12° arquivo Derivação

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Derivação 
 Funções trigonométricas 
 Importância: representação de muitos fenômenos naturais. 
 Derivada: descrição de variações periódicas. 
1 
Prova: Pela definição 
 Derivada da função seno 
 A derivada da função seno é a função cosseno. 
h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
)(sen)(sen
lim
)()(
lim)(
00





h
xxhhx
xf
h
sen)cossen()cos(sen
lim)(
0



h
xhhx
xf
h
)cossen()1cos(sen
lim)(
0



x
dx
xd
cos
)sen(

Derivação 
2 
Do slide anterior: 
 Derivada da função seno (continuação) 
h
xhhx
xf
h
)cossen()1cos(sen
lim)(
0




















 

 h
h
x
h
h
xxf
hh
sen
coslim
)1cos(
senlim)(
00









 h
h
x
h
h
xxf
hh
sen
lim)(cos
)1cos(
lim)sen()(
00
xxf cos)(  1)(cos0)sen()(  xxxf
 Exemplo 1: Calcule a derivada da função 
22
sen)(cos/)sen(/)sen(
)(
x
xxx
x
dxdxxdxxdx
xf




x
x
xf
sen
)( 
Derivação 
3 
Prova: Pela definição: 
 Derivada da função cosseno 
 A derivada da função cosseno é dada por: 
h
xhx
xf
h
)(cos)(cos
lim)(
0



h
xhxhx
xf
h
cos)sensencoscos(
lim)(
0



h
hxhx
xf
h
)sensen()1cos(cos
lim)(
0



x
dx
xd
sen
)cos(

Lembrando que: 
hxhxhx sensencoscos)(cos 
h
h
x
h
h
xxf
hh
sen
limsen
1cos
limcos)(
00 



0 
1 
x
dx
xd
xf sen
)cos(
)( 
Derivação 
4 
 Exemplo 2: Calcule a derivada da função 
xe
x
xxxx
y 



2)sen1(
)cos(cos)sen)(sen1(
xe
x
x
y 


sen1
cos
Rearrumando: 
xx e
x
x
e
x
xxx
y 






22
22
)sen1(
sen1
)sen1(
cossensen
Finalmente: xe
x
y 


)sen1(
1
Derivação 
5 
 Movimento Harmônico Simples 
 Exemplo 3: Suponha que o corpo suspenso em uma mola é deslocado 
 em 5 unidades da posição de repouso e solto, no instante t = 0, para 
 oscilar. Sendo sua posição dada por s = 5 cos t, calcule v(t) e a(t). 
t
dt
ds
tv sen5)( 
t
dt
dv
ta cos5)( 
 Quando s = 0: velocidade é máxima. 
 Período: 2. 
 Amplitude: 5 
 A aceleração é o oposto da posição. É nula no repouso. 
Derivação 
6 
 Exercício 1: Determine a primeira e a segunda derivadas da 
 função H() =  (sen ). 
 Exercício 2: Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre 
 uma superfície lisa. Sua equação de movimento é dada abaixo 
 na qual t é medido em segundo e x em centímetros. Pede-se: 
ttx sen8)( 
b. A posição, velocidade e aceleração do 
 corpo em t = 2/3. Em que sentido ele 
 está se movendo nesse instante? 
a. A velocidade e a aceleração no instante t. 
Derivação 
7 
 Exercício 3: Encontre uma equação da reta tangente à curva dada 
 no ponto especificado. 
)1,0(;
cossen
1
xx
y


Resp: y = 1 - x 
 Derivada de outras funções trigonométricas 
 Como sen x e cos x são funções deriváveis de x, as funções relacionadas 
 a elas também são deriváveis para qualquer valor de x nos quais elas 
 são definidas. 
 
x
dx
xd 2sec
)tg(
 x
dx
xd 2cosec
)cotg(

xx
dx
xd
tgsec
)sec(
 xx
dx
xd
cotgcosec
)cosec(

Derivação 
8 
Calculando a derivada da cotangente usando a Regra do Quociente: 
x
xxxx
x
x
dx
d
dx
xd
2sen
)(cos)(cos)sen()sen(
sen
cos)cotg( 







xx
xx
dx
xd
22
22
sen
1
sen
)cossen()cotg( 


 x
dx
xd 2cosec
)cotg(

Derivação 
9 
 Exercício 1: Determine as derivadas das funções abaixo: 
b. 
a. 
q
q
p
tg1
tg


Resp: df/d = sec2 - cosec2 
)cosec()(sec)(  f
2
2
)tg1(
sec
q
q
dq
dp


Resp: 
 Exercício 2: Encontre todos os pontos da curva y = cotg x para 
 0 < x < , onde a tangente é paralela à reta y = - x. Determine a(s) 
 reta(s) tangente(s) neste(s) ponto (s).