A3 - TEORIA DOS GRAFOS E PESQUISA OPERACIONAL

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Variáveis de Decisão:
- \(x\) = quantidade de quilogramas de Ração A a serem produzidos semanalmente.
- \(y\) = quantidade de quilogramas de Ração B a serem produzidos semanalmente.
Função Objetivo:
Maximizar o lucro semanal, que é dado pela seguinte função objetivo:
\[Z = 3x + 4y\]
Restrições:
1. Restrição de milho: A quantidade de milho utilizada semanalmente não pode exceder 800 kg.
\[2x + y \leq 800\]
2. Restrição de farelo de soja: A quantidade de farelo de soja utilizada semanalmente não pode exceder 1200 kg.
\[3x + 4y \leq 1200\]
3. Restrição de suplemento mineral: A quantidade de suplemento mineral utilizada semanalmente não pode exceder 400 kg.
\[x + 2y \leq 400\]
4. Restrição de não-negatividade: A quantidade de ração produzida deve ser não negativa.
\[x \geq 0, \quad y \geq 0\]
| Base | x | y | S1 | S2 | S3 | RHS |
|--------|-------|-------|--------|--------|--------|---------|
| S1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 800 |
| S2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 0 | 1200 |
| S3 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 400 |
| Z | -3 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Nesta tabela, as variáveis \(x\), \(y\), \(S1\), \(S2\) e \(S3\) correspondem a \(x\), \(y\), as variáveis de folga associadas às restrições, e \(Z\) representa a função objetivo.
Aplicando o método simplex para encontrar a solução ótima. Primeiro, encontramos a coluna de entrada, que é a coluna com o coeficiente mais negativo na linha \(Z\). Neste caso, é a coluna \(y\).
Agora, encontramos a linha de saída, que é determinada pela razão entre os valores na coluna RHS e os valores correspondentes na coluna de entrada. A linha de saída é aquela com a menor razão positiva. Neste caso, a linha de saída é a linha \(S1\).
aplicando as operações do método simplex para atualizar a tabela. Primeiro, tornamos o pivô (elemento na interseção da linha de saída e coluna de entrada) igual a 1 dividindo toda a linha \(S1\) pelo valor do pivô (2).
Usando a linha \(S1\) para eliminar os coeficientes na coluna \(y\) nas outras linhas. Isso é feito subtraindo um múltiplo apropriado da linha \(S1\) de cada uma das outras linhas.
Após realizar as operações, a tabela simplex atualizada fica assim:
```
| Base | x | y | S1 | S2 | S3 | RHS |
|--------|-------|-------|--------|--------|--------|---------|
| y | 2/7 | 1 | 1/7 | 0 | -2/7 | 160 |
| S2 | 11/7 | 0 | -3/7 | 1 | -6/7 | 440 |
| S3 | 3/7 | 0 | -1/7 | 0 | 1/7 | 80 |
| Z | -1/7 | 0 | 3/7 | 0 | 4/7 | 40 |
Agora, repetimos o processo. Encontramos a próxima coluna de entrada, que é a coluna \(x\), pois é o coeficiente mais negativo na linha \(Z\). Em seguida, encontramos a linha de saída, que é determinada pela razão entre os valores na coluna RHS e os valores correspondentes na coluna de entrada. A linha de saída é a linha \(S2\).
Novamente, aplicamos as operações do método simplex para atualizar a tabela. Tornamos o pivô (elemento na interseção da linha de saída e coluna de entrada) igual a 1 dividindo toda a linha \(S2\) pelo valor do pivô (11/7). Em seguida, usamos a linha \(S2\) para eliminar os coeficientes na coluna \(x\) nas outras linhas.
Após realizar as operações, a tabela simplex atualizada fica assim:
| Base | x | y | S1 | S2 | S3 | RHS |
|--------|-------|-------|--------|--------|--------|---------|
| y | 0 | 1 | 1/11 | -2/11 | -12/11 | 40 |
| x | 1 | 0 | -3/11 | 1/11 | -6/11 | 40 |
| S3 | 0 | 0 | 2/11 | -3/11 | 9/11 | 160 |
| Z | 0 | 0 | 1/11 | 3/11 | 8/11 | 80 |
Agora, não há mais coeficientes negativos na linha \(Z\), o que
 indica que encontramos a solução ótima. O valor máximo da função objetivo \(Z\) é 80, que é o lucro máximo semanal. As quantidades ótimas de Ração A e Ração B a serem produzidas são 40 kg e 0 kg, respectivamente.
Portanto, para maximizar o lucro semanal, a empresa deve produzir 40 kg de Ração A e 0 kg de Ração B por semana. Isso resultará em um lucro semanal de R$ 80,00.