Pêndulo Simples

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Relatório de Física Geral e Experimental II
Análise do Oscilador Massa- Mola, do Pêndulo Simples e do Pêndulo Físico 
Junho-2017
Relatório de Física Geral e Experimental II
Análise do Oscilador Massa- Mola, do Pêndulo Simples e do Pêndulo Físico 
Introdução teórica
Um corpo que executa movimento periódico encontra-se sempre em uma posição de equilíbrio estável. Quando esse corpo é deslocado do equilíbrio e em seguida é liberado, surge um troque restaurador ou força restauradora que faz com que ele retorne a sua posição de equilíbrio inicial, mas quando ele atinge esse ponto, por ter acumulado energia cinética no trajeto, ele acaba passando dele e indo parar em algum ponto do outro lado e com isso é novamente puxado, pela força ou torque restaurador, em direção ao ponto de equilíbrio.
Quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio, a oscilação denomina-se Movimento Harmônico Simples (MHS).
Um pendulo simples é um modelo idealizado que é formado por um corpo puntiforme suspenso por um fio de massa desprezível que por sua vez está acoplado à um pivô que permite a sua livre movimentação. Quando esse pendulo é puxado lateralmente a partir da sua posição de equilíbrio e em seguida é liberado, ele começa a oscilar em torno da posição de equilíbrio por causa da força restauradora proveniente da gravidade. A trajetória descrita pelo corpo é um arco de circunferência de raio igual ao comprimento do fio.
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php
Desconsiderando a resistência do ar e fazendo a decomposição das forças atuantes no sistema do pendulo físico, chegamos à:
http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.htm
A partir disso podemos perceber que a força restauradora responsável pelo movimento é F(θ)=-m.g.senθ. No entanto essa força é diferente da força que caracteriza o MHS (F(x)=-Kx), contudo para ângulos pequenos de θ, sen(θ) é aproximadamente igual à θ. θ é dado por θ =X/L Com isso:
F(θ)=-, como m (massa do corpo), g (aceleração da gravidade local) e L(comprimento da corda) são constantes, podemos chamar =K. assim F(θ)=-K.X que é uma equação que caracteriza o MHS. Portanto através da análise do pendulo simples podemos dizer que para pequenos ângulos ele executa um MHS.
Para qualquer MHS o período T é dado pela equação:
 , mas como K= temos:
 , logo o período de oscilação de um pêndulo simples pode ser expresso como:
Essa equação nos diz que o período de oscilação do pêndulo simples não depende do ângulo em que ele é solto, mas sim de parâmetros considerados fixos como o comprimento do fio (L) do pêndulo e da gravidade local. Dessa forma podemos concluir que não deverá haver variações no período do pêndulo podendo o mesmo ser utilizado como medidor do tempo.
O pêndulo físico, ou pêndulo composto, é qualquer pendulo que usa um corpo com volume finito, diferente do modelo idealizado pelo pendulo simples onde a massa está concentrada em um único ponto. Assim como o pendulo simples, o pendulo físico, para pequenos ângulos de oscilação, também realiza MHS.
https://labanimation.wordpress.com/pendulo-fisico/
A expressão que determina o período T de um pendulo físico é dada por:
Onde: 
I é momento de inercia do corpo em relação ao eixo de rotação;
m é a massa total;
d é a distância entre o ponto de suspenção O e o cetro de massa (CM).
O pendulo físico é usado para medidas precisas de aceleração da gravidade, assim como também para a determinação do momento de inercia de um corpo de forma complicada.
Objetivos Gerais
Estudar o movimento de um pendulo simples e de um pendulo físico.
Objetivos Específicos
Verificar a dependência do período de oscilação do pêndulo simples com a massa, com o comprimento da corda e com a amplitude de oscilação; 
Calcular o período para cada comprimento de corda;
Fazer comparações utilizando diferentes comprimentos e amplitudes para a determinação do tempo de oscilação;
Determinar a aceleração da gravidade local;
Comparar os momentos de inércias obtidos com os esperados.
Materiais Utilizados
01 sistema de sustentação principal Arete formado por tripé triangular, haste, sapatas niveladoras; 
Painel com fixação integrada;
02 massas pendulares de mesmo volume e massas diferentes (Aço e Alumínio);
Corda para o pêndulo;
01 cronômetro;
01 gancho lastro de massa (8 +-1) g;
01 régua milimetrada com dois orifícios (o maior na extremidade e o menor na posição 4,0cm da escala);
01 trena.
 
