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Capítulo 8 - Cinemática linear

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legenda é: FIGURA 8-
34. Condições durante o vôo do peso. As condições iniciais são: v = 13,3m/s; 
ângulo de projeção = 40°; e altura de projeção = 2,2m. 
 
 Lembre-se que, para encontrar a amplitude de um projétil, é preciso 
conhecer a velocidade horizontal e a extensão de tempo que o peso ficou no 
ar. O problema pode ser resolvido em sete passos, utilizando equações de 
aceleração constante. 
 Passo 1. Calcule as velocidades iniciais vertical e horizontal. (Use o 
Apêndice E para os valores de seno e cosseno). 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v x = v * cos θ teta 
= 13,3m/s * cos 40° 
= 13,3m/s * 0,766 
= 10,19m/s 
v y = v * sen θ teta 
= 13,3m/s * sem 40° 
= 13,3m/s * 0,643 
= 8,55m/s 
 
 Passo 2. Use a primeira equação de aceleração constante para calcular o 
tempo necessário para o projétil alcançar o ápice de sua trajetória. Como é 
necessário calcular o tempo até o ápice, é preciso usar a equação usando a 
velocidade vertical. 
 
[359] 
 
Assim, a aceleração devido à gravidade, a, irá agir, levando a velocidade 
vertical até zero no ápice. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v y = v yi + at subida 
0 = 8,55m/s -9,81m/s2 * t subida 
t subida = 8,55m/s sobre 9,81m/s
2 
t subida = 0,87s 
 
 Passo 3. Use a terceira equação de aceleração constante para calcular a 
altura do ápice da trajetória acima da altura liberada. Lembre-se que a altura da 
trajetória depende da velocidade vertical, a aceleração da gravidade é -
9,81m/s2 e a velocidade vertical no ápice é zero. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v yf2 = v fi2 + 2ay 
0 = (8,55m/s)2 -2 * 9,81m/s2 y subida 
y subida = (8,55m/s)
2 sobre 2 * 9,81m/s2 
y subida = 3,72m 
 
 Passo 4. Calcule a altura total até o ápice da trajetória. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
H = altura da projeção + y subida 
= 2,2m + 3,72m 
= 5,92m 
 
 Passo 5. Calcule o tempo para o projétil atingir o solo a partir do ápice da 
trajetória. Como o projétil irá aterrissar em um nível mais baixo que o ponto de 
liberação, então o tempo para o projétil alcançar o ápice da trajetória precisará 
ser menor que o tempo para o projétil alcançar o solo a partir do ápice. O 
tempo de descida, t descida, pode ser calculado usando a segunda equação de 
aceleração constante. Nessa equação, observe que o deslocamento é 
negativo, já que mede a distância do ápice descendo até o solo. Além disso, a 
velocidade vertical inicial do vôo para baixo é zero. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
y = v i t + 1 sobre 2 at
2 
-5,92m = 0 + 1 sobre 2 * -9,81m/s2 * t descida
2 
-t descida = raiz quadrada 2 * 5,92m sobre -9,81m/s
2 
 
 Como o tempo não pode ser negativo, cada lado desta equação precisa 
ser multiplicado por -1 resultando no seguinte: 
t descida = 1,10s 
 Passo 6. Calcule o tempo total que o projétil fica no ar somando o tempo 
que o projétil leva para atingir o ápice da trajetória com o tempo que o projétil 
leva para atingir o solo a partir do ápice. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
T total = t subida + t descida 
= 0,87s + 1,10s 
= 1,97s 
 
 Passo 7. Calcule o alcance do projétil. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
Alcance = v x * T total 
= 10,19m/s * 1,97s 
= 20,07m 
 
