Exercicios Mat Computacional

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Exerc�cios 01 - Mat Computacional.pdf
 
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Matemática Computacional 
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Exercícios de Teoria dos Conjuntos 
 
 
1. Sendo A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3} e D = {4, 5, 6}, determinar: 
(a) A ∪ B (d) B ∩ D (g) C ∩ D 
(b) A ∪ C (e) C – B (h) D – A 
(c) A ∪ D (f) CBC (i) ADC 
 
2. Se x ∈ A e x ∉ B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas: 
(a) x ∈ (A ∪ B) (b) x ∈ (A ∩ B) (c) x ∈ (A – B) (d) x ∈ (B – A) 
 
3. Sabendo-se que A ⊂ B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas: 
(a) A ∪ B = B (b) A ∩ B = A (c) A – B = ∅ (d) B ∩ A = B 
 
4. Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 5} e D = {5, 6, 7}, 
determinar: 
(a) (A ∪ C) ∩ B (b) (B ∩ C) ∪ D (c) (B – A) ∩ C (d) ( )CBC ∪ (A ∩ B) 
 
5. Dados A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4, 5, 6}, C = {4, 5, 6} e D = {2, 3}, determinar: 
(a) (C ∪ D) ∩ B (d) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C) (g) (B – C) ∩ (A – D) 
(b) (A ∩ B) ∪ D (e) (B – C) ∪ D (h) DAC ∪ CBC 
(c) (A ∩ D) ∪ (B ∩ C) (f) B – (A ∪ D) (i) ( )DCAC ∩ 
 
6. Sejam A, B e C três conjuntos em um universo U. Identifique as sentenças 
verdadeiras e as falsas: 
(a) A ∪ (A ∩ C) ⊂ A 
(b) x ∈ (A – B) ⇔ (x ∈ A e x ∉ B) 
(c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
(d) B ∩ B’ = B 
(e) [A ∩ (A ∩ B)] ⊂ B 
(f) ∃ A | A ∪ B = A 
(g) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ 
 
7. Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa 
apresentou os resultados constantes na tabela a seguir: 
 
 
 
 
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jornais A B C A e B A e C B e C A, B e C nenhum 
leitores 300 250 200 70 65 105 40 150 
 
(a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
(b) Quantas pessoas lêem o jornal A ou B? 
(c) Quantas pessoas não lêem o jornal C? 
(d) Quantas pessoas foram consultadas? 
 
8. Ao realizar-se uma prova contendo três questões A, B e C, 5 alunos acertaram as 
três questões, 7 acertaram as questões A e B, 9 acertaram B e C, 6 acertaram A e 
C, 11 acertaram A, 18 acertaram B, 16 acertaram C e 2 não acertaram nenhuma. 
Quantos alunos realizaram a prova? 
 
9. Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula de trinta 
alunos, perguntando quem havia lido os livros B e C. O resultado da pesquisa foi 
precisamente: 
• 19 alunos leram o livro B; 
• 20 alunos leram o livro C; 
• 3 alunos não leram nenhum dos dois livros. 
Com base nesse resultado, quantos alunos leram os dois livros? 
 
10. Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas: 
(a) {2} ∈ {0 ,1 ,2} 
(b) ∅ ⊂ {5, 6, 7} 
(c) ∅ ∈ {∅, 4} 
(d) 5 ∈ {3, {5, 1}, 4} 
(e) {5, 6} ⊃ {5, 6, 7} 
 
11. Sejam A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A–B = {a, b, c}. Qual o 
conjunto B? 
 
12. Sejam A e B dois conjuntos tais que A ∩ B = ∅. Nessas condições, qual é o 
conjunto ( )BAAC ∩ ∩ (A ∩ B)? 
 
13. Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto X = {1, 2, 3} tais que, simultaneamente, 
A ∩ (C – B) = {1}, B ∩ (A – C) = {2}, C ∩ (B – A) = {3}. 
Sendo Y = A ∩ B ∩ C, determinar Y. 
 
 
 
 
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14. Represente no diagrama abaixo o seguinte conjunto (A’ )’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. A parte hachurada no diagrama representa: 
 
(a) (B ∪ C)’ ∪ C 
(b) (B ∪ C)’ 
(c) C’ ∩ B’ ∩ A’ 
(d) A – (B ∪ C) 
(e) A – (A ∩ B ∩ C) 
 
Represente os demais conjuntos 
acima em diagramas semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
1. (a) {1,2,3,4}; (b) {1,2,3}; 
(c) {1,2,3,4,5,6}; (d) {4}; (e) { }; 
(f) {4}; (g) { }; (h) {4,5,6}; 
(i) não existe, porque A ⊄ D 
 
2. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F 
 
3. (a) V; (b) V; (c) V; (d) F 
 
4. (a) {3,4,5}; (b) {4,5,6,7}; (c) {5}; 
(d) {2,3,4} 
 
5. (a) {2,4,5,6}; (b) {1,2,3}; 
(c) {2,3,4,5,6}; (d) {1,2}; 
(e) {1,2,3}; (f) {4,5,6};(g) {1}; 
(h) {1,2}; (i) A 
 
6. (a) V; (b) V; (c) V; (d) F; (e) V; 
(f) V; (g) V 
 
7. (a) 205; (b) 480; (c) 500; (d) 700 
 
8. 30 alunos realizaram a prova 
 
9. 12 alunos leram ambos os livros 
 
10. (a) F; (b) V; (c) V; (d) F; (e) F 
 
11. B = {d,e,f,g,h} 
 
12. { } 
 
13. Y = { } 
 
14. (A’)’=A 
 
15. (d) 
 
A 
U 
A B 
U 
C 
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Exercícios de Análise Combinatória 
 
 
 
1. Considerando nosso sistema de numeração, quantos números distintos com 5 
algarismos diferentes podem ser formados? 
 
2. Dos números do exercício anterior, quantos deles são ímpares? 
 
3. De quantas maneiras pode-se formar uma comissão de 5 pessoas a partir de um 
grupo com 9 indivíduos? 
 
4. Quantas comissões diferentes de 5 homens e 4 mulheres podem ser formadas a 
partir de uma equipe com 10 homens e 7 mulheres? 
 
5. De quantas maneiras 10 pessoas podem sentar-se em um banco, se houver apenas 
4 lugares (obviamente com 6 delas permanecendo em pé)? 
 
6. Um diretor teatral tem de escolher 4 homens, 3 mulheres e 2 crianças para formar 
o elenco de uma peça. Os candidatos são 8 homens, 5 mulheres e 6 crianças. 
Supondo-se que todos os artistas sejam igualmente talentosos, de quantas 
maneiras ele pode formar o elenco? 
 
7. De quantas maneiras pode-se formar uma fila com 6 pessoas, sendo 4 homens e 2 
mulheres? 
 
8. O curador de um museu tem de escolher 5 gravuras, dentre as 7 de um artista, e 
alinhá-las em uma parede. De quantas formas ele pode fazê-lo? 
 
9. A partir de um grupo de 8 sócios de um clube, queremos escolher um conselho 
com 3 membros de iguais atribuições. Quantos conselhos podem ser formados? E 
se fôssemos escolher uma diretoria formada por um presidente, um secretário e 
um tesoureiro? Quantas opções teríamos? 
 
10. Uma equipe terá um chefe, escolhido entre 4 engenheiros, e 10 técnicos, 
escolhidos entre 15 profissionais. De quantas maneiras pode ser composta esta 
equipe? 
 
 
 
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11. Considere a palavra VESTIBULAR: 
a. Quantos anagramas podem ser formados? 
b. Em quantos destes anagramas as letras B, U, L e A estarão juntas, e 
nesta ordem? 
c. Em quantos anagramas estas letras estarão juntas, em qualquer ordem? 
 
12. Quantos anagramas tem a palavra BARBARIDADE? 
 
13. Em quantos anagramas da palavra BRASILIA as letras I aparecem juntas? E 
separadas? 
 
14. Em um salão de baile existem 7 portas. De quantas maneiras ele pode ser aberto? 
 
15. De quantas maneiras 8 crianças podem ocupar um
carrossel com 8 lugares? 
 
16. De quantos modos 5 pessoas podem sentar em torno de uma mesa circular, 
sabendo-se que, entre elas, existe um casal, que deve sentar lado a lado? 
 
17. Se existem balas nos sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma 
criança pode escolher 5 balas? 
 
 
Respostas dos Exercícios 
 
 
1. 27.216 números 
 
2. 13.440 números 
 
3. 126 maneiras 
 
4. 8.820 comissões 
 
5. 5.040 maneiras 
 
6. 10.500 maneiras 
 
7. 720 maneiras 
 
8. 2.520 formas 
 
9. 56 conselhos; 336 opções 
 
10. 12.012 equipes 
 
11. 3.628.800 anagramas; 
5.040 anagramas; 
120.960 anagramas 
 
12. 831.600 anagramas 
 
13. 2.520 anagramas; 7.560 anagramas 
 
14. 127 maneiras 
 
15. 5.040 maneiras 
 
16. 12 modos 
 
17. 21 modos 
 
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Exercícios de Relações 
 
 
1. Para cada uma das relações binárias ρ, a seguir, definidas em N, decida quais dos 
pares ordenados dados pertence a ρ. 
a) x ρ y ↔ x + y < 7; (1, 3), (3, 3), (4, 4) 
b) x ρ y ↔ x= y +2; (0, 2), (4, 2), (6, 3), (5, 3) 
c) x ρ y ↔ 2x + 3y = 10; (5, 0), (2, 2), (3, 1), (1, 3) 
d) x ρ y ↔ y é um quadrado perfeito; (1, 1), (4, 2), (3, 9), (25, 5) 
 
2. Para cada uma das relações binárias a seguir em R, desenhe uma figura para 
mostrar a região do plano que a descreve. 
a) x ρ y ↔ y ≤ 2 
b) x ρ y ↔ x = y – 1 
c) x ρ y ↔ x² + y² ≤ 25 
d) x ρ y ↔ x ≥ y 
 
3. Diga se cada uma das relações em N a seguir é um para um, um para muitos, 
muitos para um ou muitos para muitos. 
a) ρ = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (4, 3)} 
b) ρ = {(9, 7), (6, 5), (3, 6), (8, 5)} 
c) ρ = {(12, 5), (8, 4), (6, 3), (7, 12)} 
d) ρ = {(2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1)} 
 
4. Sejam ρ e σ relações binárias em N definidas por x ρ y ↔ “x divide y”, x σ y ↔ 
5x ≤ y. Decida quais dos pares ordenados dados satisfazem as relações 
correspondentes: 
a) ρ U σ; (2, 6), (3, 17), (2, 1), (0, 0) 
b) ρ ∩ σ; (3, 6), (1, 2), (2, 12) 
c) ρ′; (1, 5), (2, 8), (3, 15) 
d) σ′; (1, 1), (2, 10), (4, 8) 
 
5. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, anti-
simétricas ou transitivas. 
a) S = Q x ρ y ↔ │x│ ≤ │y│ 
b) S = N x ρ y ↔ x – y é um múltiplo inteiro de 3 
c) S = Z x ρ y ↔ x vezes y é par 
 
 
 
 
 
 
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6. Para cada uma das relações a seguir, descreva em palavras qual deveria ser seu 
fecho transitivo. 
a) S = conjunto de prédios em uma cidade, x ρ y ↔ x é um ano mais velho do que 
y. 
b) S = conjunto de todos os homens da Bulgária, x ρ y ↔ x é o pai de y. 
c) S = conjunto de todas as cidades nos Estados Unidos, x ρ y ↔ você pode 
dirigir de x para y em um dia. 
 
7. Desenhe o diagrama de Hasse para as seguintes ordens parciais: 
a) S = {a, b, c} ρ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} 
b) S = {a, b, c, d} ρ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c)} 
c) S = {Ø, {a}, {a, b}, {c}, {a, c}, {b}} A ρ B ↔ A ⊆ B 
 
8. Desenhe o diagrama de Hasse para cada um dos dois conjuntos parcialmente 
ordenados a seguir. 
a) S = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} x ρ y ↔ x divide y 
b) S = P({1, 2, 3}) A ρ B ↔ A ⊆ B 
O que você pode dizer sobre a estrutura desses dois diagramas? 
 
9. Para cada um dos diagramas de Hasse nas figuras abaixo, liste os pares ordenados 
que pertencem à relação de ordem correspondente. 
 
a) b) c) 
 
 
10. Para a relação de equivalência ρ = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, qual é o 
conjunto [a]? Esse conjunto tem outros nomes? 
 
11. Para a relação de equivalência ρ = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 2), 
(2, 3), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (4, 5), (5, 4)}, qual é o conjunto [3]? E o conjunto [4]? 
 
12. Seja S = N X N e seja ρ uma relação binária em S definida por (x, y) ρ (z, w) ↔ 
y = w. Mostre que ρ é uma relação de equivalência em S e descreva as classes de 
equivalência associadas. 
 
 
 5 
 
 
3 4 
 
 
 
1 2 
 d e f 
 
 
 
 
 a b c 
 5 
 
 
 4 
 
 
2 3 
 
 
 1 
 
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Respostas dos Exercícios 
 
 
1. a) (1, 3), (3, 3) 
b) (4, 2), (5, 3) 
c) (5, 0), (2, 2) 
d) (1, 1), (3, 9) 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. a) Muitos para muitos 
b) Muitos para um 
c) Um para um 
d) Um para muitos 
 
4. a) (2, 6), (3, 17), (0, 0) 
b) (2, 12) 
c) Nenhum 
d) (1, 1), (4, 8) 
 
5. a) Reflexiva, transitiva 
b) Reflexiva, simétrica, transitiva 
c) Simétrica 
 
6. a) x ρ* y ↔ x é algum número de anos mais velho do que y 
b) x ρ* y ↔ x é um ancestral masculino de y 
c) x ρ* y ↔ você pode dirigir de x para y em algum número de dias 
 
 
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7. a) b) c) 
 
 
8. a) b) 
 
Os dois grafos têm estruturas iguais 
 
9. a) ρ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 5), (4, 5) } 
b) ρ = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f), (a, d), (b, e), (c, f) } 
c) ρ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), 
(3, 4), (3, 5), (4, 5) } 
 
10. [a] = { a, c } = [c] 
 
11. [3] = { 1, 2, 3 } e [4] = { 4, 5 } 
 
12. Reflexiva  (x, y) ρ (x, y), pois y = y 
Simétrica  se (x, y) ρ (z, w), então y = w, logo w = y e (z, w) ρ (x, y) 
Transitiva  se (x, y) ρ (z, w), e (z, w) ρ (s, t), então y = w e w = t, logo y = t e 
(x, y) ρ (s, t) 
As classes de equivalência são conjuntos de pares ordenados com as segundas 
componentes iguais. 
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Exercícios de Funções 
 
 
Representação Gráfica, Domínio e Imagem 
 
 
1. Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine 
cada uma das relações seguintes, representando-as em diagrama de flechas e 
construindo seu gráfico cartesiano. Indique as que são funções e dê seu 
domínio e imagem: 
(a) R1 = {(x, y) ∈ A X B | y = x2} 
(b) R2 = {(x, y) ∈ A X B | y = x + 1} 
(c) R3 = {(x, y) ∈ A X B | y > x + 1} 
 
2. Construa o gráfico da relação R = {(x, y) ∈ R2 | y = 3}. Dê seu domínio e 
conjunto imagem. R é função?
Justifique sua resposta. 
 
3. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. Uma função de A em B é: 
(a) {(1, 1)} (d) {(3, 3), (2, 6), (1, 6)} 
(b) {(1, 3), (4, 3)} (e) {(2, 4), (3, 3)} 
(c) {(3, 3), (4, 4)} 
 
4. Sabendo-se que o diagrama abaixo representa uma função f de A em B, 
pede-se: 
 
(a) f (1), f (2), f (3) 
(b) D( f ) e CD( f ) 
(c) Im( f ) 
 
 
 
 A f B 
 
5. Dada a função f : R → R, definida por f (x) = x2 – 2x + 3, determine: 
(a) f (0) (c) )2(f 
(b) f (-2) (d) f (1/2) 
 
 
 
• 1 
• 2 
• 3 
• 12 
• 23 
• 37 
• 15 
 
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6. Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2} e B = 





 43210
4
1
, , , , , , determine o 
conjunto imagem da função f : A → B, definida por: 
(a) f (x) = x + 2 
(b) f (x) = x2 
(c) f (x) = 2x 
 
7. Sendo f : R → R uma função definida por f (x) = 2x + 3, deseja-se saber: 
(a) o valor de x para que f (x) = 0 
(b) o valor de x para que f (x) = 
3
2
−−−− 
 
8. A função f : R → R, definida por f (x) =
1
23
++++
−−−−
x
x
, tem Im( f ) = {-2, 0, 2, 4, 8}. 
Determine o domínio da função. 
 
9. Represente, no plano cartesiano, o gráfico da função f (x) = 2x – 1, no caso 
em que o domínio seja: 
(a) D( f ) = {-1, 0, 1, 2, 3} 
(b) D( f ) = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3} 
(c) D( f ) = R 
 
10. Identifique os conjuntos de pontos que representam gráficos de funções com 
domínio D = {1, 2, 3}: 
 
(a) 
0 1 2 3 4
0
1
2
3 y
x
 
(b) 
0
1
2
3
4
0 1 2 3
y
x
 
 
 
 
 
 
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(c) 
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5 y
x
 
(d) 
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5 y
x
 
 
11. Construa o gráfico da função f (x) = x2 – 1, no caso em que seu domínio seja 
D( f ) = {-2, -1, 0, 1, 2}. Para que valores de x : 
(a) f (x) > 0 ? (b) f (x) = 0 ? (c) f (x) < 0 ? 
 
12. Considere o gráfico da função f abaixo. Dê seu domínio e sua imagem e 
determine os valores de x para os quais: 
(a) f (x) > 0 
(b) f (x) = 0 
(c) f (x) < 0 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3 y
x
 
13. Determinar o domínio e o conjunto imagem da função f cujo gráfico é: 
7
6
4
2
-5
852-1-6
 
x
y
 
 
 
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Tipos de Funções, Funções Inversas 
 
 
1. Dados os conjuntos }5,5,0,4,4{A −−= , {16,0,25}B = , ,6,8}{-3,5,1,-4C = , 
1} 25, 0, {16, E = , 9} 1,- 4, 8, {0, F = , classifique cada uma das funções como 
sobrejetora, injetora ou bijetora: 
(a) f : A → B tal que f (x) = x2 (c) h : A → F tal que h (x) = x + 4 
(b) g : A → C tal que g (x) = x + 1 (d) t : A → E tal que t(x) = x2 
 
2. O gráfico da função f : R → ]-∞, 2] é a parábola abaixo: 
 
Classifique f como sobrejetora, 
injetora ou bijetora. 
 
 
 
 
 0
2
42
 
x
y
 
 
 
3. Classifique a função f : [3, 8] → [2, 12] tal que f (x) = 2x – 4 como 
sobrejetora, injetora ou bijetora. 
 
4. Nas funções seguintes classifique em: 
 I) Injetora II) Sobrejetora III) Bijetora IV) Não é sobrejetora nem injetora 
 (a) RR →:f tal que 12 += xf(x) 
 (b) +→ RR:g tal que 21 xg(x) −= 
 (c) NN →:h tal que 23)( += xxh 
 (d) ** RR →:m tal que 
x
xm
1)( = 
 (e) RR →:n tal que 3)( xxn = 
 
 
 
 
 
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5. Os gráficos das funções f : R → R e g : R → R , representados a seguir, 
são uma parábola e uma reta, respectivamente. Qual das funções, f ou g, é 
invertível ? Por quê ? 
0
f
 
x
y
 
 
0
g
 
x
y
 
 
 
6. Sendo f : R → R uma função definida por f (x) = 2x + 3, deseja-se saber se 
existe f –1 e, em caso afirmativo, determiná-la. 
 
7. Determinar a inversa da função bijetora 
42 +
=
x
xf(x) de domínio 
D = R – { –2} e CD = R – 1
2






 
 
8. Sejam os conjuntos A = {1, -1, 2, -2, 3} e B = {2, 5, 10}. 
(a) Determine a inversa da relação: R = {(x, y) ∈ A X B | y = x2 + 1}. 
(b) Determine os conjuntos D(R), Im(R), D(R-1), Im(R-1). 
(c) A relação R-1 é função ? Por que ? 
 
9. Dados os conjuntos A = {1, -1, 2, 3} e B = {1, 16, 81} e a função f : A → B 
tal que f (x) = x4. A função f é invertível ? Por quê ? 
 
10. Determine a inversa de cada uma das funções bijetoras, sendo dados o 
domínio D e o contradomínio CD: 
(a) y = 3x –5 com D = R e CD = R; 
(b) f (x) = 8x + 4 com D = R e CD = R; 
(c) y = x
x
+
−
3
2
 com D = R – {2} e CD = R – {1}; 
(d) g (x) = 5 2
8
x
x
−
+
 com D = R – {– 8} e CD = R – {5}. 
 
