Estruturas de Concreto Armado I -Apostila de UFBA

e levando-se em conta as 
constantes, tem-se: 
)I(
f.85,0
f
d
y
)armaduradegeométricataxa(
d.b
A
d.b
f.A
d.b
y.b.f.85,0
)d.b(f.Ay.b.f.85,0
TC)I(
cd
yd
w
s
w
yds
w
wcd
wydswcd
ρ=
ρ==
÷=
=
 
)II()
d
y5,01(
d
y
d.b.f.85,0
M
)d()
2
yd(y
b.f.85,0
M
)
2
yd(A.)
2
yd(y.b.f.85,0M
MM)II(
2
wcd
d
2
wcd
d
ssdwcdd
extint
−=
÷−=
−σ=−=
=
 
A equação de compatibilidade (equação (III)), não sofre mudanças, e continua como 
apresentada a seguir: 
)III(
1
8,0
d
y
cd
sd
ε
ε+
= 
Utilizando as equações para o dimensionamento, vejamos alguns exemplos. 
Problema 1 
Para a seção transversal da Figura 6.19, determine a área de aço necessária. Resolva para o 
limite do aço e para o limite da NBR 6118 (2004). 
h 
= 
70
cm
sA
d = 64cm
d' = 6cm
b = 12cmw 
Figura 6.19 – Seção transversal para dimensionamento.
Aço CA 50 A 
fck = 25MPa 
d’ = 6cm 
d = h – d’ = 70 – 6 = 64cm 
Mk = 6tf.m 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
124
Verificando o limite do aço para o domínio 3 (ponto A), pela equação de compatibilidade: 
0,503
0,0035
0,002071
0,8
d
y
3,5ε2,07
210000
1,15
500
εε
ε
ε
1
0,8
d
y
CA50Alim,
oo
o
cdoo
o
ydsd
cd
sd
=
+
=


=→===→
+
=
 
Voltando ao problema: 
503,0
d
yMPa78,434
15,1
500fMPa86,17
4,1
25f
lim
ydcd =

====
 
Pode-se acompanhar o seguinte roteiro para o dimensionamento: 
1) Determina-se (y/d) pela equação (II): 



=


→=


=−±=
=+

−


−=
0,120
d
y
falsaraiz1,880
d
y
2
0,225.442
d
y
00,225
d
y2
d
y
)
d
y0,5(1
d
y
0,64.0,12.10.17,86.0,85
60.1,4
2
1
2
23
 
2) Compara-se o (y/d) encontrado com o (y/d)lim: 
2.1) Limite do aço: 
OK503,0
d
y120,0
d
y
!mudarsedeve4Domínio
d
y
d
y
OKAponto
d
y
d
y
OK3Domínioou2Domínio
d
y
d
y
lim
lim
lim
lim
⇒=

<=







−⇒⇒

>
⇒⇒

=
⇒⇒

<
 
2.2) Limite da NBR 6118 (2004): 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
125 
OK0,400
d
y
0,120
d
y
!mudarsedeve4Domínioou3Domínio
d
y
d
y
OK3Domínioou2Domínio
d
y
d
y
lim
lim
lim
Þ=÷
ø
ö
ç
è
æ<=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-ÞÞ÷
ø
ö
ç
è
æ>
ÞÞ÷
ø
ö
ç
è
æ<
 
Neste problema, o (y/d) encontrado atende às duas verificações. 
3) Calcula-se a área de aço necessária (As): 
0,419%0,00419
10.434,78
10.17,86.0,85
0,120?
3
3
=== 
22
s
min
3,22cm0,0003218m0,64.0,12.0,00419A
OK(2004))NBR6118da(valor??
===
>
 
Problema 2 
Para a peça da Figura 6.20, determine a menor altura h para que a seção não apresente ruptura 
brusca, e a área de aço necessária para resistir ao momento fletor. Considere o limite do aço e 
o da NBR 6118 (2004). 
s
b = 15cmw
d' = 6cm
A
dh
 
Figura 6.20 – Seção para dimensionamento. 
Aço CA 50 A 
fck = 30MPa 
Mk = 10tf.m 
d = h – 6 
( )
434,78MPaf21,43MPa
1,4
30
f
0,06h0,503y0,503
0,06h
y
0,503
d
y
ydcd
lim
===
-=\=÷
ø
ö
ç
è
æ
-
\=÷
ø
ö
ç
è
æ
45cmh0,43mh0,13610,06)(h0,1361(d)
2
0,503
10,503
(d).0,15.10.21,43.0,85
100.1,4
22
23
=\³\=-\=
úû
ù
êë
é -=
 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
126
22
s
min
cm33,12m001233,039,0.15,0.0211,0A
OK%11,20211,0
78,434
43,21.85,0
503,0
===
ρ>===ρ
 
