é um gerador de corrente constante, enquanto que a bateria é um gerador de voltagem
constante, o que varia é a intensidade dependendo de quais os aparelhos que são conectados.É um
dispositivo muito simples, consta de um motor, duas polias, uma correia ou cinta, duas hastes ou
terminais feitos de finos fios de cobre e uma esfera oca onde se acumula a carga transportada pela
cinta.
Na figura a seguir, é mostrada um esquema do gerador de Van der Graaff. Um condutor metálico oco
A de forma aproximadamente esférica, está suspenso por suportes isolantes de plástico, atornilados
em um pé metálico C conectado a terra. Uma correia ou cinta de borracha (não condutora) D se move
entre duas polias E e F. A polia F é acionada mediante um motor elétrico. Duas hastes G e H são
feitos de fios condutores muito finos, estão situados a altura do eixo das polias. As pontas das hastes
estão muito próximas porem não tocam a cinta.
86 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
O ramo esquerdo da cinta transportadora se move para cima, transporta um fluxo contínuo de carga
positiva para o condutor oco A. Ao chegar a G e devido a propriedade das pontas é criado um campo
suficientemente intenso para ionizar o ar situado entre a ponta G e a cinta. O ar ionizado proporciona
o meio para que a carga passe da cinta a ponta G e a seguir, ao condutor oco A, devido a propriedade
das cargas que são introduzidas no interior de um condutor oco.
Figura 6.5.1: Esquema do gerador de Vande Graff
A cinta se eletrifica na superfície da polia inferior F devido a que a superfície da polia e a cinta serem
feitas de materiais diferentes. A cinta e a superfície do rolo cilíndrico (polia) adquirem cargas iguais e
de sinais contrário. Contudo, a densidade de carga é muito maior na superfície da polia que na cinta,
já que as cargas se estendem por uma superfície muito maior
Suponhamos que escolhido os materiais da cinta e da superfície do rolo de modo que a cinta adquire
uma carga negativa e a superfície da polia uma carga positiva, tal como se vê na figura.
Se uma agulha metálica é colocada próximo da superfície da cinta, a altura de seu eixo, é produzido
um intenso campo elétrico entre a ponta da agulha e a superfície da polia. As moléculas de ar no
espaço entre ambos elementos se ionizam, criando uma ponte condutora pela qual circulam as cargas
desde a ponta metálica para a cinta. As cargas negativas são atraídas para a superfície da polia, porem
no meio do caminho se encontra a cinta, e se depositam em sua superfície, cancelando parcialmente a
carga positiva da polia. Porem a cinta se move para cima, e o processo começa de novo.
Figura 6.5.2: Esquema da eletrização
A polia superior E atua em sentido contrário a inferior F, não pode estar carregada positivamente terá
que ter uma carga negativa ou ser neutra (uma polia cuja superfície é metálica).
Existe a possibilidade de mudar a polaridade das cargas que transporta a cinta mudando os materiais
da polia inferior e da cinta. Se a cinta é feita de borracha, e a polia inferior é feita de nylon coberto
com uma camada de plástico, na polia é criada uma carga negativa e a borracha positiva. A cinta
6.6. PINTURA ELETROSTÁTICA 87
transporta para cima acarga positiva. Esta carga como já foi explicado, passa a superfície do condutor
oco.
Se é usada um material neutro na polia superior E a cinta não transporta cargas para baixo. Se é usado
nylon na polia superior, a cinta transporta carga negativa para baixo, esta carga vem do condutor
oco. Deste modo, a cinta carrega positivamente o condutor oco tanto em seu movimento ascendente
como descendente.
As pontas metálicas são responsáveis por descargas elétricas pelo ar que fazem a transferência da carga
da correia (“poder das pontas2”).
Figura 6.5.3: Corte de um Van de Graaff
Como já dissemos, A esfera externa do gerador não pode acumular uma quantidade arbitrariamente
grande de carga. Se a densidade superficial de carga sv for alta o suficiente para que o campo elétrico
próximo à superfície seja maior que a rigidez dielétrica do ar (Emax = 3 kV/m), então a esfera se
descarrega através de faíscas.
6.6 Pintura Eletrostática
Extraído de “Física para cientistas e engenheiros”, Paul A. Tipler & Gene Mosca; Vol.2, 6ª Edição,
LTC, página 25.
Pintura Estática a Pó - Industrial
Crianças em qualquer lugar do mundo aproveitam as propriedades triboelétricas3. A companhia Ohio
Art introduziu um brinquedo baseado nestas propriedades por volta de 1960. Bolinhas de estireno,
quando sacudidas fornecem carga para um pó de alumínio muito fino. O pó carregado eletricamente
é atraído para a tela translúcida do brinquedo. Uma pequena ponteira é, então, usada para desenhar
2Poder das pontas é a capacidade de os corpos eletrizados se descarregarem pelas pontas. A carga elétrica em excesso
num corpo condutor distribui-se apenas pela superfície exterior do corpo e concentra-se nas zonas mais pontiagudas
(ou de menor raio), rarefazendo-se nas restantes. Na proximidade dos corpos existem sempre no ar átomos e moléculas
ionizadas. Havendo grande concentração de cargas elétricas numa ponta (zona pontiaguda) dum corpo, haverá atração
para a ponta dos íons de sinal contrário às cargas na ponta e repulsão dos íons com o mesmo sinal. Os íons que são
atraídos provocam a descarga da ponta. Por sua vez, os movimentos de partículas junto da ponta originam novas
ionizações no ar e o fenômeno de descarga da ponta aumenta.
3A série triboelétrica é nada mais que uma lista de materiais, que mostra quais são aqueles que têm uma maior
tendência de se tornarem positivamente eletrizados (+) e quais os que apresentam maior tendência de se tornarem nega-
tivamente eletrizados (-). Essa lista torna-se, assim, uma ferramenta indispensável para se determinar que combinação
de materiais (que pares de substâncias devem ser atritadas) podemos usar para um eficiente processo de eletrização por
atrito.
88 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
linhas no pó. O brinquedo baseia-se no fato de que o alumínio e a tela se atraem com cargas opostas.
Embora um pó carregado eletricamente possa ser usado em um brinquedo, ele representa um assunto
sério para muitas indústrias. Metais desprotegidos tendem a sofrer corrosão e para prevenir a corrosão,
partes metálicas de automóveis, utensílios e outros objetos metálicos, são recobertas.
No passado, o recobrimento incluía tintas, laqueaduras, vernizes e esmaltes que eram aplicados como
líquidos e, depois, secos. Estes líquidos apresentam desvantagens. Os solventes levam muito tempo
para secar ou liberam componentes voláteis indesejados. Superfícies com ângulos diferentes podem
ser rebertas de maneira não-homogênea.
Líquidos pulverizados geram desperdício e não podem ser reciclados de forma simples. O recobrimento
com pó eletrostático reduz muito destes problemas. Este processo de recobrimento foi introduzido
pela primeira vez na década de 1950 e, atualmente, é popular dentre os fabricantes que aderiram à
regulamentação: proteção do meio ambiente através da redução do uso de voláteis químicos.
A pintura a pó é aplicada fornecendo carga elétrica ao item a ser recoberto. Para fazer isso de
forma confiável, é melhor que o objeto a ser recoberto seja condutor. Neste caso, partículas muito
pequenas (de 1 µm a 100 µm) em um pó recebem cargas com sinal oposto ao do objeto. As partículas
da cobertura são fortemente atraídas para o objeto a ser recoberto. Partículas soltas podem ser
recicladas e utilizadas novamente. Quando as partículas estão no objeto, o recobrimento passa, então,
pelo processo de cura através do aumento da temperatura ou por luz ultravioleta. O processo de cura
fixa as moléculas do recobrimento umas as outras, e as partículas e o objeto perdem suas cargas.
As partículas do recobrimento recebem carga por descarga corona ou por carregamento triboelétrico.
Na descarga corona, as partículas passam através de um plasma de elétrons, recebendo carga negativa.
No carregamento triboelétrico, as partículas passam através de um tubo feito de um material que está
na extremidade oposta do espectro triboelétrico, geralmente Teflon.
As partículas do recobrimento recebem uma carga positiva neste rápido contato. O item a ser recoberto
recebe uma carga que depende do método de recobrimento usado. Dependendo da cobertura e dos
aditivos, as cargas do recobrimento variam de 500 a 1000 µC /kg. O processo de cura difere de acordo
com os materiais de recobrimento e dos itens a serem recobertos. O de tempo de cura pode variar
de 1 a 30 minutos. Apesar de o recobrimento com pó ser econômico e ambientalmente correto, ele
apresenta suas dificuldades.
A capacidade das partículas do recobrimento de manterem sua carga pode variar com a umidade, a
qual deve ser precisamente controlada. Se o campo elétrico da descarga corona for muito intenso, o
pó pulveriza muito rapidamente em direção ao item a ser recoberto, deixando um ponto descoberto
no centro de um anel, o que conduz a um acabamento irregular do tipo "casca de laranja". Pós
eletrostáticos podem ser brinquedo de criança, mas o recobrimento com pó eletrostático é um processo
complexo, útil e em desenvolvimento.
6.7 Série triboelétrica
A série triboelétrica é apresentada como uma única lista que goza das seguintes propriedades:
1) Qualquer material atritado com qualquer outro que o precede, fica eletrizado negativamente e,
quando atritado com qualquer outro que o segue, fica eletrizado positivamente.
2) Quanto mais afastados estiverem na lista, maior será a eficiência na eletrização.
6.8. PARA-RAIOS 89
Figura 6.7.1: Série Triboelétrica
Vários pares de materiais quando colocados em contato (o ato de friccionar é uma boa técnica para
se conseguir isso) e a seguir são separados, ficam eletrizados, isto é, exibem fenômenos relativos aos
corpos dotados de carga elétrica positiva (falta de elétrons) ou negativa (excesso de elétrons).
A série triboelétrica é uma lista de materiais que mostra a tendência relativa de ceder ou receber
elétrons nesse processo de eletrização. Esta lista pode ser usada para determinar quais combinações
de materiais são as mais eficientes para gerar a denominada (impropriamente) “eletricidade estática”.
6.8 Para-raios
Chama-se também para-raios, ou descarregador, o aparelho destinado a proteger instalações elétricas
contra o efeito de cargas excessivas (sobretensões) e descarregá-las na terra. Os mais utilizados no
Brasil são o de Franklin e de Melsens, também conhecido como Gaiola de Faraday. Além deles há o
modelo radioativo, que tem seu uso proibido no país devido à radioatividade que emite.
O para-raios foi inventado no século XVIII, por Benjamin Franklin, e é o equipamento mais indicado
para proteger edificações das descargas elétricas vindas da atmosfera - os raios. Ele é formado por
três elementos principais: os captadores (uma haste de metal pontiaguda), um cabo de ligação preso a
isoladores e uma grande placa metálica enterrada no solo. Os materiais mais utilizados em para-raios
são o cobre e o alumínio. Deve ser instalado no ponto mais alto da área a ser protegida, já que este é
o local mais atingidopor raios. O equipamento funciona de acordo com um princípio físico conhecido
como “o poder das pontas”, segundo o qual as pontas metálicas finas do para-raios atraem os raios
para si, já que nelas se concentram mais cargas elétricas.
A descarga elétrica é então conduzida pelo cabo de ligação até o solo, onde um cabo aterrado dissipa
a energia capturada. Dizer que o para-raios atrai o raio é apenas uma expressão, na realidade, ele
oferece ao raio um caminho para chegar à terra com pouca resistividade.
Quando uma nuvem com carga negativa passa por cima da ponta do equipamento, partículas positivas
são induzidas ali, ionizando o ar atmosférico. Isso transforma o ar em um bom condutor de eletricidade.
A nuvem, então, se descarrega por meio de uma faísca, liberando elétrons que serão dissipados no solo
por meio da placa aterrada.
A área protegida pelo para-raios tem o formato de um cone, sendo a ponta da antena o seu vértice.
Sua altura vai da ponta da antena ao chão e seu raio no solo mede cerca do dobro da altura em que
está a ponta do dispositivo. O ângulo entre o vértice e a geratriz do cone costuma ser de 55º. Para
descobrir o raio da área protegida pelo equipamento, usa-se a seguinte fórmula: R = Htg (A) , em que
R é o raio, H a altura em metros e A o ângulo em graus.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) tem uma norma específica para a proteção de
estruturas contra descargas elétricas, a ABNT-NBR-5419. Segundo ela, o cabo do para-raios, que
90 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
vai da antena ao solo, deve ser isolado para não entrar em contato com as paredes da edificação. É
indicado também utilizar parafusos de alumínio ou aço inoxidável, para que não haja ferrugem.
Figura 6.8.1: Captor Franklin da empresa TERMOTECNICA. Para-raios de proteção atmosférica
O princípio de para-raios de Franklin é o poder das pontas4, sendo o modelo mais utilizado, composto
por uma haste metálica onde ficam os captadores e um cabo de condução que vai até o solo e a energia
da descarga elétrica é dissipada por meio do aterramento. O cabo condutor, que vai da antena ao
solo, deve ser isolado para não entrar em contato com as paredes da edificação. As chances de o raio
ser atraído por esse tipo de equipamento são de 90%.
Com a mesma finalidade do para-raios de Franklin, o para-raios de Melsens adota o princípio da gaiola
de Faraday.5 O edifício é envolvido por uma armadura metálica, daí o nome gaiola. No telhado, é
instalada uma malha de fios metálicos com hastes de cerca de 50 cm. Elas são as receptoras das
descargas elétricas e devem ser conectadas a cada oito metros. A malha é divida em módulos, que
devem ter dimensão máxima de 10 x 15 m. Sua conexão com o solo, onde a energia dos raios é
dissipada pelas hastes de aterramento, é feita por um cabo de descida. Esse cabo pode ser projetado
usando a própria estrutura do edifício. As ferragens de suas colunas podem estar conectadas à malha
do telhado e funcionar como ligação com o solo.
Os para-raios radioativos podem ser distinguidos dos outros, pois seus captadores costumam ter o
formato de discos sobrepostos em vez de hastes pontiagudas. O material radioativo mais utilizado
para sua fabricação é o radioisótopo Amerício-2416. Esses para-raios tiveram sua fabricação autorizada
4Poder das pontas é a capacidade de os corpos eletrizados se descarregarem pelas pontas. A carga elétrica em excesso
num corpo condutor distribui-se apenas pela superfície exterior do corpo e concentra-se nas zonas mais pontiagudas
(ou de menor raio), rarefazendo-se nas restantes. Na proximidade dos corpos existem sempre no ar átomos e moléculas
ionizadas. Havendo grande concentração de cargas elétricas numa ponta (zona pontiaguda) dum corpo, haverá atração
para a ponta dos iões de sinal contrário às cargas na ponta e repulsão dos iões com o mesmo sinal. Os iões que são atraídos
provocam a descarga da ponta. Por sua vez, os movimentos de partículas junto da ponta originam novas ionizações no
ar e o fenômeno de descarga da ponta aumenta.
5Gaiola de Faraday foi um experimento conduzido por Michael Faraday para demonstrar que uma superfície condutora
eletrizada possui campo elétrico nulo em seu interior dado que as cargas se distribuem de forma homogênea na parte mais
externa da superfície condutora (o que é fácil de provar com a Lei de Gauss), como exemplo podemos citar o Gerador
de Van de Graaf. No experimento de Faraday foi utilizada uma gaiola metálica, que era eletrificada e um corpo dentro
da gaiola poderia permanecer lá, isolado e sem levar nenhuma descarga elétrica.
6O americio ( nome dado em homenagem ao Continente Americano ) é um elemento químico, símbolo Am, número
atômico 95 ( 95 prótons e 95 elétrons ) com massa atômica [243] u, situado no grupo dos actinídeos na tabela periódica
6.9. EFEITO CORONA 91
no Brasil entre 1970 e 1989. Nessa época, acreditava-se que os captadores radioativos eram mais
eficientes do que os outros modelos. Porém, estudos feitos no país e no exterior mostraram que os
para-raios radioativos não tinham desempenho superior ao dos para-raios convencionais na proteção
de edifícios, o que não justificaria o uso de fontes radioativas para esta função. Sendo assim, em
1989, a Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN), por meio da Resolução Nº 4/89 suspendeu a
produção e instalação desse modelo de captador.
O Brasil é o país com maior incidência de raios no mundo. De acordo com o Instituto Nacional de
Pesquisas Espaciais (Inpe), cerca de 70 milhões de raios atingem o país todos os anos, uma média de
duas ou três descargas elétricas por segundo. Além de causar incêndios e grandes prejuízos econômicos,
esse fenômeno representa também uma ameaça à população. Anualmente cerca 300 pessoas são
atingidas por raios no Brasil, cerca de 100 acabam falecendo.
Isso representa 10% dos óbitos relacionados a descargas elétricas em todo o mundo. Entre os anos
2000 e 2010, ocorreram 1321 mortes relacionadas ao fenômeno. Esses números não são exatos, já
que muitas mortes provocadas por raios são registradas como óbitos por parada cardíaca, fazendo a
estatística parecer mais baixa.
Os raios são um fenômeno comum em regiões tropicais, e sendo o Brasil o maior dos países tropi-
cais, é normal que ele seja o mais atingido. A região centro-sul é a que apresenta maior incidência,
principalmente o sul do Mato Grosso do Sul, onde ocorrem 20 raios por quilômetro quadrado ao ano.
Entre 2005 e 2008, houve um aumento de 102,7% na incidência de raios no país. Uma hipótese para
o aumento constante desses números está sendo estudada pelos cientistas do Inpe em parceria com a
Nasa e Universidades norte-americanas. Segundo eles, o aquecimento global pode estar contribuindo
para o fenômeno. Isso ocorreria porque, com mais raios, mais florestas são incendiadas, aumentando
o efeito estufa.
Esses incêndios liberariam mais dióxido de carbono, aumentando o número de raios e alimentando o
ciclo. Os cientistas acreditam que, a cada grau de aquecimento da temperatura terrestre, a incidência
de raios aumente de 10% a 20%. No Brasil, a maior parte dos acidentes com vítimas ocorre em zonas
rurais, quando os raios atingem pessoas que estão em áreas descampadas.
Outro local que costuma ser alvo de raios são os campos de futebol, mesmo em grandes cidades.
Frequentemente, escutamos notícias de jogadores que foram atingidos por descargas elétricas durante
uma partida. Por isso, em caso de tempestade, é recomendado procurar um abrigo seguro, já que
no campo seu corpo funciona como um para-raios, atraindo para si as descargas elétricas vindas da
atmosfera.
6.9 Efeito corona
O efeito Corona, também conhecido como fogo de Santelmo, é um fenômeno relativamente comum em
linhas de transmissão com sobrecarga. Devido ao campo elétrico muito intenso nas vizinhanças dos
condutores, as partículas de ar que os envolvem tornam-se ionizadas e, como consequência, emitem
luz quandoda recombinação dos íons e dos elétrons. O nome fogo de Santelmo vem de Santo Elmo,
padroeiro dos marinheiros, e surgiu quando antigos marinheiros observavam navios com os mastros
envolvidos por uma tênue luz. A superstição cuidou de transformar esse fenômeno em aparição divina.
Posteriormente, porém, observou-se que tal aparição ocorria principalmente nas regiões tropicais, em
condições que precediam tempestades. As nuvens eletrizadas induziam cargas nas pontas dos mastros,
produzindo o efeito corona.
dos elementos. Todos os seus isótopos são radioativos. À temperatura ambiente, o amerício encontra-se no estado sólido.
Foi descoberto em 1944 por Glenn T. Seaborg, Leon O.Morgan,Ralph A. James e Albert Ghiorso, sintetizado a partir
do plutônio. O Am-241 é empregado em alguns tipos detectores de fumaça, e como fonte de raios gama e nêutrons que
podem ser usados em radiografia.
92 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
A descarga de corona é formada pela emissão de elétrons por eletrodos de alta tensão, no qual chocam-
se com átomos do dielétrico adjacente ao eletrodo. O choque provoca a liberação de novos elétrons,
formando um processo chamado de avalanche de Townsend7. Em objetos eletricamente carregados
com superfície pontudas, ou com raio de curvatura relativamente muito baixo, como por exemplo fios
ou cabos, ou possuindo irregularidades, ocorrerá uma concentração de campo elétrico nesta região, o
efeito das pontas que já comentamos.
Quando este campo elétrico é grande o suficiente, e o objeto está imerso em um fluido, na região
imediatamente próxima à ponta ocorrerá uma ionização do fluido, tornando-o condutor. Se a geometria
e o campo são tais que a região ionizada cresce, um circuito condutor completo ira se formar, resultado
em uma fagulha momentânea, ou em um arco continuo.
A descarga de corona ocorre somente entre dois eletrodos assimétricos; um altamente curvado (tal
como buraco de uma agulha, ou furo de pequeno diâmetro) e uma superfície suave tal como um prato,
ou o solo. A superfície curvada assegura um grande potencial elétrico em torno do eletrodo, para a
geração do plasma. Para configurações possuindo campos relativamente uniformes, ocorrerão outros
fenômenos de descarga, como por exemplo as geradas por lâmpadas fluorescentes.
O efeito corona pode ser positivo ou negativo, conforme a polaridade do potencial elétrico no eletrodo
altamente curvado. Se o eletrodo curvado é positivo em relação ao eletrodo plano dizemos ter uma
corona positiva, se negativo um corona negativo. A física das coronas positivas e negativas são mar-
cadamente diferentes. Esta assimetria é um resultado da grande diferença de massa entre os elétrons
e íons carregados positivamente, sendo que somente os elétrons tem a capacidade de ter um grau
significativo de colisões inelásticas ionizantes a temperatura e pressões comuns.
Uma importante razão para estudar esse efeito é a produção de ozônio ao redor de condutores que
sofrem esse processo. Um corona negativo gera muito mais ozônio que um positivo. A
formação de ozônio baixo em linhas de transmissão é consequência da ionização do átomo de oxigênio
em gotículas de moléculas de água (H2O) que passa a ser H2O3 (água ozonizada). Nos anos 1970,
eram vendidos ozonizadores residenciais, onde o ozônio era consumido junto com a água potável para
esterilização. Logo, descobriu-se que ozônio baixo combinado com nitrogênio (NOx)é cancerígeno.
Nos ozonizadores eram utilizadas fontes de CA de alta frequência, e pequenos campos magnéticos
ocasionados pela inversão de pólos na corrente (CA) aumentam o campo de ionização.
O efeito corona tem inúmeras aplicações comerciais e industriais:
• Remoção de cargas elétricas indesejáveis da superfície de uma aeronave em vôo e com isto
evitando o efeito prejudicial de pulsos elétricos descontrolados durante a atuação dos sistemas
do avião;
• Fabricação de ozônio;
• Limpeza de partículas do ar em sistema de condicionamento de ar;
• Tratamento da superfície de filmes poliméricos para aumentar sua compatibilidade com adesivos
ou tintas impressão;
• Fotocópia;
• Propulsão iônica; Laser Nitrogênio;
• Fabricação de eletretos.
7Avalanche de Townsend é o fenômeno da reação em cadeia de elétrons em uma região de alto campo elétrico em um
gás. Através deste fenômeno o gás é ionizado, possibilitando a condução de carga elétrica, a formação de um novo centro
de concentração de elétrons, e a repetição da avalanche. Com um campo elétrico razoavelmente forte, a avalanche pode
configurar um canal de descarga, como visto em relâmpagos.