 A distância que o peso percorreu nessas condições é de 20,1m. Em nossa 
discussão inicial de projéteis e equações de aceleração constante, a 
resistência do ar foi desconsiderada. A matemática para considerar a 
resistência do ar sai fora do escopo deste livro, já que requer a resolução de 
equações diferenciais. Contudo, pode ser interessante saber que se estas 
condições iniciais tivessem sido usadas para resolver este problema levando 
em conta a resistência do ar, seria encontrada uma redução de 1,46% no 
alcance do arremesso. Considerando a resistência do ar, o arremesso teria 
0,3m a menos, ou um total de 19,8m. 
Resumo do Capítulo 
 A biomecânica é uma disciplina quantitativa. Um tipo de análise 
quantitativa envolve a cinemática linear. Cinemática linear é o estudo do 
movimento linear com respeito ao tempo, e envolve as quantidades vetoriais de 
posição, velocidade e aceleração, assim como as quantidades escalares de 
deslocamento e velocidade. A velocidade vetorial é definida como tempo 
decorrido para mudança de posição e é calculada em biomecânica usando o 
método da primeira diferença central que se segue: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v = s i+1 -s i -1 sobre 2 Δ delta t 
 
 A aceleração é definida como a freqüência de mudança da velocidade no 
tempo e é calculada como: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
a = v i+1 -v i -1 sobre 2 Δ delta t 
 
 O processo para calcular a velocidade vetorial a partir de posição e tempo 
ou calcular aceleração a partir de velocidade e tempo é chamado 
diferenciação. Calcular a derivada pela diferenciação implica encontrar a 
inclinação de uma linha tangente com a curva parâmetro-tempo. O processo 
oposto de diferenciação é chamado de integração. A velocidade pode ser 
calculada como a integral de aceleração e a posição como integral de 
velocidade. 
 
[360] 
 
Integração implica o cálculo da área sob a curva parâmetro-tempo. O método 
para calcular a área sob uma curva parâmetro-tempo é chamado de somatória 
de Riemann. 
 O movimento de um projétil envolve um objeto que sofre uma aceleração 
constante por ser uniformemente acelerado pela gravidade. O vôo de um 
projétil, sua altura e distância, são afetadas pelas condições no ponto de 
liberação: o ângulo de projeção, a velocidade de projeção e a altura relativa da 
projeção. Existem três equações que governam a aceleração constante. A 
primeira expressa a velocidade final, v f, como uma função da velocidade 
inicial, v i, aceleração, a, e tempo, t. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v f = v i + at 
 
 A segunda equação expressa posição, s, como uma função da velocidade 
inicial, v i, aceleração, a, e tempo, t. Ou seja: 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
s = v i t + 1 sobre 2 at
2 
 
 A terceira equação expressa a velocidade final, v f, como uma função da 
velocidade inicial, v i, aceleração, a, e posição, s. 
 
Nota de revisor: a seguir apresenta-se uma imagem com a seguinte fórmula: 
v f 
2 = v i 
2 + 2as 
 
 Essas equações podem ser usadas para calcular a amplitude de um 
projétil. 
 
[361] 
 
Questões para Revisão 
1. Relacione as dimensões e unidades associadas com as dimensões do 
sistema SI comumente usadas em biomecânica. 
2. Use uma análise dimensional para determinar as unidades dos seguintes 
parâmetros cinemáticos. 
a) velocidade escalar; b) posição; c) velocidade vetorial; d) aceleração 
3. Um nadador completa quatro vezes uma piscina de 50m, terminando no 
ponto em que iniciou. a) Qual a distância linear percorrida? b) Qual o 
deslocamento linear? (Resposta: a) 200m; b) 0m.) 
4. Suponha que um indivíduo se move de um ponto s1 (3, 5) até um ponto s2 (6, 
8). Quais os deslocamentos: a) horizontal, b) vertical e c) resultante? 
(Resposta: a) 3 unidades; b) 3 unidades; c) 4,24 unidades.) 
5. Um indivíduo dirige de um ponto A até um ponto B uma distância de 33km 
em 55 minutos. Qual a velocidade escalar média dirigida em m/s? (Resposta: 
10m/s.) 
6. Quando a velocidade é máxima, como você pode descrever a aceleração 
correspondente? 
7. Um corredor inicia o repouso e atinge a velocidade máxima de 4,7m/s em 
3,2s. Qual sua aceleração média do repouso até a velocidade máxima? 
(Resposta: