CÁLCULO-I-e-II-APOSTILA-1

Prévia do material em texto

Complementação Pedagógica 
Coordenação Pedagógica – IBRA 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA 
 
 
CÁLCULO I e II 
SUMÁRIO 
1. Introdução ------------------------------------------------------------ 01 
2. Notação de Função -------------------------------------------------------- 02 
3. Gráfico de uma função ------------------------------------------- 03 
4. Função do 1º grau ---------------------------------------------------------- 06 
5. Função Módulo ---------------------------------------------------------------11 
6. Função Quadrática ----------------------------------------------------------14 
7. Função Polinomial ----------------------------------------------------------- 16 
8. Função Racial ----------------------------------------------------------------- 18 
9. Função Exponencial --------------------------------------------------------19 
10. Função Logarítmica --------------------------------------------------------- 24 
11. Logaritmo ----------------------------------------------------------------------- 28 
12. Função Trigonométrica ---------------------------------------------------- 30 
13. Limites ---------------------------------------------------------------------------- 37 
14. Taxa de Variação ------------------------------------------------------------- 48 
15. Velocidade Média ------------------------------------------------------------- 49 
16. Reta Tangente ----------------------------------------------------------------- 53 
17. Derivada ------------------------------------------------------------------------- 55 
18. Regra da Cadeia -------------------------------------------------------------- 59 
19. Máximos e Mínimos de Uma Função ---------------------------------- 64 
20. Referências -------------------------------------------------------------- 66 
 
1 
 
1. Introdução 
 
 
Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida 
por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo 
devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. 
Por exemplo, vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes 
elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir representação no conjunto B de 
acordo com a seguinte lei de formação y = x². 
 
 
 
Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), (–1, 
1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a 
utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A 
com os elementos do conjunto B. Observe: 
 
 
 
 
No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos de 
A, estão ligados, a um elemento de B, então podemos dizer que essa relação é 
2 
 
uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto A, e a 
imagem, pelos elementos do conjunto B. 
 
 
2. Notação de Função 
 
Para indicar que uma função f tem domínio M e imagens em N, serão usados o 
símbolo: f: M N (lê-se f: de M em N) e, se x representa um elemento qualquer 
do domínio M de f, indicar-se-á sua imagem em N por y ou f(x). 
 
 
 
Por exemplo: 
f(x) = 6x ou y = 6x 
f(x) = √x ou y = √x 
 
 
Correspondem a algumas leis que relacionam os elementos de M em N. 
Assim, para frases do tipo: 
“Seja a função f: M N definida por f(x) = 2x + 5” entende-se que f tem domínio 
M, imagem em N e a lei que associa aos elementos x M os correspondentes 
f(x) N é f(x) = 2x + 5. 
 
Então, se x = 1 a sua imagem f(1) = 2(1) + 5 = 7. 
 
 
 
Sistema Retangular de Coordenadas Cartesianas 
Um sistema de coordenadas cartesianas se constrói mediante duas retas 
perpendiculares, chamadas eixos de coordenadas. O eixo dos x é comumente 
chamado de abscissa e o eixo dos y de ordenadas. A Figura 1.2 a seguir 
representa um sistema retangular de coordenadas cartesiana 
3 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 – Sistema retangular de coordenadas cartesianas 
 
 
 
3. Gráfico de Funções 
 
 
 
 
Como as funções são relações particulares, a construção dos gráficos de 
funções quaisquer é análoga à dos gráficos das relações. O gráfico a seguir 
representa diferentes funções. 
4 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Representação gráfica de diferentes funções 
 
 
Função Constante 
 
 
Dado um número real k, denomina-se função constante a função f(x) = k 
definida para todo x real. 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Definição de função constante 
5 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x e 
passando pelo ponto (0,k). 
 
 
 
Figura 1.5 – Gráfico de uma função constante. 
 
 
 
O domínio é Â 
O conjunto imagem é { K }. 
 
 
 
Exemplos de funções constantes: 
a) f(x) = -5 b) f(y) = 3 
c) f(x) = sen 30º d) f(x) = ³√ 37 
 
 
 
Função Identidade 
Denomina-se função identidade a função f(x) = x definida para todo x real. 
O gráfico da função identidade f(x) = x ou y = x é a reta que contém as 
bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. 
6 
 
 
Figura 1.6 – Gráfico de uma função identidade. 
 
 
O domínio é Â 
O conjunto imagem é Â 
Nota-se que a imagem de um número real a, pela função, é o próprio a, daí o 
nome função identidade. 
 
