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Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Mecânica II Parte II Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais, movimentos de projeteis. Referências: [1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996. [2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978. [3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica, ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991. [4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. [5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego, 1985. Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas) Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo. Vetor posição r . Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos i , j e k , isto é, ∣i∣=∣j∣=∣k∣ . Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano. r=x i y j z k ∣r∣=r=x i y j z k ⋅x i y jz k r= x2 y2 z2 Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares). v=˙r= lim t0 r t =d r dt ˙r= ddt x i y jz k =dx dt i dy dt j dz dt k=x˙ i y˙ j z˙ k v= lim t 0 s t =ds dt = lim t0 ∣r∣ t =∣ limt 0 r t ∣=∣d rdt ∣=∣˙r∣ v= x˙2 y˙2 z˙2 Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura x˙= dxdt , x¨ i= d 2 x i dt 2 ,onde x i é uma variável qualquer de um sistema de coordenas. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 1 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares). a=˙v= lim t0 v t = d v dt =d 2r dt2 ¨r= d dt x˙ i y˙ j z˙ k = d x˙ dt i d y˙ dt j d z˙ dt k= x¨ i y¨ j z¨ k a=¨r=d v dt = d 2r dt 2 a=∣¨r∣= x¨2 y¨2 y¨2 Movimento relativo. Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo: Posição relativa r A/ B r B=r Ar B / A Velocidade relativa v A/B d dt r B= d dt r Ar B /A ˙r B=˙r A˙r B /A⇒v B=v AvB / A Aceleração relativa a A /B ¨r B=¨r A¨r B /A⇒a B=a AaB /A Exercícios. 1. Dispara-se um projétil de uma colina de 150 m de altura, com uma velocidade inicial de 180 m/ s , num ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo. Resposta: Consideremos separadamente o movimento vertical e horizontal. (a) Movimento vertical (direção y ). y0=150 m , y˙0=v cosθ=180cos30º m /s y= y0 y˙0 t 1 2 g t2 0=2y02 y˙0 tg t 2⇒ t= −2 y˙0± 2 y˙0 2−4g 2y0 2g t=19,9 s tempo de queda da bala. Movimento na horizontal (direção x). x0=0, x˙0=v sen =180 sen 30º m / s x=x0 x˙0 t⇒ x=3,10 km (b) Elevação máxima Quando a elevação é máxima temos um ponto de retorno da variável y , sendo que y˙=0 , assim, temos: y˙= y˙0g t⇒0= y˙0g t⇒ t= − y˙0 g y= y0 y˙0 t 1 2 g t2⇒ Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 2 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br ymax= y0− y˙0 y˙0 g 1 2 g− y˙0g 2 = y0− y˙0 2 2g ymax=413 m Outro método mais direto seria pela equação de Torricelli. y˙2= y˙0 22g y−y0 ⇒0= y˙022g ymax− y0 ymax=y0− y˙0 2 2g =413 m 2. Um automóvel A está trafegando para leste com uma velocidade constante de 25 km /h . Quando passa pelo cruzamento ilustrado na figura, um automóvel B , que estava parado a 30 m ao norte dirige-se para o sul com uma aceleração constante de 1,2 m / s2 . Determine a posição, velocidade e aceleração de B relativos à A 5,0 s após A passar pelo cruzamento. Resposta: Escolhemos a origem no cruzamento das duas ruas com os sentidos, para leste e norte. Movimento do automóvel A . xA=0, x˙ A=6,94 m / s , xA=x0A x˙ t=6,94 t Para t=5 s , temos: xA=6,94 t=34,7 m Movimento do automóvel B . a B=1,3 m / s 2 , y˙ B= y˙0BaB t=−1,2 t , y B= y0B y˙0 t 1 2 a B t 2=30−12 1,2 t 2 Para t=5 s , temos y˙B=6 m/ s , yB=15 m Movimento relativo de B em relação à A . Determinando o triangulo correspondente à equação vetorial r B=r Ar B /A , obteremos o modulo, direção e sentido do vetor B em relação à A . r A/ B=37,8 m⇒=23,4 º Procedendo de forma análoga temos: v A/B=9,17 m/ s⇒=40,8 º aA/ B=1,2 m / s 2 3. O movimento de um ponto material é dado pelas equações x=2t2−4t e y=2 t−12−4 t−1 , onde x e y são dados em metros e t em segundos. Determinar (a) o mínimo valor da velocidade escalar do ponto e (b) o instante, a posição e a direção da velocidade correspondente. 4. Um ponto material descreve uma elipse de equação: r=Acos t iBsen t j . Mostre que a aceleração (a) aponta para a origem e (b) é proporcional a r . Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 3 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br 5. As equações dadas definem o movimento de um ponto material: r=2 t1 2 i2 t1 −2 j , onde r é dado em metros e t em segundos. Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento de hipérbole mostrado na figura abaixo e determinar a aceleração quando (a) 0=t e (b) st 5= . 6. O movimento vibratório de um ponto material é definido pela equação r=4sin t i−cos 2t j , onde r é dado em metros e t em segundos. (a) Determinar a velocidade e a aceleração em t=1 s e (b) mostre que a trajetória limita-se a um arco de parábola: 7. O movimento tridimensional de um ponto material é definido por r=R sen t ict jR cos t k . Determinar os módulos da velocidade e da aceleração do ponto (A curva descrita pelo ponto é um hélice). 8. Um jogador de handebol atira uma bola do ponto A , com velocidade horizontal v0 . A distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor de v0 para o qual a bola atingira o vértice C e (b) o intervalo de valores de v0 para os quais a bola atingira a região BCD . 