4. MATEMÁTICA

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Índice
Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros,
racionais e reais.
Habilidade 1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações –
naturais, inteiros, racionais ou reais......................................................................................................3
Habilidade 2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. ...................................................................6
Habilidade 3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos......................................................9
Habilidade 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações
quantitativas......................................................................................................................................12
Habilidade 5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos ..........................15
Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre ela.
Habilidade 6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua
representação no espaço bidimensional .............................................................................................19
Habilidade 7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais .....................................................................22
Habilidade 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma ..................28
Habilidade 9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como 
solução de problemas do cotidiano....................................................................................................32
Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão
da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade 10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de medida ................................................................36
Habilidade 11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano................................39
Habilidade 12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.........................................................42
Habilidade 13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente ............................45
Habilidade 14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados 
a grandezas e medidas ......................................................................................................................48
Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão
da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Habilidade 15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas ........................................................................50
Habilidade 16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.....................................................................................................................................52
Habilidade 17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de
argumentação ...................................................................................................................................56
Habilidade 18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas..............................58
Matemática e suas Tecnologias
Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis so -
cioeconô micas ou técnico-científicas, usando representações
algébricas.
Habilidade 19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas..................................60
Habilidade 20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas ..............................................64
Habilidade 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos................................68
Habilidade 22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação....72
Habilidade 23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos...........................76
Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas
da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de ten -
dência, extrapolação, interpolação e interpretação.
Habilidade 24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências ......................................80
Habilidade 25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos ..................................................84
Habilidade 26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a 
construção de argumentos ................................................................................................................88
Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos
fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados
para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabi -
lidade para interpretar informações de variáveis apresentadas
em uma distribuição estatística.
Habilidade 27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em 
uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos...............................92
Habilidade 28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade ......................96
Habilidade 29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a 
construção de argumentação ............................................................................................................98
Habilidade 30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de 
estatística e probabilidade ...............................................................................................................101
1) Os números naturais são {0; 1; 2; 3; 4; …} e são utilizados, principalmente,
para efetuar contagens.
2) Os números inteiros são {…; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; …} e são utilizados nas
operações nas quais se podem obter números negativos, como, por exemplo, no
cálculo de temperaturas, saldos bancários etc.
3) Os números racionais são �…; – 2; – ; – 1; 0; 1; 2; 2,7; 3; …�. Além de 
incluir os inteiros, este conjunto inclui as frações, os números decimais exatos e as
dizímas periódicas. Aplicam-se em casos em que o resultado pode não ser inteiro como,
por exemplo, uma pesagem, uma comparação de grandezas, uma porcentagem etc.
4) Os números reais são �5…; – 2; – ; – 1; 0; 1; ���2; ���3; 2; 3; …6�. Este 
conjunto, inclui todos os racionais e os chamados irracionais, como, ���2, ���3, 
3
���5, ….
De aplicação ampla na matemática, são utilizados em funções, na geometria, na
trigonometria etc.
Na receita de bolo de Maria constam as seguintes informações:
�
dois ovos
meio quilograma de farinha de trigo
duzentos gramas de manteiga
�
Asse-o à temperatura de duzentos graus celsius e resfrie-o à temperatura de
cinco graus abaixo de zero.
�
Para melhor representar as quantidades de ovos, farinha, manteiga e as
temperaturas citadas na receita, podemos utilizar, respectivamente, números:
a) naturais, racionais, naturais, inteiros
b) naturais, inteiros, racionais, reais
c) inteiros, naturais, reais, racionais
d) racionais, inteiros, inteiros, naturais
e) naturais, racionais, inteiros, naturais
ExercícioExplicativo 1
3
–––
2
3
–––
2
Matemática e suas Tecnologias
Competência de área 1 – Construir sig nifi cados para
os números naturais, inteiros, racionais e reais.
�
�
�
�
3
Reconhecer, no contexto social, diferentes significados
e representações dos números e operações – naturais,
inteiros, racionais ou reais.
“Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se conhecem são os dos egípcios
e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 3500 a.C.
Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.”
Texto: Valéria Ostete Jammis, Luchetta, (21/10/2000)
Cajou, Florian, A history of Mathematical Notations,
Dover Publications INC, New York, 1993
Para eles, um traço vertical valia 1; o número 10 era representado por um osso de
calcanhar invertido �; o 100 por um laço , e o 1000 por uma flor de lótus .
Outros números eram escritos com a combinação desses símbolos.
Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios.
Em símbolos atuais, os números podem ser escritos, respectivamente, por
a) 2223 e 1222. b) 1222 e 6322. c) 2236 e 1122.
d) 2336 e 1222. e) 2236 e 1222.
Exercício Explicativo 2
4
A quantidade de ovos é sempre expressa por números naturais; meio
quilograma de farinha é expressa por um número racional; 200g de
manteiga é expressa por um número natural; – 5°C é expressa por um número
inteiro.
Resposta: A
1�–– kg�2
Comentário
Resposta: C
= 2236
= 1122
Comentário
Uma companhia de telefonia celular cobra R$ 0,19 por minuto em ligações locais para
outros celulares e R$ 1,16 por minuto em ligações a distância. Pedro fez 8 ligações
locais de 2,5 minutos cada uma e 2 ligações a distância de 0,5 minuto cada uma.
Levando-se em conta apenas o preço do minuto em cada ligação, Pedro vai pagar à
companhia telefônica
a) R$ 3,70 b) R$ 4,96 c) R$ 12,50
d) R$ 13,50 e) R$ 14,20
Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas
bancárias, de CPF, de Carteira de Iden tidade etc.) usualmente
possuem um dígito de verifi cação, normalmente representado
após o hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem a
finali da de de evitar erros no preenchimento ou na digitação de
do cumentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito
compõe-se dos seguintes passos:
• multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo
por 2, o antepenúltimo por 1 e assim por diante, sempre
alternando multiplicações por 1 e por 2;
• soma-se 1 a cada um dos resultados dessas mul tiplicações
que for maior do que 10 ou igual a 10;
• somam-se os resultados obtidos;
• calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se,
assim, o dígito de verificação.
O dígito de verificação para o número 24685 fornecido pelo
processo descrito anteriormente é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
Exercício Explicativo 3
Exercício Explicativo 4
5
Pedro vai pagar à companhia telefônica a quantia de
(8 . 2,5) . R$ 0,19 + (2 . 0,5) . R$ 1,16 = R$ 3,80 + R$ 1,16 = R$ 4,96
Resposta: B
Comentário
1) 1 . 2 + 2 . 4 + 1 . 6 + (2 . 8 + 1) + 1 . 5 = 2 + 8 + 6 + 17 + 5 = 38
2)
3) O dígito é 8.
Resposta: E
10
3
38
8
Comentário
Existem sequências que obedecem a padrões numéricos de formação, facilmente
reconhecíveis. Esses padrões podem ser expressos por uma propriedade ou uma
fórmula que caracteriza os termos da sequência.
Exemplos
1) A sequência (2; 3; 5; 7; 11; 13; …) é formada pelos números primos naturais.
2) Na sequência (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …), chamada de “Sequência de Fibonacci”,
a partir do terceiro, cada termo é a soma dos dois precedentes.
3) A sequência (3; 7; 11; 15; 19; …) é uma progressão aritmética e o termos
podem ser obtidos pela fórmula an = 3 + (n – 1) . 4
4) A sequência (6; 12; 24; 48; 96; …) é uma progressão geométrica e os termos
podem ser obtidos pela fórmula an = 6 . 2
n – 1
5) A fórmula an = n(n + 1) caracteriza os termos da sequência (2; 6; 12; 20; 
30; …)
O “princípio fundamental da contagem” é um ótimo recurso para obter resultados
em que se identificam padrões numéricos. Pelo princípio fundamental da contagem,
se existirem m maneiras de se escolher um objeto e n maneiras de se escolher outro
objeto, então existirão m . n maneiras de se escolher esses dois objetos.
Um satélite utilizado para monitorar queimadas enviou a seguinte fotografia de um
incêndio próximo a uma plantação de eucaliptos:
Exercício Explicativo 1
80 árvores
FumaçaFumaça
Identificar padrões numéricos ou princípios de
contagem.
6
A imagem revela que há a possibilidade de o fogo atingir essa plantação. Pelo fato de
a fumaça encobrir parte desse conjunto de árvores, só é possível ver as ex tremidades
dessa plantação. Baseando-se no padrão espacial das árvores, uma esti mativa do
número total de árvores é:
a) 1980 b) 2820 c) 3240 d) 2470 e) 3820
Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja iden -
tificação é formada por 3 letras distintas (entre 26), seguidas de 4 algarismos distintos.
Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último
algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos
por tal rede de supermercados para essa cidade é 
a) 33 600 b) 37 800 c) 43 200 d) 58 500 e) 67 600 
Os ramais telefônicos de uma empresa são indicados por números de três algarismos
distintos. O primeiro algarismo do número indica o departamento da empresa ao qual
pertence o ramal. Se os cinco departamentos da empresa são indicados pelos
algarismos de 1 a 5, quantos números de ramais existem no máximo?
a) 24 b) 120 c) 240 d) 360 e) 720
Exercício Explicativo 3
Exercício Explicativo 2
As quantidades de árvores existentes em cada fila são os termos da progressão
aritmética (1; 2; 3; 4; …; 80).
A quantidade estimada de árvore é
S80 = = = 3240
Resposta: C
(a1 + a80) . 80
––––––––––––––
2
(1 + 80) . 80
––––––––––––––
2
Comentário
A numeração dos cartões dessa cidade é do tipo
A primeira letra pode ser escolhida entre as 25 res tan tes e a segunda letra entre
as 24 restantes.
O primeiro algarismo pode ser escolhido entre os 8 res tantes e o segundo entre
os sete restantes.