 
4. Função do 1º Grau 
 
 
Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes 
a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que 
intitula uma determinada função possui três características básicas: domínio, 
contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por 
um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. 
Observe: 
 
 
 
Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas: 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe o quadro. Nessa situação, temos que: 
 
 
A B 
x f(X) 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 
5 6 
 
Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A. 
(1, 2, 3, 4, 5) 
 
Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B. 
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 
 
Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que 
possuem correspondência com o domínio (conjunto A). 
(2, 3, 4, 5, 6) 
8 
 
O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou 
não uma função. Observe: 
 
Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no 
conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode 
ser uma função. 
 
 
 
Função 
 
 
 
 
Não é uma função 
 
 
Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens. 
 
Não é função 
 
 
 
 
Dois elementos diferentes do domínio podem possuir a mesma imagem. 
 
Não é Função 
9 
 
 
 
 
Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao 
conjunto imagem. 
 
 
O gráfico da função afim ou do 1º grau é uma reta do plano cartesiano. 
Figura 2.1 – Gráfico de uma função afim. 
 
 
Coeficientes da Função do 1º Grau ou Afim 
 
 
O número real a da função y = ax + b é denominado coeficiente angular ou 
declive da reta representada no plano cartesiano. 
 
O número real b da função do 1º grau y = ax + b recebe o nome de coeficiente 
linear e representa o ponto em que a reta corta o eixo dos y. 
 
Zero da Função do 1° Grau ou Afim 
 
 
O valor de x para o qual a função afim f(x) = ax + b se anula, denomina-se zero 
da função afim. Achar o zero da função afim, nada mais é que resolver a 
equação do 1º grau: 
10 
 
a x + b = 0 
 
 
A função afim f(x) = ax + b, tem um único zero que é o número – b / a. 
 
 
Pode-se interpretar geometricamente o zero da função afim, como sendo a 
abscissa do ponto em que a reta y = ax + b, a ¹ 0 corta o eixo dos x. 
 
Sinal da Função Afim 
 
 
Para a função afim f(x) = ax + b, existem as seguintes possibilidades de sinais: 
f(x) > 0 
f(x) = 0 
f(x) < 0 
 
 
Resolver este problema significa determinar o sinal da função f(x) = ax + b com 
a ≠ 0, para cada x real. 
 
Sabe-se que o zero da função do 1º grau f(x) = ax+ b é – b/a, ou seja, ela se 
anula para x = - b/a, e a partir daí examina-se os valores de x para ax + b > 0 
(com a > 0 e a < 0) e para ax + b < 0 (com a > 0 e a < 0). 
 
Outra maneira de estudar a variação do sinal de uma função afim é construir 
seu gráfico cartesiano e verificar quais são os pontos da reta que têm 
ordenadas positivas e quais têm ordenadas negativas. 
 
 
5. Função Módulo 
 
Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um 
único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da 
função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que 
apresenta o módulo na sua lei de formação. 
11 
 
De maneira mais formal, podemos definir função modular como: 
f(x) = |x| ou y = |x| 
 
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características: 
f(x) = x, se x≥ 0 
ou 
 
 
f(x) = – x, se x < 0 
Essas características decorrem da definição de módulo. 
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x| 
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do 
módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x 
 
 
 
 
 
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se 
localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por 
quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores 
negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o 
gráfico de f(x) = |– x| fica: 
12 
 
 
 
 
 
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo. 
 
 
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x| 
Solução: pela definição de módulo, temos que: 
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 
e 
f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 
Daí, segue que: 
x2 – 3x = 0 
x = 0 ou x = 3, logo: 
 
 
 
 
 
 
Temos também que: 
– (x2 – 3x) = 0 
x = 0 ou x = 3 
Daí, segue que: 
13 
 
 
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos 
o gráfico da função f(x) = |x2 – 
6. Função Quadrática 
 
 
 
Nesta aula, vamos estudar as funções: Quadrática, Polinomial e Racional. 
Função Quadrática 
 
 
 
Esta função é definida por: y = f(x) = ax²+ bx + c, onde a, b, c ∈ ℜ e a ≠ 0. 
O gráfico da função quadrática é uma parábola. 
14 
 
 
Figura 3.1 – Gráfico de uma função quadrática. 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
 
