Funções Matemáticas: Conceitos e Exemplos

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INTRODUÇÃO 
As funções aparecem com bastante frequência no nosso dia a dia, quando duas 
grandezas estão relacionadas. Dependendo do problema que representa, cada função 
tem um comportamento (que depende da expressão matemática que a define), e 
propriedades específicas. 
Estudaremos as funções polinomiais, modulares, exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas, dentre inúmeras outras que podem ser obtidas a partir dessas. 
 
 
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS 
Considere dois conjuntos A e B não vazios. Dizemos que uma função 𝑓 de A em B é uma 
relação que associa a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 (chamado domínio da função) um único 
elemento 𝑦 ∈ 𝐵 (contradomínio de 𝑓). Usualmente representamos 𝑦 = 𝑓(𝑥), ou 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 
Assim, a função liga cada elemento do domínio (conjunto que contém os valores de 
entrada) a um elemento do contradomínio de forma que a cada elemento do domínio 
associa-se um, e somente um, elemento do contradomínio. 
Observe no diagrama abaixo a relação descrita (a flecha representa a associação entre 
os elementos dos conjuntos). 
 
 
 
Título: Funções: de Conceitos Básicos à Funções Algébricas 
 
Autora: Carina Pinheiro 
 
Todos os elementos do conjunto B que receberam flechas de A são imagens dos 
elementos de A. O conjunto imagem contém os valores de saída da função. 
 
O gráfico de um função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é o conjunto de pontos no plano cartesiano que 
satisfazem a relação expressa por 𝑓. Ou seja, um ponto (𝑥, 𝑦) pertence ao gráfico de 𝑓 se 
e somente se 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
De forma análoga, pode-se dizer que o gráfico de 𝑓 é formado por pontos da forma 
(𝑥, 𝑓(𝑥)). Desse modo, todos os valores utilizados sobre o eixo x representam o domínio 
dessa função, e todos ou valores utilizados sobre o eixo y representam sua imagem. 
Não deixe de estudar esse assunto no livro de Cálculo. Fique atento às definições de 
função injetiva, sobrejetiva e bijetiva, bem como aos conceitos de função par e função 
ímpar. Reflita sobre as implicações geométricas de cada caso. 
Fazer o estudo do sinal de uma função corresponde a determinar os valores da variável 
livre para os quais a função assume valores positivos, negativos ou nulos (zeros ou raízes 
da função). Nesses valores (raízes) podem ocorrer mudanças de sinal da função. 
 
FUNÇÃO POTÊNCIA 
 
É aquela na qual a variável dependente é proporcional a uma potência da variável 
independente. As funções potências representam uma importante classe de funções, e 
aparecem em muitas situações. Com elas formamos as funções polinomiais, muito 
importantes no estudo do Cálculo e da Geometria Analítica. 
Exemplo: A medida da área A de um quadrado é proporcional à segunda potência da 
medida do comprimento L de seu lado. 𝐴 = 𝐿2. 
Uma função potência tem a forma 𝑦 = 𝐴 ∙ 𝑥𝑘, em que A e k são constantes reais 
quaisquer. 
Observe que não há qualquer restrição quando a uma potência de um número real. Logo, 
o domínio de uma função potência é ℝ. 
 
FUNÇÕES LINEARES 
Elas aparecem com frequência em situações simples, como no cálculo do custo de uma 
conta de telefone, em que o valor é proporcional à duração das ligações. As funções 
lineares nos permitem estudar problemas em que a evolução de uma certa grandeza é 
proporcional ao crescimento de outra. 
 
São funções polinomiais do primeiro grau, com domínio e imagem reais. 
Podem, portanto, ser escritas na forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 em que 𝑥 é a variável 
independente, 𝑦 é a variável dependente, 𝑚 e 𝑏 são constantes reais. Seu gráfico é uma 
reta, a constante 𝑚 é chamada coeficiente angular da reta e representa, 
geometricamente, a tangente do ângulo formado entre a reta e semieixo positivo das 
abscissas. A constante 𝑏 é chamada coeficiente linear, e representa geometricamente a 
ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo 𝑂𝑦. Observe que se 𝑏 for nulo, a reta 
passa pela origem. 
 