Desta forma, pelo princípio fundamental da contagem, o número de cartões é
25 . 24 . 8 . 7 = 33 600
Resposta: A
L 10
Comentário
7
Marcela, responsável pela decoração da festa de São João, decidiu dispor as
bandeirolas na seguinte sequên cia:
No pátio da escola, cabiam 7 filas. Obedecendo à mesma sequência numérica do
quadro, o número de bandeirolas da última fila é
a) 27 b) 32 c) 37 d) 42 e) 47 
A civilização babilônica viveu na Mesopotâmia há cerca de 6000 anos. Os estu diosos
encontraram documentos dessa civilização feitos em tijolos relativamente finos de
argila. A escrita era feita com uma espécie de estilete nos tijolos ainda úmidos. Os
traços dessa escrita tinham o formato de cunha e por isso a escrita dos babilônios é
chamada cuneiforme. Os arqueólogos descobriram tabletes babilô nicos datados pro -
vavelmente de 1800 antes de Cristo, nos quais apareceram as sequências numéricas:
1, 3, 9, 27, 81,...
1, 4, 16, 64,...
Adaptado de CARVALHO, M. C. Padrões Numéricos e Sequências. São Paulo. Editora
Moderna. 1997.
As sequências descobertas mostram que os babilônios já trabalhavam naquela época
com sequências de números que mostram a seguinte regra de formação: cada número
da sequência pode ser obtido
a) a partir do segundo,somando ao anterior um mesmo número.
b) a partir do segundo, multiplicando o anterior por um mesmo número.
c) a partir do quarto, somando ao anterior um mesmo número.
d) a partir do terceiro, multiplicando o anterior por um mesmo número.
e) a partir do quarto, multiplicando o anterior por um mesmo número.
Exercício Explicativo 5
Fila Número de bandeirolas
1a. 7
2a. 12
3a. 17Exercício Explicativo 4
8
Cada fila tem 5 bandeirolas a mais 
A sequência é 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37.
O número de bandeirolas da 7a. fila é 37.
Resposta: C
Comentário
O número total de ramais é 5 . 9 . 8 = 360.
Resposta: D
Comentário
Tradicionalmente, os paulistas costumam comer pizza nos finais de semana. A família
de João, composta por ele, sua esposa e seus filhos, comprou uma pizza tamanho
gigante, cortada em 20 pedaços iguais. Sabe-se que João comeu da pizza, sua
esposa comeu e ainda sobraram N pedaços para seus filhos. O valor de N é:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
Em uma família formada por 4 pessoas, cada uma toma 2 banhos por dia. Sabe-se que
o chuveiro permanece ligado por 10 minutos, em média, para cada banho. Se a vazão
do chuveiro for de 6 litros por minuto, a quantidade de água que essa família gastará
em um mês (de 30 dias) será de
a) 10,4 m3 b) 12,4 m3 c) 14,4 m3
d) 16,4 m3 e) 18,2 m3
2
–––
5
3
––––
12
Exercício Explicativo 2
Exercício Explicativo 1
9
Em ambas as sequências, a lei de formação é: “cada termo, a partir do segundo,
é igual ao anterior multiplicado por um mesmo número”. Na primeira, esse
número é 3 e na segunda é 4.
Resposta: B
Comentário
Resolver situação-problema 
envolvendo conhecimentos numéricos.
I. João comeu 5 pedaços, pois: . 20 = . 20 = 5
II. A esposa comeu 8 pedaços, pois . 20 = 8.
III. O número de pedaços que sobraram para os filhos é N = 20 – 5 – 8 = 7.
Resposta: A
2
–––
5
1
–––
4
3
––––
12
Comentário
10
Os ratos que entram nos labirintos seguintes es colhem o menor caminho até uma das
saídas e, em ca da bifurcação, dividem-se em quantidades iguais: me ta de deles para a
esquerda e metade para a direita. No primeiro labirinto, com apenas uma bifurcação,
entram dois ratos. Um sai pela porta A, e o outro, pela porta B.
No segundo labirinto, com duas bifurcações em cada caminho, dos quatro ratos que
entram, um sai pela porta A, dois saem na porta B, e um sai na porta C.
Cada caminho do labirinto abaixo tem cinco bifurcações.
Exercício Explicativo 3
O número de banhos por dia é 4 . 2 = 8
O número de banhos num mês é 30 . 8 = 240
O tempo gasto nos 240 banhos é 240 . 10 min = 2 400 min
A água gasta é (6 �/min) . 2 400 = 14 400 � = 14 400 dm3 = 14,4 m3.
Resposta: C
Comentário
Dos 32 ratos que entraram, saíram pela porta D
a) 4 ratos . b) 5 ratos. c) 6 ratos. d) 10 ratos. e) 16 ratos.
De acordo com as metas estabelecidas por uma com panhia elétrica, um funcionário
deve fazer 30 leituras de consumo por dia. Esta leitura é feita no relógio de medição
nas residências, prédios ou comércios. Um gerente observou que, em 22 dias corridos,
o funcionário Antônio executou 4/5 do total esperado e o outro, Beto, 3/4. O número
de leituras do funcionário Antônio em relação ao de Beto foi de
a) 20 registros a menos. b) 33 registros a menos.
c) 20 registros a mais. d) 33 registros a mais.
e) 42 registros a mais.
Exercício Explicativo 4
11
A figura seguinte mostra a quantidade de ratos que chega a cada bifurcação e
o número de ratos em cada saída.
Resposta: D
Comentário
Antonio executou . 22 . 30 leituras = 528 leituras
Beto executou . 22 . 30 leituras = 495 leituras
O número de leitura de Antônio, em relação ao de Beto, foi de 33 registros a
mais.
Resposta: D
�3–––4�
�4–––5�
Comentário
O resultado numérico pode nos levar a conclusões aparentemente surpreendentes
e não previsíveis.
O comprimento de uma circunferência de raio R pode ser calculado pela
fórmula C = 2πR, em que π é uma constante e vale aproximadamente
3,14. Utilizando essa informação, resolva a seguinte questão.
Considere um anel circular ajustado perfeitamente sobre a
“linha do Equador Terrestre”. Corte-o e emende um metro
em seu comprimento, formando um novo anel circular que
envolve a Terra na linha do Equador, porém com certa folga.
Por essa folga:
a) nem uma formiga passa.
b) passa uma formiga, mas não passa um gato.
c) passa um gato, mas não passa uma pessoa adulta em
pé.
d) passa uma pessoa adulta, mas não passa um elefante.
e) passa um elefante, mas não passa uma girafa.
Um supermercado vende a lata de 900 m� de óleo por R$ 1,60 e a embalagem de
2.700 m� do mesmo óleo por R$ 5,00. Um cliente preferiu levar 3 latas de 900 m� em
vez de uma embalagem de 2.700 m�. 
Ele deve ter tomado essa decisão porque
Exercício Explicativo 2
Exercício Explicativo 1
12
Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na
construção de argumentos sobre afirmações
quantitativas.
Sendo R e R’ os raios dos anéis antes e depois do aumento, temos, em metros:
2π R’ = 2π R + 1 ⇒ R’ = R + ⇒ R’ – R = 	 	 0,16
Pelo vão de 16 cm, passa um gato, mas não passa uma pessoa em pé.
Resposta: C
1
–––––
6,28
1
––––
2π
1
––––
2π
Comentário
a) o preço do litro para as duas embalagens é igual.
b) o litro de óleo é mais barato para as embalagens de 900 m�.
c) o litro de óleo na embalagem de 2.700 m� custa mais de R$ 2,00.
d) o litro de óleo na embalagem de 900 m� custa R$ 1,43.
e) o litro de óleo na embalagem de 900 m� custa R$ 2,20.
A piscina de um prédio residencial tem 12 m de comprimento, por 10 m de largura e
1 m de profundidade. Para encher a piscina, a síndica do prédio deseja contratar uma
empresa que distribui água em carro pipa. Foram contatadas duas empresas:
� a empresa ÁGUA LIMPA cobra R$ 200,00 para transportar 20.000 litros de água;
� a empresa ÁGUA CRISTALINA cobra R$ 180,00 para transportar 15.000 litros de
água.
Para que os custos para os proprietários do prédio com o transporte de água sejam os
menores possíveis, é mais conveniente a síndica contratar
a) a empresa ÁGUA LIMPA, pois haverá uma economia de R$ 200,00 com relação à
empresa ÁGUA CRISTALINA.
b) a empresa ÁGUA LIMPA, pois haverá uma economia de R$ 240,00 com relação à
empresa ÁGUA CRISTALINA.
c) a empresa ÁGUA CRISTALINA, pois haverá uma economia de R$ 100,00 com
relação à empresa ÁGUA LIMPA.
d) a empresa ÁGUA CRISTALINA, pois haverá uma economia de R$ 180,00 com
relação à empresa ÁGUA LIMPA.
e) a empresa ÁGUA CRISTALINA, pois haverá uma economia de R$ 1.200,00 em
relação à empresa ÁGUA LIMPA.
Exercício Explicativo 3
13
O preço de um litro de óleo para a embalagem de 900 m� é 
(R$ 1,60) ÷ 0,9 
 R$ 1,77
O preço de um litro do mesmo óleo, para a embalagem de 2700 m� é 
(R$ 5,00) ÷ 2,7 
 R$ 1,85
Resposta: B
Comentário
1) A quantidade de água para encher a piscina é 
(12m) . (10m) . 1m = 120 m3 = 120 000 dm3 = 120 000 �
2) A empresa ÁGUA LIMPA teria de fazer = 6 viagens e, para isso,
cobraria 6 . R$ 200,00 = R$ 1 200,00
3) A empresa ÁGUA CRISTALINA teria de fazer = 8 viagens e, para
isso, cobraria 8 . R$ 180,00 = R$ 14 400,00
4) Ao contratar a empresa ÁGUA LIMPA, a economia será 
R$ 1 440,00 – R$ 1 200,00 = R$ 240,00
Resposta: B
120 000
––––––––
15 000
120 000
–––––––
20 000
Comentário
A escolha do presidente de uma associação de bairro foi feita por uma eleição, na
qual votaram 200 moradores.