Métodos
Primeira parte do experimento: Pêndulo simples 
Montamos o conjunto com o prumo de maior massa (aço) e nivelamos com as sapatas.
Ajustamos a corda do pendulo num comprimento de 20 cm, esse comprimento da corda foi medido do ponto de suporte até o centro de massa do objeto. 
Utilizando a massa pendular de aço, deslocamos o pêndulo num ângulo de 10º a partir da sua posição de equilíbrio, depois saltamos e medimos o tempo que ele leva para executar 10 oscilações completas.
Repetimos o mesmo procedimento, mas agora para ângulos de 15º e depois de 20º. Medimos o tempo que cada experimento levava para fazer 10 oscilações completas cinco vezes com o intuito de minimizar o erro.
Repetimos o procedimento para a massa pendular de alumínio, deslocando novamente o pêndulo em ângulos de 10º, 15º e 20º. E para cada deslocamento medimos o tempo de 10 oscilações completas cinco vezes.
Depois variamos o comprimento do pêndulo. Utilizamos a massa pendular de aço, aumentamos o comprimento para 40 cm, deslocamos o pendulo, para 10º, 15º e 20º e para cada ângulo medimos o tempo de 10 oscilações completas 5 vezes. Aumentamos novamente para 60 cm, repetimos o procedimento e anotamos o tempo, e depois fizemos com 80cm e 100cm e repetimos o mesmo processo.
Segunda parte do experimento: Pêndulo físico.
Medimos a massa da régua e em seguida penduramos ela, pelo orifício mais distante de seu cetro, no sistema de sustentação principal Arete, depois deslocamos a régua num ângulo de 15º, da sua posição de equilíbrio, soltamos, medimos cinco vezes o tempo para dez oscilações completas e anotamos.
Repetimos a operação, mas agora a régua estava pendurada pelo orifício mais próximo do seu centro.
Parte 1
O experimento com o Oscilador Massa-Mola não foi realizado.
Parte 2
Foi deslocado o pêndulo sucessivamente para as amplitudes de 10º, 15º e 20º, medindo o tempo de 10 oscilações.
	Alumínio – 20 cm
	10º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	9,00 ± 0,1
	9,15 ± 0,1
	8,93 ± 0,1
	9,31 ± 0,1
	9,00 ± 0,1
	0,1525
	15º
	Tempo 1
	Tempo 2
	Tempo 3
	Tempo 4
	Tempo 5
	Desvio P.
	 
	8,75 ± 0,1
	8,81 ± 0,1
	8,69 ± 0,1
	8,94 ± 0,1
	8,97 ± 0,1
	0,1205
	20º
	Tempo 1
	Tempo 2
	Tempo 3
	Tempo 4
	Tempo 5
	Desvio P.
	
	9,22 ± 0,1
	8,88 ± 0,1
	8,88 ± 0,1
	8,88 ± 0,1
	8,66 ± 0,1
	0,2007
Obtendo os seguintes resultados:
	