6.10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 93
Este efeito pode gerar ruído audível e de radio frequência, principalmente próximo a linhas de trans-
missão. Representam também uma perda de energia, e sua ação nas partículas da atmosfera, em
associação a produção de ozônio e NOx, podendo ser prejudiciais a saúde humana em regiões onde
linhas de transmissão passem sobre áreas habitadas. Por isto, equipamentos de transmissão de energia
são projetados para minimizar a formação de descarga de corona. A descarga de corona é geralmente
indesejável em:
• Linhas de transmissão de energia elétrica, devido a perda de energia no efeito corona e ”barulho”;
• dentro de componentes elétricos tais como transformadores, capacitores, motores elétricos e
geradores. Corona progressivamente danifica o isolamento interno destes mecanismos, levando a
falha prematura dos equipamentos;
• Situações nas quais aparecem tensões elevadas e a produção de ozônio deve ser evitada.
Figura 6.9.1: Descarga de corona em torno de uma bobina de alta tensão
6.10 Exercícios resolvidos
4ª edição do livro “Fundamentos de Física”, Halliday, Resnick e Walker.
Q26.1 - Podemos considerar o potencial da Terra igual a 100 Volts em vez de igual a zero? Que efeito
terá esta escolha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b) diferenças de potencial?
Resposta
Sim. O potencial elétrico num ponto pode assumir qualquer valor. Somente a diferença de potencial é
que possui significado físico determinado. Por razões de comodidade, podemos admitir que o potencial
da Terra (ou de qualquer outro referencial equipotencial ) seja igual a zero. Qualquer outro valor
escolhido também serve, pois o que será fisicamente relevante é a diferença de potencial.
E26.1 - A diferença de potencial elétrico entre pontos de descarga durante uma determinada tempes-
tade é de V = 1, 2 × 109 V. Qual é o módulo na variação da energia potencial de um elétron que se
move entre esses pontos?
Resolução
∆U = e∆V
∆U = 1, 6× 10−19 × 1, 2× 109
∆U = 1, 92× 10−10J
94 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
P26.3 - Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre pontos de descarga é cerca de 109V e
a quantidade de carga transferida de cerca de 30 C.
(a) Quanta energia é liberada?
(b) Se toda a carga que foi liberada pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg a partir do
repouso, qual seria a sua velocidade final?
(c) Que quantidade de gelo a 0ºC seria possível derreter se toda a energia liberada pudesse ser usada
para este fim?
Dado: o calor de fusão do gelo é L = 3, 3× 105 J/kg.
Resolução
(a)
U = qV = 30× 109 = 3, 0× 1010J
(b) Igualando a energia encontrada no item (a) com a energia cinética do carro, encontramos:
U =
1
2
mv2 ⇔ v2 = 2U
m
⇔ v =
√
2U
m
portanto
v =
√
2× 3, 0× 1010
103
∼= 7, 75× 103m/s
(c) A energia U fornece o calor necessário para fundir uma certa massa M de gelo. Como Q = ML ,
e tendo em conta que Q = U ,encontramos o seguinte valor para a massa M :
Q = ML⇔M = QL
M = 3,0×10
10
3,3×105
M = 9, 10× 104kg
6.11 Densidade de energia em
campos eletrostáticos
Vamos agora ver como determinamos a energia num dado arranjo de cargas. Pela definição de potencial
elétrico,
WAB = −q
aˆ
b
~E · d~l
é fácil ver que
WAB = q [V (b)− V (a)]
De acordo com o princípioda conservação de energia, a energia armazenada é igual ao trabalho
realizado para formar o sistema a partir de uma configuração em que todas as cargas estão infinitamente
distantes umas das outras, e portanto podemos dizer que não exercem qualquer influência mútua.
A esta situação idealizada podemos atribuir energia zero. A seguir, construímos o sistema trazendo as
cargasqi uma por uma, a partir do infinito, até suas posições finais ri, lembrando que a cada instante
o campo elétrico presente é o gerado pelas cargas que já foram trazidas até suas posições. Assim, por
exemplo, não se realiza nenhum trabalho ao se trazer a cargaq1 do infinito até a posição r1, uma vez
6.11. DENSIDADE DE ENERGIA EM CAMPOS ELETROSTÁTICOS 95
que o campo elétrico na região do do caminho é nulo (todas as outras cargas estão no infinito). Logo,
W1 = 0 (q1 do infinito até r1) . Pode se demonstrar que8, para um sistema de n cargas pontuais,
WE =
1
2
n∑
k=1
qkVk
Onde WE é o trabalho total para necessário para reunir as k cargas. Para uma distribuição contínua
volumétrica de cargas:
WE =
1
2
ˆ
ρvV dv
Como
ρV = ∇ · ~D
a equação integral acima fica
WE =
1
2
ˆ (
∇ · ~D
)
V dl
Após algumas manipulações (que você pode ver em qualquer livro de eletro, inclusive no nosso querido
Sadiku!) chegamos a:
WE =
1
2
ˆ
~D · ~Edv = 1
2
ˆ
ε0E
2dv
Definimos então a densidade de energia eletrostática wE (em J/m3) como:
wE =
dWE
dv
=
1
2
~D · ~E = 1
2
ε0E
2 =
D2
2ε0
Exercício resolvido página 148, Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku,
Bookman: Uma distribuição de carga com simetria esférica tem densidade
ρV =
{
ρ0, 0 ≤ r ≤ R
0, r > R
Determine V, em qualquer ponto e a energia armazenada na região r < R.
Resolução
A carga dentro da esfera é calculada pelo integral:
qint =
ˆ
ρ0dv = ρ0
ˆ
dv
qint = ρ0
2piˆ
φ=0
pˆi
θ=0
rˆ
r=0
r2senθ cos θdrdθdφ
como esperado
qint = ρ0
4
3
pir3
8Veja por exemplo Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman, página 145
96 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
(consegue ver uma maneira mais simples para fazer a integração de dv ?,)
Como
Φ =
˛
~D · d~S = qint
então ˛
~D · d~S = Dr
˛
d~S =Dr
2piˆ
φ=0
pˆi
θ=0
r2senθdθdφ
logo Φ = Dr4pir2. Como este resultado é igual a carga interna,
Dr4pir
2 =
4pir3
3
ρ0
Portanto, para 0 < r < R:
~D =
r
3
ρ0~ar
Calculando para r > R, o procedimento é o mesmo, mas agora
qint = ρ0
4
3
piR3
No fim teremos que:
~D =
R3
3r2
ρ0~ar
e escrevemos ~D da seguinte forma:
~D =

r
3ρ0~ar, 0 < r ≤ R
R3
3r2
ρ0~ar, r > R
Figura 6.11.1: Gráfico de
∣∣∣ ~D∣∣∣com a distância r tomando o raio como a
O campo ~E , para r > R
~E =
R3
3ε0r2
ρ0~ar
e determinamos V pelo integral:
V = −
ˆ
~E · d~l =− R
3
3ε0
ρ0
ˆ
1
r2
dr
6.11. DENSIDADE DE ENERGIA EM CAMPOS ELETROSTÁTICOS 97
V =
R3
3ε0r
ρ0 + C1
Como V ( r = ∞) = 0, C1= 0.
Para r ≤R
~E =
r
3ε0
ρ0~ar
e então:
V = −
ˆ
~E · d~l =− ρ0
3ε0
ˆ
rdr
V = −ρ0r
2
6ε0
+ C2
Como V ( r = R) =
r0R
2
3ε0
, encontramos para C2:
C2 =
R2ρ0
2ε0
logo, para r ≤R
V =
ρ0
6ε0
(
3R2 − r2)
e por fim
V =

ρ0
6ε0
(
3R2 − r2) , 0 < r ≤ R
R3
3ε0r
ρ0, r > R
A energia armazenada é dada por:
W =
1
2
ˆ
~D · ~Edv =1
2
ε0
ˆ
E2dv
para r ≤ R,
E =
ρ0r
3ε0
~ar
procedendo a integração
W =
1
2
ε0
ρ0
2
9ε02
Rˆ
r=0
pˆi
θ=0
2piˆ
φ=0
r2r2senθdφdθdr
W =
2piρ20
45ε0
R5
em joules!
O conceito científico de energia só pode ser entendido mediante a análise de duas entidades ou sistemas
físicos em interação. Quando dois sistemas físicos interagem entre si, mudanças nos dois sistemas
ocorrem.
98 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
6.12 Energia radiante
Figura 6.12.1: Auroras em Saturno. As auroras, fenômeno que acontece também na Terra, são re-
sultado da conversão de energia cinética associada ao vento solar em energia radiante, grande parte
dela na faixa do visível. Partículas carregadas presentes no vento solar são direcionadas aos pólos
em virtude do campo magnético do planeta em um processo conhecido por garrafa de van Allen. Na
terra, existem os cinturões de Van Allen. A colisão destas partículas com átomos e moléculas dos
gases atmosféricos resulta na emissão de luzes que iluminam os céus junto aos pólos magnéticos.
Trata-se de energia pura propagando-se pelo espaço em forma de ondas associadas a um campo. A
energia é diretamente associada à radiação eletromagnética: luz, ondas de rádio, raios infravermelhos,
raios X, e outras. A energia radiante atravessa perfeitamente o vácuo: a quase totalidade de energia
que recebemos do sol chega até nós na forma de energia radiante distribuída em uma larga faixa de
frequências, faixa esta que inclui a faixa do visível na região de maior densidade de energia, com
as diversas cores (violeta, azul, verde, amarelo, laranja, vermelho) que conseguimos enxergar sendo
particularmente intensas no espectro solar.
Contudo o homem não se restringiu a usar apenas os olhos para vasculhar o cosmo; radiotelescópios
observam o cosmos em comprimentos de onda que não podemos ver, indo desde as ondas de rádio
até os raios X e mesmo raios cósmicos As ondas eletromagnéticas são uma combinação de campos
magnético e elétricos ortogonais variáveis que sustentam-se mutuamente mediante da lei da indução
de Faraday e a Lei de Ampère em sua forma generalizada por Maxwell, possuindo, uma vez produzidas,
existências independentes das cargas aceleradas que a geraram. Ressalta-se que "cargas estáticas e
cargas em movimento com velocidade constante não irradiam. Cargas aceleradas irradiam." Observe
que, embora não irradiem ondas eletromagnéticas, cargas elétricas estáticas e cargas em movimento
não acelerado possuem seus campos elétricos e no último caso também magnéticos associados, e nestes
campos há energia armazenada.
Contudo estes campos e estas energias estão "presos" à carga, e não propagando-se livremente pelo es-
paço, como ocorre com a energia nas ondas eletromagnéticas. Aos campos das cargas nestas condições
associam-se a energia potencial elétrica e a "energia magnética".
A energia transportada em uma onda eletromagnética é removida da carga acelerada mediante um
fenômeno conhecido por reação à radiação. Ondas eletromagnéticas não transportam apenas energia;
transportam também momento. O fluxo de energia em uma onda eletromagnética é descrito pelo
vetor de Poynting , um vetor cujo módulo representa a densidade superficial instantânea de energia
6.12. ENERGIA RADIANTE 99
eletromagnética que se propaga por unidade de tempo na direção e sentido da onda eletromagnética
associada.
Seu módulo representa a quantidade de energia que atravessa uma seção reta imaginária de área
unitária em posição perpendicular à direção de propagação da onda eletromagnética por intervalo
de tempo considerado. De uma maneira formal, o vector de Poynting é definido através do produto
vetorial do campo eléctrico e campo magnético da respectiva onda eletromagnética. O nomenclatura
é uma homenagem ao físico inglês John Henry Poynting9, sendo geralmente representado pelo símbolo
~S , e tendo por unidade watt por metro quadrado (W/m2).
~S = ~E × ~H = 1
µ
~E × ~B
6.12.1 Cinturões de Van Allen
O Cinturão de Van Allen é uma região onde ocorrem vários fenômenos atmosféricos devido a con-
centrações de partículas no campo magnético terrestre, descobertas em 1958 por James Van Allen10.
A radiação de Van Allen não ocorre, salvo em raras exceções, nos pólos, e sim na região equatorial,
formando dois cinturões em forma de anéis, com centro no equador. O mais interno se estende entreas altitudes de mil e cinco mil quilômetros, sua intensidade máxima ocorrendo em média com três mil
quilômetros.
Consiste de prótons altamente energéticos, que se originam pelo decaimento de nêutrons produzidos
quando raios cósmicos11 vindos do espaço exterior colidem com átomos e moléculas da atmosfera
terrestre. Parte dos nêutrons é ejetada para fora da atmosfera e se desintegra em prótons e elétrons
ao atravessar esta região do cinturão. Essas partículas se movem em trajetórias espirais ao longo de
linhas de força do campo magnético terrestre. O segundo cinturão, que fica situado entre 15 000 e 25
000 km, contém partículas eletricamente carregadas de origem tanto atmosférica quanto solar. São
principalmente íons hélio trazidos pelo vento solar.
As partículas mais energéticas deste são elétrons cuja energia atinge várias centenas de milhares de
elétrons-volt. Os prótons são muito menos energéticos do que os do primeiro cinturão, porém seu
fluxo é mais intenso. Via de regra, não existe entre os dois cinturões uma delimitação; eles fundem-se
em altitudes variáveis. Durante os períodos de intensa atividade solar, grande parte das partículas
eletricamente carregadas vindas do Sol consegue romper a barreira formada pelos cinturões de radiação
de Van Allen. Ao atingir a alta atmosfera produzem os fenômenos de auroras polares e as tempestades
magnéticas.
9John Henry Poynting (Manchester, 9 de setembro de 1852 - Birmingham, 30 de março de 1914) foi um físico inglês.
Fez os seus estudos no Owens College, em Manchester, para de seguida ir estudar física na Universidade de Cambridge,
onde foi aluno de James Clerk Maxwell. Em 1880 passou a ser professor de física naquela que é hoje a Universidade de
Birmingham, posto que ocupou até à sua morte, a 30 de Março de 1914.
10James Alfred Van Allen (Mount Pleasant, 7 de setembro de 1914 - Iowa City, 9 de agosto de 2006) foi um físico norte
americano. Professor e diretor do Instituto de Física da Universidade de Iowa desde 1951, conduziu investigações sobre
física nuclear, sobre a radiação cósmica e sobre a física atmosférica. Descobriu a existência de duas zonas de radiação de
alta energia que envolvem a Terra, chamadas em sua homenagem cinturões de Van Allen, cuja origem está provavelmente
nas interações do vento solar e dos rais cósmicos com os átomos constituintes da atmosfera. Atuou também nos projetos
dos primeiros satélites artificiais dos Estados Unidos e participou nos programas de investigação planetária vinculados
às missões da NASA "Apollo", "Mariner" e "Pioneer". Entre outras condecorações recebeu a medalha Hickman, da
Sociedade Americana de Foguetes e o prêmio da Academia de Ciências de Washington.
11Raios cósmicos são partículas extremamente penetrantes, dotadas de alta energia, que se deslocam a velocidades
próximas à da luz no espaço sideral. Portanto, raios cósmicos não são raios, mas partículas. Essas partículas, ao
chegarem à Terra, colidem com os núcleos dos átomos da atmosfera, a cerca de 10 mil metros acima da superfície do
planeta, e dão origem a outras partículas, formando uma “chuva” de partículas com menos energia, os chamados raios
cósmicos secundários. O número de partículas que chegam ao nível do mar, em média, é de uma partícula por segundo
em cada centímetro quadrado. Os raios cósmicos secundários são inofensivos à vida na Terra.
100 CAPÍTULO 6. CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
Figura 6.12.2: Aurora Boreal
Figura 6.12.3: Cinturões de Van Allen
Capítulo 7
Condutores, semicondutores e
dielétricos
7.1 Generalidades
À medida que se fornece energia para um elétron, este passa para uma órbita mais afastada. Em
alguns materiais, o elétron (ou elétrons) que está na órbita externa está fracamente ligado ao átomo,
e migra facilmente de um átomo para outro, quando submetido a ação de um campo elétrico. Estes
elétrons recebem o nome de elétrons de condução ou elétrons livres. Materiais que possuem este tipo
de comportamento recebem o nome de condutores.
Em outros tipos de materiais, porém, os elétrons estão de tal maneira presos ao átomo, que não
podem ser libertados pela simples aplicação de campos elétricos. Estes materiais recebem o nome
de dielétricos ou isolantes. Quando um dielétrico é submetido a um campo elétrico, ocorre uma
polarização, ou seja, um deslocamento do elétron em relação à sua posição de equilíbrio.
As cargas induzidas em um isolante recebem o nome de cargas de polarização. Outro grupo de
materiais apresenta um comportamento intermediário entre condutores e isolantes. São os chamados
semicondutores. Sob certas condições podem agir como isolantes, mas com a aplicação de calor ou
de campo elétrico suficientemente forte, podem tornar-se condutores.
A mobilidade das cargas é uma função da temperatura e o seu aumento apresenta consequências
diferentes, no comportamento dos materiais condutores, isolantes e semicondutores.
Em um condutor metálico, por exemplo, o movimento vibratório aumenta com o aumento da tempe-
ratura. Consequentemente, há uma diminuição na velocidade (média) de deriva ou de arraste, devido
ao aumento das colisões desordenadas entre as cargas no interior do material.
Nos materiais isolantes e semicondutores, o aumento da temperatura com o aumento do movimento
vibratório contribui com o aumento da mobilidade interna das partículas, em função do campo elétrico
aplicado.
Os materiais sólidos podem ser divididos em classes principais, conforme a distribuição atômica da
estrutura:
• Cristais
• Policristais
• Amorfos
Um exemplo de um cristal isolante é o sal NaCl.
101
102 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
7.2 Condutores
Consideremos um condutor. Nele, os elétrons de valência, ou elétrons de condução ou livres, movem-se
sob a influência de um campo elétrico:
~F = −e ~E
No espaço livre o elétron aceleraria e aumentaria sua velocidade continuamente bem como a sua
energia. Entretanto, num material cristalino, esse movimento é impedido pelas colisões sucessivas
com a rede cristalina termicamente excitada e logo atinge uma velocidade média constante.
~vd = µE ~E
onde:
~vd ≡velocidade de deriva
µE ≡mobilidade eletrônica
A mobilidade do elétron é positiva por definição. Portanto a velocidade do elétron é numa direção
oposta ao campo elétrico. Uma simples inspeção permite verificar que unidade de medida para a
mobilidade do elétron é m2/(V.s).
Valores típicos de mobilidade:
• Alumínio: 0,0012 m 2/ V.s
• Cobre: 0,0032 m2/ V.s
• Prata: 0,0056 m 2/ V.s
Para esses bons condutores, uma velocidade de deriva de poucos cm/s é suficiente para produzir um
aumento notável de temperatura e pode provocar o derretimento do fio se o o calor não puder ser
retirado rapidamente por condução térmica ou radiação.
~J = −µEρE ~E
onde rE ≡densidade de elétrons livres. Como a densidade de elétrons livres é negativa, a densidade
de corrente aponta na mesma direção do campo elétrico. Portanto a velocidade do elétron é numa
direção oposta ao campo elétrico.
A relação entre a densidade de corrente e vetor intensidade de campo elétrico, é também especificada
pela condutividade, como já vimos. pela lei pontual de Ohm ~J = σ ~E de onde concluímos que:
σ = −µEρE
7.3 Dielétricos
Um dielétrico é um material que sob a atuação de um campo elétrico exterior acima do limite de sua
rigidez dielétrica, permite o fluxo da corrente elétrica. Qualquer substância submetida a um campo
elétrico muito alto pode se ionizar e tornar-se um condutor. Normalmente um material dielétrico se
torna condutor quando é ultrapassado o seu campo de ruptura. Essa intensidade máxima do campo
elétrico (em V/m) se chama rigidez dielétrica. Assim, se aumentamos muito campo elétrico aplicado
sobre o dielétrico, o material se converte em um condutor.
7.3. DIELÉTRICOS 103
Retomando, a rigidez dielétrica de um certo material é um valor limite de campo elétrico aplicado
sobrea espessura do material (kV/mm por exemplo), sendo que, a partir deste valor, os átomos que
compõem o material irão se ionizar e o material deixa de ser um dielétrico. O valor da rigidez dielétrica
depende de diversos fatores como:
• Temperatura.
• Espessura do dielétrico.
• Tempo de aplicação da diferença de potencial
• Taxa de crescimento da tensão.
• Para um gás, a pressão é fator importante.
Quando um material isolante separa dois condutores sob influência de uma diferença de potencial,
aparecem correntes de fuga1A resistência de isolamento corresponde à resistência que o isolante oferece
à passagem dessa corrente de fuga, a qual pode circular através da massa isolante ou pela sua superfície.
À primeira corresponde a resistência de isolamento volumétrica e à segunda a resistência de isolamento
superficial.
7.3.1 Polarização
A polarização é um fenômeno que consiste num pequeno deslocamento que ocorre nas cargas elétricas
que compõem um material, devido a um campo elétrico externo aplicado. Este deslocamento, às
custas de um campo elétrico, faz com que uma determinada quantidade de energia seja armazenada
no material. Dipolo elétrico ou simplesmente dipolo, como vimos, é o nome que se dá ao conjunto de
duas cargas puntuais de igual magnitude e sinais opostos, separados por uma distância pequena se
comparada com as distâncias onde há interesse em se conhecer seu campo elétrico ou campo potencial.
Existem substâncias que possuem um deslocamento permanente entre os centros de gravidade da carga
positiva e negativa de suas moléculas. Essas moléculas são chamadas de moléculas polares. Por outro
lado, as que não apresentam esse deslocamento, são chamadas de moléculas não polares.
Figura 7.3.1: Comportamento de moléculas não polares na ausência e na presença de um campo
elétrico.
Figura 7.3.2: Comportamento de moléculas polares na ausência e na presença de um campo elétrico.
A polarização é definida como o momento de dipolo total por unidade de volume:
1Corrente de fuga é o termo geralmente utilizado para indicar o fluxo de corrente anormal ou indesejada em um
circuito elétrico devido a uma fuga (geralmente um curto-circuito ou um caminho anormal de baixa impedância).
104 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
~P = lim
∆v→0
n∑
i=1
~pi
∆v
~P = lim
∆v→0
n∑
i=1
q~ri
∆v
Mais especialmente, em se tratando de moléculas não polares, todos os ~pi terão mesmo sentido e se
houver N moléculas por metro cúbico, ou seja, N = n/∆v, teremos que: ~P= nq~r/∆v , ou ~P = Nq~r .
Considerando então um dielétrico contendo moléculas não polares. Sob ausência de campo elétrico
a polarização em todo o material é nula. Em algum lugar no interior do dielétrico, selecionamos
uma superfície incremental∆S como mostra a figura abaixo e examinamos o movimento de cargas
de polarização através de ∆S quando um campo elétrico é aplicado. O campo aplicado produz um
momento ~p = q~d (~d ≡ ~r) em cada molécula, de modo que ~p e ~d formam um ânguloθ com ∆S.
Figura 7.3.3: Polarização no interior do dielétrico
Cada molécula inicialmente está centrada no elemento de volume ½ d cosθ∆S abaixo da superfície
e contribui então para o movimento de uma carga +q através de ∆S para cima. Da mesma forma,
cada molécula no volume ½ d cosθ∆S acima da superfície provê uma passagem de –q através de
∆S para baixo. Como há N moléculas por metro cúbico, a carga líquida total que atravessa a
superfície incremental, e consequentemente a carga total depositada acima e abaixo da superfície será:
∆qp = nqdcosθ∆S, ou ∆qp = Nq~d·∆~S ou ainda: ∆qp = ~P · 4~S
Se DS for uma superfície fechada, então o acréscimo líquido de cargas em seu interior devido à cargas
de polarização, será dada por:
qp = −
˛
~P · d~S
Onde o sinal negativo deve ser incluído porque o fluxo de ~P se dá em sentido contrário ao de d~S.