Após apuração de 180 dos 200 votos, o resultado da eleição era o seguinte:
A partir dos dados acima, pode-se concluir que
a) o vencedor da eleição certamente será o candidato II.
b) dependendo dos votos que ainda não foram apura dos, o candidato I poderá ser
o vencedor da eleição.
c) o vencedor da eleição poderá ser o candidato II ou o candidato III.
d) como existem votos ainda não apurados, qualquer um dos três candidatos poderá
ganhar a eleição.
e) o vencedor será, certamente, o candidato III.
Ao cobrir um jogo de basquete entre os times Azulão e Verdão, um repórter anotou
os pontos feitos pelos dois jogadores que marcaram mais pontos nos dois times:
Esse repórter considerou que o rendimento de um jogador durante um jogo é medido
pela razão entre o número de pontos que faz eo total de pontos feitos pelo seu time.
O Azulão ganhou do Verdão por 80 a 72.
O repórter publicou corretamente que, naquela partida, em relação ao rendimento,
a) João foi o melhor de todos. b) Antony foi o pior de todos.
c) Sivuca e Pedroca foram iguais. d) João e Antony foram iguais.
e) João foi o pior de todos.
Exercício Explicativo 4
Candidato I 47 votos
Candidato II 72 votos
Candidato III 61 votos
Verdão
Sivuca 18
Antony 36
Azulão
João 30
Pedroca 20
Exercício Explicativo 5
14
O candidato I, certamente, será o perdedor, pois 47 + 20 = 67 < 72.
Dependendo dos 20 votos que faltam, a maior pontuação será do candidato II
ou do candidato III.
Resposta: C
Comentário
15
Rendimento de João: = 0,375 = 37,5%
Rendimento de Pedroca: = 0,25 = 25%
Rendimento de Sivuca: = 0,25 = 25%
Rendimento de Antony: = 0,5 = 50%
Assim sendo, é correto afirmar que “Sivuca e Pedroca foram iguais”.
Resposta: C
30
––––
80
36
––––
72
18
––––
72
20
––––
80
Comentário
O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou o álcool nos veículos auto -
motores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, princi palmente,
pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito
com a conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural.
Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a
gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e
custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km
e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o
investimento da conversão em aproximadamente
a) 2 meses. b) 4 meses. c) 6 meses. d) 8 meses. e) 10 meses.
Exercício Explicativo 1
A economia, por quilômetro, de um carro que foi convertido de gasolina para 
gás é, em reais, igual a – = 
Em 6000 quilômetros, a economia será de . 6000 = 770 reais.
Se o gasto na conversão foi de R$ 3 000,00 e o taxista percorre 6000 km por 
mês, o investimento será recuperado em meses, isto é, aproxima -
damente 4 meses.
Resposta: B
3000
––––––
770
7,7
–––––
60
7,7
–––––
60
1,10
–––––
12
2,20
––––––
10
Comentário
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando
conhecimentos numéricos.
O parque nacional dos vulcões está localizado a noroeste de Ruanda, um dos menores
países da África. Possui 125 km2 de área em volta de meia dúzia de vulcões. Para
visitar esse paraíso ecológico, uma agência de turismo oferece os seguintes pacotes:
Fonte: Revista Veja Edição n° 1765 de 21/08/02
A cotação do dólar é R$ 2,70. Por dia, o pacote
a) I é mais econômico em R$ 243,00. b) II é mais econômico em R$ 243,00.
c) I é mais econômico em R$ 324,00. d) II é mais econômico em R$ 324,00.
e) I é mais econômico em R$ 280,00.
Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos carentes de uma escola da sua
vizinhança. Receberão os materiais escolares apenas os alunos que tenham menos de
10 faltas no ano e cujas famílias tenham renda de até 3 salários mínimos. Sabe-se que
• a escola possui 1000 alunos;
• 350 alunos têm menos de 10 faltas no ano;
• 700 alunos pertencem a famílias com renda de até 3 salários mínimos;
• 200 alunos não pertencem a nenhum dos grupos acima, ou seja, têm 10 ou mais
faltas no ano e pertencem a famílias com renda superior a 3 salários mínimos.
A empresa deve enviar o material escolar para
a) 250 alunos. b) 300 alunos. c) 400 alunos.
d) 550 alunos. e) 600 alunos.
Exercício Explicativo 3
Exercício Explicativo 2
Pacote Passagem Aérea Hotel
I U$ 1.800 4 dias – diária de U$ 120
II U$ 1.750 5 dias – diária de U$ 130
16
Pelo pacote (I), a despesa de um dia, em reais, é
2,70 . + 120 = 2,70 . 570 = 1539
Pelo pacote (II), a despesa de um dia, em reais, é
2,70 . + 130 = 2,70 . 480 = 1296
O pacote (II) é mais econômico em (1539 – 1296) reais = 243 reais.
Resposta: B
�1750–––––5�
�1800–––––4�
Comentário
Um funcionário de uma papelaria, para verificar a neces sidade de reposição do estoque
de folhas de cartolina, percebeu que precisava saber a quantidade de folhas dessa
cartolina empilhadas numa prateleira. Imaginando que levaria muito tempo para
contar todas as folhas, procedeu do seguinte modo
• mediu a altura das folhas empilhadas e encontrou 27 cm;
• separou uma pilha de cartolinas com 2 cm de altura, contou-as e obteve 40 folhas.
Sabendo-se que a papelaria costuma manter na prate leira um estoque mínimo de 500
folhas dessa cartolina, pode-se concluir que
a) não há necessidade de repor o estoque, pois existem cerca de 540 folhas.
b) há necessidade de repor o estoque, pois existem cerca de 470 folhas.
c) há necessidade de repor o estoque com, pelo menos, 40 folhas.
d) não há necessidade de repor o estoque, pois existem cerca de 610 folhas.
e) não há necessidade de repor o estoque, pois existem mais de 700 folhas,
Exercício Explicativo 4
17
Se x for o número de alunos com menos de 10 faltas e que pertencem a famílias
cuja renda é de até 3 salários mínimos de acordo com o enunciado, temos:
(350 – x) + x + (700 – x) + 200 = 1000 ⇔ x = 250
Resposta: A
Comentário
= ⇔ x = = 540
Resposta: A
27 . 40
––––––––
2
40
––––
x
2
–––
27
Altura (cm) número de folhas
2 40
27 x
Comentário
Joana Gonçalves, de 19 anos, é uma atleta de salto em altura. Uma noite, alguns
amigos de Joana convida ram-na para jantar em um restaurante. Eis o cardápio:
O restaurante tem também um cardápio especial com preço fixo.
O valor energético diário recomendado para Joana é de 9820kJ.
• Joana mantém um registro do que come diaria mente. Nesse dia, antes de jantar,
já tinha in gerido o correspondente a um valor energético total de 7520kJ.
• Joana não quer que o valor energético total in gerido seja inferior ou superior em
mais de 500kJ ao valor diário recomendado para o seu caso.
Determine se o “cardápio com preço fixo” permitirá à Joana respeitar os valores
energéticos recomen da dos para o seu caso, dentro desses limites de ± 500kJ.
Exercício Explicativo 5
18
a) Sim, pois faltarão menos de 500kJ para atingir o valor recomendado.
b) Sim, pois o excesso em relação ao valor recomendado é menor que 500kJ.
c) Não, pois o excesso em relação ao recomendado é superior a 500kJ.
d) Não, pois o que falta para o valor recomendado é superior a 500kJ.
e) Não há elementos para uma conclusão.
19
Valor recomendado: 9820kJValor já consumido: 7520kJ
Valor a consumir: 2300kJ
Cardápio com preço fixo:
Sopa de tomate: 355kJ
Frango com legumes: 795kJ
Bolo de cenoura: 565kJ
Total do cardápio: 1715kJ
Falta consumir: 2300kJ – 1715kJ = 585kJ
Resposta: D
Comentário
Interpretar a localização e a movimentação de
pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua
representação no espaço bidimensional
A geometria analítica, com recursos da álgebra e da geometria plana, permite
localizar pontos (objetos), calcular distâncias, áreas, estabelecer relações entre tais
distância e áreas.
Por exemplo, dados dois pontos, A(xA; yA) e B(xB; yB), no plano cartesiano,
é possível determinar a distância entre eles, apenas aplicando a fórmula
Conhecendo três pontos, é possível determinar a área do triângulo por
eles formado usando a fórmula
que, quando nula, significa que os pontos estão alinhados.
xA yA 11
S = ––– xB yB 12
xC yC 1
dAB = (xA – xB)
2 + (yA – yB)
2
Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento
geométrico para realizar a leitura e a represen tação
da realidade e agir sobre ela.
Escala: 1: 100 000
João, um navegante solitário, deseja ir da cidade A à cidade B, ambas às margens do
lago Titicaca, representadas na figura acima. João não considera a correnteza da água
e pretende navegar o menor tempopossível. 
Considerando que ele navega à 2 km/h, ele levará:
a) 1 hora b) 1 hora e meia c) 2 horas
d) 2 horas e meia e) 3 horas
Texto para as questões de 2 a 4.
Este problema consiste em planejar o melhor itinerário para as férias.
As figuras 1 e 2 mostram um mapa da região e as dis tân cias entre as cidades.
Exercício Explicativo 1
A distância entre A e B é dada por = 5
Na escala de 1:100 000, esta distância corresponde a 500 000 cm = 5 km.
Navegando à 2 km/h, João levará = 2,5 h = 2 horas e meia
Resposta: D
dAB = (1 – 5)
2 + (2 – 5)2
5 km
–––––––
2 km/h
Comentário
20
Figura 1: Mapa das estradas de ligação entre as cidades.
Figura 2: Caminho mais curto, por estrada, entre as ci dades, em quilômetros.
O caminho mais curto, por estrada, entre Nuben e Kado tem
a) 850 km b) 950 km c) 1000 km d) 1050 km e) 1300 km
Kado
Lapat
Angaz
Piras
Megal
Nuben
Exercício Explicativo 2
Angaz Kado Lapat Megal Nuben Piras
Angaz 300 500
Kado 550
Lapat 500 300 550
Megal
Nuben 450 250
Piras 300
21
O caminho mais curto é o que vai de Kado a Angaz (550 km) e em seguida de
Angaz a Nuben (500 km). Esse trajeto tota liza (550 + 500) km = 1050 km.
