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Capítulo 9
ANÁLISE DIFERENCIAL DE 
ESCOAMENTO DE 
FLUÍDOS
2
As equações diferenciais fundamentais do movimento de fluido são
derivados neste capítulo , e mostramos como resolvê-los
analiticamente para alguns escoamentos simples. Escoamento mais
complicados, tais como o escoamento de ar induzido por um
tornado mostrado aqui , não pode ser resolvido exactamente.
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Objetivos
• Entender como a equação diferencial de
conservação da massa e da equação diferencial
de momento são derivadas e aplicadas.
• Calcular a função de corrente e campo de
pressão , e plotar as linhas de corrente de um
campo de velocidades conhecido.
• Obter soluções analíticas das equações de
movimento para um escoamento simples.
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9–1 ■ INTRODUÇÃO
(a) Na análise de volume de controle, o interior do
volume de controle é tratado como uma caixa
preta; (b) na análise diferencial, todos os detalhes
do escoamento são resolvidos em cada ponto do
domínio do escoamento
Técnica do Volume de Controle é útil quando
estamos interessados nas características gerais de
um escoamento, como a taxa de fluxo de massa
para dentro e para fora do volume de controle ou
as forças aplicadas sobre um corpo.
A Análise Diferencial envolve a aplicação de
equações diferenciais de movimento do
escoamento em todos os pontos no campo de
escoamento sobre um região chamada domínio de
escoamento.
Condições de contorno as variáveis devem ser
especificadas todas as fronteiras do domínio do
escoamento; incluindo entradas, saídas, e paredes.
Se o escoamento for variável, devemos estender
nossa solução ao longo do tempo conforme o
campo de escoamento..
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9–2 ■ CONSERVAÇÃO DA MASSA – A 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Para deduzirmos uma equação
diferencial para a conservação da
massa, imaginamos um volume
de controle encolhendo até um
tamanho infinitesimal.
A taxa de variação da massa dentro do
volume de controle é igual às taxas de
fluxos de massa que entra no volume de
controle menos as taxas de fluxos de
massa que sai do volume de controle.
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Dedução usando o teorema do divergente
A maneira mais rápida e mais simples para derivar a forma diferencial da
conservação da massa é aplicar o teorema do divergente (teorema de Gauss).
Esta equação é a forma compressível da equação da
continuidade, uma vez que não têm assumido
escoamento incompressível. Isso é válido em qualquer
ponto no domínio do fluxo.
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Derivando Usando um Volume 
de Controel Infinitesimal
Um pequeno volume de
controle em forma de caixa
centrado no ponto P é
usado para a dedução da
equação diferencial para a
conservação da massa em
coordenadas cartesianas;
os pontos vermelhos
indicam o centro de cada
face.
Em localizações distantes do centro da
caixa, usamos uma expansão em series
de Taylor em relação ao centro da caixa.
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O fluxo mássico através de uma 
superfície é igual a VnA.
A entrada ou a saída de massa através
de cada face do volume de controle
diferencial é indicado através das setas
azuis no centro de cada face.
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O operador divergente em
coordenadas cartesianas e
cilíndricas.
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Combustível e ar sendo 
comprimidos por um 
pistão em um cilindro de 
um motor de combustão 
interna.
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Densidade adimensional
como uma função do
tempo adimensional para
o Exemplo9–1.
Forma alternativa da 
equação da continuidade
À medida que um elemento material se move
através de um campo de escoamento, sua
densidade muda de acordo com a Eq. 9–10.
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Equação da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas
Componente da velocidade e vetores unitários em coordenadas
cilíndricas: (a) escoamento bidimensional no plano xy ou no plano r, (b)
escoamento tridimensional.
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Casos especiais da equação da continuidade
Caso Especial 1: Escoamento permanente compressível
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Caso Especial 2: 
Escoamento 
incompressível
A perturbação de uma 
explosão não é 
sentida até que a 
onde de choque atinja 
o observador.
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Duto convergente, projetado
para um túnel de vento de alta
velocidade (sem escala).
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Linha de corrente 
para o duto 
convergente 
Exemplo 9–2.
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A equação da 
continuidade pode ser 
usada para determinar 
uma componente de 
velocidade que falta.
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Linhas de corrente e perfis de velocidade para (a) um 
escoamento de linha de vórtices (b) um escoamento em 
esperial de linha de vótices-sumidouros.
