Apostila de Física

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APOSTILA DE LABORATÓRIO DE FÍSICA – CENTRO UNIVERSITÁRIO SENAC/SP 
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LABORATÓRIO DE FÍSICA 
 
 
ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA 
 
Organizada pelo Prof. Msc. Marcus Vinícius Russo Loures 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE LABORATÓRIO DE FÍSICA – CENTRO UNIVERSITÁRIO SENAC/SP 
2 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO SENAC/SP – 2013 
PREFÁCIO 
 
 
 Olá queridos alunos 
 
 Este material é produto de pesquisa e objetiva o melhor desenvolvimento de um curso de Mecânica que permita, 
além da aquisição de conceitos básicos de Mecânica Clássica, o desenvolvimento de autonomia do estudante 
universitário de engenharia, estimulando-o à pesquisa e à solução de problemas. 
 O material contém 12 experimentos clássicos de Mecânica, além de alguns fundamentos de tratamento 
estatístico de dados e de teoria de erros. Além disso, também são discutidos, de forma bastante inicial, alguns pontos 
sobre a utilização de gráficos e sobre como preparar um relatório completo de laboratório. 
 Espero que o material auxilie os alunos a cumprirem essa etapa de sua formação inicial dos cursos de 
Engenharia Ambiental e Sanitária e de Engenharia da Computação. Sugestões e comentários serão fundamentais para 
sua perfeita adequação aos cursos mencionados. Tais observações podem ser enviadas para 
marcus.vrloures@sp.senac.br. 
 
Que o semestre seja bastante proveitoso 
 
Prof. Marcus Vinícius Russo Loures 
CENTRO UNIVERSITÁRIO SENAC/SP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Uma introdução ao erro 
 
 Cotidianamente, lidamos com o erro em muitas situações. Ele faz parte constante de nossas vidas. 
Temos acerca dele uma concepção que é, em certo sentido, pejorativa. O erro é algo ruim, que nos distancia 
do certo ou da verdade. Quando fazemos uma prova, lutamos contra o erro. Quando estamos aprendendo 
algo, evitamos errar. 
 Por outro lado, quando tratamos de erros nas ciências experimentais, o significado é outro. O objetivo 
dessa aula é realizar uma introdução sobre o papel do erro no ato de medição e de como podemos lidar com 
ele. É importante que se frise, desde já, que não há qualquer medida isenta de erro e que o ato de medir já 
implica, em si, o agregar de alguma incerteza. Por que isso ocorre? É isso que essas aulas iniciais pretendem 
mostrar. 
 Estudaremos que atenuar a influência de incertezas experimentais em uma medida pode ser feito, não 
apenas com o rigor de medição, mas dispondo de métodos matemáticos que propaguem o erro e o minimizem. 
Trata-se de uma ferramenta valiosa, cujos rudimentos teremos a oportunidade de discutir nessa aula. 
 
2. O erro e seu significado na Teoria de Erros 
 
 Efetuar o tratamento estatístico de um conjunto de medidas é um trabalho cuidadoso. A introdução de 
um “erro” numa medida é uma idéia que precisa ser trabalhada com extrema atenção, pois inúmeras são as 
variáveis que podem introduzir pequenos desvios numa medida. O objetivo dessa aula é avaliar o que vem a 
ser uma medida “verdadeira” ou “errada” e, a partir daí, desenvolver matematicamente um critério que 
possa avaliar a extensão desse erro. 
 
 
Mas o que vem a ser uma medida “certa”? 
 
AULA 1 - INTRODUÇÃO À TEORIA DE ERROS 
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 Avaliar uma medida em “certa” ou “errada” em Teoria de Erros, o ramo da Estatística que se 
encarrega de fazer esse estudo, requer alguns cuidados. O primeiro deles é que não existe uma medida 
“certa” ou “errada”. Por que não? Vejamos que, quando dizemos que algo é certo ou errado, implicitamente 
usamos um padrão, ou seja, para dizermos isso deve haver algo que consideramos certo ou errado. Se 
medimos uma peça de metal e dizemos que seu comprimento de 38cm está certo, isso significa que deve haver 
alguém ou algo, que, em algum momento, realizou uma medida perfeita, aquela da qual não cabe o erro e 
que chamamos de medida certa. 
 Quem é esse alguém ou algo? Na verdade, não existe esse alguém ou algo. Em Estatística, não 
definimos uma medida certa ou errada, mas uma coisa que chamamos de medida verdadeira. Essa medida 
verdadeira é uma medida que se aproxima muito daquele valor que é o ideal, ou o que costumamos chamar 
de certo. 
 Obter essa medida verdadeira não é simples, pois vários fatores influenciam para que uma medida se 
desvie daquele tão esperado valor a que consideramos verdadeiro. 
 
3. Tipos de Erros de uma Medida 
 
 Quando efetuamos uma medida, introduzimos alguns tipos de erros na mesma, por mais apuradas que 
as mesmas sejam. Vejamos os principais tipos de erros que uma medida pode conter: 
 
3.1 – Erros Estatísticos 
 
 Quando realizamos um grupo de medidas e determinamos seu valor médio, este valor representa 
aquele que é melhor representativo deste conjunto. Mas fica uma pergunta: será que este valor médio para 
este pequeno grupo de medidas corresponde àquele que pode ser considerado o valor verdadeiro daquela 
medida? 
 Do ponto de vista da Teoria de Erros, a média será tanto mais próxima que esse valor verdadeiro 
quanto em maior número forem o número de medidas do conjunto. Isso significa que se quisermos obter um 
valor que se aproxime o máximo possível do valor verdadeiro daquela medida, teremos de fazer um número 
muito, mas muito grande de medidas. Estatisticamente, temos que: 
N
n
N
nnn
n
N
i
i
N



 121
 
 
Que é a expressão que permite determinar a média para o conjunto de medidas. A fim de se obter o valor 
verdadeiro, esse número de medidas deve tender ao infinito (

). 
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 Diante da impossibilidade de se fazer infinitas medidas para se obter o valor verdadeiro, pode-se dizer 
que toda medida acaba por se afastar um pouco de ser valor verdadeiro. A esse pequeno desvio da medida, 
em relação ao seu valor verdadeiro é que chamamos de erro estatístico de uma medida. 
 
 
 
3.2 – Erros Sistemáticos 
 
 Estes erros estão relacionados com aspectos instrumentais e/ou ambientais. Vejamos cada um deles: 
 
3.2.1 – Erros Sistemáticos Instrumentais 
 
 Ao realizar uma medida, você certamente usa um instrumento qualquer de medida, por exemplo, uma 
régua. Apesar, de como mencionou-se no item 3.1, não ser possível fazer infinitas medidas para um objeto 
qualquer, digamos que você realize um número bem significativos de uma medida e que, num extremo de 
raciocínio, você tenha feito todas as medidas com um máximo de rigor experimental. Sua medida está um 
primor, certo? 
 O fato é que ela pode estar um primor estatístico, mas uma questão deve ser feita nesse momento: qual 
é a régua que você usa? Quem calibrou essa régua o fez de maneira rigorosa? Suas divisões são boas o 
suficiente para que sejam confiáveis? E se, por um problema no equipamento de calibração, o lote de réguas 
tenha saído de fábrica com todas as divisões alteradas de alguns décimos de milímetro? 
 Observe que mesmo que as medidas tenham sido feitas com bastante cuidado, introduz-se aqui, um 
tipo de erro, que está relacionado ao instrumento de medida utilizado. A esse erro chamamos de erro 
sistemático instrumental. 
 