Resposta: D
Kado
Lapat
Angaz
Piras
Megal
Nuben
300
500
450
300
550
550
25
0
500 30
0
Comentário
O caminho mais curto, por estrada, entre Piras e Megal tem
a) 550 km b) 600 km c) 650 km d) 700 km e) 850 km
O caminho mais curto, por estrada, entre Lapat e Nuben
a) tem 1050 km. b) passa por Piras.
c) passa por Kado. d) passa obrigatoriamente por Megal.
e) pode passar por Angaz.
Exercício Explicativo 4
Exercício Explicativo 3
22
O caminho mais curto é o que vai de Piras a Angaz (300 km) e em seguida de
Angaz a Megal (300 km). Esse trajeto totaliza 600 km
Resposta: B
Comentário
O caminho mais curto tem 1000 km e, para executá-lo, pode-se passar por Megal
ou por Angaz.
Resposta: E
Comentário
As principais características de uma figura plana são a forma, as medidas de seus
segmentos e ângulos, seu perímetro e sua área.
Em figura planas semelhantes, seus ângulos são respectivamente de mesma
medida e seus segmentos respectivamente proporcionais. Os triângulos da figura
seguinte são semelhantes, pois 
^
A 
 ^A’, ^B 
 ^B’ e ^C 
 ^C’ 
AB BC AC
––––– = ––––– = –––––
A’B’ B’C’ A’C’
A
12 10
14
�
�
B C
�
A’
6 5
7
�
�
B’ C’
�
Identificar características de figuras planas ou espaciais
Algumas formas e suas respectivas áreas
Alguns sólidos e seus respectivos volumes
R
Pirâmides Cones Esferas
Área da base ×× altura
V = –––––––––––––––––––––––––
3
Área = 4π R2
4π R3
V = –––––––
3
Cubo Paralelepípedo Cilindros
V = área da base ×× altura
23
Triângulo Área
b . h
S = ––––––
2
Quadrados,
retângulos e
paralelogramos
Área
S = base × altura
Triângulo
equilátero
� �
�
Área
�2 ���3
S = –––––––
4
Círculo
R
Área
S = π . R2
Perímetro
C = 2π R
Um banco de altura regulável, cujo assento tem forma retangular, e comprimento 
40 cm, apoia-se sobre duas barras iguais, de comprimento 60 cm (ver figura 1). Cada
barra tem três furos, e o ajuste da altura do ban co é feito colocando-se o parafuso nos
primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (visão lateral do banco,
na figura 2). A menor altura que pode ser obtida é:
a) 36 cm b) 38 cm c) 40 cm d) 42 cm e) 44 cm
Exercício Explicativo 1
60 cm
figura 1
40 cm
25 cm
5 cm
5 cm
25 cm
figura 2
40 cm
24
1) A altura mínima é obtida com a configuração esboçada na figura acima.
2) Considerando-se o triângulo retângulo de catetos de medidas 20 e h1 e
hipotenusa de medida 25, em cm, tem-se: 
h2
1
+ 202 = 252 ⇔ h
1
2 = 225 ⇔ h1 = 15
3) Da semelhança dos triângulos da figura, tem-se:
h1 25–––– = ––––
h2 35
15 25
Assim: –––– = –––– ⇔ h2 = 21h2 35
Portanto, a menor altura que pode ser obtida, em centí metros, é igual a:
h1 + h2 = 15 + 21 = 36
Resposta: A
40
25
5
25
25
25
5
h1
h2
5
5
Comentário
25
Leia o texto a seguir:
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero
comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele
assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a altura da pirâmide de Quéops,
cuja base é um qua drado de 230 metros de lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou ver ticalmente no solo uma estaca
que ficou com altura de 1 metro acima do solo.
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da estaca são,
respectivamente, 255 me tros e 2,5 metros.
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C. 
Matemática na Medida Certa. Volume. São Paulo: Scipione)
Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da pirâmide, em
metros, é
a) 14,80 b) 92,50 c) 148 d) 925 e) 1 480
Exercício Explicativo 2
Metade da medida da base
Altura da
pirâmide
Raios
de sol
Estaca fincada
verticalmente no solo
Comprimento da
sombra da estaca
Comprimento da
sombra da pirâmide
vara de medir
estaca
sombra
da estaca
raios de sol
Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um
pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a
80 cm e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual
a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o vo lume do bloco deva ser igual
ao volume do orifício.
É correto afirmar que o valor “L” do lado da base quadrada do prisma reto
corresponde a: 
a) 20 ��2 cm b) 40 ��2 cm c) 50 ��2 cm 
d) 60 ��2 cm e) 80 ��2 cm 
Exercício Explicativo 3
80 cm
80 cm80 cm
L
Bloco vazado Vista aérea
L
26
Como os raios solares são paralelos, os triângulos da figura são semelhantes.
b = 230 m ⇒ sP + = (255 + 115)m = 370 m
⇒ HP = 148 m
Resposta: C
H
P
s +
P
�
b
2
H
E
�
s
E
HP 1,0––––– = –––––
370 2,5
b
–––
2
HP HE––––––––– = –––––
b sEsP + –––2
Comentário
27
Para que o volume do bloco (Vb) seja igual ao volume do orifício (Vo) o volume
do cubo (Vc), em cm
3, deverá ser tal que:
Vc = 2Vo ⇒ 80 . 80 . 80 = 2 . L . L . 80 ⇔ L
2 = 3200 ⇔ L = 40 ��2 
Resposta: B
Comentário
Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo
diâmetro da boca. Neles, são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme
indicado nas figu ras. 
Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-
se
a) V1 = V2 = V3 b) V1 < V3 < V2 c) V1 = V3 < V2
d) V3 < V1 < V2 e) V1 < V2 = V3
V1V1 V3V3V2V2
Exercício Explicativo 4
1) Os três sólidos têm mesma altura h.
2) Se B1, B3 e B2 forem as medidas das bases dos sólidos de volumes V1, V3 e
V2, respectivamente, então: B1 < B3 = B2
3) Se S1, S3 e S2 forem as áreas das intersecções de um plano qualquer,
paralelo às bases, com os sólidos de volumes V1, V3 e V2, respectivamente,
então S1 < S3 ≤ S2
4) De (1), (2) e (3), concluímos que V1 < V3 < V2.
Resposta: B
h
B1B1 B3B3 B2B2
S1S1 S3S3 S2S2
V1V1 V3V3 V2V2
Comentário
28
Resolver situação-problema que envolva
conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Uma garrafa de bojo cilíndrico, como mostra a figura 1, contém um líquido que ocupa
quase completamente seu bojo. Para calcular a capacidade total da garrafa, dispondo
apenas de uma régua milimetrada e lembrando que é possível virá-la, fazemos as
seguintes medições, todas em centímetros:
1) O diâmetro d e a altura H, conforme mostra a figura 1.
2) A altura h que caracteriza a parte vazia após ser virada agarrafa.
De acordo com estas informações, a capacidade total da garrafa, em centímetros
cúbicos, é:
a) π d2 (H + h) b) c)
d) e)
Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um
professor fez o seguinte ex perimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um
cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou,
dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso.
Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água
passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido?
a) 0,2 m3 b) 0,48 m3 c) 4,8 m3 d) 20 m3 e) 48 m3
Exercício Explicativo 2
π d2 (H + h)
–––––––––––––
4
π d2 (H – h)
–––––––––––––
4
π d2 (H + h)
–––––––––––––
2
π d2 (H – h)
–––––––––––––
2
Exercício Explicativo 1
1) Volume do cilindro de raio e altura H: π . 
2
. H = 
2) Volume do cilindro de raio e altura h: π . 
2
. h = 
3) Capacidade da garrafa: + = 
Resposta: D
π d2 . (H + h)
–––––––––––––
4
π d2 h
–––––––
4
π d2 H
–––––––
4
π . d2 . h
–––––––––
4�
d
–––
2�
d
–––
2
π . d2 . H
–––––––––
4�
d
–––
2�
d
–––
2
Comentário
Considere um pedaço de car tolina retan gular de lado me nor 10 cm e lado maior 
20 cm. Retirando-se 4 qua drados iguais de lados x cm (um qua drado de cada can to)
e do bran do-se na linha pon tilha da conforme mos tra a figura, ob tém-se uma peque -
na caixa retan gular sem tampa. O polinômio na variável x que representa o volume,
em cm3, desta caixa é
a) 4x3 – 60x2 + 200x b) 4x2 – 60x + 200 c) 4x3 – 60x2 + 200
d) x3 – 30x2 + 200x e) x3 – 15x2 + 50x
Exercício Explicativo 3
29
1) O volume da água que ocupa o cubo é 
600 � = 0,6 m3 e corresponde a um prisma de altura 0,6 m, pois
1 . 1 . h = 0,6 ⇒ h = 0,6
2) O volume V do sólido em questão corresponde ao de um prisma cuja base
é um quadrado de lado 1 m e cuja altura é 0,8 m – 0,6 m = 0,2 m. Em
metros cúbicos, o volume é: 
Resposta: A
V = 1 . 1 . 0,2 = 0,2
0,6
0,8
1
1
Comentário
Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo.
O número de faces triangulares e o nú mero de faces quadradas desse polie dro são,
respectiva mente:
a) 8 e 8 b) 8 e 6 c) 6 e 8 d) 8 e 4 e) 6 e 6
Um reservatório de água de uma cidade tem a forma de um cubo com capacidade para
27 m3 de água. Com o objetivo de aumentar sua capacidade, dobrou-se sua altura e
sua base foi mantida. A capacidade do novo reservatório, em metros cúbicos, passou
a ser de
a) 33 b) 36 c) 45 d) 54 e) 108
Exercício Explicativo 4
Exercício Explicativo 5
30
A caixa retangular sem tampa ob -
tida é um paralelepí pe do reto re -
tân gulo cujas dimensões, em
cen tí metros, são 20 – 2x, 10 – 2x e
x.