 
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Funções Compostas 
 
 
1. Dados os conjuntos A = {-2 , 2, - 1, 1, 0}, B = {6, 3, 2, 5}, 
C ={3, 0, -1, 2, 1} e as funções f : A → B e g : B → C, tais que 
f (x) = x2 + 2 e g (x) = x – 3, determine: 
(a) (g o f)(-2) 
(b) (g o f)(1) 
(c) (g o f)(-1) 
(d) (g o f)(x) 
 
2. Dadas as funções reais de variável real f (x) = 3 1−−−−x e g (x) = x3 + 8, 
determine: 
(a) (g o f)(1) 
(b) (f o g)(1) 
(c) (g o f)(x) 
(d) (f o g)(x) 
 
3. Dadas as funções reais de variável real f (x) = x + 1 e g (x) = 3x + 2, 
determine: 
(a) (g o f)(5) 
(b) (f o g)(5) 
(c) (g o f)(x) 
(d) (f o g)(x) 
 
4. Dadas as funções reais de variável real f (x) = x3 + 7 e g (x) = 3 x , 
determine: 
(a) (g o f)(1) 
(b) (f o g)(1) 
(c) (f o g)(-8) 
(d) (g o f)(x) 
(e) (f o g)(x) 
 
5. Sejam f e g funções reais de variável real tais que f (x) = 2x + 5 e 
g (x) = x2 – 49. Determine as raízes da equação (g o f)(x) = 0. 
 
 
 
 
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Funções de 1º Grau 
 
 
1. Dada a função f (x) = (-3m + 6)x + m + 5, determine m de modo que: 
(a) f (x) seja uma função do 1o grau. (c) f (x) seja uma função crescente.
(b) f (x) seja uma função constante. (d) f (x) seja uma função decrescente. 
 
2. Sendo f (x) = 2x + 5, determine f (x+h) – f (x). 
 
3. Sendo f (x) = – 2, g (x) = 3x + 1 e h (x) = 4, calcule x de modo que: 
f (x) < g (x) ≤ h (x). 
 
4. Determine a raiz de cada uma das seguintes funções: 
 
0
f
x
y
 5
 1
 2
 
0
g
x
y
 -1
 2
 3
 3
 
 
5. Seja a função f : R → R, definida por f (x) = ax + b. Sabendo que 
(1, -1) ∈ f e (-1, 2) ∈ f , determine )17(−f . 
 
6. Discuta, através do gráfico, a variação de sinal de cada uma das funções: 
(a) f (x) = 5x – 10 (e) y = 5x (i) f (x) = 4x + 1 
(b) f (x) = – 5x – 10 (f) y = – 5x (j) f (x) = – 4x + 1 
(c) f (x) = 3x + 1 (g) y = x – 2 (k) f (x) = x 
(d) y = – 3x + 1 (h) y = – x – 2 (l) f (x) = – x 
 
 
 
 
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7. Discuta algebricamente a variação de sinal de cada uma das funções a 
seguir: 
(a) f (x) = 2x – 5 (d) y = – 4x + 2 (g) f (x) = 2 x + 6 
(b) f (x) = – 2x – 5 (e) f (x) = 
3
x
 + 1 (h) f (x) = – 2 x – 6 
(c) y = 4x + 2 (f) f (x) = – 
3
x
 + 1 
 
8. Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de 
abril, segundo a função y = – 
3
2x
 + 18, em que x ∈ {1, 2, 3, ..., 30} e y é o 
saldo do cliente em real no dia x de abril. 
(a) Em que dia do mês de abril o saldo do cliente chega a R$ 0,00 ? 
(b) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é positivo ? 
(c) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é negativo ? 
 
9. O gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde 
as 5 h até as 11 h. 
(a) Em que horário desse período 
a temperatura atingiu 0 oC ? 
(b) Durante quanto tempo desse 
período a tempertatura esteve 
negativa ? 
(c) Durante quanto tempo desse 
período a temperatura esteve 
positiva ? 0
f
x
y
 10
 5
 - 2
 11
 
 
Funções de 2º Grau 
 
 
1. Esboçar o gráfico da função f (x) = x2 – 6x + 8, dando seu domínio e 
conjunto imagem. 
 
2. Esboçar o gráfico da função f (x) = –x2 + 4x – 5, dando seu domínio e 
conjunto imagem. 
 
 
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3. O gráfico da função f (x) = ax2 + bx + c é dado abaixo. Determinar a, b e c. 
1
y
x
2
4
 
 
4. Para que valores reais de m a função f (x) = 2x2 + 5x + m + 3 admite duas 
raízes reais e distintas ? 
 
5. Para que valores reais de m a função f (x) = x2 + mx + m – 1 admite duas 
raízes reais e iguais ? 
 
6. Para que valores reais de m a função f (x) = (m – 2)x2 + 2mx + m + 3 não 
admite raízes reais ? 
 
7. O gráfico da função f (x) = kx2 + x – 1, k ∈ R, é uma parábola que possui 
duas raízes reais e distintas. Determinar os possíveis valores de k. 
 
8. O gráfico da função f (x) = x2 + x + 2k – 3, k ∈ R, não intercepta o eixo das 
abscissas. Determine os possíveis valores de k. 
 