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(a) Em um campo de 
escoamento incompressível, 
os elementos de fluídos 
podem transladar, distorcer e 
girar, mas não crescem e não 
encolhem em volume; (b) em 
um campo de escoamento 
compressível, os elementos de 
fluído podem crescer ou 
encolher em volume enquanto 
transladam, distorcem e giram.
Discução O resultado final
é geral - não se limitando a
coordenadas cartesianas .
Aplica-se a escoamentos
transientes e escoamentos
permanentes.
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9–3 ■ A FUNÇÃO DE CORRENTE
A Função de Corrente em Coordenadas Cartesianas
Incompressible, two-dimensional stream 
function in Cartesian coordinates:
stream 
function 
Existem várias definições da função
de corrente, dependendo do tipo de
escoamento sob consideração, bem
como do Sistema de coordenadas
que está sendo utilizado.
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Curvas da constante 
são linhas de corrente 
do escoamento.
Curvas onde a função
corrente é constante
representam linhas de
corrente do escoamento
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Streamlines for the velocity 
field of Example 9–8; the 
value of constant  is 
indicated for each streamline, 
and velocity vectors are 
shown at four locations.
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Linhas de corrente para o
campo de velocidade do
Exemplo 9–9; o valor da
constante  é indicado
para cada linha de
corrente.
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A diferença do valor de  de uma linha
de corrente para outra é igual a vazão
volumétrica por unidade de largura entre
as duas linhas de corrente.
(a) Volume de
controle limitado
pelas linhas de
corrente 1 e 2 e
pelas fatias A e B
no plano xy; (b)
Vista ampliada da
região ao redor do
comprimento
infinitesimal ds.
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O valor de  aumenta à esquerda da
direção do escoamento no plano xy.
Ilustração da “convenção do
lado esquerdo”. No plano xy,
o valor da função corrente
sempre aumenta à esquerda
da direção do escoamento.
Na figura, a função corrente aumenta à esquerda da direção do escoamento,
independentemente de quanto o escoamento gira e torce.
Quando as linhas de corrente estão distantes (inferior direito da figura), a
magnitude da velocidade (a velocidade do fluido) na vizinhança é pequena em
relação à velocidade em locais onde as linhas de corrente estão juntas (região
média) .
Isto é causado pelas linhas de corrente convergentes, com a diminuição da área
da seção transversal, a velocidade deve aumentar para manter a vazão entre as
linhas de corrente.
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Linhas de emissão produzidas
pelo escoamento de Hele-Shaw
sobre uma plana inclinada. As
linhas de emissão modelam as
linhas de corrente de
escoamento potencial (Cap. 10)
sobre uma plana inclinada
bidimensional com a mesma
forma da seção transversal.
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Linha de corrente para
escoamento livre ao longo
de uma parede com uma
abertura de sucção estreita;
valores da linha de corrente
são mostrados em unidades
de m²/s; a linha de corrente
grossa é a linha de corrente
divisória. A direção do vetor
velocidade no ponto A é
determinada pela convenção
do lado esquerdo.
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A Função de Corrente em Coordenadas Cilíndricas
Escoamento sobre um corpo
axissimétrico em coordenadas
cilíndricas com simetria rotacional
em relação ao eixo z; tanto a
geometria quanto o campo de
velocidade não dependem de , e
u = 0.
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Linhas de corrente parao 
campo de velocidades do 
Exemplo 9–12, com K = 10 
m2/s e C = 0; o valor da 
constante  é indicado 
para várias linhas de 
corrente.
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A Função de Corrente Compressível
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9–4 ■ EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
As componentes positivas do tensor de tensões em
coordenadas cartesianas nas faces positivas
(direita, superior e frontal) de um volume de
controle retangular infinitesimal. Os pontos
vermelhos indicam o centro de cada face. As
componentes positivas nas faces negativas
(esquerda, inferior e traseira) estão na direção
oposta aquela mostrada.
O tensor de tensões é o tensor que trata
da distribuição de tensões e esforços
internos nos meios contínuos.
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Derivação Usando o Teorema da Divergencia
Uma forma estendida do teorema do
divergente é útil não somente para vetores,
mas também para tensores. Na equação, Gij é
uma tensor de segunda ordem, V é um
volume e A é a área da superfície que
delimita e define o volume.
A Equação de Cauchy é uma forma
diferencial da equação da quantidade de
movimento. Ela se aplica a qualquer tipo
de fluído.
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Dedução Usando um elemento de fluido infinitesimal
O fluxo de momento que
entra e que sai da
componente x do momento
através de cada face de
um volume de controle
infinitesimal; os pontos
vermelhos indicam o
centro de cada face.
