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Estruturas de Concreto Armado I -Apostila de UFBA

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s
A
kN74,078,2604,26V
kN78,26VVVV
kN78,2610.29,0.12,0.
4,1
25.3,0.7,0.6,0V
2
min
sw
sw
0c1cSd0c
3
3 2
0c
=

→−=−=
==→>
=


=
 
V115 (12/35) Vk = 18,0kN VSd = 25,2kN 
a) VSd ≤ VRd2 
OKVkN01,151V Sd2Rd >= 
b) VSd ≤ VRd3 
cm/cm012,0
s
A
kN58,178,262,25V
kN78,26VVVV
kN78,26V
2
min
sw
sw
0c1cSd0c
0c
=

→−=−=
==→>
=
 
V116 (12/50) Vk = 56,3kN VSd = 78,82kN 
a) VSd ≤ VRd2 
OKVkN11,22944,0.12,0.
4,1
25000.9,0.27,0V Sd2Rd >== 
b) VSd ≤ VRd3 
kN95,32VerpolarintVVVeVV
kN63,4010.44,0.12,0.
4,1
25.3,0.7,0.6,0V
1c1cSd2RdSd0c
3
3 2
0c
=⇒⇒→><
=


=
 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
210
min
sw22sw
sw
s
A
cm/cm027,010.
15,1
500000.44,0.9,0
87,45
s
A
kN87,4595,3282,78V


>=


=
=−=
 
V118 (12/40) Vk = 63,2kN VSd = 88,48kN 
a) VSd ≤ VRd2 
OKVkN04,177V Sd2Rd >= 
b) VSd ≤ VRd3 
min
sw22sw
sw
1c1cSd2RdSd0c
0c
s
A
cm/cm052,010.
15,1
500000.34,0.9,0
39,69
s
A
kN39,6909,1948,88V
kN09,19VerpolarintVVVeVV
kN40,31V


>=


=
=−=
=⇒⇒→><
=
 
V120 (12/30) Vk = 20,3kN VSd = 28,42kN 
a) VSd ≤ VRd2 
OKVkN97,124V Sd2Rd >= 
b) VSd ≤ VRd3 
cm/cm012,0
s
A
cm/cm0081,010.
15,1
500000.24,0.9,0
61,7
s
A
kN61,781,2042,28V
kN81,20VerpolarintVVVeVV
kN16,22V
2
min
sw22sw
sw
1c1cSd2RdSd0c
0c
=

<=


=
=−=
=⇒⇒→><
=
 
 
A Tabela 8.5 apresenta o resumo do dimensionamento das vigas do pavimento tipo em 
estudo, indicando as áreas de aço longitudinais e transversais. 
Percebe-se que, para as vigas que não passaram com armadura simples e a seção retangular de 
pré-dimensionamento, temos três opções de arranjo para escolher: armadura simples com 
altura maior que a da seção de pré-dimensionamento; armadura dupla com a seção de pré-
dimensionamento; e armadura simples e seção T. Qual é a melhor opção para o projeto, 
depende das características de cada obra. 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
211
Tabela 8.5 – Resumo das áreas de aço para as vigas do pavimento tipo em estudo (dimensões em cm). 
ELU – Solicitações normais 
Simplesmente 
armada Duplamente armada Seção T 
ELU – 
Solicitações 
tangenciais Viga bw 
h As h As A’s h As h Asw/s 
V101 12 40 4,19 35 5,26 0,39 35 4,37 35 0,0253 
V103 12 30 1,32 --- --- --- --- --- 30 0,012 
V104 12 45 6,04 --- --- --- --- --- 45 0,067 
V105 12 40 4,13 --- --- --- 30 5,57 30 0,120 
V106 12 30 0,43 --- --- --- --- --- 30 0,012 
V107 12 40 4,23 --- --- --- --- --- 40 0,079 
V112 12 45 5,28 40 6,34 0,64 --- --- 40 0,040 
V113 12 35 2,14 --- --- --- --- --- 35 0,012 
V115 12 35 1,90 --- --- --- --- --- 35 0,012 
V116 12 55 6,30 50 7,44 0,04 50 6,12 50 0,027 
V118 12 50 6,47 --- --- --- 40 7,09 40 0,052 
V120 12 30 3,11 --- --- --- --- --- 30 0,012 
8.4.2. Momento torçor 
O tema tratado neste item foi baseado em MACGREGOR (1984) e GIONGO & TOTTI 
(1994), com alguns trechos inteiramente transcritos dessas referências. 
Um momento atuando em volta do eixo longitudinal de uma peça é chamado de MOMENTO 
TORÇOR (T). Nas estruturas, a torção pode resultar de carregamentos excêntricos ou de 
deformações resultantes da continuidade de vigas ou peças similares que se juntem formando 
um ângulo entre elas. 
Os carregamentos de torção podem ser separados em dois grupos básicos: 
a) Torção equilibrante (Figura 8.26); 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 8.26 – Exemplos de torção equilibrante: (a) viga em balanço com carga excêntrica; (b) viga apoiando 
duas lajes pré-moldadas com reações diferentes (MACGREGOR, 1984). 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
212
 
