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Unidade II
LÓGICA
Profa. Adriane Paulieli Colossetti
Relações de implicação e 
equivalência
Implicação lógica
 Dadas as proposições compostas p e q, 
diz-se que ocorre uma implicação lógica 
entre p e q quando a proposição 
condicional (p  q) é uma tautologia.
Implicação Lógica
Os símbolos  e ֜ têm significados 
diferentes:
 O símbolo  realiza uma operação entre 
proposições, dando origem a uma nova 
proposição p  q cuja tabela-verdade 
pode conter tanto V quanto F.
 O símbolo ֜ entre duas proposições 
dadas indica uma relação, isto é, que a 
proposição condicional associada é uma 
tautologia.
Exemplo: Mostrar que (p ^ q) ֜ p
p q p ^ q (p ^ q)  p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Portanto, como (p ^ q)  p é uma 
tautologia, podemos afirmar que 
(p  q)p
Outro exemplo: 
Mostrar que (p ^ q) ֜ q
p q p ^ q (p ^ q)  q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Portanto, como (p ^ q)  q é uma 
tautologia, podemos afirmar que 
(p  q)q
Outro exemplo: 
Mostrar que (p  q) ֜ ¬q 
p q ¬q p  q (p  q)  ¬q
V V F V F
V F V F V
F V F V F
F F V V VF F V V V
Portanto, (p  q) não é implicação 
lógica de ¬q, pois não é uma tautologia, 
mas sim uma contingência.
Interatividade 
Quais das proposições abaixo podemos 
afirmar que são implicações lógicas?
a) (¬p ^ q) e ¬q 
b) (p ^ ¬q) e (¬p ^ q)
c) (p v ¬q) e (¬p  q)c) (p v ¬q) e (¬p  q)
d) (¬p ^ ¬q) e ¬p
e) NDA
Equivalência lógica
 Dadas as proposições compostas p e q, 
diz-se que ocorre uma equivalência 
lógica entre p e q quando suas tabelas-
verdade forem idênticas.
 Notação: p ≡ q ou p ֞ q (lê-se: “p é 
equivalente a q”). Intuitivamente, 
proposições logicamente equivalentes 
transmitem a mesma informação, a 
mesma idéia, a partir das mesmas 
proposições componentes.
Exemplo: Mostrar que 
(p  q) ^ (q  p) e p  q são “֞”
p q p  q q  p (p  q) ^ (q  p) p q
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
São equivalentes, pois o resultado foi igual 
para ambas proposições compostas e se 
aplicarmos a operação bicondicional entre as 
proposições aqui estudadas, veremos que o 
F F V V V V
resultado será uma tautologia.
Mais um exemplo:
Mostrar que (p ^ q) ֞ ¬ (¬p v ¬q)
A B ¬B
p q p ^ q ¬p ¬q ¬p v ¬q ¬(¬p v ¬q) A ↔¬B
V V V F F F V V
V F F F V V F V
F V F V F V F V
(p ^ q) é equivalência lógica (֞ ou ≡) de ¬ 
(¬p v ¬q), pois o resultado das duas 
proposições compostas são idênticas, além 
F V F V F V F V
F F F V V V F V
p p ç p ,
de ser uma tautologia na operação 
bicondicional.
Mais um exemplo:
Mostrar que (¬p v ¬q) ֞ (p v q)
A B
p q ¬p ¬q ¬p v ¬q p v q A ↔ B
V V F F F V F
V F F V V V V
F V V F V V V
F F V V V F F
(¬p v ¬q) não é equivalência lógica (֞ ou ≡)
de (p v q), pois o resultado das duas 
proposições compostas não são idênticas, 
além de não ser uma tautologia na 
F F V V V F F
operação bicondicional.
Outro exemplo:
Mostrar que (p v q) v (p ↔q) ֞(p v q)
A B C
p q p v q p ↔ q A v B C ↔ A
V V V V V V
V F V F V V
F V V F V V
(p v q) v (p ↔q) não é equivalência lógica 
(֞ ou ≡) de (p v q), pois o resultado das 
duas proposições compostas não são 
idênticas, além de não ser uma tautologia 
F F F V V F
na operação bicondicional.
Interatividade 
Q i d i õ b i dQuais das proposições abaixo podemos 
afirmar que são equivalências lógicas e 
também implicações lógicas ao mesmo 
tempo?