Isto é consequência de se ter arbitrado o sentido de ~p como sendo da carga negativa para a positiva do
dipolo, portanto um sentido que é o contrário de um campo elétrico, onde a Lei de Gauss é expressa
como:
q =
˛
ε0 ~E · d~S
A exemplo das cargas livres, as cargas de polarização também podem ser expressas através de uma
densidade volumétrica de cargas de polarização, rp, de forma que:
qp =
ˆ
ρpdv →
ˆ
ρpdv = −
˛
~P · d~S
aplicando o teorema do divergente:
∇ · ~P = −ρp
7.4. SEMICONDUTORES 105
Sabemos que ∇ · ~D = r para um meio contendo cargas livres. Entretanto, se o meio contiver cargas
livres r e cargas de polarização rp, temos que: ∇ · ~D = r+rp.
Portanto
∇ · εo ~E = ρ−∇ · ~P
∇ · εo ~E +∇ · ~P = ρ
∇ ·
(
εo ~E + ~P
)
= ρ
e finalmente
~D = εo ~E + ~P
Se ~P variar linearmente de um campo elétrico aplicado, como ocorre para a maioria dos materiais,
podemos expressar essa dependência através de uma constante convenientemente escolhida: ~P =
χeε0 ~E , onde ε0 é a permissividade do vácuo e χe é a susceptividade elétrica, que já definimos. Vamos
então chegar a uma relação conhecida:
~D = εo ~E + ~P
~D = εo ~E + χeεo ~E
~D = ~Eεo (1 + χe)
comoεr = 1 + χe e ε0εr = ε,
~D = ε ~E
observe que a polarização que está omitida nesta equação, na verdade está implícita devida a ε.
7.4 Semicondutores
Figura 7.4.1: Semicondutores!
Semicondutores são substâncias cuja condutividade elétrica, ao contrário do que ocorre com os con-
dutores normais, aumenta com a temperatura. Assim, são condutores nas temperaturas usuais e
isolantes nas baixas temperaturas. Além do germânio, do silício e de alguns outros elementos, são
semicondutores uma grande quantidade de substâncias entre as quais se destacam os compostos biná-
rios constituídos por átomos de grupos diferentes da tabela periódica como, por exemplo, GaAs, AlSb
e InSb.
A razão do diferente comportamento entre metais e semicondutores é que os metais contém um numero
constante de portadores móveis de carga em todas temperaturas e semicondutores não. Em um
106 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
semicondutor puro, para que os portadores se tornem livres, as cargas devem ser ”ativadas”. Essa
ativação requer energia, que pode vir, por exemplo, da agitação térmica. Nos metais os elétrons
estão livres, podendo movimentar-se através da rede quando um campo elétrico é aplicado. O mar de
elétrons da camada de valência confunde-se com a camada de condução e pode mover-se livremente.
Figura 7.4.2: Representação bidimensional da estrutura atômica de um metal
Em 1874, Braun descobriu o efeito semicondutor em alguns sulfetos metálicos. Os primeiros elementos
estudados foram o sulfeto de chumbo e o sulfeto de ferro. Em 1878 e 1879 David E. Hughes iniciou
pesquisas no efeito semicondutor, a princípio como curiosidade, pois foi percebido ao acaso pelo ci-
entista. Embora Hughes não conhecesse o trabalho de James Clerk Maxwell, descobriu uma maneira
de emitir ondas eletromagnéticas a partir de semicondutores. Em função de suas experiências acabou
por inventar o detector eletromagnético por efeito semicondutivo, o diodo.
O diodo semicondutor é um dispositivo ou componente eletrônico composto de cristal semicondutor
de silício ou germânio numa película cristalina cujas faces opostas são dopadas por diferentes gases
durante sua formação. É o tipo mais simples de componente eletrônico semicondutor, usado como
retificador de corrente elétrica. Possui uma queda de tensão de, aproximadamente, 0,3 V (germânio)
e 0,7 V (silício).
Para entender o comportamento dos materiais, precisamos de alguns conceitos:
Banda de valência: é uma banda de energia formada por níveis de energia, ocupada por elétrons
”semilivres”, que estão um pouco mais separados do núcleo que os demais. É nesta banda de energia
que se acumulam as lacunas eletrônicas, após serem criadas no material por processos energéticos,
como por exemplo, a incidência de radiação eletromagnética. É nela também que se dá otransporte
de lacunas sob a influência de um campo elétrico aplicado. Esta banda tem energias menores que a
banda de condução, onde se dá o transporte dos elétrons.
Banda de condução: é o intervalo de energias de energia superior à da banda de valência. É nestas
energias que se dá a condução elétrica.
Figura 7.4.3: Esquema de bandas de um condutor, um isolante e um semicondutor
Nos materiais semicondutores à temperatura de zero kelvin (zero absoluto), todos elétrons encontram-
se na banda de valência. Neste estado o semicondutor tem características de um isolante, logo, não
conduz eletricidade. A medida que sua temperatura aumenta, os elétrons absorvem energia passando
para a banda de condução. Esta "quantidade" de energia necessária para que o elétron efetue essa
transição é chamada de gap de energia (em inglês band gap), ou banda proibida. À medida que a
7.4. SEMICONDUTORES 107
temperatura do semicondutor aumenta, o número de elétrons que passam para a banda de valência
também aumenta, passando o semicondutor a conduzir mais eletricidade, caso seja exposto a uma
ddp.
7.4.1 Semicondutores Intrínsecos
Semicondutores intrínsecos são substâncias sem qualquer tipo de impureza e que, a T = 0 K, têm uma
banda proibida de largura menor que 3 eV2 entre a banda de valência, com todos os níveis ocupados,
e a banda de condução, com todos os níveis desocupados. Nessa temperatura, comportam-se como
isolantes. O silício e o germânio, por exemplo, são semicondutores intrínsecos com uma banda proibida
de 1,1 eV e 0,7 eV, respectivamente.
Figura 7.4.4: Representação tridimensional da célula unitária de Si, mostrando as ligações covalentes.
Para T = 0 K, existem níveis de energia na banda de condução ocupados por elétrons excitados por
frações da energia interna e níveis de energia na banda de valência, de onde provieram esses elétrons,
desocupados. Quanto maior a temperatura, mais níveis na banda de condução estão ocupados e mais
níveis na banda de valência estão desocupados.
Na presença de um campo elétrico, a corrente elétrica resultante tem uma contribuição devida aos
elétrons da banda de condução e outra, devida aos elétrons da banda de valência. Para cada elétron
na banda de condução existe um nível de energia vazio (uma lacuna) na banda de valência, de modo
que, sob o efeito do campo elétrico, os elétrons dessa banda podem ser excitados para níveis de energia
vazios dela mesma, deixando os níveis de energia originais vazios. Esta contribuição para a corrente
elétrica pode ser descrita como o movimento das lacunas no sentido do campo elétrico (e no sentido
contrário ao dos elétrons). As lacunas atuam, assim, como se tivessem carga elétrica positiva.
Como a largura da banda proibida é pequena nos semicondutores, o aumento da condutividade devido
ao aumento da temperatura é muito maior do que nos isolantes usuais.
7.4.2 Semicondutores extrínsecos
Há diversas formas de se provocar o aparecimento de pares elétron-lacuna livres no interior de um
cristal semicondutor. Um deles é através da energia térmica (ou calor).
Outra maneira, consiste em fazer com que um feixe de luz incida sobre o material semicondutor. Na
prática, contudo, necessitamos de um cristal semicondutor em que o número de elétrons livres seja
bem superior ao número de lacunas, ou de um cristal onde o número de lacunas seja bem superior ao
número de elé ons livres.
Isto é conseguido tomando-se um cristal semicondutor puro (intrínseco) e adicionando-se a ele (dopa-
gem), por meio de técnicas especiais, uma determinada quantidade de outros tipos de átomos, aos quais
21eV =1,6×10−19J
108 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
chamamos de impurezas. Quando são adicionadas impurezas a um semicondutor puro (intrínseco) este
passa a denominar-se por semicondutor extrínseco.
Quanto as lacunas, muitas das propriedades dos semicondutores podem ser descritas tratando as
lacunas como se tivessem carga positiva e, mobilidade µh com uma massa efetiva comparável a do
elétron. Ambos (elétrons e lacunas) se movem em um campo elétrico e em direções opostas. Assim,a
condutividade será função dessas componentes:
σ = −ρEµE + ρhµh
Para o silício intrínseco, as mobilidades dos elétrons e das lacunas são de respectivamente 0,12 e 0,025
metros quadrados por volt-segundo e para o germânio 0,36 e 0,17 metros quadrados por volt-segundo
à 300 K.
7.5 Condições de fronteira
Vamos temporariamente nos afastar das condições estáticas assumidas e variar o tempo por alguns
microssegundos para vermos o que acontece quando uma distribuição de cargas é repentinamente
desbalanceada dentro de um material condutor. Suponhamos, para efeito de argumento, que repenti-
namente apareça um número de elétrons no interior de um condutor.
Os campos elétricos estabelecidos por estes elétrons não são anulados por quaisquer cargas positivas,
e os elétrons, portanto, começam a acelerar para longe um do outro. Isto continua até que os elétrons
atinjam a superfície do condutor ou até que um número igual de elétrons seja injetado na superfície.
Aqui o progresso dos elétrons para fora é interrompido, já que o material que envolve o condutor é
um isolante que não possui uma banda de condução conveniente. Nenhuma carga pode permanecer
dentro do condutor. Se isto acontecesse, o campo elétrico resultante forçaria as cargas para a superfície.
Assim, o resultado final dentro do condutor é uma densidade de carga zero e uma densidade superficial
de carga que permanece na superfície externa. Esta é uma das duas características de um bom
condutor.
As outras características, estabelecidas para condições estáticas nas qual nenhuma corrente deve fluir,
seguem a partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico dentro do condutor é igual a zero.
Fisicamente, vemos que se um campo elétrico estivesse presente os elétrons de condução se deslo-
cariam e produziria uma corrente, acarretando, assim, uma condição não-estática. Resumindo para
a eletrostática, nenhuma nenhuma carga e nenhum campo elétrico podem existir em qualquer ponto
dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode aparecer na superfície como uma densidade
superficial de carga. Nossa próxima investigação diz respeito aos campos externos ao condutor.
7.5.1 Condutores
Se utilizarmos alguns dos resultados anteriormente obtidos para fazermos uma análise mais cuidadosa
podemos estabelecer a fronteira condutor-espaço livre mostrando as componentes tangencial e normal
de ~D e ~E no lado do espaço livre da fronteira. Ambos os campos são zero no condutor.
Considere a figura abaixo. Na região condutora, são depositadas cargas afim de gerar um campo
elétrico. Internamente ao condutor, o campo elétrico é nulo, visto que as cargas elétricas sendo livres,
repelem-se mutuamente e concentram-se apenas na superfície, gerando uma densidade superficial de
cargas. Podemos avaliar a componente tangencial do campo elétrico nas proximidades do condutor,
mediante o cálculo da integral de linha do campo elétrico no percurso fechado mostrado na figura
(circulação do campo elétrico). Se fizermos ∆h tender a zero, a contribuição da componente normal
7.5. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 109
do campo elétrico será desprezível mesmo porque a contribuição é subtrativa nos lados esquerdo e
direito do percurso.
Figura 7.5.1: Interface condutor
˛
~E · d~l = 0
Et∆w − En∆h2 + En∆h2 = 0
Et = 0
logo, a componente tangencial do campo elétrico é nula, e também da densidade de fluxo é nula na
superfície de um condutor.
Com relação à componente normal do campo elétrico, podemos determiná-la através da Lei de Gauss.
Considerando então uma superfície gaussiana na região de fronteira como mostrado na figura abaixo.
Fazendo ∆h tender a zero, não haverá contribuição da componente tangencial através da superfície
lateral do cilindro ( já mostramos que a componente tangencial é nula!).
Figura 7.5.2: Análiseda componente normal do campo elétrico na interface
˛
~D · d~S = q
˛
topo
~D · d~S +
˛
base
~D · d~S +
˛
lados
~D · d~S = q
˛
topo
~D · d~S + 0 + 0 = q
Dn∆S = q
Dn∆S = ρs∆S
Dn = ρs ⇒ En = ρsε0
Resumindo então, para os condutores, a componente tangencial de campo elétrico e densidade de fluxo
é igual a zero e a componente normal da densidade de fluxo corresponde à densidade de cargas. A
componente normal do campo elétrico é igual a ρs/ε0.
110 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
É interessante observar que a componente tangencial de campo elétrico junto à superfície do condutor
só pode ser nula, pois caso não fosse, haveria uma força agindo sobre as cargas livres o que provocaria
em pouco tempo um reagrupamento de cargas que assim cancelaria essa componente de campo. Isso
quer dizer que a componente tangencial de campo pode existir durante pouco tempo, sendo imediata-
mente cancelada por um novo arranjo de cargas.
Outra observação importante decorrente das observações anteriores é que um condutor quando imerso
em um campo elétrico, provoca alterações substanciais nesse campo. Isto se deve ao fato de o campo
deslocar cargas no interior do condutor fazendo surgir um novo campo elétrico que vai interagir com
o campo inicial e cuja resultante será um campo elétrico com uma configuração diferente.
Resumindo os princípios que aplicamos aos condutores em campos eletrostáticos:
1. A intensidade do campo elétrico estático dentro de um condutor é zero.
2. A intensidade do campo elétrico estático na superfície de um condutor é, em qualquer ponto,
normal à superfície.
3. A superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.
Figura 7.5.3: Um condutor,onde o campo elétrico é nulo em seu interior, e normal em cada ponto de
sua superfície.
7.5.2 Dielétricos
Para o caso da fronteira entre dois materiais dielétricos, vamos estudar o comportamento dos cam-
pos na interface dielétrica. Considerando-se os dois dielétricos perfeitos, vamos analisar primeiro a
componente tangencial do campo elétrico nos dois materiais, pela integral de linha.
Figura 7.5.4: Interface entre dielétricos
7.5. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 111
¸
~E · d~l = 0
Et1∆w − Et2∆w = 0
Et1 = Et2
A contribuição das componentes normais para a integral de linha foram desprezadas, à medida que
∆h foi feito tender a zero, pois nos interessa a relação entre as componentes tangenciais bem junto
à fronteira entre os dois dielétricos. Vemos portanto que a componente tangencial de campo elétrico
não sofre descontinuidade ao atravessarmos a fronteira entre os dois materiais. Por outro lado, se a
componente tangencial do campo elétrico é contínua, o mesmo não se pode dizer acerca da componente
tangencial da densidade de fluxo, pois ~D = ε ~E . Portanto:
Dt1
ε1
=
Dt2
ε2
⇔ Dt1
Dt2
=
ε1
ε2
As condições de contorno para as componentes normais são encontradas pela Lei de Gauss aplicada
ao pequeno cilindro da figura abaixo:
Figura 7.5.5: Fonteira dielétricos, cálculo das componentes normais
As componentes tangenciais não contribuirão para a integral de superfície, visto que não há fluxo
resultante sobre as paredes laterais, pois não há carga interna contida na superfície.
Além disso, nos interessa a relação entre as componentes normais junto a fronteira e para isso fazemos
a altura do cilindro tender a zero.
Dn1∆S −Dn2∆S = ∆q = ρs∆S ⇔ Dn1 −Dn2 = ρs
Entretanto rs deve ser zero, pois no dielétrico não há cargas livres e as cargas de polarização já foram
consideradas pela introdução de ε1 e ε2. Então:
Dn1 = Dn2
ε1En1 = ε2En2
Combinando essas relações, podemos observar o que ocorre com o campo elétrico e a densidade de
fluxo e suas componentes ao atravessarem a fronteira entre dois dielétricos.
Figura 7.5.6: Interface entre dois dielétricos
112 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
Dn1 = Dn2
D1senα1 = D2senα2(1)
Dt1
Dt2
= ε1ε2
D1 cosα1
D2 cosα2
= ε1ε2
D1 cosα1
ε2
ε1
= D2 cosα2(2)
(1)
(2) → tg (α1) ε1ε2 = tg (α2)
Em resumo para campos em interfaces temos:
Condutor Dielétrico
Et = 0 Et1 = Et2
En =
ρS
ε0
Dn1 = Dn2
7.6 Capacitores e capacitância
É um componente constituído por dois condutores separados por um isolante: os condutores são
chamados armaduras (ou placas) do capacitor e o isolante é o dielétrico do capacitor. Costuma-se dar
nome a esses aparelhos de acordo com a forma de suas armaduras. Assim temos capacitor plano ,
capacitor cilíndrico , capacitor esférico etc. O dielétrico pode ser um isolante qualquer como o vidro,
a parafina, o papel e muitas vezes é o próprio ar.
Figura 7.6.1: Capacitores
Um capacitor apresenta uma característica elétrica dominante que é simples, elementar. Apresenta
uma proporcionalidade entre corrente entre seus terminais e a variação da diferença de potencial
elétrico nos terminais. Ou seja, possui uma característica elétrica dominante com a natureza de uma
capacitância. Um capacitor é fundamentalmente um armazenador de energia sob a forma de um
campo eletrostático.
Capacitores são utilizados com o fim de eliminar sinais indesejados, oferecendo um caminho mais
fácil pelo qual a energia associada a esses sinais espúrios pode ser escoada, impedindo-a de invadir o
circuito protegido. Nestas aplicações, normalmente quanto maior a capacitância melhor o efeito obtido
e podem apresentar grandes tolerâncias. Já capacitores empregados em aplicações que requerem maior
7.6. CAPACITORES E CAPACITÂNCIA 113
precisão, tais como os capacitores que determinam a frequência de oscilação de um circuito, possuem
tolerâncias menores.
Capacitância ou capacidade elétrica é a propriedade que têm os corpos de manter uma carga elétrica.
É também uma grandeza física escalar que mede a quantidade de energia acumulada em um corpo.
Diz-se também que mede a propensão de um corpo a aumentar o próprio potencial elétrico quando
submetido a uma carga elétrica.
Portanto a capacitância corresponde à relação entre a quantidade de carga acumulada pelo corpo e o
potencial elétrico que o corpo assume em consequência disso. A capacitância depende da relação entre
a diferença de potencial (ou tensão elétrica) existente entre as placas do capacitor e a carga elétrica
nele armazenada. Portanto:
C =
Q
V
ou
C =
¸
εo ~E · d~S
− ´ ~E · d~l
A unidade de capacitância no SI é o farad (F).
7.6.1 Alguns tipos de capacitores
7.6.1.1 Capacitores de mica
São fabricados alternando-se películas de mica (silicato de alumínio) com folhas de alumínio. Sendo a
mica um dielétrico muito estável e de alta resistividade, estes capacitores são utilizados em circuitos
que trabalham com alta frequência (etapas osciladoras de radiofrequência). Suas capacitâncias variam
de 5pF a 100 nF, apresentando elevada precisão.
7.6.1.2 Capacitores de papel
Capacitores de filtro com dielétrico de papel são volumosos e seu valor é em geral limitado a menos
do que 10 µF. Eles não são polarizados e podem suportar altas tensões. Não há fuga apreciável de
corrente através de um destes capacitores.
7.6.1.3 Capacitores poliméricos
São fabricados com duas fitas finas de plástico metalizadas numa das faces, deixando, porém, um
trecho descoberto ao longo de um dos bordos, o inferior em uma das tiras, e o superior na outra. As
duas tiras são enroladas uma sobre a outra, e nas bases do cilindro são fixados os terminais, de modo
que ficam em contato apenas com as partes metalizadas das tiras. O conjunto é recoberto por um
revestimento isolante.
Estes capacitores são empregados em baixa e média frequência e como capacitores de filtro e, às vezes,
em alta frequência. Têm a vantagem de atingir capacitâncias relativamente elevadas em tensões
máximas que chegam a alcançar os 1000 V. Por outro lado, se ocorrer uma perfuração no dielétrico
por excesso de tensão, o metal se evapora na área vizinhaà perfuração sem que se produza um
curto-circuito, evitando assim a destruição do componente.
7.6.1.4 Capacitores Stiroflex
É o primeiro capacitor a utilizar o plástico como dielétrico, neste caso o poliestireno. Este material
apresenta a constante dielétrica mais baixa entre os plásticos e não sofre influência das frequências
altas.
114 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
Do mesmo modo dos anteriores são enroladas folhas de poliestireno entre folhas de alumínio. As
principais vantagens deste tipo de capacitor são: o reduzido fator de perda, alta precisão, tolerância
baixa (em torno de 0,25 %), tensões de trabalho entre 30 e 600 V.
7.6.1.5 Capacitores de poliéster
Estes componentes foram criados para substituir os capacitores de papel, tendo como principais van-
tagens sobre os constituídos de papel: maior resistência mecânica, não é um material higroscópico,
suporta ampla margem de temperatura (-50 °C a 150 °C) com grande rigidez dielétrica. Por apresentar
variações de sua capacitância com a frequência, não são recomendados para aplicação em dispositivos
que operem em frequências superiores a MHz.
Os valores típicos são de 2pF a 10 µF com tensões entre 30 e 1000 V.
7.6.1.6 Capacitores cerâmicos
Geralmente são constituídos de um suporte tubular de cerâmica, em cujas superfícies interna e externa
são depositadas finas camadas de prata às quais são ligados os terminais através de um cabo soldado
sobre o tubo. Às vezes, os terminais são enrolados diretamente sobre o tubo.
O emprego deste tipo de componente varia dos circuitos de alta frequência, com modelos compensados
termicamente e com baixa tolerância, aos de baixa frequência, como capacitores de acoplamento e de
filtro. Além dos tubulares, podem ser encontrados capacitores na forma de disco e de placa quebrada
ou retangular.
São os mais próximos aos capacitores ideais, pois apresentam:
• Indutância parasitária praticamente nula
• Fator de potência nulo
• Alta constante dielétrica
• Capacitâncias entre frações de pF a 1 nF
• Ideais para circuitos sintonizadores.
7.6.1.7 Capacitores eletrolíticos
São aqueles que, com as mesmas dimensões, atingem maiores capacitâncias. São formados por uma
tira metal recoberta por uma camada de óxido que atua como um dielétrico; sobre a camada de óxido
é colocada uma tira de papel impregnado com um líquido condutor chamado eletrólito, ao qual se
sobrepõe uma segunda lâmina de alumínio em contato elétrico com o papel.
Os capacitores eletrolíticos são, utilizados em circuitos em que ocorrem tensões contínuas, sobrepostas
a tensões alternadas menores, onde funcionam apenas como capacitores de filtro para retificadores, de
acoplamento para bloqueio de tensões contínuas, etc.
7.6.1.8 “Trimmers” e “Padders”
São capacitores variáveis com pequenas dimensões normalmente utilizados em rádios portáteis e em
diversos dispositivos eletrônicos. Tem capacitâncias máximas em torno de 500 pF. São utilizados
principalmente para o ajuste do valor correto da capacitância total de um circuito. O ajuste pode ser
obtido :
7.7. APLICAÇÕES E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 115
• Variando a superfície das placas
• Variando a distância entre as placas
• Variando o material do dielétrico.
