A Steiner arborescence model for the feeder reconguration in electric distribution networks

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A Steiner arborescence model for the feeder reconfiguration in electric
distribution networks
Edivane Pessoa, Gabriel Machado
edivanepessoa@yahoo.com.br, gabriel machado@live.com
Universidade Federal de Ouro Preto
2 de julho de 2014
1 Introduc¸a˜o
A difusa˜o de mercados abertos para a energia aumentou a necessidade por novas tecnologias para o controle
e gerenciamento dos sistemas ele´tricos. Essa nova situac¸a˜o criou um mercado onde as companhias ele´tricas
competem em prec¸o e confianc¸a no suprimento de energia. Para isso, os sistemas de gerenciamento de energia
atuais (2005) precisam ser aprimorados com func¸o˜es de controle automatizadas capazes de operar em tempo
real.
Uma das principais func¸o˜es de controle consiste em alterar a estrutura topolo´gica da distribuic¸a˜o de
energia por controle remoto, que permite restaurar a energia em caso de interrupc¸a˜o, aliviar sobrecargas e
reduzir perdas resistivas nas linhas de transmissa˜o.
Neste artigo os autores citam me´todos de programac¸a˜o matema´tica, como o problema de transbordo,
o problema de programac¸a˜o quadra´tica linear constrangido e o problema de programac¸a˜o linear inteira, os
quais oferecem poss´ıveis soluc¸o˜es ao estudo.
Utilizaram enfim, uma formulac¸a˜o de minimizac¸a˜o das perdas da reconfigurac¸a˜o como um problema da
a´rvore de Steiner.
2 Problema
Uma rede de distribuic¸a˜o ele´trica pode ser representada por um grafo dirigido, em que os ve´rtices podem
fornecer ou retransmitir energia. Assim, associa-se um n´ıvel de tensa˜o a cada ve´rtice, e assume-se um u´nico
suprimento virtual de energia.
Uma configurac¸a˜o de rede e´ um subgrafo da rede de distribuic¸a˜o obtida pelo controle dos disjuntores na
rede que ativam/desativam a conexa˜o entre ve´rtices.
Uma configurac¸a˜o de rede e´ radial, se na˜o possui ciclos e se cada ve´rtice e´ suprido por somente uma
aresta.
O problema da reconfigurac¸a˜o da alimentac¸a˜o pode ser definido como o problema de se encontrar uma
a´rvore de Steiner via´vel com respeito a` restric¸o˜es de voltagem, minimizando a perda total.
1
min
∑
ij∈E rijf
2
ij ,∑
j:ij∈E fsj =
∑
i∈C Fi, (1)∑
j:ij∈E fji −
∑
j:ij∈E fij = 0, i ∈ I, (2)∑
j:ij∈E fji −
∑
j:ij∈E fij = Fi, i ∈ L, (3)∑
i:ij∈E xij = 1, j ∈ L (4)∑
i:ij∈V xij ≤ 1, j ∈ I (5)
0 ≤ fij ≤ uijxij , ij ∈ E, (6)
xij(vi − vj) = zijfij , ij ∈ E, (7)
V mini ≤ vi ≤ V maxi , i ∈ V, (8)
xij ∈ {0, 1}, ij ∈ E.
Onde s ∈ V e´ o ve´rtice raiz (suprimento de energia); L ⊂ V e´ o conjunto dos ve´rtices de carga; I ⊂ V
e´ o conjunto dos ve´rtices de interconexa˜o; Fi e´ a demanda de carga do ve´rtice i ∈ L; rij , zij e uij sa˜o a
resisteˆncia, a impedaˆncia e a capacidade da linha de transmissa˜o ij ∈ E, respectivamente; xij e´ uma varia´vel
bina´ria que representa o estado de ativac¸a˜o da linha ij ∈ E; e fij representa o fluxo na linha.
A restric¸a˜o (1) requer que o fluxo saindo do ve´rtice raiz seja igual a` soma dos fluxos requiridos pelos
ve´rtices de carga; (2) requer que o fluxo entrando em dada ve´rtice de interconexa˜o seja igual ao fluxo saindo;
(3) requer que o fluxo entrando em cada ve´rtice de carga seja igual a` demanda do mesmo; (4) requer que cada
ve´rtice de carga tenha grau de entrada 1; (5) requer que cada ve´rtice de interconexa˜o tenha grau de entrada
de no ma´ximo 1; (6) define que na˜o passa nenhum fluxo por uma linha quando esta esta´ desativada (xij = 0),
e, caso contra´rio, no ma´ximo a capacidade da mesma; (7) requer que se uma linha esta´ ativada, seja aplicada
a lei de Ohm; (8) define os limites ma´ximos e mı´nimos para a voltagem, garantindo que a soluc¸a˜o seja via´vel.
3 Resultados
O problema da reconfigurac¸a˜o da alimentac¸a˜o foi resolvido otimamente por um algoritmo branch-and-bound.
O algoritmo foi testado em redes obtidas de diversos artigos e em uma rede real.
Name |V | |A| Lb Opt No´s B&B Tempo B&B
Glamocanin 10 26 0.012822 0.014078 99 2
Grainger 16 32 0.006826 0.00767 34 1
Whei Min 17 30 0.005458 0.00595 22 0.5
Napoli 35 76 0.075866 0.085478 678 67
Chiang 69 146 0.04288 0.05236 140 21
Baran and Wu 69 144 0.022202 0.02621 211 29
4 Conclusa˜o
Este artigo apresenta uma soluc¸a˜o o´tima para o problema de perda de energia ao reconfigurar o alimentador
para distribuir eletricidade em uma rede. Utiliza para tal a abordagem da a´rvore de Steiner, a qual possibilita
aplicar conceitos de grafos em uma situac¸a˜o real.
Refereˆncias
AVELLA, P.; VILLACCI, D.; SFORZA, A. A steiner arborescence model for the feeder reconfiguration in
electric distribution networks. European Journal of Operational Research, p. 505–509, 2005.
	Introdução
	Problema
	Resultados
	Conclusão
	Referências