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Cap. 4 Análise Bidimensional
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Cap. 4 Análise Bidimensional
Até agora: organizar e resumir informações pertinentes a uma
única variável. Ex: salário, N° filhos, grau de instrução.
Mas frequentemente estamos interessados em analisar o
comportamento conjunto de duas ou mais variáveis aleatórias.
5
Indivíduo X1 X2 … Xj … Xp
1 x11 x12 … x1j … x1p
2 x11 x22 … x2j … x2p
… … … … … … …
i x11 xi2 … xij … xip
… … … … … … …
n x11 xn2 … xnj … xnp
Matriz:
Colunas: Variáveis
Linhas: indivíduos
Total np dados
N°
Estado civil
Grau de instrução
N° de
filhos
Salário
(x sal. mín)
Anos
Meses
Região de
procedência
1
solteiro
ens. fundamental
0
4
26
3
interior
2
casado
ens. fundamental
1
4,56
32
10
capital
3
casado
ens. fundamental
2
5,25
36
5
capital
4
solteiro
ens. médio
0
5,73
20
10
outra
5
solteiro
ens. fundamental
0
6,26
40
7
outra
6
casado
ens. fundamental
0
6,66
28
0
interior
7
solteiro
ens. fundamental
0
6,86
41
0
interior
8
solteiro
ens. fundamental
0
7,39
43
4
capital
9
casado
ens. médio
1
7,59
34
10
capital
10
solteiro
ens. médio
0
7,44
23
6
outra
11
casado
ens. médio
2
8,12
33
6
interior
12
solteiro
ens. fundamental
0
8,46
27
11
capital
13
solteiro
ens. médio
0
8,74
37
5
outra
14
casado
ens. fundamental
3
8,95
44
2
outra
15
casado
ens. médio
0
9,13
30
5
interior
16
solteiro
ens. médio
0
9,35
38
8
outra
17
casado
ens. médio
1
9,77
31
7
capital
Tabela 2.1
6
Objetivo: explorar relações (similaridades) entre as colunas, ou
algumas vezes entre as linhas.
A distribuição conjunta de frequências será um instrumento
poderoso para a compreensão do comportamento dos dados.
Podemos ter dois (ou mais conjuntos de dados provenientes) da
observação da mesma variável. Ex: {x1,..., xn} e {y1,..., yn}.
7
8
N°
Estado
civil
Sc
1
casado
4,56
2
casado
5,25
3
casado
6,66
4
casado
7,59
5
casado
8,12
6
casado
8,95
7
casado
9,13
8
casado
9,77
9
casado
9,8
10
casado
11,06
11
casado
12,79
12
casado
13,23
13
casado
13,6
14
casado
14,69
15
casado
14,71
16
casado
15,99
17
casado
16,61
18
casado
17,26
19
casado
19,4
20
casado
23,3
N°
Estado
civil
Ss
1
solteiro
4
2
solteiro
5,73
3
solteiro
6,26
4
solteiro
6,86
5
solteiro
7,39
6
solteiro
7,44
7
solteiro
8,46
8
solteiro
8,74
9
solteiro
9,35
10
solteiro
10,53
11
solteiro
10,76
12
solteiro
11,59
13
solteiro
12
14
solteiro
13,85
15
solteiro
16,22
16
solteiro
18,75
ss = 9,87 salários; dp(Ss ) = 3,81 salários.
sc =12,12 salários; dp(Sc ) = 4, 79 salários.
Ex: comparar o salário
dos funcionários solteiros
e casados.
Variável S: Salário (x sal.
mín).
Reordenando os dados,
separamos os dados dos
dois grupos.
Exemplo:
Quando consideramos duas variáveis (ou conjunto de dados),
podemos ter três situações:
a) As duas variáveis são qualitativas;
b) As duas variáveis são quantitativas (exemplo anterior); e
c) Uma variável é qualitativa e outra é quantitativa.
As técnicas de análise de dados nas três situações são diferentes.
Contudo, em todas as situações, o objetivo é encontrar as
possíveis relações ou associações entre as duas variáveis.
9
Analisar o comportamento das variáveis Y: grau de instrução e V:
região de procedência.
A linha dos totais fornece a distribuição da variável Y, ao passo
que a coluna dos totais fornece a distribuição da variável V.
As distribuições assim obtidas são chamadas de distribuições
marginais, enquanto a Tabela constitui a distribuição conjunta de Y
e V.