I) Dom f(x) = ℜ 
II) A Im f(x) e o gráfico de f dependem essencialmente do discriminante Δ da 
equação do 20 grau ax2 + bx + c = 0 e do coeficiente a do termo principal. 
III) O vértice da parábola é o ponto onde esta intercepta o seu eixo e é dado 
 
 
por:V = 
Zeros da Função Quadrática 
 
 
Os valores de x para os quais a função quadrática se anula, ou seja, f(x) = 0 
denomina-se zeros da função quadrática, o que equivale a resolver a equação 
do 2º grau. 
a x² + bx + c = 0 
 
 
A existência dos zeros reais de uma função do 2º grau depende do sinal de Δ. 
Os casos a se considerar estão relacionados a seguir. 
15 
 
 
 
 
CASO 1: Δ > 0 
 
 
 
CASO 2: Δ = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 3: Δ < 0 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Zeros da função quadrática. 
16 
 
 
 
 
 
 
7. Função Polinomial 
 
Toda função na forma P(x) = P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, é 
considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A 
cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: 
imagem. 
 
O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os 
monômios que o formam. Veja: 
 
g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4. 
f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6. 
h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3. 
 
 
Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos 
descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado 
(x,y) usado nas representações gráficas no plano cartesiano. Observe: 
 
Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os pares 
ordenados quando: 
x = 0 
p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1 
p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1 
p(0) = 0 + 0 – 0 + 1 
p(0) = 1 
par ordenado (0,1). 
 
 
x = 1 
p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1 
p(1) = 2 + 2 – 5 + 1 
17 
 
p(1) = 0 
par ordenado (1,0) 
 
 
x = 2 
p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1 
p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1 
p(2) = 16 + 8 – 10 + 1 
p(2) = 15 
par ordenado (2,15) 
 
 
Polinômio nulo 
 
 
Um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. 
P(x) = 0. 
 
Identidade entre polinômios 
 
 
Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes são números 
iguais. Observe: 
 
ax2 + (b+3)x +(c–7) ≡ –2x2 + 6x – 9 
 
Para que esses polinômios sejam idênticos os coeficientes de mesmo grau 
precisam ser iguais, então: 
a = – 2 
b + 3 = 6 b = 6 – 3 b = 3 
c – 7 = – 9 c = – 9 + 7 c = – 2 
 
 
(a+2)x3 + (b-26)x2 + (c+6)x +(d-7) ≡ 2x3 + 5x2 + 2x - 9 
 
 
a+2 = 2 a = 2-2 a = 0 
b-26 = 5 b = 5+26 b = 31 
c+6 = 2 c = 2-6 c = -4 
d-7 = - 9 d = -9+7 d = -2 
18 
 
 
 
8. Função Racional 
 
Os polinômios podem ser evidentemente, multiplicados por constantes, 
somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente 
polinômios. No entanto, se dois polinômios forem divididos um pelo outro, o 
resultado nem sempre será outro polinômio. 
 
Esse quociente é chamado de função racional, isto é, uma função racional f(x) 
é do tipo: 
 
f(x) = _n(x)_ 
d(x) 
 
 
Onde n(x) e d(x) são polinômios. Se o denominador d(x) for uma constante não 
nula, esse quociente será ele próprio um polinômio. 
 
Evidentemente, nos pontos onde d(x) = 0 a função f não está definida e, 
portanto, o maior domínio possível de uma função racional é constituído pelo 
conjunto dos números reais excetuando-se estes pontos. Os zeros de d(x) são 
chamados de polos ou pontos singulares da função f. 
 
9. Função Exponencial 
 
 
Uma função exponencial é uma função do tipo 
 
 
 
 
onde o número b é denominado base. A figura abaixo mostra os gráficos das 
funções e . 
19 
 
 
 
Funções exponenciais são geralmente utilizadas para representar o 
crescimento (decrescimento) de uma quantidade ou de uma população. 
Quando o crescimento não é restrito, normalmente utilizamos um modelo 
exponencial do tipo f(t) = a.ebt. Agora, quando o crescimento da grandeza é 
restrito, geralmente o melhor modelo é uma função de crescimento logístico 
da forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Observe que: 
 Assim como todas as funções do tipo , ambas as funções 
passam pelo ponto (0,1). 
 
 Funções exponenciais são sempre positivas: 
 
 é crescente se b > 1 e decrescente se 0 < b < 1. 
 
 
 
 O domínio de é o conjunto de todos os números reais. 
 
 
 
 A imagem de é o conjunto de todos os números reais positivos - 
]0,+ [. 
 
 Quanto maior for a base da função , mais inclinado é o seu 
gráfico. 
21 
 
 
 
 A função , cuja base é a constante de Euler e ( ), 
desempenha um papel muito importante nas aplicações e será referida 
como a função exponencial. 
 