Exemplo: Determine a equação da reta que passa por 𝑃(1,3) e 𝑄(3,4). 
Primeiramente calculamos o coeficiente angular 𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
4−3
3−1
=
1
2
. 
Sabemos, então, que a função linear procurada pode ser escrita como 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 + 𝑏. 
Usamos agora o fato de que o ponto P pertence à reta que representa o gráfico desta 
função, logo 𝑓(1) = 3. Portanto 3 =
1
2
(1) + 𝑏, o que nos permite concluir que 𝑏 =
5
2
. 
A equação da reta procurada é 𝑦 =
1
2
𝑥 +
5
2
. 
Obs: Se ao invés do ponto P utilizarmos as coordenadas do ponto Q, chegaremos à 
mesma equação obtida com as coordenadas de P. 
 
FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
 
Funções quadráticas (ou funções polinomiais do segundo grau) são usadas para 
descrever o movimento de corpos com aceleração constante, dentre vários outros 
fenômenos. 
 
Possuem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que 𝑎, 𝑏, 𝑐 são constantes reais, 𝑎 ≠ 0. Seu 
gráfico é uma parábola, com intercepto y no ponto de ordenada 𝑐. Suas raízes (valores 
de 𝑥 para os quais a ordenada é nula) são dadas pela expressão 𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
, em que 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Diante disso, observe que o sinal do discriminante ∆ influencia no número 
de raízes da função (pontos onde o gráfico irá interceptar o eixo das abscissas) da 
seguinte forma: 
 
Se ∆> 0, a função possui duas raízes reais distintas (portanto o gráfico intercepta o eixo 
Ox duas vezes). 
Se ∆= 0, a função possui raiz dupla (duas raízes reais iguais) (existe um único 
intercepto). 
Se ∆< 0, a função não possui reais (possui duas raízes complexas conjugadas), portanto 
o gráfico de 𝑓 não toca o eixo Ox. 
 
O vértice da parábola pode representar seu ponto mais alto (máximo) ou seu ponto mais 
baixo (mínimo), dependendo da sua concavidade. Caso 𝑎 > 0 a parábola terá sua 
concavidade voltada para cima, e se 𝑎 < 0 a concavidade será voltada para baixo. 
Independente da concavidade, as coordenadas do vértice da parábola são dadas por 
𝑉 = (
−𝑏
2𝑎
,
−∆
4𝑎
). 
Exemplos: 
(a) (UFPI) Uma fábrica produz 𝑝(𝑡) = 𝑡2 − 2𝑡 pares de sapatos t horas após o início de 
suas atividades diárias. Se a fábrica começa a funcionar as 8:00 horas, quantos pares 
de sapatos serão produzidos entre 10:00 e 11:00? 
 
Solução: Como a fábrica começa a funcionar às 8:00 horas, os instantes 𝑡 = 2 e 𝑡 = 3 
correspondem, respectivamente, a 10:00 e 11:00 horas. 
Logo, até as 10:00 terão sido produzidos 𝑝(2) = 0 sapatos (isso mesmo, nenhum sapato 
produzido até esse horário!) e até as 11:00 serão produzidos 𝑝(3) = 32 − 2 ∙ 3 = 3. 
Portanto entre 10:00 e 11:00 horas terão sido produzidos 𝑝(3) − 𝑝(2) = 3 pares de 
sapatos. 
 
(b) (Cesgranrio-RJ) Para quais valores de b a parábola 𝑦 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 tem um único ponto 
em comum com a reta 𝑦 = 𝑥 − 1? 
 
Solução: Para conhecer pontos de interseção entre a parábola e a reta, é preciso montar 
um sistema com as duas equações. Dessa forma, igualando os valores para a variável 
dependente y temos 
𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥 − 1. 
 Esta equação polinomial do 2º grau pode ser reescrita como 
𝑥2 + (𝑏 − 1)𝑥 + 1 = 0. 
 Para que exista um único ponto em comum, é preciso que esta equação tenha apenas 
uma solução. Para isso é necessário que ∆= 0. Portanto: 
(𝑏 − 1)2 − 4(1)(1) = 0, ou seja: 
𝑏2 − 2𝑏 − 3 = 0. 
 
 
 
Portanto os valores de b que satisfazem à condição descrita no enunciado são 𝑏 = −1 ou 
𝑏 = 3. 
 