Figura 8.27 – Exemplo de torção de equilíbrio: viga da marquise (MACGREGOR, 1984). 
Quando se tem uma torção equilibrante, é obrigatória a sua consideração, pois o momento 
torçor é necessário para o equilíbrio estático da peça. A sua não consideração pode levar a 
estrutura ao colapso, por falta de capacidade resistente à torção. Para o exemplo da Figura 
8.27, a única consideração estática possível da estrutura é admitir a laje em balanço engastada 
na viga AB, o que gera nela um momento uniformemente distribuído ao longo do seu eixo. 
Esse, por sua vez, tem que ser equilibrado pelo engastamento nos pilares. Esses esforços em 
conjunto levam ao aparecimento de momentos torçores na viga, que deve ser dimensionada 
para eles. 
b) Torção de compatibilidade (Figura 8.28). 
 
Figura 8.28 – Exemplo de torção de compatibilidade (MACGREGOR, 1984). 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
213
Para o sistema da Figura 8.28, se a viga AB se apóia na viga CD, quando a primeira se 
deformar traz consigo a última, causando nela um giro, ou seja, torção. Porém, se a viga CD 
não tiver rigidez à torção suficiente, ela vai simplesmente deformar, e se acomodar. Portanto, 
temos duas opções: ou se fornece rigidez suficiente e dimensiona a viga à torção; ou a deixa 
deformar. 
Quando se tem uma torção de compatibilidade, em que o momento torçor é resultante da 
compatibilidade das deformações da estrutura, como descrito anteriormente, ela pode ser 
desprezada, como exemplifica a Figura 8.29. 
 
Figura 8.29 – Laje maciça de pavimento ligada a viga de extremidade (Leonhardt apud GIONGO & TOTTI, 
1994). 
Para as vigas de bordo nos pavimentos de edifícios, como o da Figura 8.29, o momento fletor 
uniformemente distribuído atuante na ligação da laje com a viga é transferido para a viga, 
tendendo a provocar um giro na mesma. Esse momento gera, então, reações de flexão nos 
pilares que se contrapõem ao giro, fazendo com que apareça na viga tensões tangenciais que 
provocam a torção. 
Na maioria dos projetos estruturais de edifícios, as vigas são limitadas pela arquitetura a 
seções entre 12cm e 20cm, e esses valores não são suficientes para que a seção transversal 
absorva as tensões transversais oriundas da torção. Esse efeito, então, é desprezado na maioria 
das vezes pela consideração de apoio simples das lajes nas vigas de bordo e não de 
engastamento, como apresentado no exemplo da Figura 8.29. 
Como se sabe, o momento torçor é um momento que atua em volta do eixo longitudinal de 
uma peça. Considere-se, então, uma barra se seção transversal circular que sofre torção por 
meio de um momento aplicado na sua extremidade livre, como mostra a Figura 8.30. 
 
Estruturas de Concreto Armado I – ENG 118 
214
 
Figura 8.30 – Peça submetida à torção (MACGREGOR, 1984). 
Nessa situação, de torção pura, as seções transversais girarão em torno do eixo longitudinal da 
peça, de forma que o mesmo não sofre nenhuma variação. Porém, as fibras longitudinais que 
são paralelas ao eixo central sofrerão distorção, tanto maior quanto mais afastadas do centro 
elas estiverem, como mostra a Figura 8.31. 
 
Figura 8.31 – Distribuição das tensões transversais de torção em seção circular e seção quadrada 
(MACGREGOR, 1984). 
Tomando-se um elemento infinitesimal situado na face externa da barra, ele sofrerá uma 
distorção, com variação entre os ângulos dos seus vértices, que não serão mais retos, ou seja, 
a seção transversal deixa de ser plana. A deformação das fibras paralelas ao eixo da peça é 
denominada de empenamento. A Figura 8.32 apresenta o empenamento para uma seção 
retangular. Nota-se que o plano da seção transversal, após o empenamento, se transforma em 
uma superfície curva espacial. 
 
Figura 8.32 – Barra solicitada à torção (Süssekind, apud GIONGO & TOTTI, 1994). 
A torção simples com empenamento livre irá produzir um sistema de tensões principais 
atuantes com inclinação de 45º com a horizontal,