Assim, o seu volume V(x) é dado
por:
V(x) = (20 – 2x) . (10 – 2x) . x ⇔
V(x) = (4x2 – 60x + 200) . x ⇔ V(x) = 4x3 – 60x2 + 200x
Resposta: A
x
20 - 2x
10 - 2x
x
Comentário
O reservatório inicial têm a forma de um
cubo de aresta 3 m, pois (3 m)3 = 27 m3
O segundo reservatório será um prisma
reto com base quadrada de 3 m de
comprimento e altura 6m. A capacidade
desse novo reservatório, em metros
cúbicos, será 3 . 3 . 6 = 54
Resposta: D
Comentário
O cubo possui exatamente 6 faces e 8 vértices.
Assim sendo, o novo poliedro possui exatamente 8 fa ces trian gulares (uma para
cada vértice do cubo) e 6 faces quadradas (uma para cada face do cubo).
Resposta: B
Comentário
Os satélites de comunicação são
posicionados em sincronismo
com a Terra, o que significa
dizer que ca da satélite fica
sempre sobre o mesmo ponto
da su perfície do planeta, que
será considerado uma grande
esfera de raio R. Na figura ao
lado, A e B repre sen tam duas
cidades na Terra, sepa radas pela
maior dis tância possível em que
um sinal pode ser enviado e
recebido em linha reta por esse
satélite.
Um sinal de TV é enviado de A
até o satélite e de lá até B,
percorrendo em linha reta uma
distância equi valente a 7 vezes
o diâmetro da Terra. A distância
desse satélite até o ponto mais
próximo na superfície do planeta é igual a:
a) 5R b) (4��3 – 1)R c) 6R
d) (5��2 – 1)R e) (2���13 – 1)R 
Exercício Explicativo 6
31
Seja x a distância do satélite S até o ponto
mais próximo da superfície da Terra. A e B
são pontos de tangência, AS = BS, pois os
triângulos retângulos AOS e BOS são
congruentes e AS + SB = 7 . (2R).
Assim: AS + AS = 14R ⇔ AS = 7R
Por outro lado, tem-se:
(OS)2 = (OA)2 + (AS)2
Assim:
(x + R)2 = R2 + (7R)2 ⇔ x + R = 5 ��2 R ⇔
x = 5 ��2 R – R ⇔
⇔ x = (5 ��2 – 1) R
Resposta: D
Comentário
32
Uma elipse é uma seção plana de um cilindro circular reto, em que o plano que
intersecta o cilindro é oblíquo ao eixo do cilindro (Figura 1). É possível construir um
sólido de nome elipsoide que, quando seccionado por três planos perpendiculares
entre si, mostram elipses de diferentes semieixos, a, b e c, como na Figura 2. O volume
de um elipsoide de semieixos a, b e c é dado por V = πabc.
Considere que um agricultor produz melancias, cujo formato é aproximadamente um
elipsoide, e ele deseja embalar e exportar suas melancias em caixas na forma de um
paralelepípedo retângulo. Para melhor acondicio ná-las, o agricultor preencherá o
espaço vazio da caixa com material amortecedor de impactos (palha de 
ar roz/serragem/bolinhas de isopor).
Suponha que sejam a, b e c, em cm, as medidas dos semieixos do elipsoide que modela
as melancias, e que sejam 2a, 2b e 2c, respectivamente, as medidas das arestas da
caixa. 
Nessas condições, qual é o volume de material amor tecedor necessário em cada caixa?
a) V = 8abc cm3 b) V = πabc cm3
c) V = abc 8 + cm3 d) V = abc 8 – cm3
e) V = abc – 8 cm3� 4π–––3 �
� 4π–––3 � �
4π
–––
3 �
4
––
3
4
–––
3
Exercício Explicativo 1
Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma
na seleção de argumentos propostos como solução de
problemas do cotidiano.
1) O volume do paralelepípedo cujas medidas, em cen tímetros, são 2a, 2b,
2c é 2a . 2b . 2c = 8abc
2b
2a
2c
Comentário
Figura 1
elipse
c
a
bb
Figura 2
A bancada de uma pia, que tem o formato e as dimensões dados na figura acima, deve
ser fixada na parede de um banheiro de modo que o lado maior fique encostado em
uma das paredes. O pedreiro responsável pela obra afirmou que a bancada só poderá
ser fixada se a parede tiver mais de 200 cm de largura. 
A afirmação do pedreiro está correta porque
a) ����������(80)2 – (60)2 = 10����28 < 60 e 60 + 80 + 60 = 200
b) ����������(80)2 + (60)2 = 100 e 100 + 80 +100 = 280
c) 80 + 60 = 140 e 140 + 80 + 140 = 360
d) (80)2 + (60)2 = 160 + 120 = 280
e) ���������802 – 602 = 20 e 20 + 20 + 80 < 200
Exercício Explicativo 2
33
2) O volume do elipsoide cujas medidas dos semieixos, em centímetros, são a,
b, c é π abc
3) O volume do material amortecedor necessário, em cada caixa, em
centímetros cúbicos, é:
8 abc – π abc = abc 8 –
Resposta: D
�4π–––3�
4
–––
3
c
a
bb
4
–––
3
Pedro dispõe de 216 cm2 de uma chapa plástica e pretende construir uma caixa para
armazenar um líquido. As caixas poderão ter as formas acima representadas, cujas
medidas estão em centímetros, e terão sempre tampa. Assinale a alternativa cujos
sólidos estão em ordem decrescente de capacidade de armazenamento.
a) A, B e C b) B, A e C c) A, C e B
d) C, A e B e) C, B e A
Exercício Explicativo 3
6
12
2
6
6
6
4
11,5
4
A B C
34
VA = 6 . 6 . 6 = 216
VB = 6 . 12 . 2 = 144
VC = 4 . 4 . 11,5 = 184
Resposta: C
Comentário
1) 602 + x2 = 802
x2 = 802 – 602
x2 = 2 800 ⇒ x = 10 ����28
2) 10 ����28 
 53 < 60
3) O comprimento da bancada é 2x + 80 = 2 . (10 ����28) + 80 =
 106 + 80 = 186 < 200
4) Se a parede tiver200 cm, é possível fixar a bancada, mas há outras
possibilidades. A melhor resposta é A.
Comentário
35
Para viabilizar o escoamento do trânsito numa certa cidade, será escavado um túnel
atravessando uma montanha de rocha, em linha reta, com 300 metros de
comprimento, cujas secções transversais são semi círculos com dez metros de raio.
Para transportar todo o material retirado dessa escavação, será contratada uma frota
de caminhões do tipo “basculante”, que “carregam” seis metros cúbicos desse
material por viagem.
O número de viagens necessárias para o escoamento de todo esse material escavado
é aproximadamente igual a
a) 5000 b) 5650 c) 6750 d) 7850 e) 8950
Um jardineiro cultiva suas plantas em um canteiro que tem a forma da figura ao lado,
em que uma parte é uma semi circunferência. Para cobrir todo o canteiro, ele calculou
que precisaria comprar uma lona de 170 m2 de área. 
Quanto ao cálculo do jardineiro, é correto afirmar que a área da lona 
a) é suficiente, pois a área total do canteiro é igual a 170 m2.
b) não é suficiente para cobrir o canteiro, pois a área total dele é maior que 170 m2.
c) é suficiente, pois a área total do canteiro é menor que 170 m2.
d) não é suficiente para cobrir o canteiro, pois a forma da lona é diferente da forma
do canteiro.
e) não é suficiente, pois a área do canteiro é 190 m2.
Exercício Explicativo 5
Exercício Explicativo 4
O volume do túnel a ser escavado é igual à metade do volume de um cilindro
circular reto com raio da base R = 10 m e altura h = 300 m.
Assim, esse volume, em metros cúbicos, é igual a
= = 15000π
O número de viagens necessárias é
= 2500π 
 2500 . 3,14 = 7850
Resposta: D
10 10
300
10
15000π
–––––––––
6
π . 102 . 300
–––––––––––––
2
πR2h
––––––
2
Comentário
Unidades de comprimento
Unidades de área
Símbolo
Equivalência
km2
106 m2
hm2
104 m2
dam2
102 m2
m2
1 m2
dm2
10–2 m2
cm2
10– 4 m2
mm2
10–6 m2
qu
ilô
m
et
ro
 q
ua
dr
ad
o
he
ct
ôm
et
ro
 q
ua
dr
ad
o
de
câ
m
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ro
 q
ua
dr
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o
N
om
e
m
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ro
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ra
do
de
cí
m
et
ro
 q
ua
dr
ad
o
ce
nt
ím
et
ro
 q
ua
dr
ad
o
m
ilí
m
et
ro
 q
ua
dr
ad
o
Símbolo
Equivalência
km
103 m
hm
102 m
dam
10 m
m
1 m
dm
10–1 m
cm
10–2 m
mm
10–3 m
qu
ilô
m
et
ro
he
ct
ôm
et
ro
de
câ
m
et
ro
N
om
e
m
et
ro
de
cí
m
et
ro
ce
nt
ím
et
ro
m
ilí
m
et
ro
Identificar relações entre grandezas e unidades de
medida.
De acordo com o desenho, a 
área do canteiro será.
+ 10 . 10 m2 = 
 (39,25 + 100) m2 = 139,25 m2
Resposta: C
�π . 5
2
–––––
2�
Comentário
36
Competência de área 3 – Construir noções de
grandezas e medidas para a compreensão da rea -
lidade e a solução de problemas do cotidiano.
Unidades de volumes
Outras unidades para medir volumes ou capacidades são o litro, seus múltiplos e
submúltiplos. Lembre-se sempre de que
, e .
Unidades de massa
As unidades mais usadas são o grama (g), o quilograma (kg) e a tonelada (t). Lembre-
se de que
e .
Wagner possui 1,2 m3 de álcool gel e pretende distribuí-los em frascos de 400 m�. A
quantidade de frascos que deverá utilizar é:
a) 300 b) 600 c) 1200 d) 3000 e) 6000
As telas dos televisores são medidas em polegadas. Quando dizemos
que um televisor tem 20 polegadas, isto significa que a diagonal da
tela mede 20 polegadas (aproximadamente 51 cm).