9. Determinar o conjunto imagem da função f : [-2, 2 [ → R, tal que 
 f (x) = 2x2 – 2x – 3. 
 
10. Discuta a variação de sinal de cada uma das funções: 
(a) f (x) = x2 – 5x + 4 
(b) y = – x2 + x + 2 
(c) f (x) = – x2 + 6x – 9 
(d) f (x) = 3x2 – x + 1 
 
11. Resolva as inequações do 2o grau: 
(a) x2 – 3x – 4 > 0 (c) x2 < 9 
(b) 3x2 – 2x ≤ 0 (d) – x2 – 2x + 8 ≥ 0 
 
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Respostas dos Exercícios 
 
 
Representação Gráfica, Domínio e Imagem 
 
1. (a) 
 
R1 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É função. 
D(R1) = A; 
Im(R1) = {0, 1, 4} 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
(b) 
 
R2 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é função. 
D(R2) = {-1,0,1,2}; 
Im(R2) = {0,1,2,3} 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
• 2 
• 1 
• 0 
• 1 
• 2 
• 4 
• 0 
• 3 
y = x2 
• -2 
• -1 
• 2 
• 1 
• 0 
• 1 
• 2 
• 4 
• 0 
• 3 
y = x + 1 
• -2 
• -1 
 
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(c) 
 
R3 
A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é função. 
D(R3) = A; 
Im(R3) = B 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
2. D(R) = R; Im (R) = {3}. É função. 
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6 y
x
 
 
3. (d) 
 
4. (a) f(1) = 12; f(2) = 23; f(3) = 37 
(b) D(f) = {1,2,3}; CD(f)=B 
(c) 37} 23, {12, Im(f) = 
 
5. (a) 3; (b) 11; (c) 225 − ; (d) 
4
9
 
 
6. (a) {0, 2, 4} (b) {0, 4} (c) }4,1,
4
1{ 
7. (a) 
2
3
− ; (b) 
6
11
− 
 
8. }2,6,4,
3
2
,0{)( −−=fD 
 
9. 
 
10. (a) e (d) 
 
11. (a) –2 e 2; (b) 1 e –1; (c) 0 
 
12. [-4,1] D(f) = e ]2,3[)Im( −=f ; (a) ]1,1] − ; (b) –1; (c) [1,4[ −− 
 
13. ]8,2]]1,6])( ∪−−=fD ; ]7,6]]4,5])Im( ∪−=f 
• 2 
• 1 
• 0 
• 1 
• 2 
• 4 
• 0 
• 3 
y > x + 1 
• -2 
• -1 
 
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Tipos de Funções, Funções Inversas 
 
 
1. (a) sobrejetora (c) bijetora 
(b) injetora (d) t(x) é uma função não classificada 
 
2. Sobrejetora 
 
3. bijetora 
 
4. a) III; b) IV; c) I; d) III; e) III 
 
5. A função )(xfy = não é invertível e a função )(xgy = é invertível 
 
6. A função f(x)y = é invertível porque é bijetora, com 
2
31 −
=
−
x(x)f 
 
7. 
x
x
xf
21
4)(1
−
−=
−
 de domínio D = R – 1
2






e CD = R – { –2} 
 
8. (a) 
 R-1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A função não é invertível porque não é bijetora 
 
10. (a) 3
5+
=
xy ; (b) 
8
4−
=
xy ; (c)
1
32
−
+
=
x
xy ; (d) 
x
xy
−
−
=
5
28
 
 
 
 
• 10 
 
• 5 
• -1 
• 1 
• 3 
• -2 
• 2 
• 2 
 
(b) D(R) = {1,-1,2,-2,3}, 
 Im(R) = {2,5,10}, 
 D(R-1) = {2,5,10}, 
 Im(R-1)
= {1,-1,2,-2,3} 
 
(c) A relação R-1 não é função, porque 
existem elementos ∈x D(R-1) 
associados a dois elementos ∈y 
Im(R-1) 
 
 
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Funções Compostas 
 
 
1. (a) 3; (b) 0; (c) 0; (d) x2 – 1 
 
2. (a) 8; (b) 2; (c) x + 7; (d) 3 3 7++++x 
 
3. (a) 20; (b) 18; (c) 3x + 5; (d) 3x + 3 
 
4. (a) 2; (b) 8; (c) –1; (d) 3 3 7++++x ; (e) x + 7 
 
5. S = {-6, 1} 
 
 
 
Funções de 1º Grau 
 
 
1. (a) 2≠m ; (b) 2=m ; (c) 2<m ; (d) 2>m 
 
2. h2 
 
3. }11{ ≤<−∈= xxS |R 
 
4. 
3
2
− e 2 
5. 
2
1
2
3
+−= xf(x) 2617 =− )f( 
 
6. (a) 20)( <→< xxf ; 20)( =→= xxf ; 20)( >→> xxf 
 (b) 20)( −<→> xxf ; 20)( −=→= xxf ; 20)( −>→< xxf 
(c) 
3
10)( −<→< xxf ; 
3
10)( −=→= xxf ; 
3
10)( −>→> xxf 
(d) 
3
10 <→> xy ; 
3
10 =→= xy ; 
3
10 >→< xy 
(e) 00 <→< xy ; 00 =→= xy ; 00 >→> xy 
(f) 00 <→> xy ; 00 =→= xy ; 00 >→< xy 
 
 
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(g) 20 <→< xy ; 20 =→= xy ; 20 >→> xy 
(h) 20 −<→> xy ; 20 −=→= xy ; 20 −>→< xy 
(i) 
4
10)( −<→< xxf ; 
4
10)( −=→= xxf ; 
4
10)( −>→> xxf 
(j) 
4
10)( <→> xxf ; 
4
10)( =→= xxf ; 
4
10)( >→< xxf 
(k) 00)( <→< xxf ; 00)( =→= xxf ; 00)( >→> xxf 
(l) 00)( <→> xxf ; 00)( =→= xxf ; 00)( >→< xxf 
 