Figura 7.6.2: Trimmers
7.7 Aplicações e exercícios resolvidos
7.7.1 Disco elétrico uniformemente polarizado
[Eletromagnetismo, Branislav M. Notaros, Pearson , pág.49]
Um disco dielétrico de raio a e espessura d está situado no espaço livre. O disco está uniformemente
polarizado em todo o seu volume, o vetor polarização é normal nas bases do disco e sua magnitude é
P. Encontre
(a) a distribuição de cargas ligados3 do disco e
(b) o vetor intensidade de campo elétrico no centro do disco.
7.7.1.1 Resolução
(a) se o disco está uniformemente polarizado,
∇ · ~P = 0
e não há carga volumétrica ligada no disco. Com as condições de interface no dielétrico:
ρSp∆S = −~P ·∆~S
ρSp = ~nd · ~P
3o mesmo que cargas de polarização
116 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
onde ~nd é o vetor unitário normal, orientado a partir do dielétrico para fora. Portanto as densidades
de carga ligada sobre as bases do disco superior e inferior são:
ρSp1 = ~nd1 · ~P = P
ρSp2 = ~nd2 · ~P = −P
nas superfícies laterais é nulo.
(b) O campo elétrico devido ao disco polarizado é igual ao campo devido a duas lâminas circulares de
densidades de cargas rSp1 e rSp2. Usando a expressão o campo do disco fino carregado e o princípio
da superposição, e os resultados de (a)
~E =
−P
ε0
1− d
2
√
a2 +
(
d
2
)2
~az
Veja no fim deste capítulo o apêndice caso não se recorde do cálculo do disco carregado...
7.7.2 Modelo de uma junção PN
Denomina-se junção PN a estrutura fundamental dos componentes eletrônicos comumente denomi-
nados semicondutores, principalmente diodos e transistores. É formada pela junção metalúrgica de
dois cristais, geralmente silício (Si) e (atualmente menos comum) Germânio (Ge), de natureza P e N,
segundo sua composição a nível atômico. Estes dois tipos de cristais são obtidos ao se dopar cristais de
metal puro intencionalmente com impurezas, normalmente algum outro metal ou composto químico.
[Eletromagnetismo, Branislav M. Notaros, Pearson , pág.55,56]
Na figura a seguir, está esboçado uma junção PN entre dois semiespaços semicondutores, dopados tipo
P e tipo N, respectivamente. A distribuição volumétrica de carga no semicondutor pode ser estimada
pela seguinte função:
ρ (x) =

−ρ0ex/a, x < 0
0, x = 0
ρ0e
x/a, x > 0
onde r0 e a são constantes. Encontre:
(a) a intensidade do campo elétrico no semicondutor.
(b) o potencial elétrico no semicondutor, e
(c) a tensão entre as extremidades dos semicondutores, a partir da extremidade no lado tipo N até a
extremidade no lado tipo P da junção.
7.7.2.1 Resolução
(a) devido a simetria, a 1ª lei de Maxwell se reduz a
dEx
dx
=
ρ (x)
ε
Assim, temos de resolver essa equação diferencial de 1ª ordem em x.
7.7. APLICAÇÕES E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 117
Figura 7.7.1: Modelo de uma junção PN (a) densidade volumétrica de carga, (b) intensidade de campo
elétrico, e (c) potencial elétrico
resolvendo:
Ex =
1
ε
xˆ
x′=−∞
ρ
(
x′
)
dx′ + C
onde C é uma constante de integração, que representa o campo Ex no plano x → −∞. Do gráfico,
vemos que
∞ˆ
−∞
ρ
(
x′
)
dx′ = 0
o que significa que a carga total do semicondutor é zero. Logo, nenhum campo pode existir longe da
junção. Assim, Ex(x→ ∓∞) = 0 e portanto C = 0.
Integrando para os pontos de campo da região tipo P:
Ex = −ρ0
ε
xˆ
x′−∞
e
x′/adx′ = −ρ0
ε
e
x/a (−∞ < x ≤ 0)
118 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
Na região de tipo N:
Ex(x) =
ρ0
ε
− 0ˆ
−∞
e
x′/adx′ +
xˆ
0
e−
x′/adx′

Ex(x) = −ρ0a
ε
e
−x/a (0 < x <∞)
Na figura 9.7.1(b) é mostrada a intensidade de campo elétrico Ex(x) no semicondutor. Podemos ver
que o campo está orientado a partir da região dopada tipo N para a região dopada tipo P. Este campo
é chamado de campo integrado de uma junção PN, pois existe na junção, mesmo quando uma tensão
externa não é aplicada, como por exemplo quando os terminais do diodo PN não estão conectados a
uma fonte de tensão externa. No estado de equilíbrio estabelecido logo após a junção ser formada,
o campo integrado impede uma maior difusão de lacunas para as cargas a direita e elétrons para a
esquerda através da junção.
(b) Vamos adotar o ponto de referência para o potencial(<)no centro da junção, x = 0, de modo que
o potencial em pontos da região do tipo P seja:
V (x) =
<ˆ
P
~E · d~l =
0ˆ
x′=x
Ex(x
′)dx′
V (x) = −ρ0a
ε
0ˆ
x
e
x′/adx′
V (x) =
ρ0a
2
ε
(
e
x/a − 1
)
(−∞ < x ≤ 0)
Na região do tipo N
V (x) = −
xˆ
0
Ex(x
′)dx′ =
ρ0a
ε
xˆ0
e
−x′/adx′
V (x) =
ρ0a
2
ε
(
1− e−x/a
)
(0 < x <∞)
(c) A tensão entre as extremidades tipo N e do tipo P:
V (x→∞)− V (x→ −∞) = 2ρ0a
2
ε
Esta tensão é denominada tensão integrada de uma junção PN (diodo).
7.7.3 Capacitor esférico
Um condensador esférico é formado por duas superfícies condutoras esféricas, concêntricas de raios
a e b, carregadas com cargas iguais e opostas +Q e –Q, respectivamente. Vamos determinar a sua
capacitância.
7.7. APLICAÇÕES E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 119
Figura 7.7.2: Esquema de um capacitor esférico
É fácil ver utilizando a lei de Gauss que:
E(r) =
Q
4piεr2
(a < r < b)
Assim,
V =
bˆ
a
E(r)dr =
Q
4piε
(
1
a
− 1
b
)
Portanto:
C =
Q
V
=
4piεab
b− a
7.7.4 Cabo coaxial
Cabo coaxial ou coax em inglês, é um cabo elétrico com um condutor interno cercado por uma camada
isolante tubular flexível, com um condutor tubular externo e uma capa isolante externa. O termo cabo
coaxial vem do condutor interno e da blindagem exterior que compartilham o mesmo eixo geométrico,
tendo sido inventado pelo engenheiro e matemático Inglês Oliver Heaviside, que patenteou o projeto
em 1880.
O cabo coaxial é utilizado como uma linha de transmissão de sinais de radiofrequência. Suas aplicações
incluem a conexão entre transmissores e receptores de rádio com suas antenas, rede de computadores
(Internet), conexões e distribuição de sinais de televisão por cabo entre outras aplicações.
Uma vantagem do cabo coaxial sobre outros tipos de linha de transmissão de rádio, é que em um
cabo coaxial a propagação do campo eletromagnético, como um sinal, só acontece no espaço entre os
condutores interno e externo. Isso permite que os cabos coaxiais possam ser instalados próximos a
objetos metálicos, tais como calhas, sem perdas de energia que ocorrem em outros tipos de linhas de
transmissão e fornece também proteção do sinal de interferência eletromagnética externa. É também
chamado de capacitor cilíndrico
Figura 7.7.3: Cabo coaxial
120 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
Figura 7.7.4: Esquema de um cabo coaxial
O campo é facilmente calculado pela lei de Gauss, observando a simetria cilíndrica:
E(r) =
Q
2piεr
(a < r < b)
e o potencial:
V =
bˆ
a
E(r)dr =
Q
2piε
ln
(
b
a
)
Desse modo a capacitância é:
C =
Q
V
=
2piε
ln
(
b
a
)
e o campo elétrico também pode ser expresso por:
E(r) =
V
r ln
(
b
a
)
7.7.5 Capacitor de placas paralelas
Um capacitor típico, consiste de um par de placas paralelas de área A, separadas por uma distância
pequena. A distância deve ser pequena para evitar efeitos de borda, como vemos na figura a seguir.
Figura 7.7.5: Efeitos de borda num capacitor de placas paralelas
Com essa aproximação, é fácil determinar que a capacitância é
C = ε
A
d
onde A é a área da placa e d a distância entre elas.
7.8. ENERGIA EM CAPACITORES 121
Figura 7.7.6: Capacitor de placas paralelas ideal
7.8 Energia em capacitores
Considere um capacitor com capacitância C, com uma carga +q em uma placa e −q na outra. Movendo
um pequeno elemento de carga dq de uma placa para a outra contra a diferença de potencial V = q/C
necessita de um trabalho dW :
dW =
q
C
dq
Determinamos a energia armazenada em um capacitor integrando essa equação. Começando com um
capacitor descarregado (q = 0) e movendo carga de uma placa para a outra até que as placas tenham
carga +Q e -Q, necessita de um trabalho WE :
WE =
Qˆ
0
q
C
dq =
1
2
Q2
C
=
1
2
CV 2
122 CAPÍTULO 7. CONDUTORES, SEMICONDUTORES E DIELÉTRICOS
Capítulo 8
Magnetismo e magnetostática
8.1 Um pouco de História
Adaptado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Magnetismo
As observações de fenômenos magnéticos naturais são muito antigas. Entre elas relatam-se com
frequência as realizadas pelos gregos em uma região da Ásia conhecida por Magnésia, embora haja
indícios de que os chineses já conheciam o fenômeno há muito mais tempo.
Ainda no século VI a.C., Tales de Mileto, em uma de suas viagens, constatou que pequenas pedrinhas
tinham a capacidade de atrair tanto objetos de ferro quanto a de atraírem-se. Tales foi o primeiro a
tentar explicar o fenômeno afirmando que a magnetita - o minério magnético presente no solo - seria
possuidor de uma espécie de "alma", e que esse poderia comunicar "vida" ao ferro inerte, que por sua
vez também adquiria o poder de atração.
Tales não teria sido contudo o primeiro a descobrir tal fenômeno na região. Conta a lenda que um
pastor de ovelhas, de nome Magnes, teria percebido que a ponta de ferro do seu cajado ficava presa
quando este o encostava em determinadas pedras - presumidamente a magnetita. Segundo alguns
autores, do nome da região derivou-se o termo "magnetismo", até hoje usado para estudar esses
fenômenos.
Contudo para outros o termo "magnetismo" advém do nome do pastor de ovelhas que teria constatado
o primeiro fenômeno "magnético" . Em vista do que se sabe hoje em dia a explicação de Tales de
Mileto pode parecer-nos muito simplória, contudo ressalva-se que não se deve julgar um pensamento
fora do contexto histórico-sócio-cultural o qual pertence.
Os chineses foram certamente os primeiros a encontrar aplicações práticas para o magnetismo. No
início da era cristã os adivinhos chineses já utilizavam um precursor da bússola, uma colher feita de
magnetita que, colocada em equilíbrio sobre um ponto de apoio central, podia mover-se livremente.
Tratava-se da "colher que apontava para o sul", sempre presente em seus rituais.
Esses fenômenos, contudo, não despertaram um maior interesse, pelo menos até os século XIII, quando
começaram a surgir observações e trabalhos mais aprimorados a respeito da eletricidade e do magne-
tismo. Delas decorreram de imediato a conclusão de que os fenômenos elétricos e magnéticos teriam
naturezas completamente distintas, ideia que perdurou até meados do século XIX aproximadamente.
Em 1269 Pierre de Maricourt1, em uma de suas cartas enviadas a um amigo, descreve com precisão
a maioria das experiências típicas associadas ao fenômeno e que ainda hoje figuram com abundância
1Pedro de Maricourt, também citado como Pierre Pèlerin de Maricourt (fr), Peter Peregrinus (en) e Petrus Peregrinus
de Maharncuria (la), foi um estudioso francês do século 13 que realizou experimentos sobre magnetismo e escreveu
o primeiro tratado existente sobre as propriedades dos ímãs. Seu trabalho se destaca ainda pela primeira descrição
detalhada de uma bússola. Datado de 8 de agosto de 1269, Pedro escreveu um trabalho chamado Epistola Petri Peregrini
de Maricourt ad Sygerum de Foucaucourt, militem, de magnete (Carta sobre o Magneto de Pedro Peregrino de Maricourt
123
124 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
em livros de ensino atuais.
A ele devemos as nomenclaturas "pólo norte" e "pólo sul" associadas aos pólos de um magneto e a lei
dos "opostos se atraem, iguais se repelem" diretamente associada aos mesmos.
Figura 8.1.1: Agulha de uma bússola, ilustração da Epistola do Magneto
Também observou que em um ímã, mesmo quando oriundo de fratura de outro, encontram-se presentes
sempre dois pólos opostos. Destacam-se seguindo-se a cronologia e dando continuidade ao trabalho
de Pierre de Maricourt, dois séculos mais tarde entretanto, os trabalhos do cientista inglês William
Gilbert2, esses resumidos em um livro publicado em 1600 que revelou-se um marco na área: o De
Magnete3.
Em paralelo ao fato de que a ciência em sua definição moderna vinha à luz no exato período em
questão (William fora contemporâneo de Galileu Galilei) pode considerar-se esse livro como um dos
primeiros trabalhos em moldes científicos sobre o assunto, um clássico da literatura científica. O livro
tem praticamente todos os conhecimentos produzidos até a época, pouco acrescendo-seaos mesmos
até o início do século XIX.
Gilbert fora capaz inclusive de explicar o comportamento da bússola, propondo que a terra comportava-
se como um ímã de dimensões gigantescas. Conclusões mais sofisticadas, como a descoberta de que o
aquecimento de um ímã fá-lo perder suas propriedades magnéticas e a verificação de que a magnetização
e desmagnetização não implicam alteração no peso do objeto também estavam presentes.
para Sygerus de Foucaucourt, Militar), chamada simplesmente Epístola do Magneto. Você poder uma cópia em pdf em:
http://ia700500.us.archive.org/17/items/letterofpetrusp00pieriala/letterofpetrusp00pieriala.pdf
As experiências e instrumentos apresentados na carta aparentemente datam de vinte anos antes, como mostram
referências em vários trabalhos de Roger Bacon. A carta é endereçada a Suggerius (Syger, Sygerius), cavalheiro de
Foucaucourt, amigo e vizinho do autor. As vilas de Marincout e Foucaucourt estão situadas no departamento do
Somme, perto de Péronne.
2William Gilbert (ou William Gylberde) (Colchester, 24 de Maio de 1544 - Londres, 10 de Dezembro de 1603) foi
um físico e médico inglês de Elizabeth I e James I e pesquisador no campos do magnetismo e eletricidade. Estudou na
Faculdade Saint John’s, Universidade de Cambridge. Iniciou a prática da medicina em Londres em 1573 e em 1601 foi
nomeado médico de Elizabeth I, rainha da Inglaterra. O principal trabalho de Gilbert foi De Magnete, Magneticisque
Corporibus, et de Magno Magnete Tellure (Sobre os ímãs, os corpos magnéticos e o grande imã terrestre) publicado
em 1600. Em seu trabalho descreve diversas de suas experiências com seu modelo de terra chamado terrella. Das
experiências, ele conclui que a Terra era magnética e esse era o motivo pelo qual as bússolas apontam para o norte
(anteriormente, era se dito que isto se devia a estrela polar ou as grandes ilhas magnéticas no pólo norte que atraiam a
bússola). Em seu livro, ele também estudou eletricidade estática usando âmbar; em grego, âmbar é chamado elektron,
então, Gilbert decidiu chamar isso de eletricidade. Ele foi o primeiro a usar os termos de força elétrica, atração elétrica,
e pólo magnético. Ele também foi o primeiro intérprete na Inglaterra da mecânica celestial copérnica, e postulou que
estrelas fixas não estão todas a mesma distância da Terra. Morreu de peste bubônica,em Londres.
3O livro foi escrito originalmente em latim. Pode fazer o download deste livro em pdf em inglês de:
http://www.lancs.ac.uk/fass/projects/gilbert/docs/onloadstonemagne00gilbuoft.pdf
8.2. CAMPO MAGNÉTICO 125
O livro não encerrava apenas estudos sobre magnetismo; também abordava vários dos tópicos con-
temporâneos ligados ao estudo da eletricidade. Os avanços seguintes na área do magnetismo só foram
possíveis graças a um significativo avanço ocorrido na área da eletricidade: a invenção da pilha por
Alexandro Volta. A existência de uma fonte de energia elétrica - de corrente elétrica - duradoura
mostrar-se-ia essencial para que o dinamarquês Hans Christian Ørsted pudesse estabelecer de forma
sólida em 1820, durante uma aula e não nos confinamentos de um laboratório de pesquisa, algo do qual
já se suspeitava há muito: que os fenômenos elétricos e magnéticos guardam íntima relação. A expe-
riência de Ørsted entrou para a física ao evidenciar que as correntes elétricas provocam efeitos
magnéticos em sua vizinhança, sendo estas capazes de interferir na orientação de bússolas em suas
proximidades. O passo seguintes no avanço do magnetismo em direção ao eletromagnetismo foi dado
pelo inglês Michael Faraday e concomitantemente pelo estadunidense Joseph Henry: a descoberta da
indução magnética. Trata-se tão somente da resposta experimental afirmativa para uma questão dire-
tamente decorrente da experiência de Ørsted: se eletricidade é capaz de produzir fenômeno magnético,
é o inverso também verdade? Devido aos exaustivos estudos realizados por Faraday em detrimento
de uma devoção menor por parte de Henry ao assunto - decorrente da sua indisponibilidade de tempo
por razões profissionais - historicamente credita-se à Faraday e não a Henry os louros da descoberta.
A Faraday também credita-se o conceito de campo, conceito este imediatamente estendido tanto ao
estudo da eletricidade quanto ao do magnetismo e que mostrar-se-ia essencial à síntese realizada por
James Clerk Maxwell.
Em tal contexto as contribuições de Heirinch Friedrich Emil Lenz (a lei de Lenz); de Wilhelm Eduard
Weber, homenageado ao estabelecer-se a unidade S.I. para a grandeza fluxo magnético (o weber),
sendo quem primeiro obteve a partir de experimentos relacionados ao eletromagnetismo o valor expe-
rimental de uma constante, c = 3,0 x 108 m/s, imediatamente reconhecida como análoga ao valor da
velocidade da luz no vácuo; dois matemáticos Franz Ernst Neumann (lei de Faraday-Neumann-Lenz),
Carl Friedrich Gauss (lei de Gauss) e demais; não podem deixar de ser mencionadas.
Maxwell, com suas famosas quatro equações - as Equações de Maxwell - conseguiu explicar não apenas
todo o conhecimento empírico sob o domínio do magnetismo quando sob domínio da eletricidade - e
comuns - conhecidos até a sua época como também conseguiu estabelecer bases teóricas sólidas quanto
à existência das ondas eletromagnéticas, o que ao fim da história abriu, junto os trabalhos de Weber,
Hertz e outros, o caminho para a integração da ótica ao agora chamado eletromagnetismo.
8.2 Campo magnético
Campos magnéticos cercam materiais e correntes elétricas e são detectados pela força que exercem
sobre outros materiais magnéticos e cargas elétricas em movimento. O campo magnético surge devido
ao movimento relativo entre o observador e a carga, isto é, num determinado sistema de referência
podemos presenciar um efeito magnético, enquanto que em outro referencial, o mesmo efeito pode ser
puramente eletrostático. Estranho não?
O campo magnético, no sistema internacional de unidades é representado por ~B e sua unidade é o
Tesla . O campo ~B, é também conhecido como indução magnética, ou densidade de fluxo magnético.
Uma unidade bastante utilizada é o gauss, do sistema CGS, cuja relação com o Tesla é: 1 T = 104
Gauss. Essa unidade é utilizada nos instrumentos que medem o campo magnético, daí o nome do
instrumento ser Gaussímetro.
126 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
Figura 8.2.1: Gaussímetro Digital GU-3001 da empresa Lutron. Realiza medições de campos magné-
ticos em CC e CA.
O campo B possui duas origens:
• correntes livres,
• correntes ligadas.
A fonte de correntes livres é o que chamaremos de campo magnético ~H, e as correntes ligadas estão
associadas à magnetização dos dipolos ~M , de tal forma que :
~B= µ0 ( ~H + ~M)
Onde: µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo (H/m) µ0 = 4pi ×10−7 H/m. Os campos ~H e ~M se
medem em Ampère/metro (A/m)
Apesar de serem grandezas análogas em função das equações, ~D e ~B não são equivalentes na maneira
como atuam. Na eletrostática, a grandeza fundamental é ~E, visto que é ele que determina as relações
de força ~F = q ~E. Enquanto isso, as relações de força na magnetostática são dadas em função de ~B
como veremos adiante. Portanto, ~B na magnetostática é ”análogo” a ~E na eletrostática.
Em um dielétrico, por exemplo, enquanto a componente normal de ~D é a mesma interna e externa-
mente, a componente normal de ~E é menor no interior do dielétrico, devido às cargas de polarização.
Desse modo, uma carga de teste fica sujeita a uma força menor no interior do dielétrico em relação à
força a que ficaria sujeita no lado externo.
Figura 8.2.2: Campo elétrico no interior de um dielétrico
8.3. FORÇA MAGNÉTICA 127
8.3 Força magnética
Já falamos rápidamente da força de Lorentz. Foi através das experiências de Ampère e Biot-Savart,
que se chegou a expressão que descreve o vetor ~B em termos de magnitude e direção de uma fonte de
corrente, da distância da fonte de corrente elétrica ea permeabilidade do meio:
d ~B =
µ0Id~l × ~ar
4pir2
Figura 8.3.1: Lei de Biot-Savart
ou
d ~B =
µ0Id~l × (~r − ~r′)
4pi(~r − ~r′)3
8.3.1 Exemplos de aplicação
- Determinação do campo magnético de um condutor filamentar de comprimento infinito conduzindo
corrente.
Figura 8.3.2: Condutor filamentar de comprimento infinito conduzindo corrente
Como vemos na figura, queremos determinar o campo no ponto 2 que colocamos no plano z = 0 e
vamos usar coordenadas cilíndricas. Não existe variação com z, ou com φ. Portanto, ~r = ρ ~aρ. O
integral que temos de calcular será então:
~B =
µ0
4pi
+∞ˆ
−∞
Id~l × (~r − ~r′)
(~r − ~r′)3
desenvolvendo:
128 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
~B =
µ0
4pi
+∞ˆ
−∞
Idz~az × (ρ~aρ − z~az)
(ρ2 + z2)3/2
~B =
µ0I
4pi
+∞ˆ
−∞
ρdz~aφ
(ρ2 + z2)3/2
~B =
µ0Iρ~aφ
4pi
+∞ˆ
−∞
dz
(ρ2 + z2)3/2
~B =
µ0Iρ~aφ
4pi
[
z
ρ2
√
ρ2 + z2
]+∞
−∞
~B =
µ0I
2piρ
~aφ
- Força entre dois fios infinitos paralelos
Sejam dois fios condutores paralelos retos e infinitos percorridos pelas correntes elétricas I1 e I2.
Figura 8.3.3: Fios paralelos infinitos
A corrente I1 gera um campo ~B1 no fio com a corrente I2, de modo que sobre um segmento de
comprimento L desse fio existe uma força ~F2, e a corrente I2 gera um campo ~B2 no fio com a corrente
I1 , de modo que sobre um segmento de comprimento L desse fio existe uma força ~F1. Essas duas
forças têm a mesma direção, contida no plano dos fios e perpendicular a eles, e também o mesmo
módulo:
F1 = I1LB2 e F2 = I2LB1
utilizando o resultado anterior:
B1 =
µ0I1
2piρ
e B2 =
µ0I2
2piρ
de modo que:
F1 = F2 =
µ0I1I1L
2piρ
Assim, essas forças ~F1 e ~F2 constituem um par ação-reação, no sentido da terceira lei de Newton. Se
as duas correntes elétricas têm o mesmo sentido, as forças atuam no sentido de aproximar os fios, e
se as correntes elétricas têm sentidos opostos, as forças atuam no sentido de afastar os fios.
8.4. CIRCUITOS MAGNÉTICOS 129
8.4 Circuitos magnéticos
Em engenharia, a solução completa e detalhada dos campos magnéticos da maioria das aplicações de
interesse prático envolve a solução das equações de Maxwell, juntamente com várias relações consti-
tutivas que descrevem as propriedades dos materiais. Embora, na prática, soluções exatas não sejam
frequentemente alcançáveis, diversas suposições simplificadoras permitem obter soluções úteis em en-
genharia.
Circuitos magnéticos são caminhos estabelecidos para um fluxo magnético. Nas máquinas elétricas,
os condutores são percorridos por correntes que interagem com os campos magnéticos, resultando
na conversão eletromecânica de energia. Existe uma grande semelhança entre a análise dos circuitos
elétricos e magnéticos. Nesse tipo de circuito, as frequências e os tamanhos envolvidos são tais que
o termo da corrente de deslocamento das equações de Maxwell pode ser desprezado. Esse termo,
associado à radiação eletromagnética, é responsável pelos campos magnéticos que ocorrem no espaço
e são produzidos por campos elétricos variáveis no tempo. Desprezando esse termo, obtém-se a forma
magnética quase-estática das equações de Maxwell, relacionando os campos magnéticos às correntes
que os produzem as equações já conhecidas:
˛
Γ
~H · d~l =
ˆ
S
~J · d~S
˛
S
~B · d~S = 0
Um circuito magnético consiste em uma estrutura que, em sua maior parte, é composta por material
magnético de permeabilidade elevada. A presença de um material de alta permeabilidade tende a
fazer com que o fluxo magnético seja confinado aos caminhos delimitados pela estrutura, do mesmo
modo que, em um circuito elétrico, as correntes são confinadas aos condutores. O uso desse conceito
de circuito magnético será ilustrado nesta seção e, ao longo do livro, veremos como ele se aplica muito
bem a diversas situações.
Um exemplo simples de um circuito magnético está mostrado na figura a 8.4.1. Assume-se que o núcleo
seja composto de material magnético cuja permeabilidade é muito maior que a do ar ( µ � µ0). O
núcleo tem seção reta uniforme e é excitado por um enrolamento de N espiras conduzindo uma corrente
de I ampères. Esse enrolamento produz um campo magnético no núcleo, como mostrado na figura.
Figura 8.4.1: Um circuito magnético simples
Devido à alta permeabilidade do núcleo magnético, uma solução exata mostraria que o fluxo magnético
está confinado quase que inteiramente ao núcleo. Mostraria também que as linhas de campo seguem
o caminho definido pelo núcleo, e que basicamente a densidade de fluxo é uniforme em uma seção reta
qualquer, porque a área desta é uniforme. O campo magnético pode ser visualizado em termos de
linhas de fluxo formando laços fechados interligados com o enrolamento.
130 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
A fonte do campo magnético do núcleo é o produto NI, em ampères-espiras (A.e). Na terminologia
dos circuitos magnéticos, Ni é a força magnetomotriz (fmm) que atua no circuito magnético. Embora
a figura mostre apenas uma única bobina, os transformadores e a maioria das máquinas rotativas têm
no mínimo dois enrolamentos, e Ni deve ser substituído pela soma algébrica dos ampères-espiras de
todos os enrolamentos. O fluxo magnético Φ que atravessa uma superfície S é a integral de superfície
da componente normal de B:
Φ =
ˆ
S
~B · d~S
E como já dissemos, a unidade no SI é o weber (Wb). Entretanto a forma integral da segunda lei
de Maxwell, afirma que o fluxo magnético numa superfície fechada é nulo. Recordando o que já foi
explicado, isso equivale a dizer que qualquer fluxo que entrar em uma superfície que delimita um
volume deverá deixar esse volume passando por uma outra região dessa superfície porque as linhas de
fluxo magnético formam laços fechados.
Esses fatos podem ser usados para justificar a suposição de que a densidade de fluxo magnético é
uniforme em uma seção reta de um circuito magnético, como no núcleo da figura 10.4.1. Nesse caso,
a Equação acima reduz-se à equação escalar:
ΦC = BCAC
onde ΦC é a densidade de fluxo no núcleo, BC a densidade de campo magnético no núcleo e AC a área
da seção reta do núcleo.
A relação entre a fmm que atua em um circuito magnético e a intensidade de campo magnético no
circuito é
F = NI =
ˆ
~H · d~l
Sendo que, em geral, a queda de fmm ao longo de qualquer segmento de um circuito magnético pode
ser calculada como sendo
´
Hdl naquele trecho do circuito magnético.
Os transformadores são enrolados em núcleos fechados como o da figura 8.4.1, no entanto, os disposi-
tivos de conversão de energia que contêm um elemento móvel devem incluir entreferros de ar em seus
circuitos magnéticos. Um circuito magnético com um entreferro de ar está mostrado na figura 8.4.2.
Quando o comprimento do entreferro g (do inglês, gap) for muito menor do que as dimensões das faces
adjacentes do núcleo, o fluxo magnético Φ seguirá o caminho definido pelo núcleo e pelo entreferro.
Nesse caso, as técnicas de análise de circuitos magnéticos poderão ser usadas, como irá aprender em
outro curso. Quando o comprimento do entreferro torna-se excessivamente grande, observa- se que o
fluxo “dispersa-se” pelos lados do entreferro, e as técnicas de análise de circuitos magnéticos não são
mais estritamente aplicáveis.
Figura 8.4.2: Circuito magnético com entreferro
8.5. MATERIAIS MAGNÉTICOS 131
8.4.1 Magnetização
A origem do magnetismo está no movimento orbital e spin dos elétrons, cabendo ainda uma pequena
contribuição praticamente desprezível devido ao spin nuclear. Para alguns materiais, a soma das
contribuições de campo devido ao movimento orbital, spin eletrônico e spin nuclear resultam em
campo nulo e para outros, em campo não nulo, resultando em um dipolo magnético.
Vamos chamar de ~m o momento de dipolo de um átomo. Definiremos agora uma quantidade vetorial
macroscópica ~M .Tomemos um pequeno elemento de volume ∆v. Somando vetorialmente todos os
momentos de dipolo e dividindo o resultado por ∆v, obtemos:
~M = lim
∆v→0
1
∆v
N∑
i=1
~mi
(analogamente como fizemos com o momento de dipolo elétrico)
Para o vácuo, ~B = µ0 ~H . Levando em conta a magnetização dos materiais, essa relação muda para:
~B = µ0( ~H + ~M). Admitindo que ~M é proporcional à ~H, então podemos escrever: ~M = χm ~H onde
χm é denominada susceptibilidade magnética. Então: ~B = µ0 ~H(1 + χm), onde a quantidade entre
parêntesis é uma constante e vamos denominar por µR = 1 + χm . Assim temos: ~B = µ0µR ~H. Desta
forma podemos tornar a dependência de ~B com ~H dentro de um material, livre do termo ~M , através
de uma variável única, que chamaremos de permeabilidade do material, dada por µ = µ0µR e desta
forma:
~B = µ ~H
8.5 Materiais magnéticos
1- Diamagnéticos
Os materiais diamagnéticos apresentam dip0los somente sob a ação de um campo externo e sua
orientação se faz em sentido contrário ao campo indutor. Isto faz com que o campo resultante no
interior desse material seja inferior ao campo aplicado, o que equivale a dizer que a permeabilidade
relativa desse material é menor do que a unidade. Tem pequenos valores negativos de χ (ou seja, o
campo de magnetização opõe-se ao campo aplicado e desaparece quando de retira o campo aplicado)
O diamagnetismo está presente em todos os materiais, porém tal efeito é frequentemente mascarado
por um comportamento paramagnético ou ferromagnético mais intenso que pode ocorrer no material.
Por exemplo:
Bismuto: µR = 0,99999860
Prata: µR = 0,99999981
Exemplos de materiais diamagnéticos: Zn Cd Cu, Ag, Sn
2- Paramagnéticos
Os materiais paramagnéticos apresentam dipolos magnéticos porém com fraco momento de dipolo.
De qualquer maneira, isto faz com que sua permeabilidade relativa seja maior do que a unidade.Tem
pequenos valores positivos de χ (o campo de magnetização desaparece quando de retira o campo
aplicado).
Alumínio:µR = 1,00000065
Berílio: µR = 1,00000079
Exemplos de materiais paramagnéticos: Al, Ca, Pt, Ti
3 - Ferromagnéticos
132 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
Essa é a classe de materiais de maior interesse para a engenharia. Seu elevado momento de dipolo
faz com que nesse tipo de material, os dipolos se orientem espontaneamente em regiões denominadas
domínios magnéticos. Tem χelevada (>1) e o campo de magnetização mantém-se quando se remove
o campo aplicado.
Exemplos de materiais ferromagnéticos: Fe, o Ni e o Co
Figura 8.5.1: Domínios magnéticos e paredes de domínio
Numa amostra de material ferromagnético podemos ter os domínios orientados aleatoriamente, fazendo
com que o campo resultante no material seja nulo. Sob a ação de um campo ~H, os domínios vão se
orientando, dando origem ao campo de Magnetização ~M . A indução magnética ou campo ~B é a
resultante de ~H e ~M segundo a equação ~B = µ0( ~H + ~M) ou ~B = µ ~H
Nos domínios magnéticos:
- Os espaços de alinhamento unidirecional dos momentos magnéticos;
- Geralmente tem dimensões menores que 0,05 mm;
- Os contornos são identificáveis, similar aos grãos.
4 - Antiferromagnéticos
O antiferromagnetismo é o ordenamento magnético de todos os momentos magnéticos de uma amostra,
na mesma direção mas em sentido inverso, ou seja, os dipolos magnéticos alinham-se antipararlela-
mente. . Um antiferromagneto é o material que pode apresentar antiferromagnetismo. A intera-
ção antiferromagnética é a interação magnética que faz com que os momentos magnéticos tendam a
dispor-se na mesma direção e em sentido inverso, cancelando-os se têm o mesmo valor absoluto, ou
reduzindo-os se são distintos. Possuem χ = 0.
Exemplos de materiais antiferromagnéticos: Mn e Cr.
5 - Ferrimagnéticos
O alinhamento antiparalelo entre átomos adjacentes não conduz ao cancelamento do campo magnético
resultante ao nível microscópico. A aplicação de um campo magnético exterior imprime uma orien-
tação concordante entre as múltiplas contribuições individuais, conduzindo no conjunto a aumentos
significativos do campo magnético no interior do material. Os materiais desta classe são vulgarmente
designados por ferrites, encontrando-se entre as mais comuns as ferrites de níquel, cobalto, mangané-
sio, magnésio, etc. Apesar de em geral apresentarem permeabilidades relativas inferiores aos materiais
ferromagnéticos, as ferrites distinguem-se pela baixíssima condutividade eléctrica, que lhes permite
reduzir significativamente as perdas por efeito de Joule associadas às correntes parasitas de Foucault.
O ferrimagnetismo surge em alguns materiais cerâmicos em que os íons têm diferentes momentos
magnéticos, logo existe sempre um momento resultante.
Exemplos de materiais ferrimagnéticos: ferrites4, magnetites, em geral óxidos metálicos.
4Ferrite é um material feito de ferro com propriedades eletromagnéticas, normalmente utilizado como núcleo de
transformadores elétricos. A ferrite tem uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (ccc). É comum encontrar
este material dentro de rádios de ondas longas e ondas médias, onde funciona como uma espécie de antena, devido a suas
propriedades magnéticas. Este material é também muito utilizado nos cabeçotes de aparelhos eletrônicos de gravação e
reprodução de fitas magnéticas.
8.6. HISTERESE MAGNÉTICA 133
Quer o diamagnetismo quer o paramagnetismo são formas fracas de interação entre os sólidos e um
campo magnético aplicado. O diamagnetismo (χ < 0) é normalmente observado em sólidos cujos
átomos apresentam camadas eletrônicas totalmente preenchidas. O paramagnetismo (χ > 0) normal-
mente aparece associado a átomos com elétrons desemparelhados na última camada. O movimento
orbital dos elétrons resulta sempre numa contribuição diamagnética, enquanto que o spin pode resultar
numa contribuição paramagnética.
Os sólidos ferromagnéticos são aqueles que apresentam χ� 1. São materiais que apresentam uma forte
interação entre os dipolos magnéticos locais (domínios magnéticos) associados a spins desemparelhados
dos elétrons. Ou seja, os domínios magnéticos locais permanecem após a remoção do campo aplicado
daí resultando que o campo de magnetização permanece após a remoção do campo aplicado.
As flutuações de origem térmica tendem a desalinhar aleatoriamente estes domínios magnéticos, enfra-
quecendo a sua interação e, como tal os materiais ferromagnéticos só o são abaixo de uma determinada
temperatura crítica designada por Temperatura de Curie ou Ponto de Curie. Como consequência,
acima de uma determinada temperatura os condutores perdem suas propriedades magnéticas. Nesta
temperatura os materiais perdem suas propriedades ferromagnéticas. Esta transição é reversível atra-
vés do resfriamento do material. Esta temperatura crítica foi descoberta por Pierre Curie5 (por isso
tem esse nome), quando efetuava estudos sobre o estado cristalino. Do ponto de vista magnético, isso
implica que existe um valor máximo de ~M , designado por magnetização de saturação.
Os principais materiais ferromagnéticos à temperatura ambiente com aplicações em engenharia como
dissemos são:
•O Fe ( Tc = 1063 K)
•O Co (Tc = 1390 K)
•O Ni (Tc = 627 K)
Os metais de transição Dy, Gd, Tb, Ho também são ferromagnéticos à temperatura ambiente.
8.6 Histerese magnética
Histerese é a tendência de um material ou sistema de conservar suas propriedades na ausência de
um estímulo que as gerou. Podem-se encontrar diferentes manifestações desse fenômeno. A palavra
"histerese" deriva do grego antigo usvtèrhsvic, que significa ’retardo’, que foi atribuída ao fenômeno por
Sir James Alfred Ewing6 em 1890.
Quando um campo magnético é aplicado em um material ferromagnético e for aumentado até a
saturação e em seguida for diminuído, a densidade de fluxo B não diminui tão rapidamente quanto o
campo H. Dessa forma quando H chega a zero, ainda existe uma densidade de fluxoremanescente,
Br. Para que B chegue a zero, é necessário aplicar um campo negativo, chamado de força coercitiva
(embora não seja uma força) ou campo coercitivo. Se H continuar aumentando no sentido
negativo, o material é magnetizado com polaridade oposta. Desse modo, a magnetização inicialmente
será fácil, até quando se aproxima da saturação, passando a ser difícil. A redução do campo novamente
a zero deixa uma densidade de fluxo remanescente, −Br, e, para reduzir B a zero, deve-se aplicar um
campo coercitivo no sentido positivo. Aumentando-se mais ainda o campo, o material fica novamente
saturado, com a polaridade inicial. Esse fenômeno que causa o atraso entre densidade de fluxo e campo
5Pierre Curie (Paris, 15 de maio de 1859 - Paris, 19 de abril de 1906) foi um físico francês, pioneiro no estudo da
cristalografia, magnetismo, piezoeletricidade e radioatividade. Recebeu o Nobel de Física de 1903, juntamente com a
sua mulher Marie Curie, outra famosa física: "em reconhecimento pelos extraordinários serviços que ambos prestaram
através da suas pesquisas conjuntas sobre os fenômenos da radiação descobertos pelo professor Henri Becquerel".
6Sir James Alfred Ewing (Dundee, 27 de março de 1855 -7 de janeiro de 1935) foi um físico e engenheiro escocês.
Conhecido por seu trabalho sobre as propriedades magnéticas dos metais e, em particular, por sua descoberta da histerese.
134 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
magnético é chamado de histerese magnética, enquanto que o ciclo traçado pela curva de magnetização
é chamado de ciclo de histerese.
Figura 8.6.1: Uma família de curvas de histerese medida com uma densidade de fluxo modulada
sinusoidalmente com frequência de 50 Hz e campo magnético variável de 0,3 T a 1,7 T. B = Densidade
de fluxo magnético, H = Campo magnético, BR = campo remanescente, HC = campo coercitivo
Quanto maior é a área do ciclo de histerese de magnetização mais “duro magneticamente” é o mate-
rial. Os materiais magneticamente macios utilizam-se sobretudo em aplicações onde existam campos
magnéticos alternados e as perdas de energia devem ser minimizadas. Os materiais magneticamente
duros utilizam-se em ímanes permanentes.
Aplicações:
- Ímanes permanentes (materiais magneticamente duros): campainhas, altifalantes, relês, rotores em
motores eléctricos, etc.
- Transformadores: o material está sujeito a campos magnéticos e eléctricos alternados: deve ser
magneticamente macio.
- Armazenamento de informação magnética. Os dois principais requisitos que um material deve ter
para poder ser utilizado como “armazém” de informação magnética é ter um elevado Br e um pequeno
Hc. Porquê? Para poder reter a magnetização quando o campo aplicado é retirado (elevado Br), e
para poder ser magnetizado e desmagnetizado (limpo, reformatado) com facilidade (pequeno Hc).
Figura 8.6.2: Imagem por microscopia de força atômica de uma fita de cassete de vídeo (Cr2O4). A
espessura dos domínios magnéticos é de cerca de 400 nm, ou seja 4×10−7m, ou seja 40 milhões de
caracteres por metro...
8.7. O ÍMÃ DE NEODÍMIO 135
8.7 O Ímã de neodímio
Um ímã de neodímio (também chamado de ímã de neodímio-ferro-boro, ou menos especificamente
de imã de terras raras) é um poderoso imã feito a partir de uma combinação de neodímio, ferro e
boro - Nd2Fe14B. Esses imãs são muito poderosos em comparação a sua massa, mas também são
mecanicamente frágeis e perdem seu magnetismo de modo irreversível em temperaturas acima de 120
°C. Devido ao seu custo mais baixo, eles têm substituído os imãs de samário-cobalto7 na maioria das
aplicações, que são ligeiramente mais fracos e bem mais resistentes a temperatura. Sua intensidade
pode ser medida pelo seu produto energético máximo, em megagauss-oersteds (MGOe) (1 MG·Oe =
7,957 kJ/m³). Essa intensidade varia de 12 a 15, nos ímãs aglomerados de neodímio (bonded magnets)
e de 24 a 54 nos ímãs sinterizados. Há um constante trabalho para aumentar essa energia até que um
limite de cerca de 60 será alcançado. Um ímã com produto energético de 48 MGOe tem um campo
magnético remanente de 1,38 teslas e campo coercitivo (Hc) de 13.000 oersteds (1.0 MA/m).
Para alcançar a mesma força do imã de neodímio usando imãs de cerâmica é necessário um volume
18 vezes maior do material comparado ao de neodímio. Usados em muitos tipos de motores elétricos
e discos rígidos, os ímãs de Nd2Fe14B são também muito populares com curiosos. Um pequeno imã
pode possuir propriedades incríveis. Por exemplo, ao se aproximar de um material não magnético
condutor de eletricidade, ele exibe uma "freagem" graças a correntes elétricas que são induzidas no
condutor. Uma excelente demonstração desse efeito pode ser realizada ao se deixar cair um imã de
Nd no interior de um cano de cobre. O imã irá cair através do cano muito mais devagar do que seria
o normal. Um imã médio interage forte o suficiente com o campo magnético terrestre para que ele se
alinhe aos pólos magnéticos, como uma bússola. Imãs cilíndricos e em formato de disco em especial
reagem ainda melhor. Imãs de Nd são usados em quase todos os fones de ouvido produzidos.
Deve-se tomar vários cuidados quando se usa um imã de neodímio. Mesmo um pequeno imã é
capaz de destruir o conteúdo de um Disco Rígido (HD), de um disquete, entre outras
mídias magnéticas, de modo que as informações fiquem irrecuperáveis. Esses imãs são
normalmente fortes o suficiente não apenas para magnetizar as cores de televisores e monitores a base
de CRT, mas também para deformar fisicamente partes do monitor. Esse tipo de dano é tipicamente
irreparável desmagnetizando-o apenas via sua configuração. Esses imãs devem sempre ser manipulados
cuidadosamente. Alguns imãs que são ligeiramente maiores que uma moeda de 25 centavos (antiga)
são fortes o suficiente para sustentar mais de 10 kg. São perigosos, sendo capazes de prensar a pele
ou dedos quando atraídos por um objeto magnético.
Por serem feitos de "pós" e folheações, os imãs são muito frágeis e podem quebrar em temperaturas
superiores a 80 °C (ao passar de 80°C ele é sujeito a perder sua força magnética), ou se sujeitos a
impactos com outro imã. Quando eles quebram, pode ser de maneira tão rápida que pedaços podem
voar e causar danos aos olhos. Imãs desse tipo devem ser mantidos longe de aplicações
elétricas, cartões magnéticos e monitores, pois o dano nesses pode ser irreparável.
7Os imãs de Samário-Cobalto (SmCo) foram desenvolvidos em 1960, como resultado da pesquisa de novos materiais
magnéticos baseados em ligas de Fe, Co, Ni e Terras Raras. São produzidos prensando-se as ligas pulverizadas, no
formato final. Posteriormente são sinterizados a altas temperaturas. Apesar das excelentes propriedades magnéticas
e resistência ás temperaturas (até 250 ºC), o alto custo pode limitar suas aplicações. Possuem razoável resistência à
corrosão e não necessitam de revestimentos particulares. Devido à sua elevada fragilidade, devem ser manuseados c/
cuidado. Max. Temperatura de trabalho: 250 ºC Exemplos de aplicações: micro-motores, sensores para automóveis.
136 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
Figura 8.7.1: Ímãs de neodímio como o da figura acima têm uma cor prateada brilhante, devido a uma
camada de tratamento superficial niquelada que tem por objetivo proteger o material contra oxidação.
Mesmo neste tamanho, têm uma força magnética considerável.
8.7. O ÍMÃ DE NEODÍMIO 137
8.7.1 Curvas de magnetização
Figura 8.7.2: (Extraída do livro ELETROMAGNETISMO, J. A.Edminister, pág. 164,
Figura 8.7.3: Extraída do livro ELETROMAGNETISMO, J. A.Edminister, pág. 165)
\r
Figura 8.7.4: Curvas de desmagnetização para alguns ímãs permanentes. Extraídas do Livro Circuitos
Magnéticos y Transformadores – MIT Staff, pg. 97
138 CAPÍTULO 8. MAGNETISMO E MAGNETOSTÁTICA
Capítulo 9
Exercícios Gerais
1 -Identifique as grandezas a seguir como escalares ou vetoriais:
(a) peso;
(b) temperatura;
(c)massa;
(d) aceleração;
(e) velocidade;
(f) energia;
(g) potência;
(h) campo elétrico;
(i) área;
(j) volume.