 
 
 
 
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao 
expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte 
notação: 
 
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. 
 
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da 
exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os 
gráficos são constituídos respeitando as condições propostas. 
 
Considerando o gráfico de y = mx, pode-se dizer que: a curva está acima do 
eixo dos x, a curva corta o eixo dos y no ponto de ordenada +1 e tem um dos 
aspectos indicados nas figuras abaixo: 
22 
 
 
Gráficos da função exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das potências 
 
 
As potências com expoente inteiro gozam das seguintes propriedades: 
 
 
P1 mn . mp = mn + p P2 mn : mp = mn – p para m 
 
 
P3 (m . k)n = mn . kn P4 (m / k )n = mn / kn para k 
 
 
P5(mn)p = mn . p 
 
 
 
 
1ª propriedade: 
0 
0 
23 
 
 
Para os radicais de índice n de uma potência com expoente também igual a n 
temos: 
 
se n é um número natural ímpar, sendo a um número real; 
se n é um número natural par não-nulo, com a um número 
real. 
 
2ª propriedade: 
 
 
Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural 
maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja: 
 
 
 
1. Sendo, a um número real positivo, m um número inteiro, n um número 
natural não nulo e p divisor de m e n. 
 
2. Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-lo em 
outros radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª propriedade: 
 
 
O radical de índice natural não nulo n de um produto, com a e b números reais 
24 
 
positivos, é igual ao produto dos radicais de mesmo índice n dos fatores (a e b) 
do radicando, ou seja: 
 
 
 
4ª propriedade: 
 
 
O radical de índice natural não nulo n de um quociente , com a e b números 
reais positivos, é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice n dos termos 
a e b do radicando, ou seja: 
 
1. Essas propriedades permitem simplificar 
certos radicais, tirando fatores do radicando. 
 
 
 
10. Função logarítmica 
 
 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é 
denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é 
representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o 
contradomínio, o conjunto dos reais. 
 
 
 
 
Exemplos de funções logarítmicas: 
 
 
f(x) = log2x 
f(x) = log3x 
f(x) = log1/2x 
25 
 
f(x) = log10x 
f(x) = log1/3x 
f(x) = log4x 
f(x) = log2(x – 1) 
f(x) = log0,5x 
 
 
Determinando o domínio da função logarítmica 
Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições: 
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4 
2) x – 2 > 0 → x > 2 
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3 
 
 
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 
< x < 3 e 3 < x < 4. 
 
 
Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} 
 
 
 
Gráfico de uma função logarítmica 
 
 
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a 
duas situações: 
 
 
 
? a > 1 
 
 
? 0 < a < 1 
 
 
 
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
26 
 
Função crescente 
 
 
 
 
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
Função decrescente 
 
 
 
Características do gráfico da função logarítmica y = logax 
 
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. 
 
 
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. 
 
 
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a 
Im(imagem) = R. 
27 
 
Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que 
ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso 
(y,x) está na função exponencial de mesma base. 
28 
 
Logaritmo 
 
 
 
Considerando a e b dois números reais e positivos, sempre com a diferente de 
0 , define-se logaritmo de b (logaritmando) na base a, qual número deve-se 
incluir no expoente de a afim de termos b como resultado. 
 
Assim: ax = b, então temos que 
Com as condições de . 
 
I) , sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a base e 8 é o logaritmando. 
pois temos que 23 = 8. 
 
II) , sendo que –3 é o logaritmo, 3 é a base e 1/27 é o logaritmando. 
pois temos que 3-3 = 1/27 . 
 
→ Antilogarítimo é definido como sendo: 
Exemplo: 
 
I) 
Propriedades zero (que são consequência direta da definição) 
 
 
http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/
29 
 
1º Propriedade (propriedade do produto). 
 
 
 
2º Propriedade (propriedade do quociente). 
 
 
 
3º Propriedade (propriedade da potência). 
 
 
 
Consequência da 3º propriedade: 
 
 
 
4º Propriedade (propriedade da mudança de base). 
 
 
 
→ Colog, definição: 
 
 
http://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/
30 
 
Função Logarítmica 
 
 
Dado um número a, 0 < a ≠ 1, denomina-se função logarítmica a função, 
f(x) = log a b 
 
 
 
Definida para todo x positivo. 
 
 
Os gráficos da função logarítmica para a > 1 e 0 < a < 1, tem um dos aspectos 
indicados nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
12. Função Trigonométrica 
 
 
 
Características da função das funções: seno, cosseno e tangente 
 
 
 
 
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, 
considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado 
pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 
31 
 
= 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais 
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número 
x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. 
Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a 
mesma imagem. Observe: 
 
 
 
 
 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na 
seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo 
todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções 
circulares como: função seno, função cosseno e função tangente. 
 