Se a diagonal da tela de uma televisão mede 35,7 cm, podemos
concluir que se trata de um aparelho de
a) 12 polegadas. b) 14 polegadas.
c) 16 polegadas. d) 18 polegadas.
e) 20 polegadas.
Exercício Explicativo 2
Exercício Explicativo 1
1 t = 1000 kg1 kg = 1000 g
1 cm3 = 1 m�1 m3 = 1000 litros1 dm3 = 1 litro
Símbolo
Equivalência
km3
109 m3
hm3
106 m3
dam3
103 m3
m3
1 m3
dm3
10–3 m3
cm3
10–6 m3
mm3
10–9 m3
qu
ilô
m
et
ro
 c
úb
ic
o
he
ct
ôm
et
ro
 c
úb
ic
o
de
câ
m
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ro
 c
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o
N
om
e
m
et
ro
cú
bi
co
de
cí
m
et
ro
 c
úb
ic
o
ce
nt
ím
et
ro
 c
úb
ic
o
m
ilí
m
et
ro
 c
úb
ic
o
37
1,2 m3 = 1 200 dm3 = 1 200 � = 12 000 d� = 120 000 c� = 1 200 000 m�
1 200 000 m�
Deverá usar –––––––––––––––– = 3 000 frascos.
400 m� / frasco
Resposta: D
Comentário
Em uma região rural, serão assentadas 50 famílias. A área de assentamento tem 
15 000 m2 e as famílias decidiram reservar 2 500 m2 para fazer uma horta coletiva.
Os terrenos para cada família serão retangulares, todos terão a mesma área e a frente
com 10 m.
Pode-se afirmar que a outra dimensão de cada lote é
a) 15 m b) 20 m c) 25 m 
d) 30 m e) 35 m 
Lourdes deseja trocar o piso de sua casa. Chamou um profissional especializado para
calcular a área necessária para o revestimento. A representação da quantidade de piso
é expressa em
a) m. b) m². c) dm³. d) dm. e) m3.
Exercício Explicativo 4
Exercício Explicativo 3
38
= ⇔ x = = 14
Resposta: B
35,7 . 20
–––––––––
51
51
–––––
35,7
20
–––
x
Polegadas Centímetros
20 51
x 35,7
Comentário
Por ser uma área, em m2.
Resposta: B
Comentário
1) A área a ser repartida entre as 50 famílias é 
15 000 m2 – 2 500 m2 = 12 500 m2
2) A área que cabe a cada família é 
( 12 500 m2) ÷ 50 = 250 m2
3) Se x e 10 forem, em metros, as dimensões do retângulo de área 250 m2
então: x . 10 = 250 ⇔ x = 25
Resposta: C
Comentário
39
Utilizar a noção de escalas na leitura de representação
de situação do cotidiano.
• Escala é a razão entre a medida da representação e a medida real.
Exemplo
Um segmento de 2 cm que representa uma estrada reta de 20000 cm está na
escala de = . Indica-se por 1:10 000
A evolução da luz: as lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a
velha invenção de Thomas Edison.
A tecnologia do LED é bem diferente das lâmpadas incandescentes e das fluorescentes.
A lâmpada LED é fabricada com material semicondutor igual ao usado nos chips de
computador. Quando percorrido por uma corrente elétrica, ele emite luz. O resultado
é uma peça muito menor, que consome menos energia e tem uma durabilidade maior.
Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de
10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto.
Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço
cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não se está tornando apenas mais
barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de
energia.
Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% da energia elétrica que
consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de
energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente.
“A evolução da luz”. Veja, 19 dez. 2007. Disponível em:
http://veja.abril.com.br/191207/p_118.shtml 
Acesso em: 18 out. 2008.
Considerando que a lâmpada LED rende 100 mil horas, a escala de tempo que melhor
reflete a duração dessa lâmpada é o:
a) dia. b) ano. c) decênio.
d) século. e) milênio.
medida da representação
Escala = –––––––––––––––––––––––––––
medida do objeto real
1
–––––––––
10 000
2 cm
–––––––––––
20 000 cm
Exercício Explicativo 1
A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da estrada
que liga as cidades de Para guaçu e Piripiri. Os números apresentados no ma pa
representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da
estrada (que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à estrada estão
uniformementeespaçados de 1 cm.
Analise as afirmações abaixo:
(I) Para representar a escala de um mapa, usamos a no tação 1 : X, em que X é a
distância real correspondente à distância de 1 unidade do mapa. Para a escala do
mapa acima, o valor de X é 425 000.
(II) Repare que há um posto exatamente sobre um traço perpen dicular à estrada. Medido
a partir do ponto de início da estrada, tal posto encontra-se no quilômetro 36.
(III) Imagine que você tenha de reproduzir o mapa dado usando a escala 1 : 500 000.
Se você fizer a figura em uma folha de papel, a distância, em cen tímetros, entre
as cidades de Paraguaçu e Piripiri, será 6,8 cm.
As únicas verdadeiras são:
a) I e II b) I e III c) II e III d) I e) III
Paraguaçu Posto Piripiri
13 47
Exercício Explicativo 2
40
1) 1 ano = 365 . 24 h = 8 760 h
2) As 100 000 horas correspondem a anos =
= 11,4 anos = 1,14 decênio.
Resposta: C
100 000
—–––––––
8760
Comentário
(I) A distância entre dois traços perpendiculares (e con secutivos) à estrada, 
que no desenho mede 1 cm, representa 
km = 4,25 km = 425 000 cm
Logo, a escala usada é de 1 : 425 000 e, portanto, X = 425 000.
(II) De acordo com o item (a), o posto está localizado no quilômetro 
13 + 5 . 4,25 = 34,25.
(III) Se a escala usada for 1 : 500 000, então a distância, em centímetros, entre 
as cidades de Paraguaçu e Piripiri é = 6,8
Resposta: B
3 400 000
–––––––––
500 000
47 – 13
––––––––
8
Comentário
De acordo com o mapa, as distâncias entre Campinas e Belo Horizonte e entre Campinas
e Campo Grande são, respectivamente
a) 300 km e 500 km.
b) 500 km e 1250 km.
c) 400 km e 950 km.
d) 600 km e 850 km.
e) 500 km e 875 km.
Quanto maior for o denominador indi cado na escala numérica de um mapa de relevo
terrestre,
a) maior será a escala do mapa.
b) menor será a área representada.
c) maior será a área representada, portanto, maior detalhamento.
d) menor será a riqueza de detalhes do relevo apresentado.
e) maior será a observação do terreno.
Lúcia ganhou da prefeitura um lote retangular com 30 m × 20 m de dimensão. Ela
desejava desenhar o lote em uma folha de papel na escala 1:100. Ao ir a uma
papelaria, o vendedor lhe deu as seguintes opções de 5 formatos de papel:
A4 – 21 cm por 29,7 cm B5 – 25,7 cm por 18,2 cm
Carta – 21,59 cm por 27,94 cm Legal – 21,59 cm por 35,56 cm
Prático – 20 cm por 25 cm
Exercício Explicativo 3
Exercício Explicativo 5
Exercício Explicativo 4
41
A distância entre Campinas e Belo Horizonte é 
25 000 000 . 2 cm = 50 000 000 cm = 500 km
A distância entre Campinas e Campo Grande é
25 000 000 . 3,5 cm = 87 500 000 cm = 875 km
Resposta: E
Comentário
Quanto maior o denominador da escala, menor será a escala do mapa, menor
será a representação do objeto e, portanto, menor será a riqueza de detalhes
do relevo representado.
Resposta: D
Comentário
Um mapa está numa escala 1:20 000 000, o que sig nifica que uma distância de uma
unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de 20 000 000 de unidades. 
Se no mapa a distância entre duas cidades é de 2 cm, então a distância real entre elas
é de:
a) 2400 km b) 2400000 cm c) 400000 cm
d) 400 km e) 40000 m
Um tanque cônico tem 10,5 pés de altura e o seu topo circular tem 10 pés de
diâmetro. Sabe-se que o volume de um cone circular reto de raio r e altura h é 
. π . r2 . h. Supondo π = e que 1 pé cúbico é o volume de 7,5 galões de
combustível, conclui-se que o tanque poderá conter
a) mais de 1000 galões. b) entre 200 e 300 galões.
c) entre 100 e 120 galões. d) não mais do que 20 galões.
e) aproximadamente galões.110––––
3
22
–––
7
1
––
3
Exercício Explicativo 2
Exercício Explicativo 1
O desenho do lote de Lúcia na escala desejada caberá apenas no papel de formato
a) A4. b) B5. c) carta. d) legal. e) prático.
42
Se o mapa está na escala de 1:20 000 000, então a distância de 2 cm entre
duas cidades corresponde a uma distância real de 40 000 000 cm, ou seja, 
400 km.
Resposta: D
Comentário
Resolver situação-problema que envolva medidas de
grandezas.
As dimensões do desenho, na escala 1:100, são 30 cm x 20 cm e o desenho
caberá apenas no papel legal.
Resposta: D
Comentário
Jonathan se apaixonou pelo carro exposto
na figura e pretende adquiri-lo, mas não
tem certeza se caberá na sua garagem.
As medidas da garagem de Jonathan, para
que caiba o carro com folga de 30 cm em
cada um dos 4 lados, deverá ser, no
mínimo, de:
a) 2,90 m por 4,65 m
b) 2,90 m por 4,05 m
c) 2,61 m por 4,05 m
d) 3,21 m por 4,65 m
e) 2,61 m por 4,05 m
Utilizando as informações do texto, responda às questões 4 e 5.
Para analisar a transpiração das plantas, os botâ -
nicos precisam conhecer a área das suas folhas.
Essa área pode ser obtida pelo seguinte processo:
coloca-se a folha da planta sobre uma cartolina e
traça-se o seu contorno. Na mesma cartolina,
desenha-se um quadrado com 10 cm de lado,
como mostram as figuras ao lado.