	Deslocamento Inicial (°)
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Período (s)
	Frequência (Hz)
	1
	10,0
	9,078 ± 0,1
	0,907
	1,102
	2
	15,0
	8,832 ± 0,1
	0,883
	1,132
	3
	20,0
	8,904 ± 0,1
	0,890
	1,123
Tabela 2
Período versus Amplitude
Frequência versus Amplitude
Observou-se que a relação entre os períodos e amplitude, é inexistente, visto que no gráfico Período x Amplitude, considerando os erros humanos, pequena precisão do cronômetro e margem de erro houve apenas uma diferença de 0,009Hz, entre uma diferença de amplitude de 0,034 m. 
É pressuposto também que o valor do Período de um pêndulo, é dado em função do comprimento do pêndulo, e do valor da gravidade.
Tabela 3 -> Não foi utilizadas amplitudes de 5º no experimento.
Variando o comprimento do pêndulo, medimos o tempo de 10 oscilações completas.
	Aço – 20 cm
	10º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	9,31 ± 0,1
	9,25 ± 0,1
	9,25 ± 0,1
	9,16 ± 0,1
	8,97± 0,1
	0,1331
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	9,16 ± 0,1
	9,19 ± 0,1
	9,03 ± 0,1
	9,03 ± 0,1
	9,19 ± 0,1
	0,0831
	20º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	9,16 ± 0,1
	9,97 ± 0,1
	8,75 ± 0,1
	8,91 ± 0,1
	8,75 ± 0,1
	0,1712
	Aço – 40 cm
	10º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	12,88 ± 0,1
	12,63 ± 0,1
	12,44 ± 0,1
	12,59 ± 0,1
	12,84 ± 0,1
	0,1828
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	12,59 ± 0,1
	12,47 ± 0,1
	12,66 ± 0,1
	12,69 ± 0,1
	12,66 ± 0,1
	0,0885
	20º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	12,37 ± 0,1
	12,53 ± 0,1
	12,56 ± 0,1
	12,91 ± 0,1
	12,75 ± 0,1
	0,2092
	Aço – 60 cm
	10º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	15,15 ± 0,1
	15,19 ± 0,1
	15,09 ± 0,1
	15,25 ± 0,1
	15,28 ± 0,1
	0,0763
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	15,15 ± 0,1
	15,16 ± 0,1
	15,16 ± 0,1
	15,19 ± 0,1
	15,34 ± 0,1
	0,0797
	20º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	15,41 ± 0,1
	15,28 ± 0,1
	15,38 ± 0,1
	15,22 ± 0,1
	15,22 ± 0,1
	0,0890
	Aço – 80 cm
	10º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	17,47 ± 0,1
	17,78 ± 0,1
	17,47 ± 0,1
	15,25 ± 0,1
	17,61 ± 0,1
	0,1325
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	17,91 ± 0,1
	17,66 ± 0,1
	17,47 ± 0,1
	15,19 ± 0,1
	17,90 ± 0,1
	0,3265
	20º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	17,81 ± 0,1
	17,56 ± 0,1
	17,56 ± 0,1
	17,90 ± 0,1
	17,62 ± 0,1
	0,2637
	Aço – 100 cm
	10º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P. 
	
	19,69 ± 0,1
	19,78 ± 0,1
	19,90 ± 0,1
	15,25 ± 0,1
	19,66 ± 0,1
	0,1483
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	19,59 ± 0,1
	19,59 ± 0,1
	19,68 ± 0,1
	15,19 ± 0,1
	19,85 ± 0,1
	0,1583
	20º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	19,62 ± 0,1
	20,28 ± 0,1
	1972 ± 0,1
	17,90 ± 0,1
	19,72 ± 0,1
	0,2604
Obtendo os seguintes resultados:
	