 
 
 
 
 
Características da função seno. 
 
 
 
É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu seno, então 
32 
 
f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é 
negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Gráfico da função f(x) = senx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características da função cosseno 
 
 
 
 
É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então 
f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é 
negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = cosx 
 
 
 
 
 
35 
 
Características da função tangente 
 
 
 
 
É uma função f: R → R que associa a cada número real x a sua tangente, 
então f(x) = tgx. 
Sinais da função tangente: 
 
 
 
Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
 
 
 
Valores negativos nos quadrantes pares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Crescente em cada valor. 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
37 
 
13. Limites 
 
Noção intuitiva de limite 
 
 
 
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela 
sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e 
calcular o valor correspondente de y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
 
38 
 
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, 
quando x tende para 1 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: 
 
 
 
 
 
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 
3. 
 
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem 
é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que 
o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x 
= 1 o valor de f(x) não seja 3. 
 
 
 
 
De forma geral, escrevemos: 
 
 
 
se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b b). 
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: 
 
39 
 
Podemos notar que quando x se aproxima de 1 1), f(x) se aproxima de 3, 
embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o 
comportamento de y quando 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.Escrevemos: 
 
 
 
Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) 
f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Propriedades dos Limites 
 
 
 
1ª) 
O limite da soma é a soma dos limites. 
O limite da diferença é a diferença dos limites. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
2ª) 
O limite do produto é o produto dos limites. 
Exemplo: 
 
 
 
 
3ª) 
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não 
seja zero. 
Exemplo: 
 
41 
 
4ª) 
Exemplo: 
 
 
5ª) 
Exemplo: 
 
 
 
 
6ª) 
Exemplo: 
 
 
 
 
7ª) 
Exemplo: 
 
 
 
 
8ª) 
Exemplo: 
 
42 
 
Limites Laterais 
 
 
 
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, 
escrevemos: 
 
 
 
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.Se x se aproxima de a 
através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: 
 
 
 
 
 
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
 
 
O limite de f(x) para a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a 
esquerda são iguais, ou sejas: 
Se 
Se 
 
Continuidade 
 
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as 
seguintes condições são satisfeitas: 
43 
 
 
 
 
 
 
Propriedade das Funções contínuas 
 
Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a, então: 
f(x) g(x) é contínua em a; 
f(x) . g(x) é contínua em a; 
 
é contínua em a . 
 
 
Limites envolvendo infinito 
 
 
 
 
Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x 
assume valores superiores a qualquer número real e (x tende para 
menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que 
qualquer número real. 
 
 
Exemplo: 
44 
 
 
 
a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é 
zero. 
 
b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é 
zero. 
 
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero 
ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é 
infinito. 
 
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por 
valores menores que zero, y tende para menos infinito 
 
 
 
 
 
 
 
Limite de uma função polinomial para 
Seja a função polinomial . Então: 
45 
 
 
Demonstração: 
 
 
Mas: 
 
 
Logo: 
 
 
De forma análoga, para , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
46 
 
Limites trigonométricos 
 
 
 
Demonstração: 
 
Para , temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por 
sen x > 0, vem: 
 
 
 
 
Invertendo, temos: 
 
 
Mas: 
 
 
g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, 
. Logo, 
47 
 
Limites exponenciais 
 
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. 
Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. 
Veja a tabela com valores de x e de . 
 
 
x 
 
 
 
 
1 
 
 
2 
2 
 
 
2,25 
3 
 
 
2,3703 
10 
 
 
2,5937 
100 
 
 
2,7048 
1 000 
 
 
2,7169 
10 000 
 
 
2,7181 
100 000 
 
 
2,7182 
Notamos que à medida que . 
De forma análoga, efetuando a substituição , temos: 
 
 
 
 
 
Ainda de forma mais geral, temos : 
 
As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e 
evitam substituições algébricas. 
 
 
 
 
 
Se ,então . 
48 
 
 
 
Mas: 
 
 
Logo: 
 
 
Como 0 , então u 0. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generalizando a propriedade acima, temos . 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Taxa de Variação 
 
 
 
Nesta aula prepararemos o estudo das derivadas. Para tanto vamos estudar: 
 
1. a noção de velocidade media; 
49 
 
2. a noção de taxa de variação media; 
 
3. a noção de taxa de variação instantânea. 
 