Após serem recortadas, as duas figuras são
pesadas em uma balança de alta precisão, que
indica uma massa de 1,44 g para o quadrado de
cartolina. Desse modo, usando grandezas propor -
cionais, os botânicos podem determinar a área das
folhas.
Exercício Explicativo 3
43
Na escala de 1:90, o carro tem largura de 29 mm . 90 = 2 610 mm = 2,61 m e
comprimento de 45 mm . 90 = 4050 mm = 4,05 m. Para ter uma folga de 
30 cm de cada lado, a garagem deve medir, no mínimo, 3,21 m por 4,65.
Resposta: D
Comentário
Supondo π = , o volume V do cone, em pés cúbicos, é:
V = . . ( )2. 10,5 V = 275
Se 1 pé cúbico é o volume de 7,5 galões, então um tanque pode conter até 
275 . 7,5 = 2062,5 galões.
Resposta: A
10
–––
2
22
–––
7
1
––
3
22
––––
7
Comentário
44
Se a figura da folha tem massa de 3,24g, então a área da folha, em centímetros
quadrados, é
a) 260 b) 225 c) 240 d) 220 e) 200
Suponha que o mesmo processo descrito no texto seja utilizado para estimar a área do
estado de Minas Gerais da seguinte forma: em um mapa traçado com escala de
1:5 000 000, a figura desse estado, recortada na mesma cartolina, apresentou massa
de 3,38 gramas. Assim sendo, a área do estado de Minas Gerais, em quilômetros
quadrados, é apro ximadamente
a) 425 000 b) 564 000 c) 587 000
d) 597 000 e) 620 000
Exercício Explicativo 4
Exercício Explicativo 5
A área do quadrado de lado 10 cm é 100 cm2 e sua massa é 1,44 g. 
Assim sendo, se x for a área da folha, temos
Massa (g) Área (cm2)
1,44 ⎯⎯⎯⎯→ 100 
⇔ = ⇔ x = = 225
3,24 ⎯⎯⎯⎯→ x
Resposta: B
3,24 . 100
–––––––––
1,44
100
–––
x
1,44
–––––
3,24
Comentário
1) Utilizando a mesma regra de 3 do exercício anterior, se x for a área do mapa,
em centímetros quadrados, temos:
Massa (g) Área (cm2)
1,44 ⎯⎯⎯→ 100 
⇔ = ⇔ x = ⇔ x = 234,7
3,38 ⎯⎯⎯→ x
2) A área do mapa é 234,7 cm2 = 2,347 . 10–8 km2
3) A área do estado de Minas Gerais, em quilômetros quadrados, é
2,347 . 10–8 . (5 000 000)2 = 2,347 . 52 . 10–8 . 1012 =
= 58,875 . 104 = 586750
Resposta: C
3,38 . 100
–––––––––––
1,44
100
–––
x
1,44
–––––
3,38
Comentário
Na figura, encontra-se a
planta superior da casa de
Pedro, na escala de 1:100.
Pedro pretende pintar a
casa por dentro, gastando
o mínimo possível, usando
o mesmo tipo de tinta pa -
ra tetos, paredes, por tas
e janelas. Todas as paredes
tem 2,20 m de altura e
apenas as paredes do ba -
nheiro são azulejadas e,
por isso, não serão pin ta -
das. As tintas são vendidas
em latas de um galão cada uma. Pedro acredita que bastam duas latas, seu amigo
João acha que se devem adquirir 3 latas e José, outro amigo, prefere comprar 5 latas.
Se cada galão tem 3,6 litros e cada litro da tinta tem um rendimento de 15 m2 por litro,
pode-se dizer que
a) Pedro tem razão, João e José são exagerados.
b) Pedroestá errado, José esta certo.
c) João calculou a menos, José a mais.
d) João está certo.
e) todos estão errados.
Exercício Explicativo 1
45
Avaliar o resultado de uma medição na construção de
um argumento consistente.
O comprimento total das paredes a serem pintadas (incluindo portas e janelas),
em escala, é de (4,0 + 3,5 + 4,0 + 3,5 + 4,0 + 3,5 + 3,0 + 3,5 + 3,0 + 3,0 + 4,0 +
+ 1,0 + 3,5 + 6,5) cm = 50 cm. Na escala de 1:100, corresponde a 50 m.
Como cada parede tem 2,20 m de altura, a área de todas as paredes, portas e
janelas é de 2,20 m x 50 m = 110 m2
A área do teto é de 4 m x 12,4 m = 49,6 m2.
Assim, a área total a ser pintada é de (110 + 49,6) m2 = 159,6 m2
Com rendimento de 15 m2/litro, são necessários = 10,64 �
Cada lata tem 3,6 litros, portanto são necessárias = 3 latas.
Deverão ser adquiridas 3 latas.
Resposta: D
10,64
———–
3,6
159,6 m2
———–—
15 m2/�
Comentário
Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na
expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo
representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, com
o qual pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no
período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
Analisando os gráficos, pode-se concluir que
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II in correto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o grá fico I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois grá ficos decorre da escolha das
diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam esca las diferentes.
O peso molecular de um DNA bacteriano é de cerca de 3 x 109, e o peso molecular
de um único par de nu cleotídeos é de, aproximadamente, 600.
I. Quantos pares de nucleotídeos há no cro mos so mo?
II. Se cada nucleotídeo ocupa um comprimento de 3,4 angströms 
(1 angström = 10–7 mm), qual o comprimento do DNA bacteriano?
Exercício Explicativo 2
Exercício Explicativo 3
46
Os valores representados são os mesmos; os gráficos utilizam escalas diferentes
e, por isso, aparentam situa ções diferentes. Isso é uma demonstração de como
uma infor mação pode ser manipulada.
Resposta: D
Comentário
47
Assinale a alternativa que, corretamente, responde às questões I e II.
Uma das formas de se
obter um valor apro xi -
mado para a área de um
terreno irregular é fazer
sua divisão em triângulos,
como representado ao la -
do, onde a área do ter reno
foi dividida em 10 triân -
gulos.
Se a área é dividida em 20
triângulos em vez de 10,
obtém-se 
a) o mesmo valor para a área.
b) um valor necessariamente maior para a área.
c) um valor necessariamente menor para a área.
d) um valor mais próximo do verdadeiro valor da área.
e) o valor verdadeiro da área
Exercício Explicativo 4
I II
a) 500 1 mm
b) 5000 1 mm
c) 60 000 1,5 mm
d) 5 000 000 1,7 mm
e) 4 500 000 2,5 mm
a) Número de pares de nucleotídeos = 3 x 109 / 600 = 5 000 000
b) Comprimento do DNA bacteriano = 3,4 . 10–7 . 5 000 000 = 1,7 mm
Resposta: D
Comentário
Quanto maior o número de triângulos, mais bem apro ximado será o cálculo
da área do terreno, pois as aproxi mações serão menores.
Resposta: D 
Comentário
Quando se diz que numa determinada região a pre cipitação
pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela
região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.
Se numa região de 10km2 de área ocorreu uma pre cipitação de 
5 cm, quantos litros de água foram pre cipitados?
a) 5 x 107 b) 5 x 108 c) 5 x 109
d) 5 x 1010 e) 5 x 1011
Querendo comprar um certo tipo de detergente, Antônio pesquisou um fabricante
que fornece o mesmo detergente em várias opções de preço e frascos. A tabela mostra
o volume de cada frasco e o respectivo preço do detergente.
Considerando apenas o líquido contido em cada frasco, para Antônio, o mais
vantajoso é o do tipo:
a) A b) B c) C d) D e) E
Frasco do Tipo Volume Preço por frasco
A 300 m� R$ 1,80
B 200 cm3 R$ 1,40
C 0,5 � R$ 2,10
D 0,4 dm3 R$ 2,00
E 250 m� R$ 1,50
Exercício Explicativo 2
Exercício Explicativo 1
48
Como 10 km2 = 109 dm2 e 5 cm = 0,5 dm, o volume de água pre cipitado é de
109 dm2 . 0,5 dm = 5 . 108 dm3, equivalente a 5 . 108 litros.
Resposta: B
Comentário
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando
conhecimentos geométricos relacionados a grandezas
e medidas.
Em um mapa, a distância entre São Paulo, capital, e Ribeirão Preto é de 20 cm. Se a dis -
tân cia real entre as duas cidades é de 320 km, esse mapa está na escala:
a) 1: 1 600 000 b) 1: 3 200 000 c) 1: 16 000 000
d) 1: 32 000 000 e) 1: 2 000 000
A quantidade de alimentos desperdiçada às vezes não é percebida porque fica nos
lixos, em muitos pontos da cidade.
Nas feiras livres de São Paulo, cerca de 1.032 toneladas de alimentos vão para o lixo
diariamente, sendo que 80% poderiam ser reaproveitados.
Adaptado de tvcultura.com.br
Exercício Explicativo 4
Exercício Explicativo 3
49
O frasco do tipo A contêm 300 m�. Cada mililitro de detergente custa
= R$ 0,006
O frasco do tipo B contêm 200 cm3 = 0,2 dm3 = 0,2 � = 200 m� e cada mililitro 
de detergente custa = R$ 0,007
O frasco do tipo C contêm 0,5 � = 500 m� e cada mililitro de detergente custa
= R$ 0,0042
O frasco do tipo D contêm 0,4 dm3 = 0,4 � = 400 m� e cada mililitro de
detergente custa = 0,005
O frasco do tipo E contêm 250 m� e cada mililitro de detergente custa
= 0,006. 
O mais vantajoso é o do frasco C.
Resposta: C
R$ 1,50
————
250
R$ 2,00
————
400
R$ 2,10
————
500
R$ 1,40
————
200
R$ 1,80
————
300
Comentário
A partir das medidas fornecidas, podemos estabelecer uma regra de três na
qual, se 320 km valem 20 cm, cada cen tíme tro valerá ”x” km. Divide-se 
320 por 20, obtendo-se 16 km. Reduzindo-se para centímetro, teremos 
1 600 000 cm. Por tanto, a escala será de 1: 1 600 000.
