Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, ao gráfico da função f(x) = (x^3 - 1)/(5x^3 - 20x^2 + 15x). a) Assíntotas verticais: ...

Para calcular as assíntotas verticais, precisamos encontrar os valores de x que fazem o denominador da função igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida. Então, resolvendo a equação 5x^3 - 20x^2 + 15x = 0, podemos fatorar x para obter x(5x^2 - 20x + 15) = 0, e assim x = 0 ou x = 1/5 (que se repete três vezes). Portanto, a função tem uma assíntota vertical em x = 1/5. Para calcular as assíntotas horizontais, precisamos verificar o comportamento da função quando x se aproxima de infinito ou menos infinito. Podemos fazer isso dividindo o numerador e o denominador da função por x^3, obtendo f(x) = (1 - 1/x^3)/(5 - 20/x + 15/x^2). Quando x se aproxima de infinito ou menos infinito, o termo 1/x^3 se aproxima de zero, e os termos 20/x e 15/x^2 se aproximam de zero mais rapidamente do que o termo 5, que é constante. Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em y = 0. Assim, a alternativa correta é a letra b) Assíntotas verticais: x = 1/5; Assíntotas horizontais: y = 0.