FUNÇÕES POLINOMIAIS 
Funções polinomiais são obtidas a partir das funções potências, quando essas são 
multiplicadas por escalares e somadas. Isso resulta em uma função real, cuja 
representação geral é dada pela expressão 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
onde 𝑛 𝜖 ℕ é chamado graudo polinômio se seu coeficiente 𝑎𝑛 for não nulo. Os demais 
coeficientes são constantes reais. 
O formato do gráfico de uma função polinomial depende do seu grau, do sinal do 
coeficiente do termo de maior grau, de suas raízes, dentre outros fatores. Para uma 
análise mais detalhada do gráfico de uma função polinomial qualquer precisaremos de 
conhecimentos a respeito da derivada dessa função. 
Seguem, para exemplificar, os formatos dos gráficos de funções polinomiais de graus 2, 
3, 4 e 5 respectivamente. Nos gráficos abaixo os coeficientes dos termos de maior grau 
em cada polinômio são negativos (por que??). Reflita sobre o que ocorre com cada 
gráfico caso esse coeficiente seja positivo. 
 
 
Alguns resultados importantes: 
 Dois polinômios são idênticos (assumem valores iguais nos mesmos pontos) se os 
coeficientes dos termos de mesma potência forem iguais. 
 Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 pode ser escrito de 
forma fatorada como 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑟𝑛)(𝑥 − 𝑟𝑛−1). . . (𝑥 − 𝑟2)(𝑥 − 𝑟1), em que 𝑟𝑛, … , 𝑟1 
são as raízes do polinômio (reais ou complexas). Se considerarmos apenas as 
raízes reais podemos ter como fatores alguns polinômios de grau 2 irredutíveis 
(que não possuem raízes reais). Portanto, para escrevermos um polinômio de 
forma fatorada precisamos conhecer suas raízes (embora isso às vezes não seja 
fácil). 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Determine todos os valores de 𝑘 para que o polinômio 
𝑝(𝑥) = (𝑘2 − 𝑘 − 6)𝑥3 − (𝑘 − 3)𝑥2 + 𝑘𝑥 − 2 
(a) Seja de grau 1 
Para que o polinômio tenha grau 1 é necessário que os coeficientes dos termos em 𝑥2 
e em 𝑥3 sejam nulos, e que o coeficiente do termo de grau 1 seja não nulo. Em termos 
matemáticos devemos ter: 
𝑘2 − 𝑘 − 6 = 0 
𝑘 − 3 = 0 E 
𝑘 ≠ 0. 
Portanto o polinômio dado terá grau 1 apenas se 𝑘 = 3 (verifique!), e será dado por 
𝑝(𝑥) = 3𝑥 − 2. 
 
(b) Seja de grau 2 
Para que o polinômio tenha grau 2 é necessário que o coeficiente do termo em 𝑥3 seja 
nulo, e que o coeficiente do termo de grau 2 seja não nulo. Em termos matemáticos 
devemos ter: 
𝑘2 − 𝑘 − 6 = 0 E 
𝑘 − 3 ≠ 0 
 Portanto o polinômio terá grau 2 apenas se 𝑘 = −2 (verifique!), e será dado por 
 𝑝(𝑥) = 5𝑥2 − 2𝑥 − 2. 
 
FUNÇÕES RACIONAIS1 
 
São definidas a partir da razão (divisão) de dois polinômios, ou seja: 
𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 
Como 𝑝 e 𝑞 são funções polinomiais, estão definidas para todo 𝑥 ∈ ℝ (seus domínios não 
possuem restrição). Mas, como 𝑓 é definida a partir de uma divisão e não existe divisão 
por zero, o domínio de 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
 não contém as raízes de 𝑞. 𝑑𝑜𝑚𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑞(𝑥) ≠ 0}. 
 
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 As funções racionais possuem certa semelhança com os números racionais. 
As raízes de 𝑓 serão as raízes de 𝑝(𝑥) que não forem também raízes de 𝑞(𝑥). 
Uma função racional é chamada própria se o grau do polinômio que está no numerador 
for menor que o grau do polinômio no denominador. Caso contrário a função racional é 
dita imprópria. 
 
Exemplo: 𝑓(𝑥) =
𝑥+5
𝑥2+1
 é racional e própria, e está definida para todo número real (uma 
vez que seu denominador nunca se anula em ℝ). Tem 𝑥 = −5 como sua única raiz real. 
 
FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
 
São aquelas obtidas após manipulação algébrica de funções polinomiais. Essa 
manipulação pode envolver a extração de raízes e/ou divisões de polinômios. Para 
estudar seu domínio precisamos analisar as restrições impostas pelas operações que 
tiverem sido realizadas sobre os polinômios. 
 
Exemplos: 𝑓(𝑥) = √3𝑥2 + 2𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = (
𝑥+1
𝑥−3
)
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