Os exercícios a seguir são do livro: Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku,
Bookman , que é o nosso livro texto principal.
2 - (pág. 50, exercício prático 2.1)
(a) converta os pontos P(1,3,5), T (0,-4,3) e S (-3,-4,-10) do sistema cartesiano paras os sistemas de
coordenadas cilíndrico e esférico;
(b) Transforme o vetor
~Q =
√
x2 + y2√
x2 + y2 + z2
~ax − yz√
x2 + y2 + z2
~az
para coordenadas cilíndricas;
(c) Determine ~Q no ponto T nos sistemas de coordenadas cartesiano e cilíndrico.
Respostas:
(a)
P cilindr(3,162;71,56º,5), Pesfer(5,916;32,31º;71,56º);
T cilindr(4;270º,3), T esfer(5;53,13º;270º);
S cilindr(5;233,1º,-10), S esfer(11,18;153,43º;233,1º);
(b)
~Qcilind =
ρ√
ρ2 + z2
(cos(φ)~aρ − sen(φ)~aφ − zsen (φ)~az)
(c)
139
140 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
0, 8~ax + 2, 4~az
0, 8~aφ + 2, 4~az
3 - (pág.57 questões de revisão 2.2) Para o ponto cartesiano (-3,4,-1), qual das alternativas a seguir é
incorreta?
(a)ρ= -5;
(b) r =
√
26;
(c)θ = tg−1
(
5
−1
)
;
(d)φ = tg−1
(
4
−3
)
.
Resposta (a)
4- (pág.58 questões de revisão 2.10) Uma fatia é descrita por z = 0, 30º<φ<60 º. Qual das seguintes
alternativas é incorreta?
(a) a fatia está no plano x-y ;
(b) é finita;
(c) sobre a fatia, 0 <ρ< ∞;
(d) uma normal unitária à fatia é ± ~az;
(e) a fatia não inclui nem o eixo x nem o eixo y.
Resposta (b)
5 - (pág.98 problemas 3.1) Utilizando o comprimento diferencial dl, determine o comprimento de cada
uma das seguintes curvas:
(a) ρ= 3, pi4<φ<
pi
2 , z = constante
(b) r = 1, θ= 30º, 0 < φ< 60º
(c) r = 4, 30º< θ< 90º, φ= constante
6 - (pág.98 problemas 3.2) Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área do elemento
diferencial dS:
(a) ρ= 2, 0 < z < 5, pi3<φ<
pi
2
(b) z = 1, 1 <ρ <3, 0<φ<pi4
7 - (pág.98 problemas 3.3) Utilize o volume diferencial dV para determinar os volumes das seguintes
regiões:
(a) 0 < x < 1, 1 < y < 2, -3 < z < 3
(b) 2 < ρ< 5, pi3<φ<pi, -1 < z < 4
(c) 1 < r < 3, pi2 < θ <
2pi
3 ,
pi
6 < φ <
pi
2
8 - (pág.98 problemas 3.5) Dado que ρS = x2 + xy, calcule
ˆ
S
ρSds
sobre a região y ≤ x2, 0 < x < 1.
9 - Dado que ~H = x2 ~ax + y2 ~ay, calcule ˆ
L
~H·d~l
considere L ao longo da curva y = x2 de (0,0) a (1,1).
141
10 - (pág.98 problemas 3.29) Calcule o laplaciano dos seguintes campos escalares e calcule seu valor
nos pontos indicados:
(a) U = x3y2exz, (1,1,1)
(b) V = ρ2z (cos(φ) + sen(φ)) ,(5, pi6 ,−2)
(c) W = e−rsen(θ)cos(φ), (1, pi3 ,
pi
6 )
Laplaciano em coordenadas cilíndricas:
∇2V = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂V
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
Laplaciano em coordenadas esféricas:
∇2V = 1
r2
∂
∂r
(
r2 ∂V∂r
)
+ 1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ ∂V∂θ
)
+ 1
r2sin2θ
∂2V
∂φ2
11 - Seja ~D = 2ρz2~aρ + ρcos2 (φ)~az. Calcule:
(a) ˛
S
~D·~dS
(b) ˆ
V
∇· ~DdV
na região definida por 0 ≤ ρ ≤ 5,−1 ≤ z ≤ 1, 0 < φ < 2pi
12 - Dada uma carga pontual de 40µC posicionada na origem , calcule o fluxo elétrico total que passa
por uma porção de uma esfera de r = 12 cm limitada por
0 < θ < pi
0 < φ < pi2
13 - Dado o campo elétrico
~E = 4x2~aρ + 6y
2~ay + 2z~azV/m
determine o potencial elétrico entre os pontos A(-4,5,6) e B(2,2,2).
14 - Uma placa de material dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 4 e contém uma
densidade de fluxo elétrico uniforme de 12,0 nC/m2. Se o material não tem perdas, calcule:
(a)
∣∣∣ ~E∣∣∣
(b) χe
15 - Um material magnético tem constante de permissividade magnética relativa de 500 e lhe é aplicado
um campo ~H = 2000~axA/m. Determine:
(a) ~B
(b) χm
16 - A condutividade do Alumínio é 60% da condutividade do cobre. Considere um cabo de 20 mm
de diâmetro e de comprimento 200 m.
(a) Determine sua resistência;
(b) Determine a intensidade de corrente elétrica quando submetido a uma tensão de 2000 V;
(c) Determine a densidade superficial de corrente;
142 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
(d) Determine a potência dissipada pelo cabo.
17 - Como se classificam os transformadores:
17.1 - Quanto a finalidade?
17.2 - Quanto ao tipo?
17.3 - Quanto ao material do núcleo?
17.4 - Quanto ao número de fases?
17.5 - Qual a função de um transformador de potência?
18 - Leia o texto a seguir:
Corrente de Foucault (Jean Bernard Léon Foucault1)
”Estudamos a indução eletromagnética que se processa num condutor em forma de fio, colocado num
campo magnético, mas também existe indução eletromagnética num bloco metálico sujeito a fluxo
magnético variável. Suponhamos, por exemplo, que um bloco de ferro seja colocado com a face plana
ABCD perpendicular a um campo magnético variável. Sendo S a área dessa face, ela é atravessada
por um fluxo Φ =
∣∣∣ ~B∣∣∣S . Se o campo for variável, então o fluxo Φ será variável. Neste caso, o bloco
de ferro sofrerá indução eletromagnética e aparecerão nele correntes elétricas induzidas circulares,
situadas em planos perpendiculares à indução magnética ~B, isto é, planos paralelos a ABCD.
Figura 9.0.1: Correntes de Foucault
1Jean Bernard Léon Foucault (Paris, 18 de setembro de 1819 - Paris, 11 de fevereiro de 1868) foi um físico e astrônomo
francês. É mais conhecido pela invenção do pêndulo de Foucault, um dispositivo que demonstra o efeito da rotação da
Terra. Ele também fez uma medição inicial da velocidade da luz, descobriu as correntes de Foucault e, embora não o
tenha inventado, é creditado por nomear o giroscópio. A cratera Foucault sobre a Lua e o asteróide 5668 Foucault são
assim chamados em sua homenagem.
Em 1850, Foucault fez um experimento com o aparelho de Fizeau-Foucault para medir a velocidade da luz, que veio
a ser conhecida com o experimento de Foucault-Fizeau. Tal experimento foi visto como "o último prego no caixão" na
teoria corpuscular da luz, de Newton, pois mostrou que a luz viaja mais lentamente na água que no ar. Em 1851, ele fez
a primeira demonstração experimental da rotação da Terra em torno seu eixo (ver Rotação da Terra). O experimento foi
feito por meio da rotação do plano de oscilação de um pêndulo longo e pesado suspenso livremente, no Panteão de Paris.
A experiência causou sensação em todas as teorias vigentes. No ano seguinte, utilizou (e nomeou) o giroscópio como
a comprovação experimental conceitualmente mais simples. Em 1855, recebeu a Medalha Copley da Royal Society por
"notáveis pesquisas experimentais" Pouco antes, no mesmo ano, foi nomeado physicien (físico) do Observatório Imperial
de Paris. Em setembro de 1855, descobriu que a força necessária para a rotação de um disco de cobre aumenta quando
o disco gira com sua borda entre os pólos de um ímã, ao mesmo tempo que o disco torna-se aquecido pelas "correntes de
Foucault" induzidas no metal.
Diagrama de um variante do experimento de Foucault sobre a velocidade da luz, em que um raio laser moderno é a fonte
de luz. Em 1857, Foucault inventou o polarizador que leva seu nome, e no ano seguinte criou um método para investigar
espelhos de telescópios refletores, com o objetivo de determinar seu formato. O chamado "teste de Foucault" permite
que o fabricante descubra se o espelho é perfeitamente esférico ou possui um desvio não-esférico, através da imagem
formada pelo espelho. Antes de Foucault publicar suas descobertas, os testes de reflexão de espelhos de telescópios eram
por “tentativas". O teste de Foucault determina o formato de um espelho a partir dos comprimentos focais de suas áreas,
comumente chamados de zonas e medidos a partir do centro do espelho. O teste concentra a luz de uma fonte puntiforme
no centro de curvatura e reflete-a de volta para uma fenda. O teste permite ao usuário uma análise quantitativa da
seçãocônica do espelho, permitindo assim que ele avalie seu formato real, o que é necessário para obter-se um sistema
óptico de boa qualidade. O teste de Foucault é utilizado até hoje, principalmente por amadores e pequenos fabricantes de
telescópios comerciais, porque é barato e utiliza equipamentos simples e manuais. Foi com o espelho rotativo de Charles
Wheatstone que Foucault, em 1862, determinou a velocidade da luz como sendo igual a 298,000 km/s (cerca de 185.000
mi/s) – 10.000 km/s menor que a obtida pelos pesquisadores anteriores e apenas 0,6% menor que o valor atualmente
aceito.
143
Chamam-se corrente de Foucalt a essas correntes que aparecem por indução em blocos metálicos.
Pode-se demonstrar que a energia perdida num bloco metálico por causa das correntes de Foucalt é
proporcional ao quadrado da espessura BC do bloco. Para diminuir essa perda nós laminamos o bloco,
isto é, em vez de fazermos um bloco metálico maciço, juntamos um grande número de lâminas finas,
como indica a figura acima. Para diminuir as perdas de energia por correntes de Foucalt, as partes de
ferro das máquinas elétricas são sempre laminadas, e nunca são blocos maciços. Assim são os núcleos
de ferro dos transformadores, o cilindro do rotor dos motores, o estator dos motores, etc. A figura a
seguir é uma fotografia de um aparelho simples para demonstrar a existência das correntes de Foucalt.
Os dois fios que entram pela esquerda transportam corrente elétrica de um acumulador para a bobina
que se vê em posição horizontal. Essa bobina produz um campo magnético perpendicular ao disco
metálico. Os dois fios que saem pela direita estão ligados ao disco e vão ter a um galvanômetro.
Girando-se o disco, há variação do fluxo magnético que o atravessa, pois suas partes entram e saem
do campo à medida que ele gira. Então o galvanômetro acusa a passagem de uma corrente pelo disco.”
Figura 9.0.2: Aparelho para demonstrar a existência das correntes de Foucalt
http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/inducao/correntes_foucault/
Responda as questões:
(a) - O que são correntes de Foucault?
(b) - Por que se laminam os núcleos de transformadores?
(c) - Se dobrarmos a espessura de um bloco, o que acontece com a energia perdida devido as correntes
de Foucault?
19 - Responda as perguntas a seguir.
(a) O que é força eletromotriz?
(b) O que é Força fotoeletromotriz?
20- Utilizando os valores da permeabilidade magnética no vazio e da permissividade elétrica no vazio,
determine o valor da velocidade da luz no vazio.
Dados: ε0 = 8, 854× 10−12 F/m e µ0 = 4pi × 10−7 H/m
21 - Escreva as equações de Maxwell da eletromagnetodinâmica (EMD) nas formas diferenciais e
fasoriais. Identifique cada uma delas em relação a lei correspondente.
Questões de revisão, página 363 - Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku,
Bookman.
22 - O fluxo através de cada espira de uma bobina de 100 espiras é
(
t3 − 2t) mWb, onde t é dado em
segundos. A fem induzida em t = 2,0 s é:
(a) 1,0 V
(b) - 1,0 V
(c) 4,0 mV
(d) 0,40 V
(e) - 0,40 V
144 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
Resposta (b)
Problemas, página 365 - Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman.
23 - Uma espira circular condutora de raio 20,0 cm está no plano z = 0 imersa em um campo magnético
~B = 10 cos 377t~azmWb/m
2
. Calcule a tensão induzida na espira.
Resposta V = 0, 4738sen (377t) V
Problemas, página 369 - Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman.
24 - No espaço livre
~H = ρ (senφ~aρ + 2 cosφ~aφ) cos(4× 106t)A/m
encontre ~JD e ~E.
25 - O campo magnético irradiado por uma antena no espaço livre é dado por
~H =
12senθ
r
cos
(
2pi × 108t− βr)~aθmA/m
encontre o campo elétrico ~E em termos de β.
26 - [Página 156, P4.22 Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman]
Três cascas esféricas concêntricas com r = 1,0 m, r = 2,0 m e r = 3,0 m têm, respectivamente,
distribuições de cargas dadas por 2 µC/m2, -4 µC/m2, e 5µC/m2.
(a) Calcule o fluxo através de r = 1,50 m e r = 2,50 m;
(b) Determine ~D em r = 0,50 m, r = 2,5 m e r = 3,0 m
27 - [Página 156, P4.23 Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman]
Dado que
ρv =
{
12ρmC/m3,1 < ρ < 2
0, foradesseintervalo
determine ~D em qualquer ponto.
28 - [Página 157, P4.32 Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman]
Uma distribuição esférica de cargas é dada por
ρv =
{
ρ0
r
a ,r < a
0, r > a
Determine V em qualquer ponto.
29 - [Página 158, P4.42 Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman]
Determine a energia armazenada em uma região delimitada pelo hemisfério r ≤ 2 m e 0 < θ < pi, onde
existe o campo elétrico, em V/m, expresso matematicamente por:
~E = 2rsenθ cosφ~ar + r cos θ cosφ~aθ − rsenφ~aφ
30- O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo é descrito, em
unidades SI, pela equação:
145
~E = 100sen
(
1, 00× 107x− ωt)~ay
(a) Determine o campo magnético da onda;
(b) Determine o vetor de Poyting.
31 - As afirmações abaixo são sobre a pintura eletrostática. Escreva se são verdadeiras ou falsas essas
afirmações, e corrija as falsas .
(a) Líquidos pulverizados geram desperdício e não podem ser reciclados de forma simples. O recobri-
mento com pó eletrostático reduz muito destes problemas.
(b) As partículas do recobrimento recebem carga por descarga corona ou por carregamento triboelé-
trico.
(c) No carregamento triboelétrico, as partículas passam através de um tubo feito de um material que
está na extremidade oposta do espectro triboelétrico, geralmente Teflon.
(d) Na descarga corona, as partículas passam através de um plasma de elétrons, recebendo carga
positiva.
(e) Se o campo elétrico da descarga corona for muito intenso, o pó pulveriza muito rapidamente em
direção ao item a ser recoberto, deixando um ponto descoberto no centro de um anel, o que
conduz a um acabamento irregular do tipo "casca de laranja".
32 – Diga se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas e corrija as falsas.
(a) Campos eletrostáticos são campos invariáveis no tempo.
(b) As linhas de campo elétrico são perpendiculares, em cada ponto, à direção do campo elétrico
neste ponto.
(c) O campo elétrico para uma distribuição contínua de cargas é também determinado a partir do
princípio de superposição.
(d) Os materiais mais utilizados em para-raios são o zinco e o carvão.
(e) Dizer que o para-raios atrai o raio é apenas uma expressão, na realidade, ele oferece ao raio um
caminho para chegar à terra com pouca resistividade.
33 - Descreva as diferenças dos para-raios de Franklin e de Melsens.
34- Como é formada a descarga de corona?
35 - O que é a avalanche de Townsend?
36 - Corrija as alternativas a seguir:
(a) A descarga de corona ocorre somente entre dois eletrodos simétricos.
(b) A série triboelétrica é uma lista de materiais que mostra a tendência relativa do movimento de
elétrons para a superfície no processo de indução para eletrização. Esta lista pode ser usada
para determinar quais combinações de materiais são as mais eficientes para gerar a denominada
“eletricidade de corrente”.
146 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
37- Qual a diferença de corona positivo e negativo?
38 - Explique a formação de ozônio ao redor de condutores.
39 - Cite aplicações industriais e comerciais do efeito corona.
40- [E5.7, Eletromagnetismo - Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição]
Considere as mobilidades de elétrons e lacunas no silício a 300 K dadas a seguir. Assumindo densidade
de carga para elétrons −0, 0029C/m3 e lacunas de 0, 0029C/m3, respectivamente.
- mobilidade dos elétrons no Si a 300 K = 0,12
- mobilidade das lacunas no Si a 300 K = 0,025
Calcule:
(a) a componente da condutividadedevido às lacunas;
(b) a componente de condutividade devido aos elétrons;
(c) a condutividade.
41 - [E6.1, Eletromagnetismo - Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição]
Uma placa de material dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8 e contém uma densidade
de fluxo elétrico uniforme de 8 nC/m2. Se o material for sem perdas, calcule:
(a) A intensidade do campo elétrico;
(b) A intensidade de polarização;
(c) o número médio de dipolos por metro cúbico, se o momento de dipolo for 10−29Cm;
42 - [E6.4, Eletromagnetismo - Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição]
Calcule a permissividade relativa do material dielétrico presente em um capacitor de placas paralelas
se:
(a) A = 0, 12 m2, d = 0, 80µm, V0= 12 V e o capacitor contém de 1µJ energia;
(b) a densidade de energia armazenada é 100 J/m3, V0= 200 V e d = 45µm ;
(c) E = 200kV/m, ρS = 20µC/m2 e d = 100 µm.
43 - [ E6.5, Eletromagnetismo - Hayt &Buck; Editora McGraw Hil – 7a edição]
Determine a capacitância de :
(a) um cabo coaxial de 35B/U de 30,4 cm de comprimento, que possui um condutor interno de 2,654
mm de diâmetro , um dielétrico de polietileno ( εR = 2, 26), e um condutor externo que possui diâmetro
interno de 1,73 cm;
(b) uma esfera condutora de raio 2,5 mm, coberta por uma camada de polietileno de 2 mm de espessura,
envolvida por uma esfera condutora de raio 4,5 mm;
(c) duas placas condutoras retangulares de 1 cm por 4 cm, com espessura desprezível entre as quais
estão três camadas de dielétrico, cada uma de 1 cm por 4 cm e de 1 mm de espessura, possuindo
constantes dielétricas de 1,5 , 2,5 e 6.
44 - [Exemplo 5.6, Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman]
A intensidade do campo elétrico no poliestireno (εR = 2, 55), que preenche o espaço entre duas placas
de um capacitor de placas paralelas, é de 10 kV/m. A distância entre as placas é de 1,5 mm. Calcule:
(a) D;
(b) P ;
(c) a densidade superficial de cargas livres nas placas;
(d) a densidade superficial de cargas de polarização;
(e) a diferença de potencial entre as placas.
147
45 - [Exercício prático 5.6, Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku,
Bookman]
Um capacitor de placas paralelas, com separação entre placas de 2 mm, tem diferença de potencial entre
as placas de 1,0 kV. Se o espaço entre as placas é preenchido com poliestireno (εR = 2, 55),determine
~E, ~P e ρpS .
46 - [Exemplo 5.7, Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman]
Uma esfera dielétrica (εR = 5, 70), de raio 10 cm, tem uma carga puntual de 2 pC colocada em seu
centro. Calcule;
(a) a densidade superficial de cargas de polarização sobre a superfície da esfera;
(b) a força exercida pela carga sobre uma carga puntual de - 4 pC localizada sobre a esfera.
47 - [Exercício prático 5.7, Elementos de Eletromagnetismo, 3ª Edição, Matthew N. O. Sadiku,
Bookman]
Em um material dielétrico, Ex = 5 V/m e
~P =
1
10pi
(3~ax − ~ay + 4~az) nC/m2
Calcule:
(a) χe;
(b) ~E ;
(c) ~D.
48 - [Baseado em: Eletromagnetismo, Branislav M. Notaros, Pearson]
Observe a linha de transmissão representada na figura abaixo. Ela consiste em uma fita condutora de
largura w, repousando em um substrato dielétrico de permissividade ε e espessura h, e um plano terra
sobre o substrato, e denomina-se linha miscrostrip.
Figura 9.0.3: Linha de transmissão microstrip
(a) Desprezando os efeitos de borda, determine a capacitância por comprimento unitário dessa linha.
(b) Dimensões típicas de uma microstrip são espessura do substrato de 0.25 a 1mm e largura de fita
de 0.1 a 5mm. Determine a capacitância em função de ε para essas dimensões típicas com 1 m de
comprimento.
49 - [Baseado em: Eletromagnetismo, Branislav M. Notaros, Pearson]
A linha de transmissão que consiste em uma fita condutora entre dois planos condutores (grandes
placas) no mesmo potencial, conforme a figura a seguir, é chamada de linha strip. Tomemos a largura
da fita por w e por sua distância de cada um dos planos por h. A permissividade do dielétrico é ε.
148 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
Figura 9.0.4: Linha de transmissão strip
(a) Supondo que h �w, encontre a capacitância por unidade de comprimento da linha.
50 - Porque os capacitores cerâmicos são os mais próximos dos ideais?
51 - Diferencie capacitores eletrolíticos de poliméricos.
52 - Numa bobina de 200 espiras e L = 6,0 mH circula uma corrente I = 2, 0cos (337t). Detemine a
fem nessa bobina.
53 -(Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman , exemplo 6.2)
Uma máquina de xerox é uma importante aplicação da eletrostática. A superfície de um condutor é
de início carregada uniformemente como mostra a figura a seguir em (a). Quando a luz refletida pelo
documento a ser copiado incide no fotocondutor, as cargas da superfície inferior do mesmo combinam
com as da superfície superior e ocorre a sua neutralização. A imagem é obtida ao se pulverizar a
superfície do fotocondutor com um pó negro carregado eletricamente. O campo elétrico atrai o pó
carregado que posteriormente é transferido para o papel, sendo fundido para formar uma imagem
permanente. Determine o campo elétrico acima e abaixo do fotocondutor.
Figura 9.0.5: Figura para o exercício 53.
54 -(Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman , exemplo 7.3)
Uma espira circular localizada em x2 + y2 = 9 e z = 0, é percorrida por uma corrente contínua de 10
A ao longo de ~aφ. Determine ~H em (0, 0, 4) e (0, 0,−4).
149
Figura 9.0.6: (a) Espira circular de corrente, (b) linhas de fluxo devido a espeira circular de corrente.
55 - (Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman , exemplo 7.6)
Um toróide, cujas dimensões estão mostradas an figura a seguir, tem N espiras sendo percorrido por
uma corrente I. Determine H dentro e fora do toróide.
Figura 9.0.7: Toróide com seção reta circular.
56 - (Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman , exemplo 7.7)
Dado um potencial magnético vetorial ~A = −ρ
2
4
~azWb/m, calcule o fluxo magnético total que atravessa
a superfície
φ = pi2
1 ≤ ρ ≤ 2m
0 ≤ z ≤ 5m
57 - Uma partícula carregada de massa 2,0µg e carga 3,0 nC, parte do ponto (1,−2, 0)com velocidade
~v = 4 ~ax + 3~aym/s em campo elétrico ~E = 12 ~ax + 10~ayV/m. No instante t = 1,0 s, determine:
(a) a aceleração da partícula;
(b) sua velocidade;
(c) sua energia cinética.
58 - Uma partícula carregada de massa 2,0µg e carga 3,0 nC, parte da origem com velocidade ~v =
3~aym/s e atravessa uma região com campo magnático uniforme ~B = 10~azWb/m2. No instante t =
4,0 s, determine:
(a) a velocidade e aceleração da partícula;
(b) a força magnética sobre a partícula;
150 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
(c) a nenergia cinética da partícula e sua localização.
59 - (Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman , exemplo 8.7)
A região 0 ≤ z ≤ 2 está ocupada por um bloco infinito de material permeável (µr = 2, 5). Se ~B =
10y ~ax − 5x ~aymWb/m2dentro do bloco, determine:
(a) ~J ;
(b) ~Jb;
(c) ~M ;
(d) ~Kb.
60 - (Elementos de Eletromagnetismo, 5ª Edição, Matthew N. O. Sadiku, Bookman , exercício prático
9.4) No espaço livre, ~E = 20cos (ωt− 50x) ~ayV/m. Calcule:
(a) ~JD;
(b) ~H;
(c) ω
61 - Dado o campo elétrico ~E = 2x2~ax− 6z~azV/m, a densidade de carga associada a este campo é de:
(a)ρ = ε0
(
2x2 − 6)C/m3
(b) ρ = ε0 (4x− 6) C/m3
(c) ρ = ε0 (4x~ax − 6~az) C/m3
(d) ρ = ε0 (2~ax − 6~az) C/m3
(e) ρ = ε0C/m3
62 - Assinale as alternativas ERRADAS.
(a) O efeito corona tem inúmeras aplicações comerciais e industriais, uma delas é remoção de cargas
elétricas indesejáveis da superfície de uma aeronave em vôo e com isto evitando o efeito prejudicial de
pulsos elétricos descontrolados durante a atuação dossistemas do avião.
(b) O Cinturão de Van Allen é uma região onde ocorrem vários fenômenos atmosféricos devido a
concentrações de partículas no campo magnético terrestre.
(c) A mobilidade de cargas não depende da temperatura e o seu aumento apresenta as mesmas con-
sequências no comportamento dos materiais condutores, isolantes e semicondutores.
(d) O para-raios de Franklin é um equipamento que funciona de acordo com um princípio físico
conhecido como “o poder das pontas”, segundo o qual as pontas metálicas finas do para-raios atraem
os raios para si, já que nelas se concentram mais cargas elétricas.
(e) A força eletromotriz é o trabalho por unidade de carga que uma força não-eletrostática realiza
quando uma carga é transportada de um ponto a outro por um particular trajeto; isto é, a força
eletromotriz, como a ddp, não depende da trajetória.
63 - A força eletromotriz pode ser gerada de diversas formas. A força fotoeletromotriz:
(a) é gerada quando a tensão elétrica desenvolvida num circuito indutivo por uma corrente variável
ou alternada atravessando-o. A polaridade da tensão é a cada instante, oposta à da tensão aplicada,
a amplitude ou intensidade nunca é maior do que o valor nominal constante.
(b) é gerada quando a tensão elétrica desenvolvida em consequência de diferença de temperatura entre
partes de um circuito que contém dois ou mais metais diferentes dispostos em termopar
(c) é gerada quando existe uma tensão elétrica entre dois pontos que estão em temperaturas diferentes
num condutor.
(d) é gerada quando há produção de um gradiente de temperatura em duas junções de dois condutores
(ou semicondutores) de materiais diferentes quando submetidos a uma tensão elétrica em um circuito
fechado (consequentemente, percorrido por uma corrente elétrica).
151
(e) é gerada quando um feixe luminoso incide sobre uma placa metálica. Isto ocorre porque as
partículas contendo energia (o fóton) permitem que o elétron escape da superfície metálica gerando
uma corrente elétrica.
64 - Um alicate-amperímetro e um medidor de corrente elétrica, cujo princípio de funcionamento
baseia se no campo magnético produzido pela corrente. Para fazer uma medida, basta envolver o fio
com uma alça a 2,50 cm do amperímetro, como ilustra a figura ao lado. No caso de um fio retilíneo
e longo, pelo qual passa uma corrente I, o módulo do campo magnético produzido a uma distância
r do centro do alicate amperímetro é dado por: B = µ0I2pir onde µ0 = 4pi × 10−7H/m. Se o campo
magnético num ponto da alça circular do alicate da figura for igual a 2, 0×10−5T, qual é a intensidade
de corrente elétrica que percorre o fio situado no centro da alça do amperímetro?
Figura 9.0.8: Figura para a questão 64
(a) 1,25 A
(b) 0,125 A
(c) 2,50 A
(d) 5,00 A
(e) 0,250 A
65 - A mobilidade dos elétrons no silício a 300 K, é 0,12m2/Vs. Assumindo densidade de carga para
elétrons é de −0, 0029 C/m3, a condutividade dos elétrons no silício é de:
(a)−348µS/m
(b)348µS/m
(c)−0, 12µS/m
(d)0, 12µS/m
(e)−0, 0029µS/m
66 - Considere um cabo de linha de transmissão de alumínio com 3,0 cm de diâmetro e 50 km de
extensão. Dado: σA` = 3, 77× 107S/m
(a) Calcule a resistência total do condutor por quilômetro.
(b) Se num cabo passar uma potência de 600 MW e a tensão for de 500 kV, qual a perda de potência
por quilômetro?
(c) Qual é a corrente transportada? (d) Estime o valor do campo elétrico nesse cabo e da densidade
de fluxo elétrico.
67 - Um campo elétrico variável no tempo é dado por
~E = 12sen(10y − 2t)~axV/m.
Determine o vetor de Poyting ~S = 1µ0
~E × ~B
152 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
68 - – O cabo coaxial é um tipo de cabo condutor usado para transmitir sinais. Este tipo de cabo
é constituído por diversas camadas concêntricas de condutores e isolantes, daí o nome coaxial. O
cabo coaxial é constituído por um fio de cobre condutor revestido por um material isolante e rodeado
duma blindagem. Este meio permite transmissões até frequências muito elevadas e isto para longas
distâncias.A malha metálica condutora é constituída por muitos condutores: A malha é circular e
metálica para criar uma gaiola de Faraday, isolando deste modo o condutor interior de interferências,
o inverso também é verdadeiro, ou seja, frequências e dados que circulam pelo condutor não conseguem
atingir o exterior pelo isolamento da malha e deste modo não interferindo em outros equipamentos.
A blindagem eletromagnética é feita pela malha exterior.
Figura 9.0.9: A: revestimento de plástico B: tela de cobre C: isolador dialétrico interno D: núcleo de
cobre
(a) Explique o que é uma gaiola de Faraday.
(b) Determine a capacitância de um cabo coaxial de 35B/U de 30,4 cm de comprimento, que possui
um condutor interno de 2,654 mm de diâmetro , um dielétrico de polietileno ( ), e um condutor externo
que possui diâmetro interno de 1,73 cm. DadoC = 2piLε
ln(Rr )
Figura 9.0.10: Figura para o exercício 68 (b)
69 - Assinale a alternativa correta:
(a) O teorema de Stokes diz que
¸
S
~F · d~S = ´
V
∇ · ~Fdv
(b) O conjugado de z = 2 + 8j é z¯ = −2− 8j
153
(c) a permissividade elétrica do meio, ou simplesmente permissividade elétrica, é determinada pela
habilidade de um material depolarizar-se em resposta a um campo elétrico aplicado.
(d) A corrente de convecção satisfaz a lei de Ohm.
(e) Gerador ideal é aquele em que ocorrem perdas de energia.
70 - Uma combinação entre as constantes µ0e ε0permite determinar a velocidade da luz c. Assinale a
alternativa que corresponde a essa combinação.
(a)c = √ε0µ0
(b)c =
√
ε0
µ0
(c)c = ε0µ0
(d)c = 1√ε0µ0
71 - Escreva as equações de Maxwell da eletromagnetodinâmica (EMD) na forma diferencial.
72 - Escreva as equações de Maxwell da eletromagnetodinâmica (EMD) na forma harmônica.
73 - Escreva a equação de Maxwell da EMD na forma diferencial que corresponde a lei de Faraday.
74 - Partindo da lei de Gauss de fluxo elétrico e, usando o teorema do divergente, deduza a primeira
lei de Maxwell.
75 - Seja
~j =
150 cos (θ)
r + 2
~ar
A/m2
(a) Calcule a porção de corrente total que flui pela porção de corrente da superfície esférica r= 0,6,
limitada por 0, 2pi < θ < 0, 4pi e 0 < φ < 2pi.
(b)| Calcule o valor médio de sobre a área definida.
76 - Explique porque se existir uma barra de ferro no interior de um solenóide o campo aumenta.
77 - Explique o que é diamagnetismo e referencie a sua origem quanto a distribuição de elétrons no
material.
78 - Explique o que é a temperatura de Curie.
79 - Escreva onde normalmente se usam materiais magneticamente macios e cite duas aplicações.
80 - Cite dois exemplos de materiais ferromagnéticos.
154 CAPÍTULO 9. EXERCÍCIOS GERAIS
Apêndice A
Um pouco da História do
Eletromagnetismo
Na antiguidade, encontramos a primeira citação sobre fenômenos de natureza eletromagnética, com
Tales de Mileto1 , que realizou algumas observações elementares sobre eletrização ao friccionar o âmbar
(uma resina fossilizada de pinheiros pré-históricos) com uma pele de animal: o âmbar (elèktron, em
grego), adquiria o poder de atrair pequenos objetos próximos, como grãos de poeira, por exemplo.
Tales também relata as propriedades de atração e repulsão entre pedaços de um óxido de ferro, chamado
de magnetita (Fe3SO4, cujo nome deriva provavelmente da região de origem do material - Magnésia -
na Ásia Menor).
Aproximadamente no século II ocorre a invenção chinesa da bússola, introduzida na Europa por volta
do século XIII.
Jérôme Cardan (1501-1576), filósofo, matemático e médico italiano, foi o primeiro a tratar dos fenôme-
nos observados por Tales, explicando claramente em que diferiam as atrações do âmbar e da magnetita.
Depois dele, em 1600, surge o trabalho de William Gilbert (1540-1603), médico da rainha inglesa Eli-
sabeth I, que publicou um tratado sistemático e crítico, De Magnete, sobre o que se sabia,até então,
sobre magnetismo e eletricidade.
Figura A.0.1: Capa da edição de 1628 do De Magnete
1Tales de Mileto (em grego antigo Jal¨c å Mil svioc) foi o primeiro filósofo ocidental de que se tem notícia. Ele é
o marco inicial da filosofia ocidental. De ascendência fenícia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia Menor,
atual Turquia, por volta de 624 ou 625 a.C. e faleceu aproximadamente em 556 ou 558 a.C.. Tales é apontado como
um dos sete sábios da Grécia Antiga. Além disso, foi o fundador da Escola Jônica. Considerava a água como sendo a
origem de todas as coisas, e seus seguidores, embora discordassem quanto à “substância primordial” (que constituía a
essência do universo), concordavam com ele no que dizia respeito à existência de um “princípio único" para essa natureza
primordial. Entre os principais discípulos de Tales de Mileto merecem destaque: Anaxímenes que dizia ser o "ar" a
substância primária; e Anaximandro, para quem os mundos eram infinitos em sua perpétua inter-relação.
155
156 APÊNDICE A. UM POUCO DA HISTÓRIA DO ELETROMAGNETISMO
Incluindo experimentos seus, em eletricidade relatou que outras substâncias gozavam da propriedade
do âmbar depois de friccionadas por peles ou tecidos, denominando-as de elétricas, ou seja, que podiam
ser eletrizadas como o âmbar. Exemplos: enxôfre, vidro, seda, etc.. Observou que metais não podiam
ser eletrizados por fricção, chamando-os de não-eletrizáveis. Além disso, diferenciou os fenômenos
elétricos dos magnéticos, criando a expressão vis electrica (força elétrica).
No magnetismo, traçou a forma das linhas de indução magnética aproximando uma pequena agulha
de uma bússola de esferas de ferro magnetizadas, demonstrando a analogia da ação da terra sobre
a bússola. Além disso, mostrou a impossibilidade de se obter um pólo magnético isolado partindo-
se um imã em duas partes. A situação não se alterou muito com os estudos de Otto von Guericke
(1602-1686), físico alemão, que notou a repulsão de partículas de mesma carga, e construiu a primeira
máquina eletrostática para eletrizar um corpo, o gerador eletrostático2.
Observou também o poder das pontas nos corpos eletrizados bem como que a chama de uma vela podia
deseletrizar um corpo metálico carregado. Descobriu a indução elétrica, uma maneira de eletrizar
um corpo sem qualquer contato com ele. Uma de suas mais importantes descobertas foi a de que
substâncias eletrizadas, além da atração, podiam sofrer repulsão. Entretanto não conseguiu explicar
como uma bola carregada podia eletrizar outra por contato, ou seja, a condução ou transmissão da
eletricidade.
Os investigadores do século XVII e início do século XVIII tinham não mãos uma séria bastante caótica
de observações sobre eletrização por atrito, formação de centelhas e efeitos da umidade atmosférica,
que foram incapazes de explicar devido a falta de conceitos eletrostáticos fundamentais. Apesar disto,
um considerável número de importantes observações qualitativas surgiu neste período.
Em 1731, o inglês Stephen Gray (1679-1736) demonstrou claramente a condução elétrica nos corpos,
que classificou de condutores e não-condutores (isolantes, ou como chamamos vais frequentemente hoje
dielétricos). Lançou a idéia de associar a eletricidade a um fluído elétrico, universal e imponderável,
capaz de depositar-se entre os poros e interstícios dos corpos materiais.
Em 1759 Franz Ulrich Theodor Äpinus (1724-1802) mostrou a existência de todos os graus de transição
entre os condutores e os não-condutores. Eles fizeram as primeiras observações da influência exercida
por corpos carregados em condutores isolados. Charles Du Fay (1698-1739), tornou-se correspondente
de Gray. Realizou suas próprias observações de caráter científico, deixando de lado as interpretações
metafísicas e o sensacionalismo das exibições nas cortes. Chegou à conclusão de que todos os corpos
são eletrizáveis, ou seja, de que toda a matéria possui a propriedade que por séculos havia sido peculiar
ao âmbar ou a um pequeno grupo de substâncias ditas elétricas.
Suspendendo a si mesmo por fios de seda, constatou que, quando era eletrizado e outra pessoa se
aproximasse bastante, ocorriam pequenas descargas elétricas e estalidos e no escuro viam-se centelhas.
Notou também que todos os objetos eletrizados por meio de um mesmo bastão de vidro, repeliam-se
mutuamente, mas atraiam objetos que haviam sido eletrizados por meio de âmbar. Concluiu, então,
que deveriam haver dois tipos de eletricidade, que denominou vítrea e resinosa. Isto constituiu a teoria
dos dois fluidos elétricos. De acordo com Du Fay, os corpos neutros continham a mesma quantidade
do dois fluidos.
A etapa seguinte mostra a tentativa de armazenar, de alguma forma, o fluido elétrico. Em 1745,
Em outubro de 1745, Ewald Georg von Kleist, descobriu que uma carga poderia ser armazenada,
conectando um gerador de alta tensão eletrostática por um fio a uma jarra de vidro com água, que
2São dispositivos mecânicos que produzem eletricidade estática. Normalmente desenvolvem tensões altíssimas com
baixa amperagem. O conhecimento da eletricidade estática, remonta ao início das civilizações, onde era mistificada e sem
explicações para seu comportamento, também era muitas vezes confundida com o magnetismo. Até o final do século 17,
os pesquisadores tinham desenvolvido meios práticos para a geração de eletricidade por atrito, mas o desenvolvimento das
máquinas eletrostáticas não teve início em bom ritmo até o século 18, quando se tornaram instrumentos fundamentais
nos estudos sobre a nova ciência da eletricidade. Máquinas Eletrostáticas operam manualmente (ou de outras formas),
e transformam a energia mecânica em energia eletrostática.
157
estava em sua mão. A mão de Von Kleist e a água agiram como condutores, e a jarra como um dielétrico
(mas os detalhes do mecanismo não forram identificados corretamente no momento). A idéia começou
por usar uma garrafa de vidro tapada com uma tampa de cortiça com um prego atravessado. Pôs
o prego em contato com um gerador eletrostático e, segurando a garrafa com uma mão e tocando
no prego com a outra, levou um choque considerável, bem mais intenso do que aqueles que se sentia
em contato com corpos comuns eletrizados. Repetindo a experiência com a garrafa cheia de água,
Von Kleist descobriu, após a remoção do gerador, ao tocar o fio, o resultado era um doloroso choque.
Cunhou, então, o termo condensador para a garrafa, o primeiro capacitor construído.
Em uma carta descrevendo o experimento, ele disse: "Eu não levaria um segundo choque pelo reino
de França". No ano seguinte, na Universidade de Leiden, o físico holandês Pieter van Musschenbroek
inventou um capacitor similar, que foi nomeado de garrafa de Leyden, e cujo relato da descoberta fora
lido na Academia Francesa de Ciências, enquanto as observações de Kleist foram apenas enviadas a
um amigo em Berlin. Assim, o mérito da descoberta acabou ficando com o holandês, e o condensador
ficou conhecido como garrafa de Leyden.
A elucidação do fenômeno da garrafa de Leyden ocupou não só Äpinus, como também a Benjamin
Franklin (1707-1790). Norte-americano, interessou-se pela eletricidade após uma demonstração pública
em Boston, em 1746. Entre 1747 e 1754, Franklin realizou uma série de experimentos, num dos quais
descobriu que na garrafa de Leyden, o arame que sai da garrafa possui eletricidade contrária à do
vidro da garrafa. Elaborou sua própria teoria para a eletricidade, contrária à então aceita teoria dos
dois fluidos elétricos de Du Fay. Aproximadamente no século II ocorre a invenção chinesa da bússola,
introduzida na Europa por volta do século XIII.
Para ele, havia apenas um fluido elétrico, o qual todo o corpo não-eletrizado conteria em certa quan-
tidade, e que era um elemento comum a todos eles. Se um corpo o possuísse em excesso, era chamado
de positivo. Se o possuísse de menos, era negativo, assim chamou de positiva para a vítreae negativa
a resinosa. Esta foi a teoria do fluido único, e não foi bem recebida pela comunidade científica da da
época.
Em 1759 foi definitivamente rejeitada, com base experimental, pelo inglês Robert Symmer. Entre-
tanto, a teoria do fluido único teve o mérito de introduzir o conceito da conservação do fluido elétrico.
Outro mérito de Franklin foi o de estabelecer a natureza elétrica dos relâmpagos (1752), com a in-
venção do pára-raios, ao empinar uma pandorga durante uma tempestade. Em conexão com os dois
tipos de eletricidade estabelecidas por Franklin, em 1758 Johann Carl Wilcke (1732-1796) descobriu
a polarização dos dielétricos.
A força entre partículas carregadas começou a ser estabelecida em meados do século XVIII. Começou
com a suspeita de uma relação com a lei da gravitação de Newton.
Em 1767 Joseph Priestley (1733-1804) encontrou forte evidência disto na descoberta sua e de seus
amigos, entre eles Henry Cavendish (1731-1810), de que a carga de um condutor fica inteiramente
em sua superfície, ficando seu interior completamente livre das influências elétricas, fato este que não
mereceu muita atenção na época.
Em 1775, Alessandro Count Volta (1745-1827) desenvolveu o eletróforo3 a partir da qual máquinas
elétricas foram mais tarde desenvolvidas. Durante o século XVIII, apenas uma descoberta sobre o
magnetismo foi feita. Tão prematura quanto a descoberta de Wilcke, em 1778 Anton Brugmans(1732-
1789) descobriu o diamagnetismo, quando observou que o bismuto era repelido por um imã.
3O Eletróforo é uma das mais simples máquinas de indução eletrostática. Consiste de um prato metálico circular
munido de um cabo isolante que é aplicado sobre um material isolante (originalmente uma "torta" resinosa)que foi
previamente eletrizado por atrito. A proximidade do disco metálico com o material isolante provoca uma separação
de cargas e o mesmo é então colocado em contato com a terra, de forma a compensar o desequilibrio elétrico em sua
superficie. Este contato é então interrompido, e então o disco metálico é afastado da "torta" carregada, através de
seu cabo isolante, permanecendo, desta maneira, carregado de eletricidade. O funcionamento do eletróforo é baseado,
portanto, no princípio da indução eletrostática.
158 APÊNDICE A. UM POUCO DA HISTÓRIA DO ELETROMAGNETISMO
Figura A.0.2: Eletróforo de Volta
Em 1785, Charles Augustin de Coulomb4 realizou experiências com uma balança de torção e enunciou
a famosa lei que hoje leva seu nome:
"a força entre duas cargas é diretamente proporcional a carga em cada uma delas e
inversamente ao quadrado da distância que as separa"
Em 1786, Coulomb relatou que um condutor também blinda seu interior (ele desconhecia os relatos
de Cavendish), e viu nisto também uma indicação para a lei de força enunciada. Entretanto, esta
parte do relato foi tão completamente esquecida, que o efeito de blindagem hoje está ligado ao nome
da Faraday. Um médico italiano, Luigi Galvani (1737-1798), por volta de 1770 começou a investigar
a natureza e os efeitos da eletricidade em tecidos animais e na estimulação da musculatura por meios
elétricos. Em 1792 foi capaz de contrair os músculos de uma perna de rã pela simples aplicação a eles
de uma espira5 constituída de dois metais diferentes.
Figura A.0.3: Representação de espiras componentes de um transformador atenuador.
Este foi o primeiro elemento galvânico: o músculo era tanto o eletrólito quanto o indicador de corrente.
Galvani supôs, e não completamente erradamente, que estas eram manifestações de eletricidade animal,
já conhecida dos peixes elétricos. Volta, em 1796, eliminou completamente a necessidade de um
elemento biológico para o fenômeno e estabeleceu que uma condição essencial para a circulação elétrica
num circuito condutor era que este fosse constituído de dois (ou mais) condutores de "primeira" classe
4Charles Augustin de Coulomb (Angoulême, 14 de junho de 1736 — Paris, 23 de agosto de 1806) . Em sua homenagem,
deu-se seu nome à unidade de carga elétrica, o coulomb. Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e Magnetismo, e outros
sobre os fenômenos de torção, e atrito entre sólidos. Experimentador genial e rigoroso, realizou a experiência com uma
balança de torção para determinar a força exercida entre duas cargas elétricas (Lei de Coulomb). Durante os últimos
quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino Público e teve um papel importante no sistema educativo da sua
época.
5O termo espira, do grego speira ao latim spira, que significa algo que se enrola, pode ser atribuído a diversas aplicações
onde esse enrolamento se observa. Em sentido lato designa cada uma das voltas que formam uma helicoidal e que se
observam em diversos objectos como parafusos, roscas, etc. Em eletromagnetismo, é um tipo de circuito elétrico que
possui diversas funções voltadas, principalmente, à produção de campo magnético, eletricidade e energia mecânica. É
componente dos geradores de energia elétrica, assim como dos motores elétricos, dos transformadores, indutores e de
vários outros dispositivos.
