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Formulário TC FTP 1 Mecanismos de transferência de calor Condução Potência calor: !Q cond = kA T 1 ! T 2 ! x k: condutibilidde térmica; A: área de transferência ∆x: espessura ao longo da condução T 1 ! T 2 : diferença de temperatura Lei de Fourier da condução 1D: !Qcond = !kA dT dx 3D: !q = -k!T Difusividade térmica: ! = k "C p ! : massa volúmica cp - calor específico a pressão constante cv - calor específico a volume constante Calor específico dh = CpdT du = CvdT h: entalpia u: energia interna Materiais incompressíveis: Cp ! Cv ! C Número de Prandtl: Pr = ! " = Cpµ k ! : viscosidade cinemática ou difusividade de quantidade de movimento µ : viscosidade dinâmica Número de Péclet: Pe = RePr = VL ! Re: número de Reynolds V: velocidade característica do escoamento L: dimensão característica do escoamento Convecção Potência calor: !Qconvecção = hAs Ts !T"( ) h: coeficiente de transferência de calor por convecção A s : área de transferência T s : temperatura da superfície T ! : temperatura do fluido longe da superfície Radiação de corpo negro Potência calor máxima: Lei de Stefan- Boltzmann para radiação de um corpo negro !Qrad ,max = !AsTs 4 ! : constante de Stefan- Boltzmann = 5.67 !10"8 W/(m2K4 ) A s : área da superfície T s : temperatura absoluta da superfície [K] Lei de Kirchhof: ! T ,"( ) = # T ,"( ) ! : coeficiente de absorção ! : coeficiente de emissão ! : comprimento de onda da radiação Radiação de um corpo real !Qrad = !"AsTs 4 ! : emissividade Resistencias térmicas Resistência térmica de condução: Rconducção = L kA Resistência térmica de convecção: R conv = 1 hA s Resistência térmica de radiação: R rad = 1 h rad A s hrad = !Qradiação As Ts !Tenvol( ) = "#As Ts 2 +Tenvol 2( ) Ts +Tenvol( ) Fluxo de calor: !Q = T 1 !T 2 R R: resistência térmica Lei de Kirchoff para resistências em série R total = R i i ! Lei de Kirchoff para resistências em paralelo 1 R total = 1 R ii ! Formulário TC FTP 2 Resistência de condução em camada cilíndrica R cil = ln r 2 r 1( ) 2!Lk r 1 : raio interior; r 2 : raio exterior L: comprimento do cilindro k: condutibilidade térmica Resistência de condução em camada esférica Resf = r 2 ! r 1 4"r 1 r 2 k r 1 : raio interior; r 2 : raio exterior k: condutibilidade térmica Raio crítico de isolamento (num cilindro): r cr ,cil = k h k: condutibilidade térmica h: coeficiente de convecção Raio crítico de isolamento (numa esfera): rcr ,esf = 2k h k: condutibilidade térmica h: coeficiente de convecção Resistência térmica de contacto Condutância térmica de contacto (h c ) hc = !Q A !T interface Resistência térmica de contacto (R c ) Rc = 1 hc = !T interface !Q A Condutância térmica de contacto de diversas superfícies metálicas em ar Material Condição da superfície Rugosidade [µm] Temperatura [°C] Pressão [MPa] h c [W/m2.°C] Pares metálicos iguais Aço inox 416 Aço inox 304 Alumínio Cobre Cobre Cobre Cobre (vácuo) Polido Polido Polido Polido Maquinado Maquinado 2.54 1.14 2.54 1.27 3.81 0.25 90-200 20 150 20 20 30 0.17-2.5 4-7 1.2-2.5 1.2-20 1-5 0.17-7 3800 1900 11400 143000 55500 11400 Pares de materiais diferentes Aço inóx- alumínio 20-30 20 10 20 2900 3600 Aço inox- aluminio 1.0-2.0 20 10 20 16400 20800 Aço Ct 30-Alumínio polido 1.4-2.0 20 10 15-35 50000 59000 Aço Ct 30-Alumínio maquinado 4.5-7.2 20 10 30 4800 8300 Alumínio- cobre polido 1.17-1.4 20 5 15 42000 56000 Alumínio- cobre maquinado 4.4-4.5 20 10 20-35 12000 22000 Condutância térmica de contacto para placas de alumínio com diferentes fluidos na interface. Rugosidade de 10 µm e pressão na atmosfera de 1 atm Fluido na interface Condutância térmica, [W/m2.°C] Ar Hélio Hidrogénio Ólea de silicone Glicerina 3640 9520 13900 19000 37700 Formulário TC FTP 3 Convecção forçada Número de Nusselt: Nu = hLc k L c : comprimento característico Escoamento sobre placa paralela com temperatura da superfície Ts Laminar: Nusselt local Nu x = h x x k = 0.332Re x 0.5 Pr 1/3 Pr > 0.60 Turbulento: Nusselt local Nu x = h x x k = 0.0296Re x 0.8 Pr 1/3 0.6≤Pr≤60 5x105 ≤ Re ≤ 107 Laminar: Nusselt médio Nu = hL k = 0.664Re L 0.5 Pr 1/3 Re L < 5 !10 5 Turbulento: Nusselt médio Nu = hL k = 0.037Re L 0.8 Pr 1/3 0.6≤Pr≤60 5x105 ≤ Re ≤ 107 Turbulento: Nusselt médio corrigido para zona inicial laminar Nu = hL k = 0.037Re L 0.8 ! 871( )Pr1/3 0.6≤Pr≤60 5x105 ≤ Re ≤ 107 Válido para metais líquidos: Nu x = 0.565 Re x Pr( ) 1/2 Pr< 0.05 Equação geral para qualquer fluido (equação de Churchill e Ozoe): Nu x = h x x h = 0.3387Pr 1/3 Re x 1/2 1+ 0.0468 Pr( ) 2 /3! " # $ 1/4 Escoamento sobre placa paralela com fluxo de calor constante na parede Laminar: Nusselt local Nu x = 0.453Re x 0.5 Pr 1/3 Turbulento: Nusselt local Nu x = 0.0308Re x 0.8 Pr 1/3 Laminar: Nusselt médio Nu L = 0.906Re L 0.5 Pr 1/3 Turbulento: Nusselt médio Nu L = 0.0385Re L 0.8 Pr 1/3 Placa plana com comprimento inicial (! ) não aquecido (início de camada limite térmica em x = ! )- Temperatura da parede constante (Ts na zona aquecida) ou Fluxo de calor constante Laminar: Nusselt local Nu x = Nu x (para !=0) 1- ! x( ) 3/4" # $ % 1/3 Turbulento: Nusselt local Nu x = Nu x (para !=0) 1- ! x( ) 9 /10" # $ % 1/9 Laminar: médio em toda a placa h = 2 1! " x( ) 3/4# $ % & 1!" L h x=L Turbulento: médio em toda a placa (placa 100% turbulenta) h = 5 1! " x( ) 9 /10# $ % & 4 1!" L( ) h x=L Escoamento em torno de cilindros e esferas 1) Escoamento cruzado em torno de um cilindro de secção circular com paredes lisas Nu cil = hD k = 0.3+ 0.62Re 1/2 Pr 1/3 1+ 0.4 Pr( ) 2 /3! " # $ 1/4 1+ Re 282000 % & ' ( ) * 5 /8! " + + # $ , , 4 /5 para RePr > 0.2 e propriedades do fluido à temperatura do filme, Tf = T ! +Ts 2 . Formulário TC FTP 4 2) Escoamento em torno de uma esfera de paredes lisas Nu = hD k = 2 + 0.4Re 1/2 + 0.06Re 2/3!" #$Pr 0.4 µ% µ s & ' ( ) * + 1/4 para 3.5≤ Re ≤ 80000 e 0.7 ≤ Pr ≤ 380 Propriedades do fluido à temperatura T ! , excepto para µ s calculado a T s . 3) Escoamento cruzado em torno de cilindros com várias secções e propriedades à temperatura do filme Nu = hD k = CRe m Pr 1/3 Secção transversal do cilindro Fluido Gama de Re Parâmetros C e m Circular Gás ou líquido 0.4-4 4-40 40-4000 4000-40000 40000-400000 C= 0.989; m= 0.330 C= 0.911; m= 0.385 C= 0.683; m= 0.466 C= 0.193; m= 0.618 C= 0.027; m= 0.805 Quadrado Gás 5000- 100000 C= 0.102; m= 0.675 Quadrado (rodado 45°) Gás 5000- 100000C= 0.246; m= 0.588 Hexágono Gás 5000-100000 C= 0.153; m= 0.638 Hexágono (rodado 45°) Gás 5000- 19500 19500- 100000 C= 0.160; m= 0.638 C= 0.0385; m= 0.782 Placa vertical Gás 4000-15000 C= 0.228; m= 0.731 Elipse Gás 2500- 15000 C= 0.248; m= 0.612 D D D D D D D Formulário TC FTP 5 Escoamentos em condutas Regime laminar 2300Re <== !µ " vDvD (*) Zona de desenvolvimento térmico: Le D ! 