Adotando-se o limite da NBR 6118 (2004), tem-se: 
cm05h0,46mh0,16010,06)(h0,1601(d)
2
0,40010,400
(d).0,15.10.21,43.0,85
100.1,40,400
d
y
22
23
lim
=∴≥∴=−∴=


 −=∴=


 
22
s
min
11,09cm0,001109m0,44.0,15.0,0168A
OKρ1,68%0,0168
434,78
21,43.0,850,400ρ
===
>===
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (2004) – Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2004. 
Fib – Fédération Internationale du Béton. Structural concrete: textbook on behaviour, 
design and performance. Vols. I e II. Sprint-Druck, Suíça, 1999. 
FUSCO, P. B. - Estruturas de concreto: solicitações normais. Ed. Guanabara Dois S.A., 
Rio de Janeiro, 1981. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118 (1978) – Projeto e execução 
de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1978. 
ACI – American Concrete Institute. ACI-318 R-02 – Building code requirements for 
reinforced concrete and commentary. Detroit, 2002. 
CEB-FIP – Comité Euro-International du Béton. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin 
d’Information, no 203-205, 1993. 
FERGUSON, P. M.; BREEN, J. E.; JIRSA, J. O. – Reinforced concrete fundamentals. John 
Wiley & Sons, 1988. 
MACGREGOR, J. G. – Reinforced concrete: mechanics and design. Englewood Cliffs, 
New Jersey, Prentice-Hall, 1988. 
SÜSSEKIND, J. C. – Curso de concreto (concreto armado). Vol. 1, 2a ed., Ed. Globo, Rio 
de Janeiro, 1981. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE II 
 
½ Lajes ¾
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
128
7. LAJES 
7.1. INTRODUÇÃO 
Segundo POLILLO (1981), “Denominam-se de lajes, as placas de material litóide”. As placas 
de concreto são denominadas de lajes, e, como já foi dito, elas são elementos planos que 
trabalham solicitadas, basicamente, à flexão e recebem cargas perpendiculares a seu plano 
médio. Nas edificações usuais, a laje é o primeiro elemento a receber as cargas, e tem a 
função de retransmiti-las às vigas ou diretamente aos pilares, no caso das lajes planas, por 
exemplo. Nas estruturas de edifícios, as lajes exercem grande importância sobre o consumo de 
concreto, pois chegam a ser responsáveis por 50% do volume total de concreto utilizado. 
Segundo MACGREGOR (1984), as lajes armadas em cruz, que distribuem as cargas em duas 
direções, são uma forma única de construção que só as estruturas de concreto armado 
apresentam, entre todos os materiais de construção. 
7.2. TIPOS DE LAJES 
Segundo ROCHA (1987), pode-se classificar as lajes em dois grandes grupos, de acordo com 
o modo de dimensionamento: 
a) Lajes armadas em uma só direção, ou laje corredor – quando a relação entre o maior e o 
menor vão for maior do que 2 (Figura 7.1). 
yl
xl
yl
xl_____ > 2
 
Figura 7.1 – Laje corredor. 
b) Lajes armadas em duas direções, ou lajes armadas em cruz - quando a relação entre o 
maior e o menor vão for menor do que ou igual a 2 (Figura 7.2). 
É importante ressaltar que mesmo as lajes ditas armadas em uma única direção, têm 
armaduras positivas nas duas direções principais, como será visto posteriormente, porém, elas 
são calculadas levando-se em conta apenas a direção principal. Logo, a nomenclatura correta 
deveria ser laje calculada em uma única direção. 
As lajes apresentam, também, outras classificações que levam em conta outros parâmetros. 
São elas: 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
129
xl
yl_____ < 2lx
ly
 
Figura 7.2 – Laje armada em cruz. 
• Quanto à fabricação, ou modo de execução: Pré-moldadas (Figuras 7.3 e 7.4) 
Moldadas in loco (Figura 7.5) 
 Plana (Figuras 7.6a e 7.7) 
• Quanto à forma: Maciça Cogumelo (Figuras 7.6b e 7.8) 
Vigada (Figuras 7.6c e 7.9) 
Nervurada (Figuras 7.6d e 7.10) 
 
 
 
Figura 7.3 – Edifício de apartamento de 13 andares 
com todas as lajes pós-tensionadas no solo e depois 
içadas até a posição definitiva (São Francisco). Lajes 
com 20cm de espessura, em concreto leve e 8,5m de 
vão (LIN & BURNS, 1981). 
Figura 7.4 – Centro japonês Pagoda