1. (p ^ q) e q
2. ¬(p ^ q) e (¬p v ¬q)
3. (¬p v q) e (p  q)
4. (p v q) e ¬q
a) 1 e 2;
b) 1 e 3;
c) 3 e 4;
d) 2 e 3;
e) NDA.
Argumento válido
É j t d i d É um conjunto de enunciados que 
possuem certa relação, e faz-se 
necessário que ao menos um deles seja 
apresentado como uma tese ou uma 
conclusão, e os demais como justificativa 
dessa tese ou premissas para adessa tese, ou premissas para a 
conclusão. Os argumentos são utilizados 
para provar a validade ou a invalidade do 
argumento. Assim sendo, as proposições 
abaixo não são argumentos válidos:
 todos os combustíveis evaporam natodos os combustíveis evaporam na 
mesma proporção;
 logo, vale a pena levar o cachorro ao pet 
shop.
Continuação de argumento válido
Agora, observe no exemplo abaixo os
seguintes argumentos:
 Todos os homens são mortais;
 Sócrates é homem;
logo Sócrates é mortallogo, Sócrates é mortal.
Nesse caso, há uma argumentação válida,
em que todas as premissas são verdadeiras
e a conclusão também.
Argumento válido e inválido
O argumento apresenta uma estrutura 
própria, como no exemplo anterior:
 todos os x são y;
 z é x;
logo, z é y.logo, z é y.
Continuação de Argumento válido e 
inválido
Agora, tomemos como base o argumento 
abaixo, que apresenta uma estrutura 
idêntica à do exemplo anterior:
 Todas as mulheres são analfabetas;
 Monteiro Lobato é mulher;Monteiro Lobato é mulher;
 Logo, Monteiro Lobato é analfabeto.
Nesse caso, o argumento acima tem 
premissas e conclusão falsas. Porém, esse 
argumento possui a mesma estrutura do 
argumento do exercício anterior o queargumento do exercício anterior, o que 
significa que também é valido, mas não 
significa que é verdadeiro.
Argumento verdadeiro e falso
O t é álid d t dO argumento é válido quando toda a 
estrutura de suas premissas for válida, 
assim como a conclusão. Porém, ser válido 
não é o mesmo que ser verdadeiro. A 
estrutura do argumento pode estar correta, 
mas o argumento ser um absurdo conformemas o argumento ser um absurdo, conforme 
o exemplo abaixo:
 Todas as mulheres são analfabetas;
 Monteiro Lobato é mulher;
 Logo, Monteiro Lobato é analfabeto.
Interatividade 
Podemos afirmar que para os argumentos 
abaixo:
 Todas as baleias são mamíferas;
 As pessoas são mamíferas.
 Logo: Logo:
a) Todas as baleias são pessoas.
b) Todas as pessoas são baleias.
c) Todos os mamíferos são baleias.
d) Todos os mamíferos são pessoasd) Todos os mamíferos são pessoas.
e) NDA
Técnicas dedutivas
A i li õ i lê i fAs implicações e equivalências foram 
demonstradas pelo “método das tabelas-
verdade”. Agora, será abordado o “método 
dedutivo”, que, apoiado na “álgebra 
proposicional”, observa as proposições 
compostascompostas. 
Exemplo
 c ֜ p;
 p ֜ t,
onde p é uma proposição qualquer e c e t
são proposições cujos valores lógicos 
respectivos são F (Falso) e V (Verdade).respectivos são F (Falso) e V (Verdade).
 c → p ֞ ¬ c ש p ֞ t ש p ֞ t
 p → t ֞ ¬ p ש t ֞ t.
A tabela-verdade de c → p e p → t mostra 
que essas condições são tautologia:
Tabela-verdade de c ֜ p e p ֜ t
p c ¬c t c  p ¬c v p t v p
V F V V V V V
F F V V V V V
c → p ֞ ¬c ש p ֞ t ש p ֞ t
F F V V V V V
p ¬p t p  t ¬p v t
p → t ֞ ¬p ש t ֞ t.
V F V V V
F V V V V
Outro exemplo: Verificar se 
 c ֜ p;
onde p é uma proposição qualquer e c é 
proposição cujo valor lógico é F (Falso).
 c → p
p c c  p
V F V
F F V
Interatividade 
Qual é o resultado da expressão: 
p → t ֞ ¬p ש t ֞ t, 
sabendo que os valores lógicos de p são F 
(falsos) e de t é uma proposição qualquer.
a) V Va) V, V
b) F, V
c) F, F
d) V, F
e) NDAe) NDA
ATÉ A PRÓXIMA!