7. (a) 
2
50)( <→< xxf ; 
2
50)( =→= xxf ; 
2
50)( >→> xxf 
 (b) 
2
50)( −<→> xxf ; 
2
50)( −=→= xxf ; 
2
50)( −>→< xxf 
 (c) 
2
10 −<→< xy ; 
2
10 −=→= xy ; 
2
10 −>→> xy 
 (d) 
2
10 <→> xy ; 
2
10 =→= xy ; 
2
10 >→< xy 
 (e) 30)( −<→< xxf ; 30)( −=→= xxf ; 30)( −>→> xxf 
 (f) 30)( <→> xxf ; 30)( =→= xxf ; 30)( >→< xxf 
 (g) 30)( −<→< xxf ; 30)( −=→= xxf ; 30)( −>→> xxf 
 (h) 30)( −<→> xxf ; 30)( −=→= xxf ; 30)( −>→< xxf 
 
8. (a) dia 27; (b) 27<x ; (c) 27>x 
 
9. (a) 6 horas; (b) durante uma hora; (c) durante cinco horas 
 
 
 
Funções de 2º Grau 
 
 
1. 
 
2. 
 
3. 2
2
5
2
1 2 +− xx 
 
 
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4. m < 8
1
 
 
5. m = 2 
 
6. m > 6 
 
7. k > 
4
1
− 
 
8. 8
13
>k
 
 
9. ]9,
2
7[−∈y 
 
10. (a) [,4][1,]0 +∞∪∞−∈→> xf(x) ; 
10 =→= xf(x) ou 4=x ; 
[4,1]0)( ∈→< xxf 
 (b) [2,1]0 −∈→> xy ; 
10 −=→= xy ou 2=x ; 
[,2][1,]0 +∞∪−∞−∈→< xy 
 (c) 30)( =→= xxf ; 
}3{R0)( −∈→< xxf 
 (d) R0)( ∈→> xxf 
 
11. (a) [,4][1,] +∞∪−∞−∈x ; (b) ]
3
2
,0[x ∈ ; (c) [3,3] −∈x ; (d) ]2,4[x −∈ 
 
Exerc�cios 05 - Mat Computacional.pdf
 
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Exercícios de Cálculo Proposicional 
 
1. Determinar o valor lógico das proposições abaixo: 
a) Belo Horizonte é a capital de São Paulo 
b) O Brasil é um país da América do Sul 
c) 5 é um número primo 
d) O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma de seus 
catetos 
 
2. Sejam as proposições p:Jorge é rico e q:Carlos é feliz. Traduzir para a linguagem 
corrente as seguintes proposições: 
a) q → p 
b) p ∨ ~q 
c) q ↔ ~p 
d) ~p → q 
e) ~~p 
f) ~p ∧ q → p 
 
3. Sejam as proposições p:Marcos é alto e q:Marcos é elegante. Traduzir para a 
linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a) Marcos é alto e elegante 
b) Marcos é alto, mas não é elegante 
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante 
d) Marcos não é nem alto e nem elegante 
e) Marcos é alto ou é baixo e elegante 
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante 
 
4. Simbolizar as seguintes proposições matemáticas: 
a) x é maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6 
b) se x é menor que 5 e maior que 3, então x é igual a 4 
c) x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maior que 0 
 
5. Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 
a) Não é verdade que 12 é um número ímpar 
b) Não é verdade que Belém é a capital do Pará 
c) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3 
d) ~(1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5) 
e) ~(1 + 1 = 5 ↔ 3 + 3 = 1) 
f) 2 + 2 = 4 → (3 + 3 = 7 ↔ 1 + 1 = 4) 
g) ~(2 + 2 ≠ 4 e 3 + 5 = 8) 
 
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6. Construir a tabela verdade de P(p,q,r) = (p ∧ q → r) ∨ (~p ↔ q ∨ ~r). 
 
7. Sabendo que os valores lógicos das proposições p, q, r e s são respectivamente V, 
V, F e F, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 
a) p → q ↔ q → p 
b) (r → p) → (p → r) 
c) (p → r) → (~p→~r) 
d) ~(p ∧ q) → ~p ∨ ~q 
e) ~(p ∧ s) → ~p ∧ ~s 
f) ~((p ∨ s) ∧ (s ∨ r)) 
 
8. Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou 
contingentes: 
a) p → ( ~p → q ) 
b) ~p ∨ q → ( p → q ) 
c) p → ( q → ( q → p ) ) 
d) ( ( p → q ) ↔ q ) → p 
e) p ∨ ~q → ( p → ~q ) 
f) ~p ∨ ~q → ( p → q ) 
g) p → ( p ∨ q ) ∨ r 
h) p ∧ q → ( p ↔ q ∨ r ) 
 
9. Mostrar que p ↔ ~q não implica p → q. 
 
10. Demonstrar que o conectivo ∨ (ou exclusivo) exprime-se em função dos três 
conectivos ~, ∧ e ∨ do seguinte modo: 
p ∨ q ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ~( p ∧ q ) 
 
11. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalências: 
a) p → q ∧ r ⇔ ( p → q ) ∧ ( p → r ) 
b) p → q ∨ r ⇔ ( p → q ) ∨ ( p → r ) 
 
Obs: A primeira equivalência exprime que a condicional é distributiva à esquerda 
em relação à conjunção e a segunda que a condicional é distributiva à 
esquerda em relação à disjunção. 
 