10
Ens. Fundamental
Ens. Médio
Ens. Superior
Total
Capital
4
5
2
11
Interior
3
7
2
12
Outra
5
6
2
13
Total
12
18
6
36
V Y
Tabela 4.2
Podemos construir tabelas com as frequências relativas (fi).
Existem três possibilidades:
a) Em relação ao total geral;
b) Em relação ao total de cada linha;
c) Ou em relação ao total de cada coluna.
De acordo com o objetivo do problema em estudo, uma delas será
a mais conveniente.
11
12
Ens. Fundamental
Ens. Médio
Ens. Superior
Total
Capital
11%
14%
6%
31%
Interior
8%
19%
6%
33%
Outra
14%
17%
6%
36%
Total
33%
50%
17%
100%
V Y
Tabela 4.3
Ens. Fundamental
Ens. Médio
Ens. Superior
Total
Capital
33%
28%
33%
31%
Interior
25%
39%
33%
33%
Outra
42%
33%
34%
36%
Total
100%
100%
100%
100%
V Y
Tabela 4.4
Tabela 4.3 apresenta a distribuição conjunta das frequências
relativas, expressas como proporções do total geral.
Tabela 4.4 apresenta a distribuição conjunta das proporções em
relação ao total de colunas.
13
Exercício: Utilizando os dados das Tabelas 4.2, 4.3 e 4.4:
a) Qual a porcentagem de funcionários que têm o ensino médio?
b) Qual a porcentagem daqueles que têm o ensino médio e são do
interior?
c) Dentre os funcionários do interior, quantos por cento têm o
ensino médio?
14
N°
Estado
civil
Grau
de
rução
N°
de
filhos
Salário
(x
sal.
mín)
Anos
Meses
Região
de
procedência
1
solteiro
ens.
fundamental
0
4
26
3
interior
2
casado
ens.
fundamental
1
4,56
32
10
capital
3
casado
ens.
fundamental
2
5,25
36
5
capital
4
solteiro
ens.
médio
0
5,73
20
10
outra
5
solteiro
ens.
fundamental
0
6,26
40
7
outra
6
casado
ens.
fundamental
0
6,66
28
0
interior
7
solteiro
ens.
fundamental
0
6,86
41
0
interior
8
solteiro
ens.
fundamental
0
7,39
43
4
capital
9
casado
ens.
médio
1
7,59
34
10
capital
10
solteiro
ens.
médio
0
7,44
23
6
outra
11
casado
ens.
médio
2
8,12
33
6
interior
12
solteiro
ens.
fundamental
0
8,46
27
11
capital
13
solteiro
ens.
médio
08,74
37
5
outra
14
casado
ens.
fundamental
3
8,95
44
2
outra
15
casado
ens.
médio
0
9,13
30
5
interior
16
solteiro
ens.
médio
0
9,35
38
8
outra
17
casado
ens.
médio
1
9,77
31
7
capital
18
casado
ens.
fundamental
2
9,8
39
7
outra
15
N°
Estado
civil
Grau
de
instrução
N°
de
filhos
Salário
(x
sal.
mín)
Anos
Meses
Região
de
procedência
18
casado
ens.
fundamental
2
9,8
39
7
outra
19
solteiro
ens.
superior
0
10,53
25
8
interior
20
solteiro
ens.
médio
0
10,76
37
4
interior
21
casado
ens.
médio
1
11,06
30
9
outra
22
solteiro
ens.
médio
0
11,59
34
2
capital
23
solteiro
ens.
fundamental
0
12
41
0
outra
24
casado
ens.
superior
0
12,79
26
1
outra
25
casado
ens.
médio
2
13,23
32
5
interior
26
casado
ens.
médio
2
13,6
35
0
outra
27
solteiro
ens.
fundamental
0
13,85
46
7
outra
28
casado
ens.
médio
0
14,69
29
8
interior
29
casado
ens.
médio
5
14,71
40
6
interior
30
casado
ens.
médio
2
15,99
35
10
capital
31
solteiro
ens.
superior
0
16,22
31
5
outra
32
casado
ens.
médio
1
16,61
36
4
interior
33
casado
ens.
superior
3
17,26
43
7
capital
34
solteiro
ens.
superior
0
18,75
33
7
capital
35
casado
ens.
médio
2
19,4
48
11
capital
36
casado
ens.
superior
3
23,3
42
2
interior
16
Exercício:
X: número de empregos
nos últimos dois anos.
Y: salário mais recente
em número de salários
mínimos.
Indivíduo
X
Y
1
1
6
2
3
2
3
2
4
4
3
1
5
2
4
6
2
1
7
3
3
8
1
5
9
2
2
10
3
2
11
2
5
12
3
2
13
1
6
14
2
6
15
3
2
16
4
2
17
1
5
18
2
5
19
2
1
20
2
1
Indivíduo
X
Y
21
2
4
22
3
2
23
4
1
24
1
5
25
2
4
26
3
2
27
4
1
28
1
5
29
4
4
30
3
3
31
2
2
32
1
1
33
4
1
34
2
6
35
4
2
36
3
1
37
1
4
38
3
2
39
2
3
40
2
5
17
a) Usando a mediana, classifique os
indivíduos em dois níveis, alto e
baixo, para cada uma das variáveis,
e construa a distribuição de
frequências conjunta das duas
classificações.
md(X) =
x n
2
!
"
#
$
%
&
+ x n
2+1
!
"
#
$
%
&
2 =
x 20
2
!
"
#
$
%
&
+ x 21
2 +1
!
"
#
$
%
&
2 =
2+ 2
2 = 2
md(Y ) =
y n
2
!
"
#
$
%
&
+ y n
2+1
!
"
#
$
%
&
2 =
y 20
2
!
"
#
$
%
&
+ y 21
2 +1
!
"
#
$
%
&
2 =
2+3
2 = 2,5
i
xi
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
10
2
11
2
12
2
13
2
14
2
15
2
16
2
17
2
18
2
19
2
20
2
i
xi
21
2
22
2
23
2
24
3
25
3
26
3
27
3
28
3
29
3
30
3
31
3
32
3
33
3
34
3
35
4
36
4
37
4
38
4
39
4
40
4
18
Indivíduo
X
Y
Classificação
1
1
6
baixo;
alto
13
1
6
baixo;
alto
8
1
5
baixo;
alto
17
1
5
baixo;
alto
24
1
5
baixo;
alto
28
1
5
baixo;
alto
37
1
4
baixo;
alto
32
1
1
baixo;
baixo
14
2
6
alto;
alto
34
2
6
alto;
alto
11
2
5
alto;
alto
18
2
5
alto;
alto
40
2
5
alto;
alto
3
2
4
alto;
alto
5
2
4
alto;
alto
21
2
4
alto;
alto
25
2
4
alto;
alto
39
2
3
alto;
alto
9
2
2
alto;
baixo
31
2
2
alto;
baixo
Indivíduo
X
Y
Classificação
6
2
1
alto;
baixo
19
2
1
alto;
baixo
20
2
1
alto;
baixo
7
3
3
alto;
alto
30
3
3
alto;
alto
2
3
2
alto;
baixo
10
3
2
alto;
baixo
12
3
2
alto;
baixo
15
3
2
alto;
baixo
22
3
2
alto;
baixo
26
3
2
alto;
baixo
38
3
2
alto;
baixo
4
3
1
alto;
baixo
36
3
1
alto;
baixo
29
4
4
alto;
alto
16
4
2
alto;
baixo
35
4
2
alto;
baixo
23
4
1
alto;
baixo
27
4
1
alto;
baixo
33
4
1
alto;
baixo
19
a) Usando a mediana, classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo,
para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequências
conjunta das duas classificações.
b) Qual a porcentagem das pessoas com baixa rotatividade e ganhando
pouco?
c) Qual a porcentagem das pessoas que ganham pouco?
d) Entre as pessoas com baixa rotatividade, qual a porcentagem das que
ganham pouco?
e) A informação adicional dada em (d) alterou significativamente a
porcentagem observada em (c)? O que isso significa?
Baixo
Alto
Total
Baixo
1
(2,5%)
7
(17,5%)
8
(20%)
Alto
19
(47,5%)
13
(32,5%)
32
(80%)
Total
20
(50%)
20
(50%)
40
(100%)
Y X
Um dos principais objetivos de se construir uma distribuição
conjunta de duas variáveis qualitativas é descrever a associação
entre elas.
Queremos descobrir o grau de dependência entre elas.
De modo que possamos prever melhor o resultado de uma delas
quando conhecemos a realização da outra.
Ex: se quisermos estimar qual a renda média de uma família, a
informação adicional sobre a classe social a que ela pertence nos
permite estimar com maior precisão essa renda, pois existe uma
dependência entre as duas variáveis: renda familiar e classe
social.
20 Exemplo: Queremos verificar se existe ou não associação entre o
sexo e a carreira escolhida por 200 alunos de Economia e
Administração.
Distribuição conjunta das proporções:
21
Masculino
Feminino
Total
Economia
85 35 120
Administração
55 25 80
Total
140 60 200
Masculino
Feminino
Total
Economia
61% 58% 60%
Administração
39% 42% 40%
Total
100% 100% 100%
Uma vez que as distribuições marginais e as distribuições
conjuntas são próximas, ou seja, seguem a mesma tendência,
podemos afirmar que não existe associação, i.e., dependência
entre as variáveis.
Isto quer dizer que a escolha do curso independe do sexo.
Ex:
22
Masculino
Feminino
Total
Física
100 (71%) 20 (33%) 120 (60%)
Ciências Sociais
40 (29%) 40 (67%) 80 (40%)
Total
140 (100%) 60 (100%) 200 (100%)
Quando existe associação entre variáveis, sempre é interessante
quantificar essa associação.
Quantificação do grau de associação: coeficientes de
associação ou correlação.
Essas são medidas que descrevem, por meio de um único número,
a associação (dependência) entre duas variáveis.
Esses coeficientes usualmente variam entre -1 e +1, e a
proximidade de zero indica falta de associação.
23
Ex. Queremos verificar se a criação de determinado tipo de
cooperativa está associada com algum fator regional.
Valores esperados (assumindo independência)
24
Estado
Tipo
de
CooperaQva
Total
Consumidor
Produtor
Escola
Outras
São
Paulo
214
(33%)
237
(37%)
78
(12%)
119
(18%)
648
(100%)
Paraná
51
(17%)
102
(34%)
126
(42%)
22
(7%)
301
(100%)
R.
G.
do
Sul
111
(18%)
304
(51%)
139
(23%)
48
(8%)
602
(100%)
Total
376
(24%)
643
(42%)
343
(22%)
189
(12%)
1551
(100%)
Estado
Tipo
de
CooperaQva
Total
Consumidor
Produtor
Escola
Outras
São
Paulo
156
(24%)
272
(42%)
142
(22%)
78
(12%)
648
(100%)
Paraná
72
(24%)
127
(42%)
66
(22%)
36
(12%)
301
(100%)
R.
G.
do
Sul
144
(24%)
254
(42%)
132
(22%)
72
(12%)
602
(100%)
Total
376
(24%)
643
(42%)
343
(22%)
189
(12%)
1551
(100%)
Comparando as duas tabelas, podemos verificar discrepâncias
existentes entre os valores observados, e os valores esperados.
A Tabela seguinte apresenta os desvios: valores observados (oi)
menos valores esperados (ei).
Já dentro entre parênteses temos:
25
Estado
Tipo
de
CooperaQva
Consumidor
Produtor
Escola
Outras
São
Paulo
58
(21,56)
-‐35
(4,5)
-‐64
(28,84)
41
(21,55)
Paraná
-‐21
(6,12)
-‐25
(4,92)
60
(54,54)
-‐14
(5,44)
R.
G.
do
Sul
-‐33
(7,56)
50
(9,84)
7
(0,37)
-‐24
(8,0)
(oi − ei )2
ei
(4.1)
Por que utilizar ?
a. A soma total dos resíduos é nula (assim como visto
anteriormente na definição de Medidas de Dispersão).
b. A casela Escola-São Paulo é aquela que apresenta maior desvio.
A casela Escola-Paraná também apresenta desvio alto, mas o
valor esperado é menor. Portanto, se fossemos considerar os
desvios relativos, aquele correspondente ao segundo caso seria
bem maior.
26
(oi − ei )2
ei
Uma medida do afastamento global pode ser dada pela soma de
todas as medidas (4.1).
Assim teríamos:
Um valor grande de χ2 (qui-quadrado) indica associação entre as
variáveis.
27
χ 2 = 21,56+ 6,12+ 7,56+ 4,5+ 4,92+ 9,84+
28,84+ 54,54+ 0,37+ 21,55+ 5, 44+8 =173,24.
