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[bioestatística] conteúdo da 1ª prova

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• O valor 0 representa que o evento é impossível. 
• O valor 1 representa que é certo que o evento aconteça. 
Exemplo: 
P(morte) = 1 
P(nascer com 1 metro) = 0 
P(sucesso na cirurgia com procedimento A) = 0,40 
P(sucesso na cirurgia com procedimento B) = 0,80 
Exemplo: 
Fenômeno Aleatório: nascimento de bebês 
Variável X: sexo do recém-nascido (qualitativa nominal) 
Eventos 0=ser do sexo masculino 
1=ser do sexo feminino 
P(X=0)=0,57 representa que a probabilidade de nascer um bebê do sexo masculino é igual a 
0,57. 
Como consequência, a probabilidade de nascer um bebê do sexo feminino é igual a 0,43. 
Ou seja, espera-se que 57% dos nascimentos sejam de bebês do sexo masculino. 
Probabilidade x Frequência Relativa 
Probabilidade Antes de observar 
Frequência Relativa Depois de observar 
Distribuição de Probabilidades Variável Discreta 
A Distribuição de probabilidades de uma variável discreta pode ser representada de três 
maneiras diferentes: tabela, gráfico ou função matemática. 
 
No caso de variáveis discretas a função matemática P(X=x) é chamada de Função de 
Probabilidade (fp). 
Os valores da fp são probabilidades. 
Por exemplo: 
 
Aula 5 – 13 de Março de 2014 
 Média e Variância de Distribuição de Probabilidades 
 
Toda distribuição de probabilidade (discreta ou contínua) possui Média (𝑋 ), variância e desvio 
padrão (σ). 
 
Exemplo: X: número de irmãos 
 
Idéia de probabilidade: o quanto eu sou incerto no que vai acontecer! 
Parte da idéia de que conhece a população a ser estudada. 
Interpretação 
X: número de irmãos 
 
A média de uma distribuição de probabilidade é chamada de Esperança. 
 
Interpretação: se uma amostra de indivíduos for selecionada desta população espera-se que a 
média de X (número de irmãos) entre os indivíduos da amostra seja 0,20. 
 
O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade também é chamado de desvio padrão. 
 
Interpretação: se uma amostra de indivíduos for selecionada desta população espera-se que o 
desvio padrão de X (número de irmãos) entre os indivíduos da amostra seja 0,18. 
 
Distribuição de Probabilidades Variável Contínua 
 
Exemplo: X: concentração da droga A (pode assumir valores entre 0 e 2). 
 
Tabela: não é possível, pois não podemos listar todos os resultados possíveis da variável. 
 
No caso de variáveis contínuas a função matemática f(X=x) é chamada de Função Densidade 
de Probabilidade (fdp). 
 
A probabilidade é a área abaixo da curva do gráfico! 
A área total do gráfico tem que ser igual a 1, a maior probabilidade = 100%. 
Por definição: IP (X-x) =0 
 
No caso de variáveis contínuas o valor da função matemática f(X=x) representa a altura da 
curva no gráfico. Não é probabilidade. 
 
Probabilidade será áreas abaixo da curva. Desta forma para a curva do gráfico abaixo ser uma 
fdp a área abaixo da curva deve ser igual a 1. 
 
Exemplo: P(0<X<1)=0 
 
Note que o gráfico de uma fdp é uma generalização de um histograma, ou seja, é pensar que a 
amplitude de cada classe é apenas um valor. 
 
 
 
A Distribuição de Gauss 
(Distribuição Normal) 
 
 
A Distribuição Normal depende de dois parâmetros: 
Média C e desvio-padrão σ. 
 
A média indica onde estão localizados os dados e o desvio o quanto achatadada é a curva. 
 
 
 
Para: µ=0 σ=1 
F(x)= 1/ 2𝜋 exp (-(x)
2
/2) = 1/ 2𝜋 exp (-1/2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desloca o eixo x em direção a média, onde 
fica o pico. Curvas mais bicudas, variância 
menor. 
 
 
 
 
Características Básicas da Curva Normal 
 
• Curva com formato de sino. Com ponto 2 pontos de Inflexão (onde muda o 
sentido da curva). 
• Simétrica em torno da média. 
• Média = Moda = Mediana 
 
Curva Normal Padronizada 
 
Curva Normal com média = 0 e desvio padrão = 1 
 
Calculando Probabilidades da Curva Normal Padronizada 
 
Calculando: 
 
Exemplos: 
|P (-0,6 <Z>0,6) = 0,2257+ 0,2257 = 0,4514 
|P (Z> 0,6) = 0,2257 + 0,5 = 0,7257 
 
Calculando Valores Críticos da Distribuição Normal Padrão 
P (Z>z)=0.025. Qual o valor de z? 
P (Z<z)=0.10. Qual o valor de z? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5 0,5 
z 
 
