ASL Tranformada Laplace

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Análise de Sistemas Lineares por Transformada de Laplace
Pierre Simon Laplace – Matemático e Político Francês, nasceu no dia 23 de março de 1749 na cidade de Beaumont-En-Auge, faleceu no dia 5 de março de 1827 na cidade de Arcubil.
1767 – foi indicado por D’Alembert para ser professor de Cálculo na Escola Militar de Paris;
Mecânica Celeste - conexão entre a Física e a Matemática apresentando um poderoso método para resolução de Equações Diferenciais– (obra em 5 volumes sendo o 5º vol. Publicado em 1823).
“Transformada de Laplace”
“Se tivéssemos de definir com uma frase o profissional de exatas, poderíamos, com certa generalidade, rotulá-lo como aquele que resolve EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.”
(Aguinaldo Prandini Riciere)
“As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como”:
O crescimento de culturas de bactérias;
Competitividade entre as espécies de um ecossistema,
Escoamento de fluidos em dutos,
O movimento dos planetas em torno do sol,
Trajetória de projeteis,
A formação do granizo na atmosfera,
Circulação sangüínea,
Movimento angular de ciclones,
Fenômenos de difusão,
Previsão de baixas em batalhas,
Jogos de guerra,
O formato de um ovo,
Mecanismos de transferência de calor,
A maré dos oceanos,
Ondas de choque,
A mudança diária da temperatura do vento,
Problemas de servos-mecanismos,
Evolução de uma epidemia devido a vírus,
Realimentação de sistemas, etc.
Podemos dizer que estas equações armazenam informações de tudo aquilo que podemos abordar através da linguagem matemática.
A TRANSFORMADA DE LAPLACE serve, entre outras coisas, para resolver este tipo de equação, proporcionando aos estudiosos maior clareza e abrangência na interpretação do mundo no qual vivemos.
Sabemos que resolver uma equação significa encontrarmos a variável que satisfaz uma igualdade. Esta variável, chamada incógnita, pode ser representada por: um número, um vetor, uma função ou um objeto matemático qualquer.
	Quando temos uma equação algébrica, a variável será um número:
	Caso a equação seja vetorial, a solução será representada por um vetor:
	Tratando-se de uma equação diferencial a variável procurada será uma função:
	
	
	
Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar as soluções dos vários tipos de equações. Laplace criou um método muito curioso e de uma beleza inigualável que o conduziu às soluções de várias equações diferenciais ordinárias. Este método, simples e elegante, foi desenvolvido do seguinte modo:
Consideremos a equação diferencial abaixo:
LÊ-SE: “A derivada de certa função f(x) subtraída desta própria função, dá o resultado e2x”.
PERGUNTA-SE: Qual será esta função f(x)?
RESPOSTA: A função procurada, ou seja, a função que satisfaz a equação acima é: 
Esta solução foi encontrada pelo criativo Marquês de Laplace.
Definição de Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática das mais eficazes para análise, ajuste e controle de sistemas lineares.
As transformadas de Laplace são definidas no domínio de uma variável complexa 
 dada por:
 (1)
A transformada de Laplace de uma função 
 é definida como se segue:
 (2)
O expoente 
 deve ser adimensional. Assim, quando a variável independente 
 for tempo, a dimensão de 
 deve ser o inverso do tempo, isto é, freqüência. Neste caso, por ser uma variável complexa, 
 é freqüentemente denominada “freqüência complexa”.
SI (ou MKS) : a dimensão de 
 ou 
Na equação (2), o limite inferior da integral é considerado igual a 
, de modo que a integral abranja eventuais componentes impulsivas de 
 que ocorram em 
.
Existência da transformada de Laplace
Para que a transformada de Laplace exista, é necessário que a função seja de ordem exponencial, de acordo com:
Definição: Uma função 
 será de “ordem exponencial” 
 se existirem constantes reais 
 e 
 tais que:
, para todo 
. (3)
Quando se considera 
, (ao invés de 
), dizemos simplesmente que 
 é de ordem exponencial.
A característica principal das funções de ordem exponencial é de não poder crescer em valor absoluto, mais rapidamente que 
.
Na prática, isto não representa restrição, pois 
 e 
 podem ser escolhidos tão grandes quanto se queira.
Quando a transformada de Laplace de uma função existe, então a integral:
 (4)
Converge para algum valor finito. Para que isso aconteça, a seguinte condição deve ser satisfeita:
 (5)
Transformada de Laplace de algumas funções simples
a- Constante: Seja 
 uma constante qualquer, então:
donde:
 (6)
 degrau unitário
 (7)
b- Exponencial decrescente: Seja 
 um número real positivo, então:
 (8)
c- Co-seno: Seja uma onda co-senoidal de amplitude unitária e freqüência 
. Evidentemente 
 é real e positivo. A transformada de Laplace (TL) dessa função de acordo com a definição é:
 (9)
 e 
Sabe-se que
então a equação (9) torna-se
 (10)
 (11)
Substituindo da equação (11) em (10), temos:
 (12)
Transformadas de Laplace
	Domínio “s”
	Domínio do Tempo
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Propriedades fundamentais
	Tabela de Propriedades da Transformada de Laplace
	Nome da Propriedade
	Ilustração
	Definição
	
