Lista da última prova

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5a. Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo III - 1o. semestre de 2014
Professores: Lonardo (turma A) e Vale´ria (turmas C)
Integrais de Superf´ıcie e Teorema de Green
1. Exerc´ıcios do Ca´lculo B:
• 10.7: 1,3,4,6.
• 10.11: 10-16,22-24,25-33(´ımpares).
• 10.13: 1,2,4-16.
2. Exerc´ıcios da Diomara:
• 6.5: 4,5,6.
• 6.7: 7,9,10.
• 7.2: 1,4.
3. Considere o campo vetorial ~f(x, y) =
(
− y
x2 + y2
− 2y, x
x2 + y2
+ 2x
)
, (x, y) 6= (0, 0).
Calcule
∫
C
~f · d~r, onde C e´ a elipse x2 + y
2
9
= 1, orientada no sentido anti-hora´rio.
4. Dados dois campos escalares u e v, de classe C1 em um conjunto aberto que conte´m o
c´ırculo de raio R cuja fronteira e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 1, definem-se dois campos
vetoriais ~f e ~g do seguinte modo:
~f(x, y) = (v(x, y), u(x, y)) ~g(x, y) =
(
∂u
∂x
− ∂u
∂y
,
∂v
∂x
− ∂v
∂y
)
.
Determinar o valor da integral dupla
∫∫
R
~f · ~g dx dy sabendo-se que sobre a fronteira de
R tem-se que u(x, y) = 1 e v(x, y) = y.
5. Sejam f e g dois campos escalares de classe C1 sobre um conjunto conexo S no plano.
Mostre que ∮
C
f∇g · d~r = −
∮
C
g∇f · d~r
para qualquer curva C fechada de classe C1 em S.
6. Sejam ~r = (x, y) e r = ‖~r‖. Seja o campo
~f(x, y) =
(
∂(ln(r))
∂y
,−∂(ln(r))
∂x
)
, para todo r > 0.
Seja C uma curva fechada de classe C1 por partes localizada dentro do conjunto 1 <
x2 + y2 < 25. Calcule todos os poss´ıveis valores da integral de linha de ~f ao longo da
curva C.
7. Calcular a a´rea da superf´ıcie da esfera x2 + y2 + z2 = a2 situada no interior do cilindro
x2 + y2 = ay, com a > 0.
8. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se a circunfereˆncia (x − a)2 + z2 = r2, 0 < r < a, em
torno do eixo z. Esta superf´ıcie e´ chamada de toro.
(a) Mostre que S pode ser parametrizada como ~r : [0, 2pi]× [0, 2pi]→ R3 sendo
~r(θ, t) =

x(θ, t) = (a+ r cos t) cos θ
y(θ, t) = (a+ r cos t) sen θ
z(θ, t) = r sen t
(b) Encontre a a´rea de S.
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