3.2.2 - Erros Sistemáticos Ambientais 
 
 Você deve estar pensando: vou empenhar-me numa empreitada em que realizo infinitas medidas e 
construo meu equipamento de medida, de modo a evitar ou minimizar o máximo que puder os erros 
sistemáticos instrumentais. Pronto! Agora tenho a medida que éverdadeira. 
 Isso se aproxima da verdade, mas, infelizmente, ainda não é a verdade. Digamos que você tenha 
construído sua própria régua, num dia em que o clima estava ameno, por volta de 20º C. E que você efetuou 
as medidas num dia de inverno intenso, em que a temperatura havia despencado a 5º C. Você já parou para 
pensar que em dias frios, os corpos sofrem contração térmica? Sabe o que isso significa? Que as divisões da 
régua num dia a 20º C são diferentes das divisões da régua a 5º C. Dessa forma, um mesmo objeto, medido 
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num dia a 20º C (lembre-se que também o objeto sofre alteração de seu tamanho com a temperatura) tem 
tamanho diferente num dia a 5º C. 
 Tudo isso introduz na medida um terceiro tipo de erro, o que chamamos de erros sistemáticos 
ambientais. 
 
 
 
 
3.3 – Erros Grosseiros 
 
 Quando falamos de erros, num contexto mais cotidiano, nos referimos, em geral, a erros grosseiros. 
Quando cometemos um erro numa prova de Física ou misturamos algo que não podia ser misturado num 
laboratório de Química, cometemos o que chamamos de erros grosseiros. 
 Em Estatística, um erro grosseiro é um erro que introduz uma na medida uma imprecisão em relação 
ao valor verdadeiro e que é causado por imprudência, mal uso da técnica de realização de uma medida ou 
imprecisão metodológica da medida. Esse tipo de erro deve ser eliminado a qualquer custo de uma medida, 
pois se for mantido, ele reforça os erros estatísticos e sistemáticos, distanciando mais ainda a medida de seu 
valor verdadeiro. 
 
4. Avaliação do erro sistemático de uma medida 
 
 Um erro sistemático é muito difícil ser determinado com precisão, mas tomando-se os cuidados 
necessários (medir com cuidado, controlar variáveis climáticas e fazer uma boa escolha do tipo de 
instrumento de uma medida), pode-se avaliar esse erro de uma maneira mais precisa. 
 Por uma questão de simplicidade, avaliaremos apenas o erro sistemático das medidas efetuadas, de 
modo que: 
 
ãoescalamenordivisosistemátic
2
1

 
 
 
 Assim, consideraremos como erro sistemático inerente a toda medida efetuada com cuidado sempre a 
metade da menor divisão da escala do instrumento. 
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1 – Qual a diferença do significado de “erro” para uma análise de medidas e o que chamamos de erro 
cotidianamente? 
2 – O que é o valor verdadeiro de uma medida e como ele pode ser obtido? 
3 – Quais os principais tipos de erros que uma medida pode ter? 
4 – Dos tipos de erros estudados em aula, dois deles não podem ser eliminados totalmente, visto que são 
inerentes ao processo de medição. Quais são eles? 
5 – Por que um erro sistemático não pode ser eliminado? 
6 – Que cuidados você poderia ter para eliminar um erro sistemático ambiental? 
7 – De onde provém um erro sistemático grosseiro? 
8 – Numa experiência de laboratório, você fez uma medida de temperatura, em ºC, e uma medida com uma 
régua convencional. Quais os valores que podemos atribuir a erros sistemáticos em cada um desses 
instrumentos? 
9 – No exercício anterior, a leitura com a régua foi de 20,5cm, enquanto que o termômetro mediu 22º C. 
Escreva essas medidas, usando um número de casas decimais que permita avaliar seu erro sistemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS - AULA 1 
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A avaliação do erro de uma medida leva em conta dois fatores: como visto na aula anterior, por mais 
detalhadas e cuidadosas que sejam as medidas realizadas, sempre haverá um erro estatístico e um erro 
sistemático. O que se pode fazer é reduzir estes erros ao mínimo, tomando os cuidados já estudados. Veremos, 
nessa aula, como pode ser feita uma medida que avalie, com a melhor precisão possível, a incerteza de um 
grupo de medidas. 
Quando da apresentação de uma medida, é conveniente apresentar, sempre, sua incerteza. Já é 
conhecido por nós que nunca se deve expressar uma medida com o seu valor exclusivamente, pois isso implica 
em dizer que tal valor é o valor verdadeiro e que as medidas que a originaram não flutuam, o que sabemos 
ser inviável. Qualquer valor flutua e é impossível a eliminação de erros estatísticos e sistemáticos, como 
vimos na aula anterior. 
 
2.1 - Avaliação de Erros Estatísticos 
 
2.1.1 – Média de um conjunto de medidas 
 
 A média aritmética de um conjunto de medidas é o valor que, dentro daquele grupo, é o mais 
representativo. Ela representa o valor que melhor se aproxima do valor verdadeiro para aquele grupo. Claro 
que só saberemos o valor verdadeiro desse conjunto se realizarmos um número infinito de medidas, mas a 
média acaba sendo um bom representante desse valor. 
 Definimos média como: 
N
n
N
nnn
n
N
i
i
N



 121
 
 
2.1.2 - Desvio de uma medida (d) 
 
AULA 2 - TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS 
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 O desvio de uma medida nos dá a informação de quando aquela medida difere do valor médio do 
conjunto de valores em questão. É definido como: 
 
nnd
i

 
 
onde ni é a medida em questão e 
n
é a média do conjunto de dados em questão. 
 
2.1.3 - Desvio Quadrático de uma Medida 
 
 Corresponde ao quadrado do desvio de cada medida em relação à média do conjunto de dados. Para 
efeito de estudo do conjunto de dados, uma incerteza acima do valor médio ou abaixo do mesmo é indiferente. 
Trabalhar com seus valores absolutos poderia levar à falsa impressão de que o conjunto de dados não flutua 
em torno do valor verdadeiro. É definido como: 
 
22 )( nnd
ii

 
 
onde nI é a medida em questão e 
n
é a média dos valores. 
 
2.1.4 - Desvio Padrão 
 
 Se possuímos um conjunto de medidas, podemos determinar como esse conjunto se comporta em 
relação à média. Para o conjunto, o desvio quadrático médio ou variância (2) é definido como: 
 
 


N
i
i
nn
N 1
2
2 1
 
 
 onde N é o número de medidas do conjunto. 
 O desvio padrão  é, pois, definido como sendo: 
 
2 
 
 
ou seja, o desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância ou desvio quadrático médio para o 
conjunto de medidas em questão. 
 
2.2 - Avaliação de um erro sistemático 
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 Conforme estudado na aula 1, os erros sistemáticos são inerentes às medidas e, em função disso, o 
que pode ser feito é tomar cuidados que possam minimizá-los. Partindo dessa posição, uma maneira simples 
de avaliar o erro sistemático (σsist) de uma medida é: 
 
 σsist = 
2
ãodaescalamenordivis
 
 
 Assim, a fim de se determinar a influência de erros sistemáticos numa medida, considera-se que todos 
os erros, tomados os cuidados necessários para reduzi-los, correspondem à metade do valor da menor divisão 
da escala de medida do instrumento. 
 