	Linearidade
	
	1º Derivada
	
	2º Derivada
	
	nth Derivada
	
	Integração
	
	Multiplicação por tempo
	
	Deslocamento no tempo
	
	Deslocamento na freqüência
	
	Teorema do Valor Inicial
	
	Teorema do Valor Final
	
Transformada inversa de Laplace
O processo de se obter uma função no tempo a partir de uma transformada de Laplace é denominado transformação inversa.
 é a transformada inversa de 
, matematicamente, 
é obtida a partir de 
 através da seguinte expressão:
	para 
 (1)
Onde c é escolhido de modo que todos os pontos singulares de 
 estejam localizados à esquerda da reta 
 no plano complexo 
, como:
A expressão da transformada inversa é de uso complicado, e por isto é pouco utilizada na prática.
O procedimento normal é, para expressões simples de 
, buscar a expressão da transformada inversa em tabelas. Para transformadas mais complicadas, procura-se desmembrar 
 numa soma ponderada (combinação linear) de expressões mais simples:
 (2)
onde 
 são constantes. Devido à propriedade da linearidade das TL’s a transformada inversa será dada pela mesma soma ponderada das transformadas inversas de cada parcela, ou seja:
 (3)
Este procedimento é o mais utilizado na obtenção de transformadas inversas, especialmente quando as transformadas são funções racionais.
Aplicações
Exemplo 1:
 Laplace 
 ( 
Exemplo 2: O sistema mecânico descrito na figura abaixo é regido pela equação diferencial:
encontre as respostas forçada e natural deste sistema para:
 supondo que: 
Solução:
Aplicando Laplace
Análise Transitória
Análise em Regime Permanente Senoidal
Quando a entrada aplicada a um sistema linear não tem parcelas transitórias, então a resposta particular é a respostaem regime permanente, denotada como segue:
Para um sistema linear invariante no tempo cuja entrada seja 
, a saída seja 
 e a função de transferência operacional 
, como:
 ( 
 e 
Dessas equações, é interessante e importante observar que a função de transferência 
, para 
, dá a relação de amplitudes e o ângulo de defasagem entre os sinais de saída e de entrada, como:
 é conhecida como “função de transferência no domínio da freqüência”. O gráfico de 
 em função de 
 (ou 
) é conhecido como “curva de módulo” do sistema, e o gráfico 
 é conhecido como “curva de fase”. As duas curvas são conhecidas como “diagrama de resposta em freqüência” ou “gráficos de resposta em freqüência”.
Estas duas expressões, juntamente com a série de Fourier e o princípio da superposição de efeitos, são à base de todas as técnicas para projetos de filtros e sintonizadores, tanto nas aplicações industriais quanto em telecomunicações. Uma aplicação importante é no projeto de filtros para eliminação de harmônicos na saída de conversores tiristorizados, e de outros elementos que provocam distorções em ondas de tensão e corrente, onde o projeto do filtro é feito de modo que a amplitude da curva de módulo se aproxime de zero nas freqüências dos harmônicos que devam ser eliminados.
Exemplo- Considere a Função de Transferência : 
Desenhe o diagrama de Pólos e Zeros e calcule a magnitude e o argumento de H(s) com s=j(.
Determine os valores de magnitude e argumento de H(s), para:
(=0,1;0,8;1,0;2,0;5,0;10,0;100
Resposta Natural
Resposta Forçada
Francisco A. Lotufo
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�PAGE �8�
Francisco A. Lotufo
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