 
 
 
 
Taxa média de variação 
 
 
Para medir a maior ou menor rapidez de variação de uma função f, num 
intervalo [a, b], recorre-se ao seguinte quociente: 
 
 
 
 
 
 
A que se chama taxa média de variação (tmv) de f, no intervalo [a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Velocidade média 
 
Quando uma função é em particular, uma lei espacial, ou seja, uma relação 
espaço-tempo, a taxa média de variação corresponde àquilo que 
correntemente se designa por velocidade média. 
50 
 
A velocidade média é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Por outras palavras, a velocidade média é a taxa média de variação quando a 
função é uma relação entre o espaço percorrido por um móvel e o tempo de 
percurso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade instantânea 
 
 
a velocidade instantânea ou simplesmente velocidade, v, do objeto para t = t0 
é dada por: 
 
 
 
 
 
51 
 
Derivada de uma função num ponto: Seja y= f(x), definida no intervalo ]a, b[ , e 
seja x0 a abcissa de um ponto desse intervalo. 
Chama-se derivada da função f no ponto de abcissa x0 e representa-se por 
f’(x0), ao limite, quando existe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função derivada: Chama-se função derivada, ou apenas derivada da função f e 
representa-se por f’, Df á função que tem por domínio o conjunto dos pontos 
 
 
onde f admite derivada e que faz corresponder a cada um desses pontos o 
valor da respectiva derivada de f. 
 
Sendo A o conjunto dos pontos onde f é derivável tem-se: 
 
 
 
 
52 
 
Exemplo de taxa de variação 
 
 
Exemplo I 
Durante uma campanha publicitária para a venda de uma certa marca de 
televendas, o número de unidades vendidas foi modelado por: 
 
 
 
N(t) é em milhares de unidades e t em meses 
 
 
 
 
Ao determinar a taxa média de variação do número de unidades vendidas nos 
primeiros dois meses de campanha e interprete o resultado no contexto de 
situação apresentada. 
 
 
Observemos que, a taxa média de variação pode ser positiva num intervalo e a 
função não ser crescente nesse intervalo. 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Nos dois primeiros meses de campanha, o número de televendas vendidos 
aumentou a uma média de 2000 unidades por mês. 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
: 
 
 
 
 
16. Reta Tangente 
 
 
 
Para entender o conceito de derivada, primeiramente você precisa saber o que 
é uma reta tangente. Fixamos um ponto P no gráfico de uma função f, e 
escolhemos um Q P. Fazendo Q se aproximar de P, pode acontecer que a 
reta PQ tenda a uma posição-limite: uma reta t. Nesse caso, t é chamada reta 
tangente de f em P, desde que ela não seja vertical. Assim, a reta PQ é 
chamada de reta secante ao gráfico de f em P. 
 
 
 
 
 
Podemos observar no gráfico abaixo que Q deve se aproximar de P tanto pela 
esquerda quanto pela direita, e em ambos os casos a reta PQ deve tender a t 
(reta verde). 
 
 
 
 
 
Primeiro gráfico - Pela esquerda 
Segundo gráfico - Pela direita 
54 
 
 
 
 
 
OBS: A reta tangente ao gráfico de uma função nem sempre existe. 
 
 
 
 
A figura abaixo apresenta um exemplo de gráfico onde P é o bico de uma 
função, sendo assim, o processo descrito anteriormente conduz a duas 
posições-limites (t1 e t2), obtidas respectivamente ao fazer Q se aproximar de 
P pela esquerda e pela direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da inclinação da reta tangente 
55 
 
Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f e P(xo, f(xo)) 
um ponto sobre a curva. Analisaremos agora, o cálculo da inclinação 
(coeficiente angular) da reta tangente à curva traçada por f no ponto P. 
 
 
 
 
 
Para analisarmos esta questão, escolhemos um número pequeno x, diferente 
de 0, onde x é o deslocamento no eixo das abscissas. Sobre o gráfico, 
marcamos o ponto Q(xo + x, f (xo + x)). Traçamos uma reta secante que 
passa pelos pontos P e Q. 
A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Derivada 
 
Se fizermos Q se aproximar de P, o que se consegue fazendo x 0; então a 
reta secante PQ tenderá à reta tangente ao gráfico de f em P (admitindo que 
ela exista), de modo que se m for sua inclinação, tem-se: 
 
 
Define-se derivada da função f no ponto x0, e indicamos por f '(x0), comosendo 
o número: 
 