2.3 - Propagação de erros 
 
 Após verificarmos como um conjunto de medidas pode ser melhor expresso em termos de flutuações 
estatísticas e sistemáticas, um último, mas não simples problema aparece. Como operarmos com medidas 
secundárias, ou seja, aquelas que são medidas em função de outras grandezas? 
 Como exemplo, verifiquemos uma situação: num experimento de velocidade média, num laboratório 
de Física, um grupo realizou o estudo estatístico de dados e obteve, para o deslocamento do corpo de provaa medida ∆𝑠 = (12,3 ± 0,5)𝑐𝑚. O mesmo grupo mediu o tempo para esse deslocamento e obteve ∆𝑡 =
(3,27 + 0,05)𝑠. 
 A missão do grupo é determinar a velocidade média do corpo. Como bom conhecedor de Física 
Básica, sabemos que a velocidade média é dada por: 
𝑣𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
 
 A determinação do valor da velocidade média pode ser facilmente medida, dividindo-se 12,3 por 3,27. 
O problema maior, no entanto, se encontra na incerteza. À primeira vista, parece simples e imediato que, 
para obtermos a incerteza, basta também dividir 0,5 por 0,05. Infelizmente, o raciocínio é mais complexo e 
precisa ser examinado com mais calma. Isso porque o que se encontra em questão aqui é: na medida do 
deslocamento, 0,5 tem um peso em termos de incerteza na medida 12,3. O mesmo vale para o 0,05 em relação 
a 3,27. Mas em que medidas esses pesos se combinam e devem ser transferidos para a medida final da 
velocidade média? Em outras palavras: como a incerteza de cada medida afeta a incerteza da velocidade 
média? 
 Alguns conhecimentos básicos de cálculo diferencial e integral serão suficientes para nos auxiliar 
nessa tarefa. Com ajuda do cálculo, algumas relações matemáticas podem ser obtidas, de modo a determinar, 
matematicamente, a influência que cada medida individualmente tem na medida total. A isso chamamos de 
propagação de erros. Veremos na sequência algumas dessas regras, que serão justificadas em aula. 
 Consideremos A, B e C três medidas com seus respectivos valores a, b e c e suas respectivas incertezas 
∆𝑎, ∆𝑏 𝑒∆𝑐, de modo que teríamos, individualmente: 
𝐴 = (𝑎 ± ∆𝑎) 
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B = (𝑏 ± ∆𝑏) 
𝐶 = (𝑐 ± ∆𝑐) 
 
 
 
2.3.1 - Soma e subtração 
 
2.3.2 - Produto 
 
2.3.3 - Quociente 
 
2.3.4 - Caso geral 
 
 
2.3.5 - A grandeza V é um múltiplo constante 
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2.3.6 - Potência constante 
 
2.3.7 - Combinação linear 
 
2.3.8 - Soma de potências 
 
2.3.9 - Relação logarítmica 
 
 
Exemplo: Deseja-se medir a densidade de um bloco. Sua massa m foi estimada em (10,2±0,3)g, enquanto que seu 
volume foi determinado com V = (8,2±0,1)𝑐𝑚3. Determine o valor da densidade do corpo e de sua incerteza. 
 
 
 
 
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1) Determinar o desvio avaliado nos seguintes casos: 
 
 a) régua milimetrada: 
 b) régua com escala graduada em centímetros: 
 c) balança com precisão de 0,1 g: 
 d) cronômetro com precisão de 0,2 s: 
 e) amperímetro com escala graduada em 0, 2, 4, 6, 8, 10 ampères ( A ): 
 f) dinamômetro com escala graduada de 5 em 5 newtons ( N ): 
 g) voltímetro com fundo de escala de 10 volts dividida em 20 partes: 
 
2) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em termos de algarismos 
significativos. 
 
 (a) (b) (c) (d) (e) 
m 32,75 g 72,19 cm 4,189 g 12314 m 82372 h 
m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 28 h 
 
 
3) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes ( N = 5 ), forneceu a tabela: 
 
n 1 2 3 4 5 
Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 
 
a) Encontrar o valor médio: 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO - AULAS 1 E 2 
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b) Encontrar o desvio médio: 
 
b) Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos: 
 
4) Efetuar as seguintes operações: 
 
a) (231,03 ± 0,02) – (12,8 ± 0,5) = 
 
b) [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m3] = 
 
 
5) Dar o número de algarismos significativos para os seguintes números: 
80000 153,401 3,000 194,58 0,0087 
40 2,00x10 1,890x10 450 100 
 
6) Indicar para cada um dos números acima quais são os algarismos mais significativo e menos significativo. 
 
7) Arredondar para dois algarismos significativos os seguintes números: 
1,391 2,03 2,235 1,65 7,95 
9,999 89,5 3,449 2,7785 27,8 
 
8) Determinar o volume e a densidade de uma esfera de raio 3,6 cm e massa 72,53 g, com número correto de 
algarismos significativos. 
 
9) Calcular 
l = [(6,1 ± 0,3) + (3,47 ± 0,04)] cm 
b = [(5,44 ± 0,05) - (3,4 ± 0,1)] cm 
v = [(3,05 ± 0,01)x(1,21 ± 0,08)x(6,39 ± 0,02)] cm3 
d = [(3,87± 0,03)/(2,65 ± 0,01)] g/cm3 
s = (1/2)x(5,6 ± 0,7)x(2,89± 0,03) cm2 
 
10) Determine o desvio percentual em cada um dos resultados obtidos no exercício v. 
 
 
 
 
 
 
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AULA 3 
ROTEIRO DE EXPERIMENTO 1 - MEDIDAS COM RÉGUA, PAQUÍMETRO E MICRÔMETRO 
 
MATERIAL UTILIZADO 
 1 régua de 30cm 
 1 paquímetro de 0,05mm ou 0,02mm 
 1 micrômetro de 0,002mm 
 Blocos de madeira de diferentes formas 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Primeira Parte - Medida com a régua 
 Pegar a peça de madeira não vazada e medir comprimento, largura e profundidade. 
 Cada um dos integrantes deve realizar essa medida. Atenção para o cuidado com o número de algarismos 
significativos e registro da medida com seu respectivo erro sistemático. 
 Anotar o resultado na tabela abaixo. 
Comprimento 
Medida 1 
Medida 2 
Medida 3 
Medida 4 
Medida 5 
Medida 6 
 
Largura 
Medida 1 
Medida 2 
Medida 3 
Medida 4 
Medida 5 
Medida 6 
 
Profundidade 
Medida 1 
Medida 2 
Medida 3 
Medida 4 
Medida 5 
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Medida 6 
 
 
Segunda Parte - Medida com o paquímetro 
 Pegar a peça de madeira vazada e medir profundidade e diâmetro da parte vazada. 
 Cada um dos integrantes deve realizar essa medida. Atenção para o cuidado com o número de algarismos 
significativos e registro da medida. 
 Anotar o resultado na tabela abaixo. 
Profundidade 
Medida 1 
Medida 2 
Medida 3 
Medida 4 
Medida 5 
Medida 6 
 
Diâmetro da parte vazada 
Medida 1 
Medida 2 
Medida 3 
Medida 4 
Medida 5 
Medida 6 
 
Terceira Parte - Medida com o micrômetro 
 Pegar um fio de cabelo de cada um dos integrantes do grupo. 
 Medir, com o micrômetro, a espessura de cada um dos fios de cabelo e registrar na tabela a seguir. 
 