0,10 0,025 
Aula 6 – 18 de Março de 2014 
Algumas Probabilidades da Curva Normal Padrão 
P (-1<Z<1) = 0,3413 + 0,3413 = 0,6826 
P(-2<Z<2) = 0,4772 + 0,4772 = 0,9544 
P(-3<Z<3) = 0,4987 + 0,4987 = 0,9974 
P(-4<Z<4) = 0,4999 + 0,4999 = 0,9998 
Calculando Probabilidades da Curva Normal 
Exemplo: X=peso de cobaias. X~N(100,400) 
1º número nos parênteses é a média e o 2º é a variância. 
Se a variância é 400 o desvio é 20. 
 
Não consigo integrar analiticamente! 
O que é padronizar um conjunto de dados? Transformar a variável em outro com a média = 0 e 
o desvio padrão = 1. 
Resultado 
 
 
Este resultado permite que se utilizem os valores tabelados da Curva Normal Padronizada para 
calcular probabilidades de qualquer curva normal. 
 
Note que os valores Z são os valores da variável X padronizados. 
 
Exemplo: X= peso de cobaias. X~N (100,400) 
 
1º eu transformo x em z: 
Z= x – media/ desvio neste caso: Z= x-100/20 
Desvio= 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
Se for abaixo da média é negativo e feito por subtração qnd pedido menor e se for acima é 
positivo e feito por soma qnd pedido maior. 
 
P(X<80) = |P (x-100/20 < 80-100/20) = |P (Z<-1) = 0,5 – 0,3415 = 0,1587 
É a mesma coisa que o nº de desvios da média. 80 é um desvio abaixo da média, ou seja -1. 
Isso significa que 15,87% dos ratinhos tem peso abaixo de 80g. É a incerteza de que 0,1587 
dos ratinhos de ter menos de 80g. 
 
P(X<120) = 1 desvio = 0,5 + 0,3415 = 0,8415 
 
P(X>90) = 0,5 desvio = 0,5 + 0,1925 = 0,6925 
 
P(X>130) = Z> 1,5 = 0,5 – 0,4332 = 0,0668 
 
P(95<X<110) = - 0,25 <Z> 0,5 = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 
 
P (80<X<120) = -1 <z> 1= 0,68 
 
P(60<X<140) = -2 <z> 2 = 0,95 DECORAR!!! 
 
P(40<X<160) = -3<Z>3 = 0,99 
 
P(20<X<180) = -4<Z>4 = 0,99 
 
Exemplo: X=peso de comprimidos. 
 
Se X~N(10,0.25) média 10, variância 0,25 e desvio 0,5. 
 
• 68,26% dos comprimidos pesam entre 9,5 e 10,5. 
 
• 95,44% dos comprimidos pesam entre 9 e 11. 
 
• 99,74% dos comprimidos pesam entre 8,5 e 11,5. 
 
• 99,99% dos comprimidos pesam entre 8 e 12. 
 
• 80,00% dos comprimidos pesam entre 9,36 e 10,64. 
40% positivo e 40% negativo 
Procuro na tabelo uma área próxima 0,40 que é Z=1,28 
1,28 x 0,5 = 0,64 acima da média, ou seja, média + desvio= 10 + 0,64= 10,64 e 0,64 abaixo da 
média: 10 – 0,64 = 9,36. 
Isso terá amplitude de 1,28. 
 
OBS: note que existem outras opções para cada percentual 
 
Também tem a probabilidade de 80% de estar entre 9,18 e 10,52 sendo 45% abaixo da média 
e 35% acima da média, com amplitude de 1,34. 
 
Então, para distribuições simétricas o intervalo de menor amplitude para uma mesma 
probabilidade é intervalo central. 
Predomina a probabilidade de menor amplitude. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Distribuição t de Student 
 
µ 
• É simétrica e tem forma de sino como a normal. 
• Mas, para uma mesma média, é sempre mais achatada. O que significa que atribui 
maiores probabilidades para valores mais afastados da média. 
 Possui outro parâmetro: o grau de liberdade que diz o quão achatado é a curva. 
Quanto maior este número, mais bicuda, menor variância; mas nunca tão bicuda 
quanto a normal. Não conseguimos padronizar o parâmetro t, temos várias tabelas. 
Não temos tantas probabilidades, por exemplo: a área 0,0005 corresponde ao t=4,075 
com gl=15. 
 
 0 
• Depende de dois parâmetros: média (μ) e graus de liberdade (gl). 
• Usaremos apenas a Distribuição t de média 0. Neste caso, o único parâmetro a ser 
considerado será os graus de liberdade (gl). 
 
Aula 7 – 20/03/14 
Calculando Probabilidades da Distribuição t de média zero: 
*os valores que são apresentados