0.06RePr Regime turbulento: 2300Re >== !µ " vDvD (*) Zona de desenvolvimento: Le D ! 4.4Re 1/6 (*) – valor de referência; na prática a transição ocorre para valores de Re entre 2000 e 4000. Fluxo de calor constante na parede !T !x = dTs dx = dT dx = !qsP !mcp = constante Temperatura constante na parede (Tparede ) Variação longitudinal de temperatura Tsaida = Tparede ! Tparede !Tentrada( )exp ! hAparede !mcp " # $$ % & '' Nº de unidades de transferência: NTU = hAparede !mcp Fluxo de calor !Q = hAparede !Tln Diferença de temperatura média logarítmica (!T ln ) !T ln = Tentrada !Tsaida ln Tparede !Tsaida( ) Tparede !Tentrada( )"# $% = !T saida ! !T entrada ln !T saida !T entrada( ) Escoamento laminar em condutas Fluxo de calor constante na parede (conduta circular) Nu = hD k = 4.36 Temperatura constante na parede (conduta circular) Nu = hD k = 3.66 Escoamento numa conduta anelar com uma superfície isotérmica e outra adiabática Nu in = h in D h k ; Nu ext = h ext D h k D int D ext Nu int Nu ext 0 0.05 0.10 0.25 0.50 1.00 - 17.46 11.56 7.37 5.74 4.86 3.66 4.06 4.11 4.23 4.43 4.86 Formulário TC FTP 6 Escoamento laminar em condutas de secção não-circular: Nu = hDh k ; D h = 4A P Geometria da conduta a/b ou ! Nu Tparede = Const. Nu !qparede = Const. Circular - 3.66 4.36 Rectangular a/b 1 2 3 4 6 8 ! 2.98 3.39 3.96 4.44 5.14 5.60 7.54 3.61 4.12 4.79 5.33 6.05 6.49 8.24 Elíptica a/b 1 2 4 8 16 3.66 3.74 3.79 3.72 3.65 4.36 4.56 4.88 5.09 5.18 Triangular ! 10° 30° 60° 90° 120° 1.61 2.26 2.47 2.34 2.00 2.45 2.91 3.11 2.98 2.68 Escoamento laminar na região de entrada (temperatura constante na parede) Conduta de secção circular Nu = 3.66 + 0.065 D L( )RePr 1+ 0.04 D L( )RePr!" #$ 2 /3 Escoamento entre 2 placas paralelas Nu = 7.54 + 0.03 D h L( )RePr 1+ 0.016 D h L( )RePr!" #$ 2 /3 (para Re ≤ 2800) a b b a D θ Formulário TC FTP 7 Escoamento turbulento em condutas Condutas de secção circular lisas — Equação de Dittus- Boelter (temperatura e fluxo de calor na parede) Nu = 0.023Re0.8 Prn com n= 0.4 para aquecimento do fluido; n= 0.3 para arrefecimento do fluido (0.7 ≤ Pr ≤ 160 e Re > 4000 e propriedades à temperatura média do fluido Segunda equação de Petukhov (para condutas lisas e rugosas) (analogia de Chilton- Colburn) Nu = f 8 Re!1000( )Pr 1+12.7 f 8 " # $ % & ' 0.5 Pr 2/3!1( ) (0.5 ≤ Pr ≤ 2000 e 3 x 103 < Re < 5 x 106) Metais líquidos (0.004 < Pr < 0.01 e 104 < Re < 106) Nu = 4.8 + 0.0156Re0.85 Prparede0.93 (para Tparede = Const. ) Nu = 6.3+ 0.0167Re0.85 Prparede0.93 (para !qparede = Const. ) Condutas de secção não-circular Usar D h nas equações para condutas de secção circular Condutas de secção anelar (uma parede adiabática) Nu = Nu Dh ! F correctiva F correctiva F int = 0.86 D int D ext ! " # $ % & '0.16 (parede exterior adiabática) F ext = 0.86 D int D ext ! " # $ % & '0.16 (parede interior adiabática) Convecção natural Número de Grashof GrL = g! Tparede "T#( )Lc 3 $ 2 g: aceleração da gravidade ! : coeficiente de expansão volumétrico (! =1 T para gases perfeitos) Número de Rayleigh: Ra =Gr L Pr Convecção natural sobre superfícies Para superfícies verticais com !q s = constante : Nu = hL k = !qsL k TL /2 !T"( ) Geometria Comprimento característico, L c Gama de Ra Nu Placa vertical L 104- 109 109-1012 Toda a gama Nu = 0.59Ra L 1/4 Nu = 0.1Ra L 1/3 Nu = 0.825 + 0.387Ra L 1/6 1+ 0.492 Pr( ) 9 /16! " # $ 8 /27 % & ' ( ' ) * ' + ' 2 L Ts