estatistica resolvido

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I. S. E. L. P. E. 
 
 
 Exercícios resolvidos de Teoria das Probabilidades 
 
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Exercícios resolvidos de Teoria das Probabilidades 
 
Exercício 1: Sabendo que A e B são acontecimentos tais que, [ ]P A x= , 
[ ]P B y= e [ ]P A B z∩ = , exprima cada uma das probabilidades em termos de 
x , y e z : 
 (a) P A B⎡ ⎤∪⎣ ⎦ ; (b) P A B⎡ ⎤∩⎣ ⎦ ; (c) P A B⎡ ⎤∪⎣ ⎦ ; (d) P A B⎡ ⎤∩⎣ ⎦ . 
 
Resolução: 
(a) Sendo = ∪C A B , temos o evento complementar = ∪ = ∩C A B A B , logo 
⎡ ⎤= ∪ = − = − ∩ = −⎣ ⎦( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 .P C P A B P C P A B z 
(b) ⎡ ⎤∩ = − ∩ = −⎣ ⎦ ( ) ( ) .P A B P B P A B y z 
(c) Pela probabilidade da reunião de dois eventos temos: 
⎡ ⎤∪ = + − ∩ = − + − ∩⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A P B P A B 
Pela alínea b) ⎡ ⎤∩ = −⎣ ⎦P A B y z , logo ⎡ ⎤∪ = − + − − = − +⎣ ⎦ 1 ( ) 1 .P A B x y y z x z 
(d) Sendo = ∩C A B , temos o evento complementar = ∩ = ∪C A B A B , logo 
[ ]= ∩ = − ∪ = − + − ∩ = − − +( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 .P C P A B P A B P A P B P A B x y z 
 
Exercício 2: Considere um jogo que consiste no lançamento de dois dados n 
vezes consecutivas e em que se ganha se sair pelo menos um par de “6”. Qual 
o valor máximo de n de forma que a probabilidade de perder exceda a 
probabilidade de ganhar? 
 
Resolução: 
Considerem-se os seguintes eventos: 
G : “ganhar o jogo” 
G : “perder o jogo” 
A : “ sair o par (6,6) num lançamento dos dois dados” 
Dado que os dados são equilibrados e que os resultados obtidos nos dois 
lançamentos são independentes temos: 
I. S. E. L. P. E. 
 
 
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= ⋅ =1 1 1( )
6 6 36
P A e portanto = − = − =1 35( ) 1 ( ) 1
36 36
P A P A 
O evento G verifica-se quando o par (6,6) sai pelo menos uma vez nos n 
lançamentos. O seu completar G , verifica-se quando o par (6,6) nunca sai nos 
n lançamentos. Assim, a probabilidade de G é fácil de calcular, considerando 
como hipótese que os n lançamentos do par de dados produzem resultados 
independentes, vindo: 
⎛ ⎞= ∩ ∩ ∩ = = ⋅ = ⎜ ⎟⎝ ⎠" … "���	��
 ����	���
35 35 35 35( ) ( ) ( ). ( ). . ( )
36 36 36 36
n
n vezes n vezes
P G P A A A P A P A P A 
Torna-se agora imediato o cálculo de ( )P G , pois ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
35( ) 1 ( ) 1
36
n
P G P G 
Pretende-se determinar o valor de n tal que >( ) ( )P G P G , ou seja: 
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> − ⇔ > ⇔ > ⇔ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
35 35 35 35 1 35 11 2. 1 ln ln ,
36 36 36 36 2 36 2
n n n n n
 por uma das 
propriedades dos logaritmos temos: 
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠> ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠
1ln
35 1 2.ln ln 24,6.
3536 2 ln
36
n n n 
Assim, o valor máximo de n, para que a probabilidade de perder exceda a 
probabilidade de ganhar é n=24 lançamentos. 
 
Exercício 3: Considere o circuito eléctrico representado abaixo. 
 
As lâmpadas 1l , 2l e 3l só acendem se os interruptores dos respectivos ramos 
se encontrarem fechados. Sabendo que os interruptores funcionam 
independentemente uns dos outros e que cada um deles tem a probabilidade 
p de se encontrar fechado, determine (em função de p ): 
 (a) A probabilidade de poder passar corrente entre os pontos A e B; 
 (b) A probabilidade de se acenderem as lâmpadas 1l e 2l ; 
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 (c) A probabilidade de se encontrarem acesas todas as lâmpadas; 
 (d) A probabilidade de só se encontrarem acesas 1l e 3l . 
 
Resolução: 
Sejam os eventos: 
:iI ” o i-ésimo interruptor está fechado”, com =( )iP I p , =1,...,5i . 
(a) Para passar corrente entre os pontos A e B temos três possibilidades, em 
paralelo, portanto vamos utilizar a fórmula de cálculo da probabilidade de 
uma reunião de eventos: 
[ ]∩ ∪ ∪ ∩ = ∩ + + ∩ − ∩ ∩ − ∩ ∩
− ∩ ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ ∩
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 3 4 5
1 2 4 5 1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
P I I I I I P I I P I P I I P I I I P I I I
P I I I I P I I I I I
 
Dado que os interruptores funcionam de modo independente, as probabilidades 
de intersecções de eventos, pela lei da probabilidade do produto, vêm iguais 
aos produtos das probabilidades dos eventos intervenientes nas respectivas 
intersecções: 
∩ = = = 21 2 1 2( ) ( ). ( ) .P I I P I P I p p p 
∩ = = = 24 5 4 5( ) ( ). ( ) .P I I P I P I p p p 
∩ ∩ = = = 31 2 3 1 2 3( ) ( ). ( ). ( ) . .P I I I P I P I P I p p p p 
∩ ∩ = 33 4 5( )P I I I p 
∩ ∩ ∩ =
∩ ∩ ∩ ∩ =
4
1 2 4 5
5
1 2 3 4 5
( )
( )
P I I I I p
P I I I I I p
 
Finalmente vem [ ]∩ ∪ ∪ ∩ = + − − +2 3 4 51 2 3 4 5( ) ( ) 2 2P I I I I I p p p p p . 
 
(b) Os interruptores 1, 2 e 3 têm se estar fechados, logo: 
∩ ∩ = = 31 2 3 1 2 3( ) ( ). ( ). ( )P I I I P I P I P I p . 
 
(c) Os interruptores têm de estar todos fechados: 
∩ ∩ ∩ ∩ = = 51 2 3 4 5 1 2 3 4 5( ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( )P I I I I I P I P I P I P I P I p . 
 
(d) Os interruptores 1, 2, 4 e 5 têm se estar fechados e o interruptor 3 aberto, 
logo: 
∩ ∩ ∩ ∩ = = − = −4 4 51 2 4 5 3 1 2 4 5( ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) .(1 )P I I I I I P I P I P I P I P I p p p p 
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Outra alternativa de resolução: 
∩ ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ − ∩ ∩ ∩ ∩ =
= − = −
1 2 4 5 3 1 2 4 5 1 2 4 5 3
4 5
1 2 4 5 1 2 4 5 3
( ) ( ) ( )
( ). ( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) .
P I I I I I P I I I I P I I I I I
P I P I P I P I P I P I P I P I P I p p
 
 
 
Exercício 4: Sabe-se que a probabilidade dum cabo eléctrico conector de um 
computador portátil que é mantido em local isento de humidades, apresentar 
falhas durante o período de garantia é de 1%. Se o computador for 
armazenado em condições de humidade, essa probabilidade passará para 5%. 
Se 90% dos computadores são mantidos em condições isentas de humidades 
e 10% sujeitos a humidades, qual é a proporção de aparelhos que 
apresentaram falhas nos conectores durante o período de garantia? 
 
Resolução: 
Sejam os eventos: 
:H ”o cabo eléctrico é mantido em local húmido” 
H : “ o cabo eléctrico é mantido em local isento de humidade” 
:F ” Um determinado aparelho escolhido aleatoriamente do total de aparelhos 
armazenados apresenta falhas durante o período de garantia” 
Dados fornecidos no enunciado: 
=
=
= =
( | ) 0,01
( | ) 0,05
( ) 0,9 ( ) 0,1
P F H
P F H
P H P H
 
Temos um espaço de resultados onde se define uma partição pelos eventos H 
e H . Como F é um evento definido nesse mesmo espaço, utilizamos o teorema 
da probabilidade total para calcular a probabilidade pretendida ( )P F . 
 Assim, 
 
= ∩ + ∩ = + =
= × + × =
( ) ( ) ( ) ( | ). ( ) ( | ). ( )
0,05 0,1 0,01 0,9 0,014.
P F P F H P F H P F H P H P F H P H