56 
 
Supondo, que o limite exista, caso em que se diz que f é derivável em x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função que a cada x onde f é derivável associa f '(x) é chamada de (função) 
derivada de f, e é indicada por f '. Se f é derivável em todos os pontos do seu 
domínio, ela se diz derivável. 
 
 
f '(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (x0, f(x0)) 
 
 
 
Notação de Leibniz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada da soma e da diferença 
 
 
 
 
 
 
As funções f + g e f - g dadas, respectivamente, por: 
(f + g) (x) = f (x) + g (x) e (f-g) (x) = f (x) - g (x) 
1ª regra: Derivada da soma e da diferença: Se f e g 
 
são deriváveis em x, tem-se 
57 
 
 
 
Ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada da 
diferença é a diferença das derivadas. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada de constante vezes função 
 
 
 
A função c.f é dada por (c.f) (x) = c.f (x). 
 
 
 
Exemplos: 
 
2ª Regra: Derivada de "constante vezes função": Se f é 
derivável em x, e c uma constante, tem-se (cf)'(x) = cf '(x) 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada de um produto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função fg é dada por (f.g) (x) = f (x) g(x). 
Exemplo: 
a) Sendo m(x) = (2x + 3)(3x - 1), calcule m'. 
 
Solução: 
 
m'(x) = [(2x + 3) (3x - 1)]' 
 
= (2x + 3)' (3x - 1) + (2x + 3) (3x - 1)' 
 
= 2 . (3x - 1) + (2x + 3) . 3 = 6x - 2 + 6x + 9 = 12x + 7 
 
3ª REGRA: Derivada de um produto: Se f e g são 
deriváveis em x, tem-se (fg)'(x) = f '(x) g(x) + f (x) g' (x) 
59 
 
Derivada de um quociente 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. Regra da cadeia 
 
 
Com as regras que temos à nossa disposição até o presente momento, não 
sabemos, por exemplo, calcular 
O fato de que NÃO nos autoriza a escrever 
 
O resultado correto pode ser obtido usando-se uma fórmula conhecida como 
regra da cadeia, conforme veremos a seguir. 
4ª REGRA: Derivada de um quociente: Se f e g são 
 
 
deriváveis em x, tem-se 
60 
 
Exemplo: 
 
a) Para calcular Procedemos do seguinte modo: 
 
Escrevemos y = ln (x² + 1). Com a esperança de usar a derivada de ln, 
faremos: 
 
 
u = x² + 1 
y = ln u 
 
 
 
 
 
 
Calculamos: 
 
 
 
 
Usamos a regra da cadeia, cujo primeiro membro é a derivada procurada: 
 
 
 
 
ou seja, multiplicando as derivadas obtidas no passo anterior: 
 
 
 
 
Usamos agora a expressão de u que é (x² + 1), para obter: 
61 
 
 
 
 
 
 
Sinal da derivada primeira 
 
 
 
Critério da derivada primeira para crescimento e decrescimento: 
 
Seja f uma função que é contínua em um intervalo [a, b] e diferenciável no 
intervalo (a, b). 
Se f '(x) > 0, para todo o valor de x em (a, b), então f é crescente em [a, b]. 
 
Se f '(x) < 0, para todo o valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a, b]. 
 
 
 
Se f '(x) = 0 para todo o valor de x em (a, b), então f é constante em [a, b]. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Diga se a função é crescente ou decrescente: 
 
a) f (x) = 2x + 3 
 
b) f (x) = ln x 
 
c) f (x) = -2x³ - x 
 
 
 
Solução: 
 
a) Sendo f (x) = 2x + 3, temos f '(x) = 2 > 0, para todo x real, então f é 
crescente em . 
62 
 
b) Sendo f (x) = ln x (x > 0), temos f ' (x) = 1/x > 0, para todo x > 0, então f é 
crescente no seu domínio, ou seja, no intervalo ]0, [ 
c) Sendo f (x) = -2x³ - x, temos f '(x) = -6x² - 1 < 0, para todo x real; logo, f é 
decrescente em . 
 
 
Sinal da derivada segunda 
 
 
 
Derivada de ordem n. 
 
Se f(x) = 3x5 - 7x2 + 2, então f '(x) = 15x4 - 14x. Podemos derivar novamente. 
Indicando (f ' ) por f '', chamada derivada segunda de f, temos f "(x) = (f ' )(x) = 
(15x4-14x)' = 60x3 - 14. Podemos continuar, indicando (f ")' por f ''', a derivada 
 
 
terceira de f, temos: 
f'"(x) = (f " )'(x) = 180x2. 
 