Formulário TC FTP 8 Placa inclinada L Utilizar equações de placas verticais para a superfície superior de uma placa fria e para a superfície inferior de uma placa quente Substituir g por gcos! para Ra <109 Placa horizontal A- área da superfície p- perímetro (a) Superfície superior de placa quente (b) Superfície inferior de placa fria A p 104-107 107-1011 105-1011 Nu = 0.54Ra L 1/4 Nu = 0.15Ra L 1/3 Nu = 0.27Ra L 1/4 Cilindro vertical L Um cilindro vertical pode ser tratado como uma placa vertical quando D ! 35L Gr L 1/4 Cilindro horizontal D Ra D !10 12 Nu = 0.6 + 0.387Ra D 1/6 1+ 0.559 Pr( ) 9 /16! " # $ 8 /27 % & ' ( ' ) * ' + ' 2 Esferas D Ra D !10 11 (Pr ≥ 0.7) Nu = 2 + 0.589Ra D 1/4 1+ 0.469 Pr( ) 9 /16! " # $ 4 /9 D L Superfície quente θ L Ts Ts Superfície quente Ts Ts D Ts Formulário TC FTP 9 Convecção natural de superfícies alhetadas (T s = constante) e circuitos impressos ( !q s = constante) Arrefecimento por convecção natural de superfícies alhetadas (T s = constante) Nu = hS k = 576 Ra S S L( ) 2 + 2.873 Ra S S L( ) 0.5 ! " # # $ % & & '0.5 onde S é o espaçamento entre as alhetas Espaçamento óptimo para alhetas finas (T s = constante) Sopt = 2.714 S 3 L RaS ! " # $ % & 0.25 = 2.714 L RaL 0.25 Arrefecimento por convecção natural de circuitos integrados/ Superfícies alhetadas ( !q s = constante) RaS * = g! !qsS 4 k" 2 Pr Nº de Nusselt no ponto mais quente (borda superior): Nu L = h L S k = 48 Ra S * S L + 2.51 Ra S * S L( ) 0.4 ! " # # $ % & & '0.5 Espaçamento óptimo para placas finas ( !q s = constante): Sopt = 2.12 S 4 L RaS * ! " # $ % & 0.2 Temperatura crítica nas placas (borda superior): !qs = hL TL !T"( ) Convecção natural no interior de espaços confinados Comprimento característico L c = distância entre placas fria e quante Geometria Gama Nu Espaço confinado rectangular horizontal Gases:0.5 < Pr < 2 10 4 < Ra L < 4 !10 5 4 !10 5 < Ra L <10 7 Líquidos aquecidos por baixo 3!10 5 < Ra L < 7 !10 9 Líquidos com Pr moderados e Ra L <10 5 e gases com Ra L <10 8 Nu = 0.195Ra L 1/4 Nu = 0.068Ra L 1/3 Nu = 0.069Ra L 1/3 Pr 0.074 Nu =1+1.44 1! 1708 Ra L " # $ % & ' + + Ra L 1/318 !1 " # $ % & ' + Formulário TC FTP 10 Espaço confinado rectangular inclinado H/L ! cr 1 25° 3 53° 6 60° 12 67° > 12 70° H/L≥12 Ra L <10 5 0 <! < 70° H/L<12 e 0 <! <! cr ! cr <! < 90° 90° <! <180° , qualquer H/L Nu =1+1.44 1! 1708 Ra L cos" # $ % & ' ( + 1! 1708 sin1.8"( ) 1.6 Ra L cos" ) * ++ , - .. + Ra L cos"( ) 1/3 18 !1 # $ % % & ' ( ( + Nu = Nu!=0 Nu!=90 Nu!=0 " # $ % & ' ! ! cr sin! cr( ) ! 4! cr( ) Nu = Nu !=90° sin!( ) 1/4 Nu =1+ Nu !=90° "1( )sin! Espaços rectangulares verticais 1< H L < 2 qualquer Pr Ra L Pr 0.2 + Pr( ) >103 2 < H L <10 qualquer Pr Ra L <10 10 10 < H L < 40 1< Pr < 2 !10 4 10 4 < Ra L <10 10 1< H L < 40 1< Pr < 20 10 6 < Ra L <10 9 Nu = 0.18 Pr 0.2 + Pr Ra L ! " # $ % & 0.29 Nu = 0.22 Pr 0.2 + Pr Ra L ! " # $ % & 0.28 H L ! " # $ % & '1/4 Nu = 0.42Ra L 1/4 Pr 0.012 H L ! " # $ % & '0.3 Nu = 0.46Ra L 1/3 Convecção natural combinada com convecção forçada Gr Re 2 < 0.1 - convecção natural é desprezável; Gr Re2 >10 convecção forçada é desprezável 0.1<Gr Re 2 <10 -deve considerar-se o efeito combinado das convecções forçada e natural Nucombinada = Nu forçada n ± Nunatural n!" #$ 1/n com n= 3 a 4. n= 3 para superfícies verticais, n= 4 para superfícies horizontais
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