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Em geral, o vetor gravidade não está
necessariamente alinhado com qualquer
eixo em especial, e há três componentes
da força de volume agindo em um
elemento infinitesimal de fluído.
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Esboço ilustrando as forças de superfície agindo na
direção x devido à componente apropriada do tensor de
tensões em cada face do volume de controle infinitesimal;
os pontos vermelhos indicam o centro de cada face.
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Formas Alternativas da Equação de Cauchy
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Dedução Usando
Segunda Lei de Newton
Se o elemento de fluído
diferencial é um elemento
material, este se move
com o fluido e a segunda
Lei de Newton pode ser
aplicada.
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9–5 ■ A EQUAÇÃO DE NAVIER–STOKES
Introdução
Para fluidos em repouso, a única
tensão sobre um elemento de
fluido é a pressão hidrostática,
que sempre age para dentro e
normal a qualquer superfície.
ij,  tensor de 
tensões cisalhantes
Pressão Mecânica é a media das tensões
normais atuando sobre um elemento de
fluido.
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Fluido Newtoniano vs Não Newtoniano
Comportamento reológico dos fluídos — a
tensão de cisalhamento como uma função
da taxa de deformação de cisalhamento..
Reologia: O estudo da deformação de
fluidos.
Fluido Newtoniano: Fluido para os
quais a tensão de cisalhamento é
linearmente proporcional à taxa de
deformação.
Viscoelastico: Um fluido que retorna
(total ou parcialmente) a sua forma
original após a tensão aplicada é
libertado
Alguns fluidos não newtonianos são
conhecidos como Cisalhamento diluto
(Shear thinning) ou fluido
pseudoplástico, quanto mais o fluido é
cisalhado, ele se torna menos viscoso.
Fluidos plásticos são aqueles em que
o efeito de pseudoplasticidade é
extremo.
Em alguns fluídos é necessária uma
tensão finita chamada de tensão de
escoamento para que o fluido comece
a fluir, esses fluidos são chamados de
fluidos plásticos de Bingham.
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Fluido dilatante: Quanto mais o fluido é cisalhado, ele se torna mais viscoso.
Quando um engenheiro cai na areia movediça
(fluido dilatante); quanto mais rapidamente
tentar se mover, mais viscoso se torna o
fluido.
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Dedução da Equação de Navier–Stokes para
escoamento incompressível, Isotérmico
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O operador Laplaciano, mostrado
nas coordenadas cartesianas e
cilíndricas, aparece nos termos
viscosos da equação de Navier–
Stokes.
A equação de Navier–Stokes é a
pedra fundamental da mecânica dos
fluídos.
A equação de Navier–Stokes é uma
equação diferencial parcial transiente,
não linear, de segunda ordem.
A Equação 9–60 tem quatro incógnitas
(três componentes de velocidade e a de
pressão), embora ela represente apenas
três equações (três componentes, porque
ela é uma equação vetorial).
Obviamente, precisamos de outra
equação para tenhamos uma solução do
problema . A quarta equação é a
equação da continuidade (Eq. 9–16).
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Equações da Continuidade e de Navier–Stokes em 
Coordenadas Cartesianas
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Equações da Continuidade e de Navier–Stokes 
em Coordenadas Cilíndricas
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Uma forma 
alternativa para os 
dois primeiros 
termos viscosos 
nas componentes 
r e  da equação 
de Navier–Stokes.
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9–6 ■ ANÁLISE DIFERENCIAL DOS 
PROBLEMAS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS
Existem dois tipos de problemas para os quais as equações diferenciais 
(continuidade e Navier–Stokes) são úteis:
• Calculando o campo de pressão para um campo de velocidade conhecido
• Calcular ambos os campos de velocidade e pressão para um fluxo de geometria 
conhecida e condições de contorno conhecidos
Uma campo de escoamento geral
tridimensional, mas incompressível
com propriedades constantes
requer quatro equações para
determinar quatro incógnitas.
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Cálculo do Campo de Pressão para um Campo de 
Velocidade Conhecido
O primeiro conjunto de exemplos envolve o cálculo do campo
de pressão para um campo de velocidade conhecida.
Como a pressão não aparece na equação da continuidade,
que pode, teoricamente, gerar um campo de velocidade
baseada unicamente em conservação de massa.
No entanto, uma vez que a velocidade aparece em ambas as
equações, equação da continuidade e a equação de Navier–
Stokes, estas duas equações são acopladas.