	Comprimento do Pêndulo (cm)
	Tempo de 10 Oscilações (s)
	Período (s) 
	Frequência (Hz)
	1
	20
	9,188 ± 0,1
	0,919 
	1,088
	2
	40
	12,676 ± 0,1
	1,267
	0,789
	3
	60
	15,192 ± 0,1
	1,519
	0,658
	4
	80
	17,588 ± 0,1
	1,759
	0,568
	5
	100
	19,694 ± 0,1
	1,969
	0,507
Tabela 4
Período versus Comprimento do Fio
Visto que o período do pêndulo é diretamente proporcional ao comprimento do fio, e a frequência é inversamente proporcional ao período, resultará que a frequência será inversamente proporcional ao comprimento do fio. Logo a frequência diminuirá quando o comprimento do fio aumentar.
Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, calculamos o valor de g:
y = b + ax
T= 2π
log T = log (2π)
log T = log2π + log ()
log T = log2π + log ()
log T = log2π + (log l – log g)
b = log2π - log g
b = log2π - a log g
log T = y e log l = x
Comprimento:
1-20 cm = 0,20m 	log 0,20 = -0,699
2- 40 cm = 0,40 m	 log 0,40 = -0,398
3- 60 cm = 0,60 m 	log 0,60 = -0,221
4- 80 cm = 0,80 m	 log 0,80 = -0,096
5- 100 cm = 1m		 log 1 = 0
Período:
1-0,919		log 0,919= -0,037
2- 1,26s	 	log 1,267 = 0,103
3- 1,51s	 	log 1,519 = 0,181
4- 1,78s 		log 1,759 = 0,245
5- 1,96s		 log 1,969 = 0,294
A= [5*(-0,0654) - (-1,414*0,786)] / [5*(0,705) – (1,414)²]
A=[-0,327 + 1,111]/[3,525-1,999]
A=(0,784/1,526)
A=0,513
B=[(0,786*0,705) - (-1,414*-0,0654)]/ [5*(0,705) – (1,414)²]
B=[0,554 – 0,092/[3,525-1,999]
B=(0,462/1,526)
B=0,302B = log2pi – A*log g
0,302 = 0,798 – 0,513*log g
-0,496 = -0,513*log g
0,966 = log g
g = 9,24 m/s²
A = nΣ(xi*yi) – Σxi*Σyi
 nΣ(xi²) – (Σxi)²
B = Σyi*Σxi² - Σxi*Σ(xi*yi)
 nΣ(xi²) – (Σxi)²
O valor da aceleração da gravidade obtido foi de g=9,24m/s², chegando a 94% do valor comum. O que mostra também, a eficiência do método dos mínimos quadrados.
Parte 3
Foi medido o intervalo de tempo que a régua gasta, para realizar 10 oscilações completas.
	
	Distancia do ponto O para o centro de massa
	Tempo de 10 oscilações
	Períodos
	1
	D1 = 18,3
	9,30 +- 0,1
	0,93
	2
	D2 = 9,3
	8,51 +-0,1
	0,85
Tabela 5
	Pendulo Físico 
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	9,16 ± 0,1
	9,38 ± 0,1
	9,37 ± 0,1
	9,37 ± 0,1
	9,25 ± 0,1
	0,0976
	15º
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo 4 (s)
	Tempo 5 (s)
	Desvio P.
	
	8,35 ± 0,1
	8,47 ± 0,1
	8,53 ± 0,1
	8,50 ± 0,1
	8,75 ± 0,1
	0,1456
Como T=2𝜋√𝐼𝑚𝑔𝑑 , utilizaremos a formula para encontrar o momento de inercia da régua nos determinados períodos encontrados no decorrer do experimento.
Utilizando a massa da régua igual a (40 ± 3)g = 0,04kg
Para o furo grande da régua (d=18,3) encontramos I=1,333X10-²
Para o furo pequeno da régua (d=9,3) encontramos I=0,066*10-²
Encontramos o momento de inércia para ambos os casos usando os dados da tabela, sendo eles o período em segundos, à distância em cm, a massa em kg e o tempo de 10 oscilações, aplicando na fórmula com os dados do furo maior e furo menor da régua, encontramos dois momentos de inércias diferentes.
Conclusão
Referências
Young, Hung, D., Física II: Termodinâmica e Ondas/ Hung D. Young., Roger A Freedman; tradução e revisão técnica: Adir Moysés Luiz; 1ª edição – São Paulo; Person Addison Wesley, 2003.
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php. (Acessado em 15/07/2017 às 20:34).
http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.htm (Acessado em 15/07/2017 às 21:01).