Pearson definiu uma medida de associação, chamada coeficiente
de contingência, dada por:
C não varia entre 0 e 1. Para evitar isso, costuma-se definir um
outro coeficiente, dado por
28
χ 2 = 21,56+ 6,12+ 7,56+ 4,5+ 4,92+ 9,84+
28,84+ 54,54+ 0,37+ 21,55+ 5, 44+8 =173,24.
C = χ
2
χ 2 + n =
173,24
173,24+1551 = 0,31697516
T = χ
2 / n
(r −1)(s−1) =
173,24 /1551
(3−1)(4−1) = 0,11
29
B1 B2 … Bj … Bs Total
A1 n11 n12 … n1j … n1s n1.
A2 n21 n22 … n2j … n2s n2.
… … … … … … … …
Ai ni1 ni2 … nij … nis ni.
… … … … … … … …
Ar nr1 nr2 … nrj … nrs nr.
Total n.1 n.2 … n.j … n.s n..
Y
X
χ 2 = Σ
i=1
r
Σ
j=1
s (nij − nij*)2
nij*
Para variáveis quantitativas, podemos utilizar o mesmo
procedimento adotado para variáveis qualitativas, entretanto,
variáveis quantitativas permitem procedimentos analíticos e
gráficos mais refinados.
Ex:
30
Agente
Anos
de
serviço
(X)
Número
de
clientes
(Y)
A
2
48
B
3
50
C
4
56
D
5
52
E
4
43
F
6
60
G
7
62
H
8
58
I
8
64
J
10
72
Um dispositivo bastante útil para se verificar a associação entre
duas variáveis quantitativas, é o gráfico de dispersão.
Neste tipo de gráfico temos os possíveis valores (x, y) na ordem
que aparecem.
31
40
45
50
55
60
65
70
0 2 4 6 8 10
N
ú
m
er
o
d
e
cl
ie
n
te
s
Anos de serviço
Parece haver uma
associação entre as
variáveis, dado que
à medida que o tempo
de serviço aumenta,
aumenta o número de
clientes.
Ex:
X: resultado obtido no teste (máximo = 100 pontos)
Y: tempo, em minutos, necessário para operar a máquina.
32
330
340
350
360
370
380
390
40 50 60 70 80 90 100
Te
m
p
o
Resultado teste
Indivíduo
X
Y
A
45
343
B
52
368
C
61
355
D
70
334
E
74
337
F
76
381
G
80
345
H
90
375
Quantificar a associação entre as variáveis.
Relação linear variando de -1 a +1.
Coeficiente de Correlação Linear.
33
corr(X,Y ) = 1n
xi − x
dp(X)
"
#
$
%
&
'
yi − y
dp(y)
"
#
$
%
&
'
i=1
n
∑ (4.7)
corr(X,Y ) = cov(X,Y )dp(X)dp(Y ) (4.11)
cov(X,Y ) =
(xi − x)(yi − y)
i=1
n
∑
n (4.10)
Ex:
34
Agente
Anos
de
serviço
x
Número
de
clientes
y
zx.zy
A
2
48
-‐3,7
-‐8,5
-‐1,54
-‐1,05
1,61
B
3
50
-‐2,7
-‐6,5
-‐1,12
-‐0,80
0,90
C
4
56
-‐1,7
-‐0,5
-‐0,71
-‐0,06
0,04
D
5
52
-‐0,7
-‐4,5
-‐0,29
-‐0,55
0,16
E
4
43
-‐1,7
-‐13,5
-‐0,71
-‐1,66
1,17
F
6
60
0,3
3,5
0,12
0,43
0,05
G
7
62
1,3
5,5
0,54
0,68
0,37
H
8
58
2,3
1,5
0,95
0,18
0,18
I
8
64
2,3
7,5
0,95
0,92
0,88
J
10
72
4,3
15,5
1,78
1,91
3,41
Total
57
565
0
0
-‐
-‐
8,77
x − x y− y x − xdp(X) = zx
y− y
dp(Y ) = zy
corr(X,Y ) = 8, 7710 = 0,877
35
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-6 -4 -2 0 2 4 6
y
-M
éd
ia
(Y
)
x - Média (X)
-2
-1
0
1
2
3
-2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0
zy
zx
Equação alternativa para calcular o coeficiente de correlação.
36
corr(X,Y ) = xiyi − nxy∑
x2i − nx
2
∑( ) y2i − ny2∑( )
(4.9)
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