Além disso, a pressão aparece em todas as três
componentes da equação de Navier–Stokes, e, assim, os
campos de velocidade e de pressão também são acoplados.
Este acoplamento entre velocidade e pressão nos permite
calcular o campo de pressão para um campo de velocidade
conhecido.
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Para um campo de 
escoamento bidimensional 
no plano xy , diferenciação 
cruzada revela se a pressão 
P é uma função suave
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O campo de velocidades em um escoamento
incompressível não é afetado pela magnitude da
pressão absoluta, mas apenas por diferenças de
pressão.
Como a pressão
aparece apenas como
um gradiente na
equação de Navier-
Stokes, o valor da
pressão absoluta não é
relevante – somente as
diferenças de pressão
é que importam.
Gráfico de contorno de pressão, gráfico do
vetor velocidade e linhas de corrente para
escoamento descendente de ar através de um
canal com bloqueio: (a) Caso 1; (b) Caso 2 –
idêntico ao Caso 1, exceto que P em todos os
pontos foi aumentada de 500 Pa. Nos gráficos
de contorno, azul representa baixa pressão e
vermelho representa alta pressão. 65
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Linha de corrente e
perfis de velocidade
para uma linha de
vórtices.
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For a two-dimensional 
flow field in the r-plane, 
cross-differentiation 
reveals whether pressure 
P is a smooth function.
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A linha de vórtices bidimensional
é uma aproximação simples de
um tornado; a pressão mais baixa
está no centro dos vórtices.
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Soluções Exatas das equações da 
continuidade e de Navier–Stokes 
Procedimento para resolver a as
equações da continuidade e de
Navier-Stokes.
Boundary Conditions
Um pistão movendo se com uma 
velocidade VP em um cilindro. Um filme 
fino de óleo é cisalhado entre o pistão e o 
cilindro; é mostrada uma vista ampliada do 
filme de óleo. A condição de contorno de 
não escorregamento exige que a 
velocidade do fluido adjacente a uma 
parede seja igual à velocidade da parede.
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Numa interface entre dois
fluidos, a velocidade dos dois
fluidos têm de ser iguais. Além
disso, a tensão de cisalhamento
paralela à interface deve ser a
mesma em ambos os fluidos.
Ao longo de uma superfície livre
horizontalde água e ar, as
velocidades da água e do ar devem
ser iguais e as tensões de
cisalhamento devem ser iguais. No
entanto, uma vez que air << water,
uma boa aproximação é que a
tensão de cisalhamento na
superfície da água é
insignificantemente pequena .
As condições de contorno ao longo de
um plano de simetria são definidas para
garantir que o campo de escoamento em
um lado do plano de simetria seja uma
imagem espelhada do campo de
escoamento no outro lado, como é
mostrado aqui para um plano horizontal
de simetria.
Dependendo da configuração do
problema, outras condições de contorno
podem surgir.
Por exemplo, muitas vezes precisamos
definir as condições de entrada em uma
fronteira do domínio do escoamento onde
o fluido entra no domínio.
Da mesma forma, definimos as condições
de saída na saída do domínio do
escoamento.
Condições de simetria são usados ao
longo de um eixo ou plano de simetria.
Para problemas de escoamento transiente
precisamos definir as condições iniciais
(no momento de partida, geralmente t = 0).
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Geometria do Exemplo 9–15:
escoamento viscoso entre
duas placas infinitas; a placa
superior se move e a placa
inferior encontra-se fixa..
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Uma região totalmente desenvolvida de
um campo de escoamento é uma
região onde o perfil de velocidade não é
alterada com a distância a jusante.
Escoamentos totalmente desenvolvidos
são encontrados em, canais e tubos
longos e reto. O escoamento Couette
completamente desenvolvido é
mostrado aqui – o perfil de velocidade
em x2 é idêntico ao perfil em x1.
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Para campos de escoamento
incompressíveis sem superfícies
livres, a pressão hidrostática não
contribui para a dinâmica do campo
de escoamento.
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O perfil de velocidade
do Exemplo 9–15:
escoamento Couette
entre placas paralelas.
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Tensões agindo sobre um
elemento de fluído
infinitesimal bidimensional
retangular cuja a face inferior
está em contato com a placa
inferior do Exemplo 9–15.
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Um viscosímetro rotacional;
o cilindro interno roda com
velocidade angular , e é
aplicado um torque Tapplied
através do qual calcula-se a
viscosidade do fluido.
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