Assíntotas Verticais e Horizontais em Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Assíntotas 
Professora: Ruth Exalta da Silva 
1/4 
x→ k
+
 
x→ k
+
 
x→ k
–
 
x→ k
–
 
x→ + ∞ 
x→ – ∞ 
 
ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 
 
Dizemos que uma reta é uma assíntota quando um ponto ao se mover ao longo da parte externa 
da curva, a mesma se aproxima desta reta. 
1) Pra determinarmos uma assíntota vertical precisamos encontrar as raízes do denominador 
que são as candidatas a assíntota vertical. Assim, a reta x = k, onde k é raiz do 
denominador, é uma assíntota vertical do gráfico da função racional f(x) se ao menos 
um dos limites a seguir ocorre: 
lim f(x) = + ∞ 
 
lim f(x) = + ∞ 
 
lim f(x) = – ∞ 
 
lim f(x) = – ∞ 
 
2) A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função f(x) se ao menos um dos 
limites a seguir ocorre: 
lim f(x) = b 
 
lim f(x) = b 
 
GRÁFICO 
Para esboçarmos o gráfico de uma função real devemos analisar: 
1) Domínio da função 
2) Assíntota Horizontal 
3) Assíntota Vertical 
4) Intersecção com o eixo 
OX
 
5) Intersecção com o eixo 
OY
 
6) Conjunto Imagem 
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2/4 
x→ 1 
x→ + ∞ 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Determine, se existir, as assíntotas horizontais para cada função abaixo: 
a) f(x) = 
23
3
x2x4
6x5x2


 
b) f(x) = 
2x
x
2 
 
 
2) Determine, se existir, as assíntotas verticais para cada função abaixo: 
a) f(x) = 
6x5x
8x5x7x
2
23


 
b) f(x) = 
4x
x2x3x
2
23


 
 
3) Esboce o gráfico para f(x) determinando o domínio, as assíntotas, as intersecções e o conjunto 
imagem. 
 
a) f(x) = 
3x
4x2


 
b) f(x) = 
1x
1xx2
2
2


 
c) f(x) = 
9x
1x
2 

 
 
4) Calcule os limites abaixo: 
 
a) lim 







 
1x
ae
2
1x1x Resposta: 
 aln1
2
1

 
b) lim x
x
3x





  Resposta: e 
– 3 
c) 





 
 x
ba
lim
xx
0x
 Resposta: ln






b
a
 
d) 









 t
1
t1t
1
lim
0t
 Resposta: – ½ 
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 RESOLUÇÃO DOS LIMITES 
 
 
4) a) 
  








 
 1x)(1x
ae
lim
1x1x
1x
 = 


























 )1x(
ae
)1x(
1
lim
1x1x
1x
 
 
































 1x
11ae
lim
1x
1
lim
1x1x
1x1x
 = 























 
 1x
1a1e
lim
2
1
1x1x
1x
 
    























 
 1x
1a1e
lim
2
1
1x1x
1x
 =  


























 
 1x
1a
1x
1e
lim
2
1
1x1x
1x
 
Aplicando as propriedades de limites temos: 
    


































 


 1x
1a
lim
1x
1e
lim
2
1
1x
1x
1x
1x
 
Fazendo x – 1 = β, quando x → 1, então, β → 0 
Reescrevendo o limite em função de β 
    





























 



1a
lim
e
lim
2
1
00
1 = 
 )aln()eln(
2
1





 = 
 )aln(l
2
1





 
 
b) x
x x
3x
lim 




 

 = x
x x
3
x
x
lim 







 = x
x x
3
1lim 







→ fazendo – 
t
x
3

 
 Quando x → + ∞, então, t → 0 → Reescrevendo o limite temos: 
 
  t
3
0t
t1lim



 = 
 
3
t
1
0t
t1lim

 








 = 
 
3
t
1
0t
t1lim

 
















 = e – 3 
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c) 







 
 x
ba
lim
xx
0x
 = 

























 x
1
b
a
b
lim
x
x
x
0x = 
 






















































 x
1
b
a
limblim
x
0x
x
0x 
 























































 b
a
ln
x
1
b
a
lim
x
0x = ln(a) – ln(b) 
 
Outra solução 
 







 
 x
11ba
lim
xx
0x
 = 







 
 x
1b1a
lim
xx
0x
 =    







 
 x
1b1a
lim
xx
0x
 
   







 


 x
1b
x
1a
lim
xx
0x
 =  















 
 x
1a
lim
x
0x
 –  















 
 x
1b
lim
x
0x
= ln(a) – ln(b) 
 
d) 









 t
1
t1t
1
lim
0t
 = 










 t1t
t11
lim
0t
 = 





























 t11
t11
t1t
t11
lim
0t
 
 
  
   









 t11t1t
t1)1(
lim
22
0t
 = 
   









 t11t1t
t11
lim
0t
 
 
   









 t11t1t
t
lim
0t
 = 
   2
1
t11t1
1
lim
0t