Resposta: A
Comentário
Para ter uma ideia melhor do tamanho do desperdício relatado no texto, suponha que
a parte desses alimentos que pode ser reaproveitada é colocada em caminhões com
capacidade de carga de 5 toneladas. Serão necessários cerca de
a) 120 caminhões. b) 140 caminhões. c) 160 caminhões.
d) 180 caminhões. e) 200 caminhões.
Grandezas diretamente proporcionais (GDP)
As grandezas A e B são diretamente proporcionais se a razão entre os valores de
A e os correspondentes de B for constante.
Grandezas inversamente proporcionais (GIP)
As grandezas A e B são inversamente proporcionais se o produto entre os valores
de A e o correspondentes valores de B for constante.
Regra de três
A é GDP a B ⇒ A é GIP a B ⇒
a1 b1
–––– = ––––
a2 b2
a1 b2
–––– = ––––
a2 b1
Grandeza A Grandeza B
Valores
a1 b1
a2 b2
A é GIP a B ⇔ a1b1 = a2b2 = … = k
a1 a2 a3
A é GDP a B ⇔ –––– = –––– = –––– = … = k
b1 b2 b3
50
A parte dos alimentos que pode ser reaproveitada é (80% . 1032) t = 825,6 t.
Para transportar esses alimentos, o número de caminhões necessários e
suficientes é (825,6) ÷ 5 = 165,12
A melhor resposta é C
Comentário
Identificar a relação de dependência entre grandezas.
Competência de área 4 – Construir noções de
variação de grandezas para a compreensão da reali -
dade e a solução de problemas do cotidiano.
51
(UFRN) – Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de
comprimento, deve ser ampliada para 1,2 m de largura. O comprimento
correspondente será:
a) 0,685 m b) 1,35 m c) 2,1 m d) 6,85 m e) 18 m
(FAAP) – Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia,durante 30 dias,
produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, fun cio -
nan do 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões?
a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 5
Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos
serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5
Exercício Explicativo 1
Exercício Explicativo 3
Exercício Explicativo 2
Resposta: C
⇔ x = 2,1
35
––––
x
=
20
––––
1,2
⇒
largura
20 cm
1,2 m
comprimento
35 cm
x m
Comentário
Resposta: E
3
–––
1
.
150 000
–––––––––
100 000
. ⇔ d = 5
8
–––
6
=
30
––––
d
⇒
Impressoras
1 ↑3
Impressão
150 000 ↓100 000
horas/dia
6 ↑8
Dias
30 ↓d
Comentário
Resposta: E
⇔ x = 5
2
–––
5
.
6
–––
4
=
3
–––
x
⇒
Pão
3 kg ↓x
Dias
2 ↓5
Pessoas
6 ↓4
Comentário
(UF-LAVRAS) – As engrenagens A, B e C têm 20, 40 e 100 dentes, respectivamente.
Se B completar dez voltas, o número de voltas que A e C completarão, respectiva -
mente, é:
a) 10 e 4 b) 10 e 6 c) 20 e 10 d) 20 e 4 e) 20 e 6
Exercício Explicativo 4
52
nº de dentes voltas
⇒ = ⇒ x = 20
= = ⇒ y = 4
Resposta: D
100
––––
40
10
––––
y
10
y
40
100
20
––––
40
10
––––
x
10
x
40
20
Comentário
A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera, ao
longo de 4,5 bilhões de anos, desde a formação da Terra até a era dos dinossauros.
Exercício Explicativo 1
Resolver situação-problema envolvendo a variação de
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003.pdf>. 
Acesso em: 1º mar. 2009.
Considere que a escala de tempo fornecida seja subs tituída por um ano de referência,
no qual a evolução química é identificada como 1o. de janeiro à zero hora e a era dos
dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse
ano de referência, a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera atingiu 10%
no
a) 1o. bimestre. b) 2o. bimestre. c) 2o. trimestre.
d) 3o. trimestre. e) 4o. trimestre.
O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta
profissional em corridas de longa distância como a maratona
(42,2km), a meia-maratona (21,1km) ou uma prova de 10 km. Para
saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma
corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados
na tabela e no gráfico:
Altura 
(m)
Peso (kg) ideal para atleta masculino de 
ossatura grande, corredor de longa distância
1,57 56,9
1,58 57,4
1,59 58,0
1,60 58,5
� �
Exercício Explicativo 2
53
Nesse ano de referência, cada trimestre corresponde a um bilhão de anos. O
primeiro trimestre começa na evolução química e, portanto, a porcentagem de
oxigênio pre sente na atmosfera atingiu 10% no 3º trimestre.
Resposta: D
Comentário
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com
altura igual a 1,59m, que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em
condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em
a) 0,32 minuto. b) 0,67 minuto. c) 1,60 minuto.
d) 2,68 minutos. e) 3,35 minutos.
Considerando que o Calendário Muçulmano teve início em 622 da era
cristã e que cada 33 anos muçulmanos correspondem a 32 anos
cristãos, é possível estabelecer uma correspondência aproximada de
anos entre os dois calendários, dada por: (C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos) 
a) C = M + 622 – (M/33) b) C = M – 622 + (C – 622/32)
c) C = M – 622 – (M/33) d) C = M – 622 + (C – 622/33) 
e) C = M + 622 – (M/32) 
Exercício Explicativo 3
54
De acordo com a tabela, para a altura de 1,59 m, o “peso” (na realidade deveria
ser massa) ideal seria de 58,0 kg. 
Como o atleta “pesa” 63 kg, ele está 5 kg acima de sua massa ideal.
Pelo gráfico, para um excesso de massa de 1kg, em uma corrida de meia-
maratona, o tempo perdido é de 0,67 min.
Para o excesso de 5 kg, temos: 
Resposta: E
5 . 0,67 min = 3,35 min
Comentário
Observe, no esquema ao lado,
que cada (C – 622) anos do
Calendário Cristão (Grego riano)
corresponde a M anos Muçul -
manos.
Assim sendo, por regra de três,
temos
Cristão Muçulmano
32 33
C – 622 M 
32 33 32 33M M 
———— = —— ⇔ C – 622 = —— . M ⇔ C = 622 + ––––– – ––– ⇔
C – 622 M 33 33 33
M
⇔ C = M + 622 – �——� 33
Resposta: A
Comentário
O gráfico ao lado, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Am -
biente, mostra o cres cimento do número de espécies da fauna brasi leira
ameaçadas de extinção. 
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de cres cimento mostrada no gráfico, o
número de espécies ameaçadas de exinção em 2011 será igual a
a) 465 b) 493 c) 498 d) 838 e) 899
Um grupo de artesãos resolveu criar uma cooperativa para, entre outras coisas, realizar
bazares itinerantes e vender seu produto diretamente ao consumidor. Cada associado
doa 14% do valor de suas vendas para o fundo da cooperativa. Se a cooperativa possui
gastos mensais de, no mínimo, R$ 749,00, deve ser feito um esforço conjunto dos
associados para venderem por mês um total de, pelo menos, 
a) R$ 10.486,00 b) R$ 8.709,30 c) R$ 5.350,00 
d) R$ 1.048,60 e) R$ 1.000,00 
Exercício Explicativo 5
Exercício Explicativo 4
55
A partir do gráfico, tendo A, B e C alinhados, temos:
= ⇔ = ⇔
⇔ = 9,25 ⇔ a = 461 + 37 ⇔ a = 498
Resposta: C
a – 461
––––––––
4
222
–––––
24
a – 461
––––––––
4
461 – 239
––––––––––––
2007 – 1983
a – 461
––––––––––––
2011 – 2007
Comentário
Se x for o valor mínimo a ser vendido, em reais, então:
14% . x = 749 x = = 5.350
Resposta: C
749
–––––
0,14
Comentário
(ESPM) – A produção total de uma fábrica de calçados no ano passado foi de 180 mil
pares, sendo que os modelos infantis atingiram 20% da produção de todos os outros
modelos. O número de pares de calçados infantis produzidos foi de:
a) 20 mil b) 30 mil c) 10 mil d) 15 mil e) 25 mil
(FUVEST) – Uma fazenda estende-se por dois municípios, A e B. A parte da fazenda
que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em
B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez
vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A
Exercício Explicativo 1
Exercício Explicativo 2
Analisar informações envolvendo a variação de
grandezas como recurso para a construção de
argumentação.
• 30% = = 0,3
• 20% de 36 = 20% . 36 = . 36 = 7,2
• Aumentar o valor x em 20% é multiplicá-lo por 1,2 
• Diminuir um valor x de 20% é multiplicá-lo por 0,8
• Se o salário de uma pessoa for de R$ 2 600,00 e teve um aumento de 20%,
então:
a) o aumento será 20% . R$ 2 600,00 = 0,2 . R$ 2 600,00 = R$ 520,00
b) o novo salário será 120% . R$ 2 600,00 = 1,2 . R$ 2 600,00 = R$ 3 120,00
• O valor x de uma grandeza, após 2 aumentos consecutivos de 20%, passará a
valer 1,2. (1,2x) = 1,22 . x
• Após n aumentos consecutivos, passará ao valor 1,2n . x
20
–––––
100
30
–––––
100
Se x é o número de pares de calçados infantis produzidos por essa fábrica 
no ano passado, então x = (180 000 – x) ⇔ x = 36 000 – 0,2x ⇔
⇔ 1,2x = 36 000 ⇔ x = 30 000
Resposta: B
20
––––
100
Comentário
56
e a área total da fazenda é igual a
a) b) c) d) e) 
“Em julho do ano passado, o satélite Nooa 12, que passa sobre o Brasil durante a
noite, identificou 3.600 focos de incêndio no País. Em julho agora, o número de
incêndios pulou para 6.722. É ainda o resultado da seca provocada pelo El Niño.”
(Adaptado de Veja, 5/8/98)
Considerando-se as medições feitas pelo satélite Nooa 12, pode-se afirmar que, em
julho deste ano, o