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CÁLCULO II

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e indica a forma de calcular o seu comprimen-
to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada
condição é igualmente necessária para que
um caminho seja retificável.
Teorema 1
Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti-
ficável se ||g’|| é uma função integrável em
[a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre
g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por
Em particular, o comprimento de g é 
S = s(b) = ∫∫ba ||g’(t)||dt.
Observação:
A função ||g’(t)||representa a norma euclidiana
de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto,
.
Demonstração:
Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b],
a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b,
o comprimento da linha poligonal inscrita na
curva definida por g é dado por
||g(ti) – g(ti–1)|| é o comprimento do segmento
da linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti).
Se o caminho for de classe C1, pode escrever-
se, qualquer que seja a decomposição Δ,
(1)
A segunda igualdade é justificada pela apli-
cação da fórmula de Barrow a cada uma das
funções componentes de g. A desigualdade
que lhe segue justifica-se pela seguinte pro-
priedade: se f é um campo vetorial integrável
no intervalo [a, b], então
Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funções
integráveis em no intervalo [a, b].
De (1),sai, então, que é um majorante
dos comprimentos das linhas poligonais ins-
critas em g, o que implica que o caminho g é
retificável.
Vejamos, agora, que o comprimento de g entre 
g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por .
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Cálculo II – Integrais de linha
Seja o ponto A = O+g(a) a “origem dos arcos”
e s(τ) o comprimento do arco de curva que vai
desde o ponto A até ao ponto Q(τ) = O + g(τ),
com τ,τ0∈[a,b] (ver figura acima). Supondo
τ >τ0, tem-se
donde
(2)
caso τ < τ0, tem-se
e as desigualdades 2 mantêm-se válidas.
Por outro lado, uma vez que a norma é uma
função contínua, tem-se
(3)
adicionalmente é válida a igualdade
(4)
pois, pelo teorema da média,
Consequentemente, o enquadramento (2) e as
igualdades (3) e (4) implicam que
e, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b],
conclui-se que s é uma função derivável do
parâmetro t que verifica
(5)
s’(t) = ||g’(t)||, ∀t∈[a,b]. 
Assim, para a ≤ t ≤ b,
e, em particular, o comprimento de toda a
curva é dado por
Deve-se referir que o comprimento de uma cur-
va de classe C1 é independente da respectiva
parametrização. Com efeito sejam α : I = [a, b]
→ IRn e β : J = [c, d] → IRn duas parametriza-
ções equivalentes de uma mesma curva.
Seja φ : I → J uma função bijetiva e continua-
mente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos,
com exceção dum número finito de pontos t ∈I
e α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Note-
se que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t)
≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t)
= 0. Então, tendo em conta o teorema da mu-
dança de variável na integral definida, deduz-
se sucessivamente,
Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua e
φ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤
φ (b).
Observação 1
s(t) diz-se a função comprimento de arco. O
diferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt.
Observação 2
No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com
g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–se 
e .
Observação 3
No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 com
g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-se
e
Então, o comprimento s do caminho g é dado
por
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.
Observação 4
No caso de uma curva em IR2 ser dada explici-
tamente por uma função real de variável real
y=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se a
curva por meio das equações
.
Nesse caso, admitindo que f tem derivada con-
tínua em [a, b], tem-se 
, 
donde o comprimento s da curva é dado por
,
que é precisamente o resultado apresentado
no início desta seção.
Exemplo 12
Calcular o comprimento do arco da catenária
definido parametricamente pela função 
g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t).
Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento do
arco da catenária será
Exemplo 13
Determinar o comprimento do arco da hélice
helicoidal definido parametricamente pela
função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sen
t, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ).
Nesse caso, é fácil verificar que as extremida-
des da curva correspondem aos valores 0 e π
do parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e 
f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ).
Por outro lado, 
f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et)
e, portanto, 
. O comprimento pedido é então:
Hélice helicoidal.
1. Determinar o comprimento dos seguintes ar-
cos de curvas:
a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2]
b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦
c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π]
d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, ⎦
e) 
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Cálculo II – Integrais de linha
TEMA 03
DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA 
Para tornar mais clara a definição de integral
de linha, tenha-se em atenção o que segue.
Seja C uma curva do plano unindo dois pontos
A e B, definida parametricamente por um cami-
nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe
C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1,
. . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a
uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < ..
. < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi =
g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo
escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2,
contendo a curva C, e suponhamos que aque-
la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0,
∀(x, y)∈D.
Considere-se, agora, a soma Σni=1ϕ(Qi)Δsi em
que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o
comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto
arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura
a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma
“faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e
altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σni=1ϕ(Qi)Δsi
constitui uma proximação da área da superfície
cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao
eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico
de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil
aceitar que, no caso de existir e ser finito o li-
mite de Σni=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi
|ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a
área de S. Ora, caso não dependa da decom-
posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse
limite é precisamente a integral de linha de ϕ
sobre a curva C relativamente ao comprimento
de arco s. Essa integral é designada, habitual-
mente, por integral de linha de 1.a espécie e re-
presenta-se por , isto é,
.
Interpretação Geométrica da Integral de linha.
Admitindo-se que a integral de linha
existe, vejamos como o seu cálculo se pode
fazer, recorrendo a uma integral definida no
intervalo [a, b].
Uma vez que função comprimento de arco s(t)
é contínua e derivável em [a, b], o teorema de
Lagrange implica que
(6)
ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algum
ξi∈]ti–1 , ti[.
Considerando a soma conclui-se
de (6) que
(7)
,
sendo de notar que o 2.o membro dessa igual-
dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’
no intervalo [a,b] relativamente à decom-
posição considerada. 
Como essa função é contínua, pode-se garan-
tir a existência da sua integral de Riemann no
intervalo [a, b], tendo-se, portanto,
atendendo a (5). Passando ao limite ambos os
membros de (7), deduz-se que
Como o limite do 1.o membro não pode deixar
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UEA – Licenciatura em Matemática
de ser , conclui-se que para calcular essa
última integral bastará calcular a integral definida
Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva
definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a 
integral de linha pode ser interpretada geo-
metricamente como a área de uma superfície.
Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual-
quer campo escalar definido em IRn e C uma
qualquer linha do mesmo espaço, a integral de
linha de 1.a espécie define-se