Lista Exercícios com Gabarito Análise Combinatória

Prévia do material em texto

INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
LISTA 2 - INTRODUC¸A˜O A` MATEMA´TICACOMBINATO´RIA
1aQ) Tem-se n comprimidos de substaˆncias distintas, solu´veis em a´gua
e incapazes de reagir entre si. Quantas soluc¸o˜es distintas podem ser obtidas
dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um copo com a´gua?
2aQ) Em uma sala ha´ 7 laˆmpadas. De quantos modos pode ser ilumi-
nada a sala?
3aQ) Calcule
n∑
k=0
k2Ckn.
4aQ) Prove por induc¸a˜o o Teorema das Linhas.
5aQ) Prove por induc¸a˜o o Teorema das Colunas.
6aQ) Calcule o valor da soma S = 50× 51 + 51× 52 + ...+ 100× 101.
7aQ) Calcule o valor de
n∑
k=0
k(2k + 1)
8aQ) Determine p para que Cp
21
seja ma´ximo.
9aQ) Resolva a equac¸a˜o C2p
15−p = C
9−p
15−p
10aQ) Determine o quinto termo do desenvolvimento de
(
2x−
1
x2
)7
(a) supondo o desenvolvimento ordenado segundo as poteˆncias crescentes
da primeira parcela.
(b) supondo o desenvolvimento ordenado segundo as poteˆncias decres-
centes da primeira parcela.
11aQ) Determine o coeficiente de x3 no desenvolvimento de
(
2x4 − 1
x
)12
.
12aQ) Calcule o termo ma´ximo e o termo mı´nimo do desenvolvimento
de
(
1 +
1
2
)120
.
13aQ) Quantos termos possui o desenvolvimento de
(x1 + x2 + x3 + x4)
20 ?
14aQ) Determine o coeficiente de x17 no desenvolvimento de
(1 + x5 + x7)20.
15aQ) Um torneio e´ disputado por 4 times A,B,C e D. E´ 3 vezes mais
prova´vel que A venc¸a do que B, 2 vezes mais prova´vel que B venc¸a do que
C e e´ 3 vezes mais prova´vel que C venc¸a do que D. Quais as probabilidades
de ganhar para cada um dos times?
16aQ) Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a pro-
babilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.
17aQ) Dez pessoas sa˜o separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um.
Qual e´ a probabilidade de que duas determinadas pessoas A e B fac¸am parte
do mesmo grupo?
18aQ) Sejam A e B eventos tais que P (A) =
1
2
, P (B) =
1
4
e P (A∩B) =
1
5
.
Calcular
(a) P (A ∪B)
(b) P (AC)
(c) P (BC)
(d) P (A ∩BC)
(e) P (AC ∩B)
(f) P (AC ∩BC)
19aQ) Escolhe-se ao acaso um nu´mero entre 1 e 50. Se o nu´mero e´
primo, qual e´ a probabilidade de que seja ı´mpar?
20aQ) Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional
de se obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.
21aQ) Treˆs urnas I, II e III conteˆm respectivamente 1 bola branca e 2
pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna e´ escolhida
ao acaso e dela e´ retirada uma bola, que e´ branca. Qual e´ a probabilidade
condicional de que a urna escolhida foi a II?
22aQ) Uma moeda equilibrada e´ jogada duas vezes. Sejam A e B os
eventos
A : cara na primeira jogada;
B : cara na segunda jogada.
Verifique que os eventos A e B sa˜o independentes.
23aQ) Sacam-se sucessivamente e sem reposic¸a˜o, duas cartas de um
baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1a ser uma dama
e a 2a ser de copas.
24aQ) Uma urna conte´m 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sacam-se, com
reposic¸a˜o, 4 bolas dessa urna. Sejam X e Y respectivamente o mı´nimo e o
ma´ximo dos nu´meros das bolas sacadas. Calcule
(a) P (X > 3)
(b) P (X < 3)
(c) P (X = 3)
(d) P (Y < 5)
(e) P (Y > 5)
(f) P (Y = 5)
(g) P (X = 3 e Y = 9)
(h) P (X = 3 | Y = 9)
25aQ) Sacam-se, com reposic¸a˜o, 4 bolas de uma urna que conte´m 7
bolas brancas e 3 bolas pretas. Qual a probabilidade de serem sacadas 2
bolas de cada cor? Qual seria a resposta no caso sem reposic¸a˜o?
26aQ) Lanc¸a-se um dado na˜o viciado ate´ a obtenc¸a˜o do terceiro 6. Seja
X o nu´mero do lanc¸amento em que isso ocorre. Calcule
(a) P (X = 10)
(b) P (X > 10)
(c) P (X < 10)
27aQ) Dois adversa´rios A e B disputam uma se´rie de 10 partidas. A
probabilidade de A ganhar uma partida e´ 0,6 e na˜o ha´ empates. Qual e´ a
probabilidade de A ganhar a se´rie?
RESPOSTAS
1) 2n−1 15) P (A) = 18/28, P (B) = 6/28, P (C) = 3/28, P (D) = 1/28.
2) 127 16)
b− 1
2
×
(b− 1)!
bb−2
3) n(n+ 1)2n−2 17) 4/9
6) 301750 18) (a)11/20 (b)1/2 (c)3/4 (d)3/10 (e)1/20 (f)9/20
7)
n(n+ 1)(4n + 5)
6
19) 14/15
8) 10 ou 11 20) 1/6
9) 3 21) 5/12
10) (a)
−560
x2
(b)
280
x5
11) −1760 23) 1/52
12) T41 e T121 24) (a)0, 2401 (b)0, 5904 (c)0, 1695 (d)0, 0256
(e)0, 9375 (f)0, 0369 (g)0, 0434 (h)0, 1761
13) 1771 25) 0, 3
14) 3420 26) (a)0, 0465 (b)0, 7752 (c)0, 1783
27) 0, 6331