159
e um de "segunda" classe.
Ele criou estas idéias, bem como o conceito de corrente elétrica estática, e sobre estas bases construiu,
em 1800, a pilha voltaica, a precursora das baterias galvânicas, que nos anos seguintes se proliferam
abundantemente.
Figura A.0.4: Pilha de Volta
A decomposição eletrolítica, agora vista como causa da produção da corrente galvânica, foi descrita
em 1797, antes da pilha voltaica, por Alexander von Humboldt (1769-1859), descoberta feita com uma
célula constituída por eletrodos de zinco e de prata e com água entre eles.
Em 1799, Johann Wilhelm Ritter (1776-1810) separou eletroliticamente o cobre de uma solução de
sulfato de cobre, sendo o primeiro a dizer que a reação química na célula galvânica era a causa da
produção da corrente. Em seguida, Humphry Davy (1778-1829), em 1807, com suas pesquisas em
eletrólise descobriu e separou os metais alcalinos. Em 1811, Davy construiu o arco carbônico com
uma bateria de 2000 elementos, que serviu como fonte de luz elétrica até que Thomas Alva Edison
(1847-1931) inventasse a lâmpada incandescente em 1880. Em 1802, Sir Humphry Davy observou o
efeito do arco de luz brilhante que se formava entre duas peças de carbono conectados em alta tensão
quando estavam muito próximas uma da outra. Embora ele nunca tenha usado este fenômeno como
fonte de iluminação, nos setenta anos seguintes, muito engenheiros usaram o arco para criar lâmpadas
elétricas.
Na Inglaterra, muitas lâmpadas apareceram durante os anos de 1850 e de 1870. Entretanto, nenhuma
lâmpada a arco produzida neste período poderia ser um sucesso econômico visto que as baterias então
disponíveis para fonte de eletricidade eram muito caras.
Exceções aconteceram com as lâmpadas de Dubosq (1858) e de Serrin (1857), mostrada abaixo. Esta,
em particular, teve tão grande sucesso que, quando iniciou-se a indústria da iluminação elétrica, as
lâmpadas produzidas estavam baseada na lâmpada de Serrin.
160 APÊNDICE A. UM POUCO DA HISTÓRIA DO ELETROMAGNETISMO
Figura A.0.5: Lâmpada de Serrin
Também em 1811, Siméon Denis Poisson (1781-1849) fez progressos com a lei de Coulomb, trabalhando
na teoria do potencial, que tinha sido inicialmente desenvolvida para a gravitação. Ele mostrou
que toda a eletrostática, não considerando a presença dos dielétricos, pode ser explicada pela lei de
Coulomb ou, equivalentemente, pela equação diferencial de Laplace-Poisson.
No magnetismo, Hans Christian Oersted (1777-1851), nascido numa pequena ilha do Báltico, em 1820
publicou um panfleto de 4 páginas com suas descobertas sobre a deflexão da agulha de uma bússola
por uma corrente elétrica. Além disso, descobriu a correspondente força de um imã sobre um circuito
elétrico girante. Concorrentemente, em 1820, Jean Baptiste Biot (1774-1862) e Félix Savart (1791-
1841) formularam, a partir de observações experimentais,a lei que leva seus nomes e que permite o
cálculo de campos magnéticos produzidos por correntes elétricas.
O primeiro eletroimã foi descoberto em 1822 por Dominique François Jean Arago (1786-1853) e por
Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) quando verificaram que uma barra de ferro fica magnetizada se
enrolada por um fio conduzindo uma corrente elétrica. Neste mesmo ano, André Marie Ampère (1775-
1836), sabendo das descobertas de Oersted, dedicou-se ao assunto e formulou a regra para indicar a
direção do campo magnético criado por um circuito elétrico.
Além disso, descobriu que circuitos paralelos com correntes na mesma direção se atraem, e se repelem
quando as correntes são contrárias, e que solenóides atuam com imãs em barra. Os efeitos magné-
ticos das correntes elétricas agora forneciam meios para se medir suas intensidade. Em 1826, Goerg
Simon Ohm (1789-1854) usou estes fatos para separar os conceito de força eletromotriz, gradiente de
potencial e de intensidade de corrente elétrica e derivou a lei que leva seu nome e que estabelece a
proporcionalidade entre a diferença de potencial em um condutor e a corrente elétrica produzida. O
fator de proporcionalidade representa a resistência do material. Provou também que a resistência de
um fio é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional a sua seção reta,
criando assim a base para o conceito de condutividade dos materiais.
George Green (1793-1841) publicou, em 1828 "Um ensaio sobre a aplicação de análise matemática às
teorias da eletricidade e do magnetismo", onde extendeu o trabalho de Poisson para obter um método
de solução geral para o potencial. A complementação deste trabalho foi obra de Karl Friedrich Gauss
161
(1777-1855), que publicou seu famoso trabalho em 1839. Sua teoria tornou-se mais abrangente, pois
serviu de modelo para muitos outros campos da física-matemática. A contribuição de Gauss deu-se não
apenas na definição de quantidade de eletricidade a partir da lei de Coulomb, como também forneceu
a primeira medida absoluta do momento magnético de imãs e da intensidade do campo magnético
terrestre, dando continuidade ao trabalho de Gilbert.
Ele criou o primeiro sistema de unidades eletromagnéticas racional, no qual "uma unidade de quanti-
dade de eletricidade é a quantidade que, a uma distância de um centímetro, repele uma quantidade
igual com uma força de uma dina". Trabalhando com Gauss, Wilhelm Eduard Weber (1804-1891),
físico alemão, investigou o magnetismo terrestre em 1833. Uma de suas maiores contribuições foi
o desenvolvimento do telégrafo eletromagnético. Joseph Henry (1799-1878)foi o primeiro americano
depois de Franklin a realizar experimentos científicos. Em 1830 ele observou o fenômeno da indução
eletromagnética, mas como não publicou seus resultados, não recebeu o mérito por isto. Entretanto,
recebeu distinção pela descoberta do fenômeno da autoindução. Em 1831 auxiliou a Samuel Finley
Breese Morse (1791-1872) a construir o telégrafo.
Surge, então, aquele que se tornaria o maior físico experimental em eletricidade e magnetismo do século
XIX: Michael Faraday (1791-1867). Em 1831 Faraday enrolou duas espiras de fio em torno de um anel
de ferro e observou que a corrente exercia uma ação para trás que correspondia a sua ação magnética.
Quando ele criou uma corrente elétrica na primeira espira, um pulso de corrente surgiu na segunda
espira no instante em que o circuito foi fechado, e novamente quando o circuito foi aberto, porém
no sentido contrário. Assim ele descobriu a indução. Alguns problemas com a direção da corrente
induzida foram esclarecidos em 1833 por Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865), com sua conhecida
lei (de Lenz). Em 1837, Faraday descobriu a influência dos dielétricos nos fenômenos eletrostáticos, e
a partir de 1846 dedicou-se a descrever a distribuição geral das propriedades diamagnéticas em todos
os materiais para os quais, em contraste, o paramagnetismo aparece como uma exceção. Em 1845,
com apenas 21 anos, Gustav Robert Kirchhof (1824-1887) enunciou as leis que permitiam o cálculo
de correntes, tensões e resistências para circuitos ramificados. Em 1846, Weber criou um segundo
sistema de unidades absoluto e consistente para a eletricidade independente da Lei de Coulomb. Os
dois sistemas relacionam-se por uma constante com dimensão de velocidade.
Weber, em 1852, calculou este valor chegando a um resultado fantástico: era igual a da velocidade da
luz, 3 x 1010 cm/s. Num trabalho de 1855-1856, James Clerk Maxwell (1831-1879) forneceu a base
matemática adequada para as linhas de força idealizadas por Faraday. Em 1862 ele adicionou a corrente
de deslocamento à corrente de condução na Lei de Ampère, que ocorre em todos os dielétricos com
campos elétricos variáveis, completanto o trabalho de Ampère. Em 1873 publicou seu "Tratado sobre
eletricidade e magnetismo" . Em 1865 mostrou que as ondas eletromagnéticas possuem a velocidade
da luz, a qual ele recalculou com precisão, concordando com o resultado de Weber. Em 1884, Heinrich
Rudolf Hertz (1857-1894) rederivou as equações de Maxwell por um novo método, colocando-as na
forma atual. Além disso, foi o primeiro a emitir e receber ondas de rádio.
162 APÊNDICE A. UM POUCO DA HISTÓRIA DO ELETROMAGNETISMO
Apêndice B
Uma pequena biografia de Maxwell
Este conteúdo está em
http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell
Figura B.0.1: James Clerck Maxwell
James Clerk Maxwell (Edimburgo, 13 de Junho de 1831 - Cambridge, 5 de Novembro de 1879) foi um
físico e matemático britânico. Ele é mais conhecido por ter dado a sua forma final à teoria moderna
do eletromagnetismo, que une a eletricidade, o magnetismo e a óptica. Esta é a teoria que surge das
equações de Maxwell, assim chamadas em sua honra e porque ele foi o primeiro a escrevê-las juntando
a lei de Ampère, por ele próprio modificada, a lei de Gauss, e a lei da indução de Faraday.
Maxwell demonstrou que os campos eléctricos e magnéticos se propagam com a velocidade da luz. Ele
apresentou uma teoria detalhada da luz como um efeito electromagnético, isto é, que a luz corresponde
à propagação de ondas eléctricas e magnéticas, hipótese que tinha sido posta por Faraday.
Demonstrou em 1864 que as forças elétricas e magnéticas têm a mesma natureza: uma força elétrica
em determinado referencial pode tornar-se magnética se analisada noutro, e vice-versa. Ele também
desenvolveu um trabalho importante em mecânica estatística, tendo estudado a teoria cinética dos
gases e descoberto a chamada distribuição de Maxwell-Boltzmann. Maxwell é considerado por muitos
o mais importante físico do séc. XIX, o seu trabalho em electromagnetismo foi a base da relatividade
restrita de Einstein e o seu trabalho em teoria cinética de gases fundamental ao desenvolvimento
posterior da mecânica quântica.
Filho de John Clerk Maxwell, um advogado, e Frances Maxwell, seu pai era um homem com con-
fortáveis meios financeiros, aparentado com a família Clerk de Penicuik, Midlothian, os titulares do
163
164 APÊNDICE B. UMA PEQUENA BIOGRAFIA DE MAXWELL
baronato de Clerk de Penicuik, sendo seu irmão o sexto barão. Nascera John Clerk, adicionando o
sobrenome Maxwell ao seu próprio depois de ter herdado uma propriedade rural em Middlebie, Kirk-
cudbrightshire, a partir das conexões com a família de Maxwell, eles próprios membros do pariato.
Os pais de Maxwell não se conheceram e se casaram, até que tivessem passado dos trinta anos, o que
era incomum para a época, e Frances Maxwell tinha quase 40 quando James nasceu. Eles tinham tido
anteriormente uma criança, uma filha, Elizabeth, que morreu na infância. Chamaram seu único filho
sobrevivente de James, um nome que tinha sido usado não só pelo seu avô, mas também por muitos
outros de seus ancestrais. Os seus pais John Clerk Maxwell e Frances Maxwell possuíam extensas
terras no campo escocês, onde ele cresceu. A sua mãe adoeceu, provavelmente comcancro, e morreu
em 1839.
Aos 10 anos de idade, Maxwell foi para escola em Edimburgo. Ele fez a universidade em Edimburgo,
pensando que aí teria mais possibilidade de vir a ser cientista, do que em uma universidade mais pres-
tigiosa como por exemplo Cambridge onde também tinha sido aceito. Na universidade de Edimburgo,
graduou-se em Filosofia Natural (como era nessa época denominada a Física), Filosofia Moral e Filo-
sofia Mental. Em 1850 ele vai estudar matemática na Universidade de Cambridge, mais precisamente
no Trinity College.
É nesta época que Maxwell inicia o seu estudo das equações de eletromagnetismo, que continuaria
praticamente toda a sua vida. Em 1854, graduou-se, entre os melhores estudantes do seu ano, e
imediatamente depois apresenta um brilhante artigo à Sociedade Filosófica de Cambridge com o título
"On the Transformation of Surfaces by Bending", um dos poucos artigos puramente matemáticos que
escreveu.
James e Katherine Maxwell em 1869. Em 1856 Maxwell se tornou professor em Aberdeen, e casa-se
aos 27 anos com Katherine Mary Dewar, com quem nunca teve filhos. De 1855 a 1872 publicou com
intervalos uma série de investigações sobre a percepção da cor e o daltonismo pela qual receberia a
medalha Rumford da Royal Society em 1860. Em 1859 recebeu o prêmio Adams por um artigo sobre a
estabilidade dos anéis de Saturno, em que demonstra que estes não podem ser completamente sólidos
nem fluidos.
A estabilidade destes anéis implica que eles têm de ser constituídos por numerosas pequenas partículas
sólidas. Do mesmo modo provou que o sistema solar não podia ser formado pela condensação de uma
nébula puramente gasosa, mas que esta nébula tinha que conter também pequenas partículas sólidas.
Foi também nesta época que Maxwell fez os seus trabalhos mais importantes em física estatística,
tendo generalizado o trabalho iniciado por Clausius em que este punha a hipótese de que um gás era
formado por moléculas que se movem a uma certa velocidade e que vão mudando de velocidade ao
chocar entre si.
Maxwell considerou que as partículas se tinham que mover a diferentes velocidades e estudou a distri-
buição da velocidade destas. Em 1868 a continuação deste trabalho feita por Boltzmann daria origem
à chamada distribuição de Maxwell-Boltzmann e ao campo da mecânica estatística.
Em 1860 foi nomeado professor no King’s College de Londres e em 1861 foi eleito membro da Royal
Society. Durante este período investigou temas em elasticidade e em geometria pura, mas também
prosseguiu os seus estudos em visão e óptica, tendo por exemplo demonstrado que se pode produzir
uma fotografia a cores utilizando filtros vermelho, verde e azul e sobrepondo as três imagens assim
obtidas (ver ao lado imagem da primeira fotografia a cores na história, obtida por este método).
A primeira fotografia colorida1, feita por Maxwell, em 1861. Após a morte de seu pai, em 1865,
1Fita tartan, fotografia tirada por James Clerk Maxwell em 1861. Considerada a primeira fotografia a cores. Maxwell
tinha o fotógrafo Thomas Sutton fotografando um tartan três vezes, cada vez com um filtro de cor diferente. As três
imagens foram reveladas e, em seguida, projetadas sobre uma tela com três projetores diferentes, cada um equipado com
o mesmo filtro de cor usado para tirar sua imagem. Quando posto em foco, as três imagens formaram uma imagem em
cores. As três chapas fotográficas agora residem em um pequeno Museu 14 India Street, Edimburgo, a casa onde nasceu
165
Maxwell se aposentou para cuidar das terras da família. Nesta época faz importantes contribuições
à física experimental, realizando com a sua esposa uma série de experiências sobre a viscosidade
dos gases, em que demonstraram por exemplo que a viscosidade de um gás é independente da sua
densidade.
Em 1870 ele publicou o livro "A teoria do calor", que dá a forma final à Termodinâmica moderna e
será enormemente influente na física do século XX e em 1871 ele inventou o conceito de Demônio de
Maxwell, para demonstrar que a segunda lei da termodinâmica, que diz que a entropia nunca decresce,
tem um carácter estatístico.
Figura B.0.2: A primeira fotografia colorida, feita por Maxwell, em 1861.
Neste ano ainda aceita dirigir o novo Laboratório Cavendish, em Cambridge. Ele mesmo supervisionou
a construção do edifício e a compra de todos os aparelhos científicos. Ele tinha acabado de estabelecer
o laboratório como centro de excelência científica quando morreu. Durante este período, Maxwell
preparou zelosamente a publicação das investigações completas de Henry Cavendish, incluindo os seus
estudos de eletricidade, o que viria a ser a sua última importante contribuição para a ciência.
Em 1873 ele publicou o Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo, livro que continha todas as suas
ideias sobre este tema e que condensa todo o trabalho que foi fazendo ao longo dos anos. Ele estava
preparando uma revisão abrangente deste tratado com as suas novas descobertas neste tema quando
morreu em Cambridge prematuramente de câncer do abdômen. Foi enterrado em Parton Kirk, na
Escócia.
o Maxwell.
166 APÊNDICE B. UMA PEQUENA BIOGRAFIA DE MAXWELL
Apêndice C
Corrente alternada em resistores
Depois de estudar estes apêndices sobre corrente alternada, veja a seguinte página acessada em 24/03/2013 :
http://www3.fsa.br/eletronica/carlos.viana/eletricidade/circuitos_AC_FAENG.html
A equação básica no domínio do tempo é dada pela Lei de Ohm:
V (t) = RI (t) (C.0.1)
Vamos considerar a tensão V (t) dada por:
V (t) = V0 cos (ωt+ ϕ)
que pode ser reescrito na forma
V (t) = Re
[
V0e
jωtejϕ
]
A corrente também será dada por uma função cossenoidal que possui uma fase b :
I(t) = I0 cos (ωt+ β)
portanto
167
168 APÊNDICE C. CORRENTE ALTERNADA EM RESISTORES
I(t) = Re
[
I0e
jωtejβ
]
substituindo
Re
[
V0e
jωtejϕ
]
= RRe
[
I0e
jωtejβ
]
e então
V0e
jωtejϕ = RI0e
jωtejβ
V0e
jϕ = RI0e
jβ
e escrevemos em termos fasoriais:
Vˆ = RIˆ (C.0.2)
onde
Vˆ = V0∠ϕ
Iˆ = I0∠β
No caso de resistores as fases f e b são iguais como é fácil de se obsevar. Ou seja, a tensão V (t) está
em fase com a corrente I (t)) . Observeo gráfico abaixo.
Figura C.0.1: Relação temporal entre corrente e tensão em resistor ideal.
Apêndice D
Corrente alternada em indutores
A equação diferencial para um indutor é:
V = L
dI
dt
Considere a tensão e a corrennte como no apêndice anterior. Então:
Re
[
V0e
jωtejϕ
]
= L
dRe
[
I0e
jωtejβ
]
dt
= jωLRe
[
I0e
jωtejβ
]
portanto
V0e
jωtejϕ = jωLI0e
jωtejβ ⇔ V0ejϕ = jωLI0ejβ
em termos fasoriais
Vˆ = jωLIˆ
Vˆ = V0∠ϕ
Iˆ = I0∠β
como j = ejpi/2, então:
V0e
jϕ = ωLI0e
j(β+pi2 )
169
170 APÊNDICE D. CORRENTE ALTERNADA EM INDUTORES
Portanto ϕ = β + pi2 e as fases da tensão e corrente são diferentes! A tensão está adiantada de 90
o em
relação à corrente.
Figura D.0.1: Relação temporal entre corrente e tensão em indutor ideal.
Apêndice E
Corrente alternada em capacitores
A equação diferencial para um capacitor é:
I = C
dV
dt
Considere a tensão e a corrennte como no apêndice anterior. Então:
Re
[
I0e
jωtejβ
]
= C
dRe
[
V0e
jωtejϕ
]
dt
= jωCRe
[
I0e
jωtejβ
]
portanto:
I0e
jωtejβ = jωCV0e
jωtejϕ ⇔ I0ejβ = jωCV0ejϕ
em termos fasoriais:
Vˆ = 1jωC Iˆ
Vˆ = V0∠ϕ
Iˆ = I0∠β
como j = ejpi/2, então:
V0e
j(ϕ+pi2 ) =
1
ωC
I0e
jβ
171
172 APÊNDICE E. CORRENTE ALTERNADA EM CAPACITORES
Portanto ϕ+ pi2 = β e as fases da tensão e corrente são diferentes! A tensão está atrasada de 90
o em
relação à corrente.
Figura E.0.1: Relação temporal entre corrente e tensão em capacitor ideal.
Apêndice F
Campo de um disco uniformemente
carregado
Caso tenhamos esquecido...
Figura F.0.1: Disco uniformemente carregado
Consideremos umdisco de raio R, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga
sv C/m2 .O campo dE produzido por um anel de raio a e de largura da, que contém uma carga dq é
σ = dqdA ⇔ dq = σdA
A = pia2 → dAda = 2pia⇔ dA = 2piada
dq = σ2piada
portanto
dEz =
1
4piε0
zdq
(z2 + a2)
3
2
=
1
4piε0
zσ2piada
(z2 + a2)
3
2
Integrando a = 0 até a = R
Ez =
Rˆ
0
1
4piε0
zσ2piada
(z2 + a2)
3
2
173
174 APÊNDICE F. CAMPO DE UM DISCO UNIFORMEMENTE CARREGADO
simplificando 2pi com 4pi, e tendo em conta que o integral é em a:
Ez =
zσ
2ε0
Rˆ
0
ada
(z2 + a2)
3
2
Vamos calcular o integral em separado. Fazemos a seguinte mudança de variável :
u = z2 + a2
du = 2ada
o integral fica então:
1
2
ˆ
2ada
(z2 + a2)
3
2
=
1
2
ˆ
du
u
3/2
=
1
2
ˆ
u−
3/2du
então
1
2
ˆ
u−
3/2du =
1
2
u−
1/2(
−1/2
) = 1
2
× −2
1
u−
1/2 = −u−1/2 + C
retomando a variável inicial e lembrando que nosso integral é definido:
Ez =
zσ
2ε0
[ −1√
z2 + a2
]R
0
Ez =
zσ
2ε0
[ −1√
z2 +R2
−
(
− 1√
z2
)]
finalmente:
Ez =
zσ
2ε0
[
1
z
− 1√
z2 +R2
]
O que acontece com o campo do disco se fizermos a→∞ ? Se o raio for a infinito, teremos um plano
infinito de carga. Vamos ver como fazemos esse procedimento matematicamente.
1. Passemos z para dentro da expressão:
Ez =
σ
2ε0
[
z
z
− z√
z2 +R2
]
2. simplificamos z na primeira fração dentro do parenteses reto, e colocamos z em evidência dentro
do radical:
Ez =
σ
2ε0
1− z√
z2
(
1 + R
2
z2
)

3. procedendo a simplificação chegamos a:
Ez =
σ
2ε0
1− 1√(
1 + R
2
z2
)

175
4. fazemos R→∞ obtendo então:
lim
R→∞
Ez =
σ
2ε0
1− 1√(
1 + ∞2
z2
)

Portanto, para um plano infinito de carga, obtemos que seu campo é independente da distância ao
plano.
Ez =
σ
2ε0
176 APÊNDICE F. CAMPO DE UM DISCO UNIFORMEMENTE CARREGADO
Apêndice G
O potencial vetor e a densidade de
corrente
Considere o potencial vetor ~A . Como vimos, para caracterizar um campo vetorial, precisamos conhecer
a sua divergência e o seu rotacional. Se somarmos ao campo vetorial o gradiente de uma função escalar
f , o campo magnético se mantêm inalterado:
~A1 = ~A+∇f
∇× ~A1 = ∇× ~A+∇×∇f
∇× ~A1 = ∇× ~A
Utilizando a lei de Ampère:
∇× ~B = µ0 ~J
∇×∇× ~A = µ0 ~J
∇
(
∇ · ~A
)
−∇2 ~A = µ0 ~J
Tomando a divergência de ~A nula
∇2 ~A = −µ0 ~J
177