Espessura do fio de cabelo 
Medida 1 
Medida 2 
Medida 3 
Medida 4 
Medida 5 
Medida 6 
 
Quarta Parte - Análise de medidas com base em teoria de erros 
 
 De modo a praticarmos os conceitos vistos em aula teórica sobre teoria de erros, analisemos com cuidado as 
medidas realizadas referentes à terceira parte do experimento - medida com micrômetro. De posse das 
medidas, determine as seguintes grandezas: média, desvio da medida, módulo do desvio da medida, módulo do 
desvio quadrático, média dos módulos do desvio quadrático e desvio padrão das medidas. Isso pode ser 
resumido na tabela abaixo. 
 
 
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Medida Valor X Desvio da 
medida 
(X - �̅�) 
Módulo do 
Desvio da 
Medida 
|𝑿 − �̅�| 
 
Módulo do 
desvio 
quadrático 
|(𝑿 − 𝑿 ̅)|𝟐 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
Somatória 
∑ 
 - - 
Média (�̅�) - - - 
 
Para obter o desvio padrão das medidas σ, efetuar: 
𝜎 = √
1
𝑁 − 1
∑ |(𝑿 − 𝑿 ̅)|𝟐 
 
O desvio padrão corresponde ao desvio estatístico para o conjunto de medidas. Além dele, temos o erro ssitemático 
inerente à tomada de medidas eà precisão do aparelho. Determine o erro sistemático para o conjunto de medidas 
acima, tomadas com a incerteza do aparelho. Fazer o cálculo usando a propagação de erros para a média de um 
conjunto de medidas, obtendo 𝜀𝑆. De posse de 𝜎 e 𝜀𝑆, obteremos a incerteza final do conjunto de medidas, a partir da 
expressão: 
𝜀
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =√𝜎2+𝜀𝑆
2
 
Apresentar o resultado final R: 
R =(𝑀É𝐷𝐼𝐴 ± 𝜀𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿) 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
 
Para a próxima semana, entregar um relatório com análise estatística completa para os dois conjuntos de dados 
realizados com régua e paquímetro. Após análise estatística, calcular, para cada um dos casos, o que segue: 
a) para o bloco medido com a régua, determinar o volume do bloco. 
b) para o bloco vazado, determine o volume da parte vazada. 
Lembrar que: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = Á𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 . 𝐻 
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AULA 4 
USO DE PAPEL MILIMETRADO, MONOLOG E DILOG 
 
 Em relação à construção de gráficos, sempre fazê-los em folha A4 milimetrada (e não quadriculada), papel 
monolog ou dilog, conforme orientação do professor. Algumas questões estéticas devem ser tratadas com cuidado num 
gráfico: 
 
 Todo gráfico possui um título e uma seqüência no relatório. Este pode ser colocado em cima da folha 
e com um título tal que propicie ao leitor do relatório fácil visualização do que o gráfico trata. 
 
 Pelo fato de o papel ser milimetrado e já estar dividido, não é necessário fazer pontilhados para marcar 
pontos. Apenas marque o ponto desejado. 
 
 Se desejar marcar os eixos x e y no papel milimetrado, use um lápis ou lapiseira adequada, de modo a 
obter um traçado homogêneo. 
 
 Evite apagar qualquer coisa num gráfico. Se tiver de fazê-lo, seja cuidadoso e procure evitar aqueles 
borrões tão característicos de gráficos mal traçados. 
 
 Escreva quais grandezas físicas estão indicadas nos eixos x e y. Por exemplo, se x for corrente elétrica 
e y for tensão, indique nos eixos x e y tais informações, além de colocar a unidade das mesmas (no 
caso, tensão ( V ) e corrente ( A ) ). Obs. V de Volts e A de Ampères. 
 
 Não sobrecarregue a escala com excesso de pontos. Caso sua medida não coincida com um valor da 
escala, é desnecessário indicar essa medida. Os valores que já estão na escala já são suficientes. 
Lembre-se que um gráfico deve dar uma visão geral de um fenômeno e, caso haja necessidade de uma 
análise mais minuciosa, as tabelas já são uma excelente referência. 
 
 Se duas medidas comparativas forem colocadas num mesmo gráfico, trace as curvas obtidas com 
destaque diferente e, para ilustrar, crie uma pequena escala no canto inferior direito do gráfico. 
 
 Efetuadas as marcações dos pontos, cuidado com a maneira de lidar com os mesmos. Jamais ligue 
pontos. 
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19 
 
 
 Caso deseje traçar uma curva média (parábola, elipse, hipérbole etc), use régua flexível. 
4.1 - Papel dilog 
Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os 
parâmetros que a caracterizam. Vamos analisar os dois casos mais simples: a relação tipo potência (y = axb) e tipo 
exponencial (y = a.ebx). 
Quando se sabe que a relação não é linear, pode-se linearizá-la através de uma mudança de variáveis, ou então fazer 
essa linearização graficamente, usando um tipo de papel cujas escalas não sejam lineares. O tipo mais útil de escala é 
a escala logarítmica, onde em vez de a distância entre marcas sucessivas das escalas ser constante, ela varia 
logaritmicamente. 
Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (2 - 1); a distância entre 2 e 3 
é proporcional a (3 - 2) e assim por diante, por isso as distâncias entre marcas sucessivas nas escalas são iguais. A 
escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log2 - log1); a distância entre 2 
e 3 é proporcional a: (log3 - log2), por isso as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes. 
Vejamos agora como utilizar o papel dilog. Temos uma relação tipo: 
y = axb, onde a e b são constantes. Aplicando logaritmo: 
log(y) = log (a) + log (xb) = log(a) + blog(x) 
fazendo: log(y) = Y, log(a) = A, log(x) = X, obtém-se: Y = A + bX, equação de uma reta. 
 
4.2 - Papel monolog 
 
Outro tipo de relação entre duas grandezas física muito comum e bem simples é a exponencial: 
y = a.ebx, 
também podemos linearizá-la através de uma mudança de variáveis ou então fazer um gráfico em um papel milimetrado, 
colocar no eixo y os valores medidos de y e no eixo x colocar ebx e não as medidas x. 
Outra possibilidade é utilizar um papel onde um dos eixos tem escala logarítmica e o outro linear. Notem que a escala 
logarítmica está em uma base qualquer, não é porque estamos lidando com exponencial que a escala logarítmica está 
na base e. Para essa escala vale tudo o que vimos acima para o papel dilog. Temos então: 
logy = log[a.ebx] = loga + bx.loge = loga + (b.loge).x 
Y = A + Bx, que é a equação de uma reta. 
Para se achar o valor de A, quando a escala o permitir, faz-se x= 0 e obtém-se Y = A. Ou então, toma-se um valor 
qualquer de x sobre a reta do gráfico, obtém-se Y e daí A. Note-se que este procedimento não é equivalente a tomar um 
par (x,y) medido e calcular a. No gráfico, está-se usando a reta média, obtida em geral por mínimos quadrados, que 
leva em conta todos os pontos experimentais. 
 
 
 
 
1 – Usando papel milimetrado e seguindo as regras para a construção de um gráfico organizado, construa os gráficos 
abaixo: (entregar os ítens b e c, individualmente, na próxima aula de laboratório). 
 
a – Uma certa experiência de medição de massa(m) e volume(V) de água foi realizada, proporcionando os resultados 
da tabela: 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO - AULAS 1 E 2 
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20 
 
Massa(g) Volume(cm3) 
10 10 
20 20 
30 30 
40 40 
50 50 
60 60 
70 70 
 
 
b – Num experimento de Física Nuclear acerca da desintegração radioativa do 32P, realizaram-se medidas semanais, 
registrando o número de contagens da amostra por um detector do tipo Geiger-Müller. Os dados estão registrados 
abaixo: 
Tempo (dias) Número de Contagens por 
minuto 
0 9184 
7 6520 
14 4686 
23 2950 
35 1791 
De posse da tabela acima, construa em papel milimetrado e em papel monolog a curva contagens por minuto x tempo. 
Siga as regras estudadas para a construção de um gráfico. 
 
c – Num estudo da curva característica de um detector Geiger-Müller, uma fonte de 60Co foi introduzida no interior do 
mesmo e as amplitudes dos impulsos elétricos, registrados num osciloscópio, foram apresentadas em função da tensão 
de operação, como mostra a tabela a seguir: 
 
Tensão de 
Operação(V) 
Amplitude do 
Impulso(mV) 
320 1070 
340 1310 
360 1580 
380 1960 
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21 
 
400 2680 
420 3000 
440 3520 
 
a) Construa, em papel monolog, o gráfico amplitude x tensão de operação. 
b) Idem para o papel milimetrado. 
 
d – Numa experiência de Absorção de Partículas  realizada num Laboratório de Técnicas Nucleares, uma fonte de 
32P emitia partículas  de energia 1,71 MeV que passavam por absorvedores, cuja espessura variava. O número de 
contagens brutas em função da espessura do absorvedor é apresentado na tabela abaixo: 
 
Contagens por 
Minuto(CPM) 
Espessura 
(mg/cm2) 
9155 0 
6605 26,7 
3490 107,22684 140,5 
1452 216,7 
664 307,7 
 
a) Construa o gráfico contagens por minuto em função da espessura mássica do absorvedor, em papel monolog. 
b) Idem para o papel milimetrado. 
 
e - Uma função tem a forma y = 𝑎𝑥𝑛. Os valores de x e y estão expressos na tabela abaixo: 
Y X 
0 0 
2000 10 
2000000 100 
31250000 250 
2000000000 1000 
 
Usando o papel dilog, determine os coeficientes a e n, linearizando a função. 
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22 
 
 
 
 
 
 
 
ROTEIRO DE EXPERIMENTO 2 - MU 
MATERIAL UTILIZADO 
 1 base de sustentação principal com um plano inclinado articulável com escala de 0 a 45o. 
 1 tubo lacrado contendo óleo, uma esfera de aço e uma bolha 
 1 imã 
 1 cronômetro de pulso 
 1 nível de bolha para superfície 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Eleve o plano inclinado 15o acima da horizontal. 
 Com o auxílio do imã, posicione a esfera na posição x = 0mm. 
 Libere a bolha, ligue o cronômetro e pare-o quando a bolha passar pela marca x = 100mm. Anote na tabela 1 
a posição ocupada e o tempo transcorrido. 
 Repita a operação para x = 200mm, 300mm e 400mm. Anote os dados na tabela abaixo. 
 Determine a velocidade média da bolha. 
 
Medida Espaço Percorrido Intervalo de tempo Velocidade Média 
01 
02 
03 
04 
 
 Utilizando os valores de espaço e tempo da tabela abaixo, esboce o gráfico espaço versus tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
 
 
 Construa, também, o gráfico velocidade versus tempo para o movimento descrito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O movimento em questão é um MU? Justifique usando seus conhecimentos de teoria de erros e de flutuação 
estatística de dados. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 O que representa a declividade da reta no gráfico velocidade versus tempo? E a área? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 Usando seus conhecimentos de teoria estatística de dados, determine: 
(𝑣𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 ± 𝜎) 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
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ROTEIRO DE EXPERIMENTO 3 - MUV 
MATERIAL UTILIZADO 
 1 base de sustentação principal com um plano inclinado articulável com escala de 0 a 45o. 
 1 esfera 
 1 cronômetro de pulso 
 5 pedaços de 20mm de fita adesiva 
 5 pequenos retângulos em papel comum (10x10mm) 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Incline o trilho em aproximadamente 2 graus. 
 Fixe com fita adesiva um dos retângulos de papel sobre a escala lateral para indicar a posição inicial x0. 
 Anote o valor de x0 em metros. 
 Repita o procedimento, fixando na rampa, outros retângulos de papel nas posições x1, x2 e x3, distantes 0,1m 
entre si, a partir de x0. 
 Determine o deslocamento que o móvel sofrerá para ir de x0 até x1. Repita o procedimento para os demais 
deslocamentos e anote na tabela abaixo. 
Posição Inicial (m) Posição Final (m) Deslocamento (m) 
 
 
 
 
 Coloque o centro da esfera na posição x0 e a abandone. Classifique o movimento do móvel. 
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________ 
 Abandone o móvel da posição x0 e cronometre o tempo necessário para ir de x0 até marcação final. Anote os 
tempos na tabela abaixo. Repita o procedimento 5 vezes. 
Medida Tempo 
1 
2 
3 
4 
5 
Médio 
 Determine, para o conjunto de medidas acima, o tempo médio de descida e o desvio padrão desse tempo. 
Apresente o resultado na forma: 
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25 
 
(𝑡𝑚é𝑑𝑖𝑜 ± 𝜎) 
 
 Determine a velocidade média da esfera. 
 Repitamos o procedimento anterior, mas para cada intervalo de tempo. Repita cada medida 5 vezes. 
 
Sequência de 
Medidas 
Primeiro 
Intervalo 
Segundo 
Intervalo 
Terceiro 
Intervalo 
Quarto 
Intervalo 
 Δx Δt Δx Δt Δx Δt Δx Δt 
01 
02 
03 
04 
05 
Valores 
Médios 
 
 
 
 Determine a velocidade média em cada trecho da descida. Anote os dados na tabela abaixo. 
Medida Velocidade Média 
1 
2 
3 
4 
5 
Médio 
 
 Construa o gráfico da velocidade em função do tempo para a descida da bolinha. (Importante: para 
efeito de execução experimental, estamos considerando que a velocidade dentro do trecho permanece 
aproximadamente constante. Isso decorre do fato que, no trecho considerado, mesmo que a velocidade 
varie, essa variação é suficientemente pequena para tal consideração.) Podemos afirmar que o movimento se trata de um MUV? Justifique. 
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26 
 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
 Considerando que, trecho a trecho, a velocidade sofreu uma variação, podemos determinar a taxa 
de variação dessa velocidade, uma grandeza denominada aceleração. Definimos fisicamente a 
aceleração média como sendo: 
𝑎 = 
𝛥𝑣
𝛥𝑡
 
 
Determine a unidade de medida dessa grandeza no Sistema Internacional de Unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisemos mais um pouco do movimento. Usando as posições da esfera em função do tempo, 
construa o gráfico posição versus tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como é denominada a curva obtida nesse gráfico? 
____________________________________________________________________________ 
 
 Escolha dois ou três pontos da curva e trace retas tangentes. Lembremos das aulas de Física Teórica 
que a medida do grau de inclinação da reta tangente à curva no ponto dado fornece a derivada da 
função no ponto. Como você já deve ter visto que a derivada da posição é a velocidade, conclui-se 
que essa inclinação é uma medida da velocidade do corpo no ponto dado. Levando-se em conta isso, 
o que se pode afirmar, a partir do gráfico, sobre a velocidade da bolinha? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
 
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Façamos agora um tratamento matemático. Usando a mesma tabela das posições em função do tempo, eleve 
os tempos ao quadrado e mantenha as posições. 
Posição (m) Tempo ao quadrado (s2) 
 
 
 
 
 
 Construa o gráfico espaço versus tempo ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O que ocorreu com o gráfico do espaço ao elevarmos o tempo ao quadrado? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Lembrando que para o caso de x0 = 0 e v0 = 0, temos que 𝑥 =
𝑎𝑡2
2
. Se calcularemos a tangente da 
inclinação da reta, temos que 
𝑡𝑔𝛼 = 
𝑥
𝑡2
=
𝑎
2
 
Levando-se em conta isso, determine a aceleração de descida da esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
 
 
 
 
ROTEIRO DE EXPERIMENTO 4 - LEI DE HOOKE E CALIBRAÇÃO DE UMA MOLA 
 
MATERIAL UTILIZADO 
 1 sistema de sustentação principal formado por tripé triangular, haste principal e sapatas niveladoras. 
 1 painel em aço com quadro graus de liberdade. 
 1 mola helicoidal. 
 1 conjunto de 3 massas acopláveis. 
 1 gancho lastro. 
 1 escala milimetrada. 
 1 dinamômetro de 2N. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 Usando a mola helicoidal, determine a posição inicial da mola sem deformação. 
 Determine o peso de cada lastro, em Newtons. (use o dinamômetro que já possui escala para tal). 
 Encaixando, sucessivamente, um, dois e três ganchos lastros, determine a deformação da mola e preencha a 
tabela abaixo. 
Número de Medidas Força (N) Deformação da 
Mola 
Constante Elástica 
da Mola 
0 
1 
2 
3 
 
 Determine a constante elástica da mola, expressando-a na forma: 
(𝑲 ± 𝝈) 
 
 Segundo suas observações, o que acontece com a mola à medida que ela é tracionada com mais força, dentro 
dos limites de elasticidade do corpo? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Justifique o motivo de a questão acima ser colocada, frisando a condição "dentro dos limites de elasticidade 
do corpo." 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 O valor da elongação sofrida pela mola, para cada peso, depende da posição inicial x0? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Construa o gráfico da força de tração em função da elongação sofrida pela mola. Trata-se de uma função linear? Justifique. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Escreva a lei de Hooke para a mola usada. 
 
 
 
 
 
 Usando a equação anterior, preencha a tabela abaixo. 
Força (N) Elongação (mm) 
1,5 
 5 
3 
 23 
 Usando o dinamômetro, determine a massa, em g, do livro de Física 1 do Tipler. Considere g = 
9,8m/s2. 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
 
 
 
 
 
 
ROTEIRO DE EXPERIMENTO 5 - DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ATRITO 
MATERIAL UTILIZADO 
 1 corpo de prova cilíndrico maciço 
 pequena quantidade de óleo lubrificante. 
 1 dinamômetro de 2N. 
 1 corpo de prova de madeira. 
 1 fio de poliamida. 
 1 lupa. 
 1 base de sustentação principal com um plano inclinado articulável com escala de 0 a 45o. 
 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Primeira Parte: Explorando a força de atrito 
 Com o corpo de prova sobre a mesa e mantendo o dinamômetro paralelo à superfície, aplique uma força de 
0,2N sobre o móvel. O corpo de prova se moveu? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Aumente a intensidade de 0,2N em 0,2N, completando a tabela abaixo. 
Superfícies em Contato 
Forças aplicadas (N) Movimento ( Sim ou Não?) 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1,0 
1,2 
1,4 
1,6 
 Qual foi o valor aproximado de menor força aplicada capaz de iniciar o movimento entre as duas superfícies 
esponjosa do corpo de prova e a superfície da mesa? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Determine o peso do corpo de prova utilizado. 
Peso = __________ N 
 
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33 
 
 
 
 
 
 Determine o valor do coeficiente de atrito estático (μ) para a situação acima. 
 
 
 
 
Segunda Parte: O atrito no plano inclinado 
 Utilizando a base de sustentação, gire o manípulo do fuso de elevação contínua, inclinando o plano articulável 
até o ângulo de 15o. 
 No quadriculado abaixo, indique cada uma das forças atuantes no plano inclinado, determinando seu valor. 
Justifique fisicamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Justifique o motivo pelo qual o móvel não desce a rampa sob ação de sua componente Px. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Determine o valor da força de atrito estático que, neste caso, atua entre o corpo de prova e o plano inclinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Eleve a rampa continuamente (sempre dando leves batidas com o dedo sob a mesma) até começar o 
deslizamento. Em seguida, diminua levemente a inclinação até obter um movimento bastante vagaroso do 
móvel. Repita o procedimento 5 vezes (sugere-se que cada integrante do grupo realize sua medida). 
 
 
 
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34 
 
 
 
 
Número de Medidas Executadas Ângulo de Ocorrência 
1 
2 
3 
4 
5 
Ângulo Médio Encontrado 
 
 No quadriculado abaixo, indique cada uma das forças atuantes no plano inclinado, determinando seu valor. 
Justifique fisicamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mostre fisicamente que um corpo, sob ação de atrito, permanece em repouso sobre uma superfície inclinada 
se: 
𝜇 ≥ 𝑡𝑔𝛼 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O valor do μ que você obteve pode ser tabelado como o valor fixo do coeficiente de atrito cinético entre as 
superfícies envolvidas? Justifique sua resposta. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
 
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35 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
 
 
 
 
 
ROTEIRO DE EXPERIMENTO 6 - DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE A 
PARTIR DE UM PÊNDULO SIMPLES 
 
MATERIAL UTILIZADO 
 1 suporte pendular 
 Massas acopláveis de 50g 
 1 cronômetro 
 1 fio de 1m de comprimento 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Ajuste o comprimento do pêndulo em 0,3m. 
 Inicialmente, coloquemos uma massa de 50g. Usando o cronômetro, meçamos o período de oscilação do 
pêndulo (tempo necessário para a realização de 1 ciclo completo, que corresponde ao tempo de ida e volta até 
a posição inicial do pêndulo). De modo a minimizar possíveis erros sistemáticos, meça o tempo de 5 oscilações 
e calcule o tempo para 1 oscilação, dividindo por 5. Anote esse tempo. Oscile o pêndulo com baixa amplitude 
(cerca de 10o). 
 Repita esse procedimento para as massas de 100g e 150g. Anote os dados na tabela abaixo. 
Tempo para 5 oscilações Massa de 50g Massa de 100g Massa de 150g 
01 
02 
03 
04 
05 
TempoMédio para 1 
oscilação (Período T) 
 
 
 Analisando os dados estatisticamente, é possível afirmar que a massa tem influência no período de oscilação 
do pêndulo? Justifique. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
 Fixemos uma massa, de 100g, por exemplo. Repita o procedimento de 5 oscilações acima, variando o 
comprimento da corda do pêndulo em 10cm, 20cm, 30cm, 40cm e 50cm. Anote os dados abaixo. 
 
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37 
 
 
 
Tempo para 05 
oscilações 
10cm 20cm 30cm 40cm 50cm 
01 
02 
03 
04 
05 
Tempo Médio 
para 1 oscilação 
(Período) 
 
 
 É possível afirmar que o comprimento do fio do pêndulo afeta o período de oscilação do pêndulo? Justifique 
com base nos dados captados. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Usando um papel dilog, construa um gráfico do período de oscilação do pêndulo(T) em função do comprimento 
do pêndulo (L).Que função você obteve? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Determine os coeficientes linear e angular da função obtida no item anterior. O que eles significam fisicamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Demonstre fisicamente que a gravidade g é função do período de oscilação do pêndulo T, de seu comprimento 
L e de sua amplitude de oscilação θ e é dado pela equação. 
𝑔 =
4𝜋2𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑇2
 
b) Mostre também que, para pequenas amplitudes de oscilação, essa expressão pode ser simplificada para: 
𝑔 =
4𝜋2𝐿
𝑇2
 
 
 Usando os dados de cada comprimento do fio e dos períodos médios para cada oscilação, determine, para cada 
conjunto de medidas, o valor da aceleração da gravidade terrestre g. Anote os valores na tabela abaixo. 
 
 
 
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38 
 
 
 
Medida Aceleração da gravidade g (m/s2) 
01 
02 
03 
04 
05 
 
 Usando seus conhecimentos de tratamento estatístico de dados, determine o valor médio da gravidade, além 
de seu desvio padrão, apresentando o resultado na forma: 
(𝑔𝑚é𝑑𝑖𝑜 ± 𝜎) 
 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTEIRO DE EXPERIMENTO 7 - OSCILADOR MASSA-MOLA 
MATERIAL UTILIZADO 
 Sistema de sustentasção principal Arete formado por tripé triangular com escalas múltiplas, escala angular e 
milimetrada, haste principal e sapatas niveladoras amortecedoras. 
 Painel com fixação integrada e quatro graus de liberdade. 
 1 mola helicoidal de massa = _____ kg 
 1 conjunto de 3 massas acopláveis de 50g. 
 1 gancho lastro. 
 1 escala milimetrada 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Submeta a mola a três massas diferentes e, graficamente, determine a constante elástica da mola. 
Massa (kg) Deformação da mola 
01 
02 
03 
 
 Determine a massa m do gancho lastro com três massas acopladas simultaneamente. 
Massa = ______________kg 
 Pendure a mola, com o gancho lastro, no sistema se sustentação, de modo que a oscilação possa ser inferida 
com uma régua. 
 Determine a posição de equilíbrio do sistema. 
Posição de Equilíbrio x0 = ________ m 
 Puxe o gancho lastro 10mm além de x0 e torne a soltá-lo, Comente o movimento observado, esperando cerca 
de 30s. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 Classifique o tipo de movimento executado pela massa m dependurada no sistema, denominado de oscilador 
massa-mola. 
________________________________________________________________________________________ 
 O que você observa com relação à amplitude do movimento executado pela massa m à medida que o tempo 
passa? Procure justificar o motivo de tal fato. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 O que você observa com relação à frequência do oscilador massa-mola à medida que o tempo passa? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solte o sistema e determine o período MHS executado pela massa suspensa m. 
T = __________ 
 Determine, pelo processo dinâmico (usando o oscilador), a constante elástica K da mola e compare com a 
constante calculada no início do experimento. Houve diferenças? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
Vejamos alguns princípios teóricos: combinando a segunda lei de Newton com a lei de Hooke, temos: 
Segunda Lei (na forma diferencial): 
𝑭 = 𝒎
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
 
 
Lei de Hooke: 
F = -kx 
 
Comparando: 
-kx = 𝒎
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
 
 
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Pode-se mostrar que o período de 
oscilação do sistema massa-mola T é dado por: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝐾
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTEIRO DE EXPERIMENTO 8 - DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UMA HASTE E MÓDULO DE 
FLEXÃO DE UMA HASTE 
MATERIAL UTILIZADO 
 Haste de acrílico e de aço 
 Prendedor 
 Suporte 
 Objeto com massa de 5g 
 Régua Milimetrada 
 PaquímetroPROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
PRIMEIRA PARTE - DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UMA HASTE 
 Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Se analisarmos a figura. veremos que a barra é submetida a uma força vertical, aplicada em sua extremidade. 
Isso causa uma deflexão na barra. A questão que se coloca é: de que fatores depende a flexão dessa haste? 
Podemos afirmar que ela depende de três fatores: da força aplicada, do material e das dimensões da haste, 
conforme mostrado na dedução anterior. 
 Mantendo uma das extremidades fixa, coloque os objetos na extremidade livre, um a um, de forma a produzir 
forças F de valores diferentes. Meça, para cada força, as respectivas deflexões, usando a régua milimetrada. 
Anote os valores na tabela abaixo. 
Força (F) Deflexão (m) 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
09 
 Usando o milimetrado, construa o gráfico Força versus deflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Usando o método da regressão linear, aproxime uma reta que melhor de ajusta aos dados experimentais. Em 
segunda, determine o coeficiente linear e angular da reta obtida. A que grandeza se associa o coeficiente 
angular? Determine sua incerteza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Há uma relação entre a constante elástica de uma mola k e entre o módulo de Young E, uma propriedade 
intrínseca do material. As duas grandezas estão relacionadas pela equação: 
 
 
𝑘 =
𝐸𝐿𝑒3
𝑥3
 
 
Nesta equação, L é a largura da lâmina, e é sua espessura e x seu comprimento. Determine, usando seus 
conhecimento de propagação de erros, o valor do módulo de Young e sua incerteza, apresentando seu resultado 
na forma: 
(𝐸 ± 𝜎) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEGUNDA PARTE - MÓDULO DE FLEXÃO DE UMA HASTE 
 
 Vimos que, em certos limites, um corpo se deforma em regime elástico e sua deformação pode ser 
determinada pela lei de Hooke, dada pela equação: 
F = kx (A) 
 
 Por outro lado, na primeira parte desse experimento, vimos que essa constante elástica depende do 
material E, sua largura L, comprimento x e espessura e, dada pela equacão: 
𝑘 =
𝐸𝐿𝑒3
𝑥3
 (B) 
 
 Se substituirmos B e A, teremos: 
 
𝑦 = 𝑘𝑥3 
 
 E K vale: 
k = 
𝐹
𝐸𝐿𝑒3
 
 
 
 
 Com o auxílio de um paquímetro e uma régua, meça a largura e a espessura da haste utilizada. 
Largura = __________ 
Espessura = __________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Alterando o comprimento da haste suspensa e mantendo a força tensora (peso do objeto que deflexiona a haste), 
anote a deflexão em função do comprimento da haste e anote os valores na tabela a seguir. 
 
 
 
Flexão (m) Comprimento (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Construa um gráfico da flexão y em função do comprimento da haste x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Faça uma regressão linear e, usando as equações dadas acima, determine o valor do módulo de Young E para 
a haste metálica (de aço). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Pesquise o valor aproximado para o módulo de Young para o aço e compare com o obtido experimentalmente. 
Comente. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTEIRO DE EXPERIMENTO 09 - CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
MATERIAL UTILIZADO 
 01 rampa principal, sustentação regulável para apoio da esfera e suporte para acessórios 
 1 conjunto de sustentação com escala linear milimetrada, haste e sapatas niveladoras amortecedoras. 
 1 fio de prumo com engate rápido. 
 1 esfera metálica maior de lançamento. 
 2 folhas de papel carbono. 
 2 folhas de papel de seda tamanho ofício. 
 10cm de fita adesiva. 
 1 lápis. 
 1 régua ilimetrada. 
 1 compasso 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Determinar a massa da esfera metálica maior. 
m = __________kg 
 Execute a montagem da rampa. 
 Nivele horizontal a base da rampa para garantir a ausência da componente vertical da velocidade no momento 
de lançamento da esfera. 
 Assinale sobre a rampa um ponto localizado a uma altura de 60mm acima do ponto de saída da rampa. 
 Cole a folha de papel carbono sobre a mesa com a parte carbonada voltada para cima, próxima ao tripé. 
Coloque a folha de seda sobre a folha de carbono. 
 Meça e anote a altura h0 (desnível entre o ponto de saída da rampa e o plano da folha de papel). 
h0 = ___________mm 
 Abandone a esfera metálica maior do ponto h = 60mm. Assinale com número 1 o ponto de impacto da esfera 
com a folha de papel. 
 Refaça 5 lançamentos, assinalando cada ponto de impacto com seu respectivo número identificador. 
 Trace, com compasso, o menor círculo que possa conter (no seu interior) as marcas dos pontos de impacto. 
 Identifique o centro do círculo traçado com a letra Xc. 
 Qual é o significado físico do raio r do círculo traçado (que contém todos os pontos de impacto)? Determine a 
medida deste raio. 
R = __________mm 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
 
 Trace o vetor cuja origem está em X0 e a extremidade em Xc. Qual é a interpretação física desse vetor? 
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________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ Com base nas informações e dados adquiridos, determine a velocidade de lançamento da esfera no 
experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Calcule o módulo do vetor quantidade de movimento horizontal da esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desenhe sobre o papel o vetor quantidade de movimento de movimento horizontal da esfera na escala de 5cm 
para cada 0,1kg.m/s. 
 
 
 
 Suba a altura h do conjunto da rampa para cerca de 100mm e refaça a atividade, abandonando a esfera do 
mesmo ponto. 
Observações Importantes 
1 - O vetor quantidade de movimento da esfera na horizontal é, por definição, Q = mv, onde m é a massa da esfera 
e v é a velocidade horizontal com a mesma direção e sentido de XoXc. O módulo do vetor velocidade vx pode ser 
determinado pela equacão: 
𝑣 = √
10
7
𝑔ℎ 
onde h é a altura entre o ponto de partida e a saída da rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Determine e compare a velocidade de lançamento da esfera com a obtida na situação anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trace o vetor deslocamento horizontal obtido e compare seu módulo com o obtido na atividade anterior. 
 
 
 
 Segundo suas observações, a quantidade de movimento horizontal de uma esfera depende da altura h entre seu 
nível de lançamento e o solo? Justifique sua resposta. 
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________ 
 A sua resposta sofreria alteração caso a quantidade de movimento linear analisada fosse a vertical? Justifique. 
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO 
Para a próxima semana, entregar um registro de experimento realizado com todas as questões, cálculos e observações 
referentes ao experimento realizado na aula de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTEIRO DE EXPERIMENTO 10 - CONSERVAÇÃO DE ENERGIA E MOMENTO DE INÉRCIA 
MATERIAL UTILIZADO 
 01 rampa principal, sustentação regulável para apoio da esfera e suporte para acessórios 
 1 conjunto de sustentação com escala linear milimetrada, haste e sapatas niveladoras amortecedoras. 
 1 fio de prumo com engate rápido. 
 1 esfera metálica maior de lançamento. 
 2 folhas de papel carbono. 
 2 folhas de papel de seda tamanho ofício. 
 10cm de fita adesiva. 
 1 lápis. 
 1 régua ilimetrada. 
 1 compasso 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Determinar a massa da esfera metálica maior. 
m = _______kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações Importantes 
Ao abandonarmos sobre um plano inclinado uma esfera maciça de massa m e raio r, ela rolará pela rampa 
adquirindo um movimento translacional combinado com um movimento rotacional. A esfera, partindo do ponto A, 
com a condição inicial de repouso, percorre a rampa até o ponto B, descendo a uma altura h e, com isto, sua 
energia potencial U sofre um decréscimo ΔU, tal que: 
ΔU= UA - UB = mgh 
Pelo Princípio de Conservação da Energia mecânica, o decréscimo sofrido pela energia potencial aparecerá sob 
a forma de energia cinética de translação KT e de rotação KR, de tal modo que: 
ΔU = UA - UB = mgh = KT + KR, 
E isso fica: 
ΔU = UA - UB = 
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝐼𝜔2 
I é o momento de inércia em torno do diâmetro da esfera maciça e vale 
2
5
𝑚𝑅2.Lembremos que 𝜔 =
𝑣
𝑅
 e R é o raio 
da esfera. 
Trabalhando matematicamente, obtemos: 
𝑣 = √
10
7
𝑔ℎ 
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 Faça uma breve pesquisa de alguns conceitos necessários para o entendimento dos conceitos envolvidos nessa 
aula. 
 Corpo rígido 
 Sistema Isolado 
 Movimento Translacional 
 Movimento Rotacional 
 Como você classificaria o movimento executado pela esfera sobre a rampa (rotacional e/ou translacional)? 
Justifique sua resposta. 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
 Execute a montagem da rampa e do conjunto de sustentação. 
 Nivele horizontalmente a base da rampa para garantir, no momento de lançamento da esfera, a ausência da 
componente vertical de velocidade. 
 Assinale sobre a rampa um ponto a uma altura h = 60mm. Abandone a esfera e meça o alcance do lançamento. 
Alcance = __________m 
 Conhecendo o alcance e a altura h, calcule a velocidade de lançamento da esfera (no início do voo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando que a esfera foi abandonada de uma altura h = 60mm e com base no princípio da conservação 
da energia mecânica, escreva a expressão da energia potencial gravitacional U do móvel no instante que 
antecedeu o voo. 
 
 
 
 
 
 Ao chegar no nível da saída da rampa, o que aconteceu com a energia potencial inicial que se encontrava 
"armazenada" na esfera quando estava na posição h = 60mm? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
 Determine a energia cinética total da esfera no ponto de lançamento e compare-a com a energia potencial 
inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Admitindo o movimento realizado no vácuo e o princípio da conservação da energia, relacione as modalidades 
energéticas potencial, cinética de translação e cinética de rotação da esfera abandonada da altura h da rampa. 
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________