12. Mostrar que a condicional não é distributiva à direita nem em relação à 
conjunção, nem em relação à disjunção. 
 
 
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13. Demonstrar, através do método dedutivo, a implicação: p → q  p ∧ r → q. 
 
14. Simplificar a proposição: ~( ~p → ~q ). 
 
15. Determinar uma forma normal conjuntiva equivalente para a proposição: p → q. 
 
16. Determinar uma forma normal disjuntiva equivalente para a proposição: 
 ~( p → q ). 
 
17. Use a regra “Modus tollens” para deduzir a conclusão do seguinte par de 
premissas: ( p ↔ q ) → ~( r ∧ s ) e ~~( r ∧ s ). 
 
18. Verificar, através da construção da tabela-verdade correspondente, a validade do 
argumento: p ∨ q, ~q, p → r  r. 
 
19. Dados V(p) = V
e V(q) = V(r) = V(s) = F, verificar a validade do argumento: 
p ∨ ~q, ~( ~r ∧ s ), ~( ~p ∧ ~s )  ~q → r. 
 
20. Verificar, através do uso de regras de inferência, a validade do argumento: 
p → ( q → r ), p → q, p  r. 
 
21. Verificar, através do uso de regras de inferência e equivalências lógicas, a 
validade do argumento: p → q, r → ~q  p → ~r. 
 
22. Verificar, através do uso de Diagramas de Venn, a validade do argumento: 
Todos os gatos são felinos, 
Todos os tigres são felinos, 
Logo alguns tigres são gatos. 
 
23. Verificar, através do uso de Diagramas de Venn, a validade do argumento: 
Alguns cães são animais de estimação, 
Alguns gatos são animais de estimação, 
Logo alguns cães são gatos. 
 
 
 
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Exercícios de Cálculo dos Predicados 
 
 
1. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}. Determine o conjunto-
verdade da sentença aberta “x < y”, em A x B. 
 
2. Determinar o conjunto-verdade em Z de cada uma das sentenças abertas 
abaixo: 
a) x2 – 9 = 0 
b) x2 ≤ 3 
c) 3x2 – 12 = 0 
d) 2x2 + 5x = 0 
e) x2 – x – 12 = 0 
f) | 2x – 1 | = 5 
 
3. Determinar o conjunto-verdade em A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} de cada uma das 
sentenças abertas compostas abaixo: 
a) x < 5 ∧ x é impar 
b) x2 – 3x = 0 ∨ x2 = x 
c) ~( x ≤ 3 ) 
d) x é par → x2 – 1 = 0 
e) x2 – 3x = 0 ↔ x2 – x = 0 
 
4. Sendo A = {1, 2, 3}, determinar o valor lógico de cada uma das 
proposições abaixo: 
a) ( ∃ x ∈ A ) ( x2 + x – 6 = 0 ) 
b) ( ∃ y ∈ A ) ( ~( y2 + y = 6 ) ) 
c) ( ∃ x ∈ A ) ( x2 + 3x = 1 ) 
d) ~( ∀ x ∈ A ) ( x2 + x = 6 ) 
e) ~( ∃ x ∈ A ) ( x2 + 3x = 1 ) 
f) ( ∀ z ∈ A ) ( z2 + 3z ≠ 1 ) 
 
5. Sendo A = {3, 5, 7, 9}, dar um contra-exemplo para cada uma das 
proposições abaixo: 
a) ( ∀ x ∈ A ) ( x + 3 ≥ 7 ) 
b) ( ∀ x ∈ A ) ( x é ímpar ) 
c) ( ∀ x ∈ A ) ( x é primo ) 
d) ( ∀ x ∈ A ) ( | x | = x ) 
 
 
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6. Sendo {1, 2, 3} o universo das variáveis x, y e z, determinar o valor lógico 
de cada uma das proposições abaixo: 
a) ( ∃ x ) ( ∀ y ) ( x2 < y + 1 ) 
b) ( ∀ x ) ( ∃ y ) ( x2 + y2 < 12 ) 
c) ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( x2 + y2 < 12 ) 
d) ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( x2 + 2y < 10 ) 
e) ( ∃ x ) ( ∀ y ) ( x2 + 2y < 10 ) 
f) ( ∀ x ) ( ∃ y ) ( x2 + 2y < 10 ) 
g) ( ∃ x ) ( ∃ y ) ( x2 + 2y < 10 ) 
 
7. Dar a negação de cada uma das proposições abaixo: 
a) ( ∀ y ∈ R ) ( ∃ x ∈ R ) ( x + y = y ) 
b) ( ∀ x ∈ R ) ( ∃ y ∈ R ) ( x + y = 0 ) 
c) ( ∀ x ∈ R ) ( ∃ y ∈ R ) ( xy = 1 ) 
d) ( ∀ y ∈ R ) ( ∃ x ∈ R ) (y < x ) 
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Exercícios de Métodos de Demonstração 
 
 
1. Verifique, pelo Método da Indução Matemática, a validade das expressões 
abaixo: 
 
a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n.(2n -1) 
 
b) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) 
 
c) 1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1)/2 
 
d) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = [n(n + 1)(2n + 1)]/6 
 
e) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 
 
f) 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n2 
 
g) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 1 + n2 
 
h) 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n + 1)]/2 
 
i) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = [n(n + 1)(2n + 1)]/[2(n+2)] 
 
j) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)n