 
Por uma questão de ordem prática, usa-se f (1), f (2), f (3), para indicar 
respectivamente, f ', f ", f '". 
 
 
Na notação de Leibniz: 
 
 
Dizemos que f tem concavidade para cima se sua derivada segunda for 
maior que 0. 
Dizemos que f tem concavidade para baixo se sua derivada segunda for 
menor que 0. 
63 
 
Exemplo: 
 
Diga se f tem concavidade para cima ou para baixo: 
 
a) f(x) = 3x² 
 
b) f(x) = 5x8 + x6 + 2x2 - 9 
 
c) f(x) = 52 - 4x2 - x4 - x6 
 
 
Solução: 
 
a) Temos f '(x) = 6x e f "(x) = 6 > 0, para todo x real. Pelo critério da derivada 
segunda, f tem concavidade para cima em . 
 
 
 
 
b) Temos f '(x) = 40x7 + 6x5 + 4x e f "(x) = 280x6 + 30x4 + 4. Temos que f ''(x) 
> 0, para todo x real. Pelo critério da derivada segunda, f tem concavidade para 
cima em . c) Temos f '(x) = -8x - 4x3 - 6x5 e f "(x) = -8 - 12x² - 30x4 = -(8 + 
12x² + 30x4). Como f "(x) < 0 para todo x real, pelo critério da derivada 
segunda, f tem concavidade para baixo em . 
 
 
Observe a função abaixo e veja os pontos onde ela é crescente, decrescente, 
concavidade para cima e para baixo. 
 
64 
 
19. Máximos e mínimos de uma função 
 
 
 
Suponha que uma função f tem concavidade para cima, e que em um ponto x 
tem-se f '(x) = 0, ou seja, a reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (x, f(x)) é 
horizontal. Por definição de concavidade para cima, todos os outros pontos do 
gráfico de f estão acima dessa tangente o que significa que x é o ponto mínimo 
de f. Quando a concavidade é para baixo, a derivada se anula em um ponto, 
esse ponto é o ponto máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: (Teorema do Valor extremo). 
 
Se uma função f for contínua num intervalo fechado finito [a, b], então f tem 
ambos um máximo e um mínimo absolutos em [a, b]. 
 
 
Teorema: 
 
Suponha que f é contínua e tem exatamente um extremo relativo em um 
intervalo I, digamos em x0. 
65 
 
(a) Se f tiver um mínimo relativo em x0, então f(x0) é o mínimo absoluto de f em 
I. 
(b) Se f tiver um máximo relativo em x0, então f(x0) é o máximo absoluto de f 
em I. 
 
 
Exemplo: 
 
Se f(x) = , mostre que f tem um mínimo, e determine esse mínimo. 
 
 
 
Solução: 
 
O cálculo de f '(x) e f "(x), nos fornece: 
 
 
 
 
Claramente f "(x) > 0 para todo x real. Por outro lado, a equação f '(x) = 0 nos 
dá: 
 
 
 
 
Como o termo entre parênteses é positivo, temos x = 0. Pelo resultado 
anterior, podemos concluir que x = 0 é o ponto mínimo de f. Como f(x) = 
, obtemos, fazendo x = 0, f(0) = 1, que é o mínimo pedido. 
66 
 
20. Referências 
 
 
 
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma Análise da Influência 
Francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. Coleção Tendências em 
Educação Matemática. 
PROFESSOR A. Professor A: questionário. [dez. 2007]. Aplicado por: Sílvia 
Pereira dos Santos. Jequié, BA, 2007. [2 laudas] Questionário concedido para 
o trabalho de conclusão de curso (TCC sobre o ensino da disciplina Calculo I 
no curso de Licenciatura em Matemática com Enfoque em Informática da 
UESB/Jequié). 
SANTOS, Raimundo Morais; NETO, Hermínio Borges. Avaliação do 
Desempenho no Processo de Ensino-Aprendizagem de Cálculo Diferencial e 
Integral I: (O caso da UFC). Ceará, Artigo Científico/ UFC, 1991. Disponível 
em: < http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-avaliacao-do- 
desempenho-no-processo-de-ensino-aprendizagem.pdf>. Acesso em: 25 jul. 
2007. 
SILVA, Jayro Fonseca; NETO, Hermínio Borges. Questões Básicas no ensino 
de Cálculo. Ceará, Artigo Científico/ UFC, 1995. Disponível em: < 
http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-basicas-do- 
ensino-de-calculo.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2007. 
 
 
 
http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-avaliacao-do-
http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-basicas-do-