9. Descarrega-se areia do ponto A de uma esteira horizontal, com velocidade inicial v0 . Determine o intervalo de valores de v0 para os quais a areia entrara no tubo vertical. 10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma plataforma. O bocal A expele uma água a uma velocidade inicial de 7,6m/ s formando um ângulo de 50º com a vertical. Determine o intervalo de alturas h para as quais a água atinge a abertura BC . 11. Considerando-se que a esteira se move com velocidade constante v0 , (a) determinar o valor mínimo de v0 para o qual a areia pode ser depositada em B . Determina também o correspondente valor de . 12. Os instrumentos de um avião indicam que ele está se movendo para o norte com velocidade de 500 km /h , em relação ao ar. Simultaneamente, um radar terrestre indica que Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 4 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br o avião se move com velocidade de 530 km /h numa direção que faz um ângulo de 5º voltado para o leste. Determina a magnitude e a direção da velocidade do ar. 13. Dispara-se um projétil com velocidade inicial v0 , a um ângulo de 20º com a horizontal. Determine v0 para o projétil atingir (a) B (b) C. 14. Num dado instante, a peça A tem velocidade de 16 mm /s e uma aceleração de 24 mm/ s2 , ambas para baixo. Determina (a) velocidade do bloco B e (b) sua aceleração, no mesmo instante. 15. Um jogador atira uma bola com velocidade v0=15 m /s , de um ponto A localizado a 1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a máxima altura do ponto B que pode ser atingida pela bola. 16. Dois aviões A e B coando a uma mesma altitude; o avião A está voando para o leste a uma velocidade constante de 900 km /h , enquanto B está coando para sudoeste a uma velocidade constante de 600 km /h . Determine a mudança de posição de B relativamente a A, que ocorre durante um intervala de 2 min . 17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em movimento em movimento para a direita, com aceleração constante de 100 mm / s2 e o bloco B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo da cunha, indo para a esquerda com uma aceleração de 150 mm / s2 relativamente a cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e (b) sua velocidade no instante t=4 s . 18. Esguicha-se água de A com velocidade inicial de 12 m / s , atingindo-se uma série de pás em B. Sabendo-se que as pás se movem para baixo com velocidade constante de 1,5 m / s , determine a velocidade e a aceleração em relação à pá em B. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 5 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas). Um pouco de calculo vetorial: Seja A um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição: A⋅A=constante Seja q uma coordenada do espaço que define A : temos: d dq A⋅A =0⇒ d A dq ⋅A A⋅d A dq =2 A⋅d A dq =0 ⇒ A⋅d A dq =0⇔A⊥ d A dq Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo. Seja eqi um vetor unitário, eqi⋅eq j=ij onde ij={1 se i= j0 se i≠ j , na direção da coordenada qi , assim temos eqi⋅eq i=1⇒ d dq j eq i⋅eq i=0⇒eqi⋅ d eq i dq j d eq i dq j ⋅eq i=2 eq i⋅ d eqi dq j =0⇔eq i⊥ d eqi dq j Logo podemos definir eq j como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma: eq j= 1 k d eqi dq j . onde k=∣d eqidq j ∣ é conhecido como curvatura da curva. Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção eqk que orienta a terceira coordenada, chamemos de coordenada qk . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme um conjunto linearmente independente com eqi e eq j . Podemos construir esse vetor kqeˆ da forma: jik qqq eee ˆˆˆ ×= Observe que ∣eqk∣=∣eqi×eq j∣=∣eq i∣∣eq j∣sen2 =1 Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer. Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano. Seja um ponto material em um movimento plano dado por: r=r s , t Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos: v=˙r= d r dt = ds dt d r ds =v et , com et= d r ds onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor d r ds é unitário. Calculando a aceleração temos: a=˙v=d v dt = d dt v e t = v˙ e tv ˙et= v˙ e tv ds dt d e t ds =v˙ e tv 2 d e t ds = v˙ e t v2 en , com en= 1 d e t ds Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 6 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br a= v˙ e t v2 en onde =∣d e tds ∣ é a curvatura da curva r=r s , t . Os vetores et e en formam um plano que contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador. O modulo da aceleração a=∣a∣= v˙2 v2 2 . Exercícios. 1. Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração uniforme. Sua velocidade é de 100 km/h no ponto A da depressão e de 50 km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra 120 m de A ao longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma desaceleração total de 3 m / s2 em A e se o raio de curvatura da elevação em C é de 150 m , calcule (a) o raio de curvatura em A , (b) a aceleração no ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C . Resposta v A=100 km /h=27 ,8 m /s smhkmvC 89,1350 == Calculo da desaceleração uniforme ao longo da trajetória: ∫ vdv=∫a t ds⇒ 12 vC 2−v A 2 =a t s a t= 1 2s vC 2−v A 2 =−2,41 m /s2 (a) Condição em A a2=at 2an 2⇒an 2=a2−a t 2=32−2,412=3,19 an 2=3,19⇒an=1,785 m / s 2 an= v 2 ⇒= v 2 an = 27,8 2 1,785 =432 m (b) Condição em B Uma vez que o raio de curvatura é infinito em um ponto de reflexão, pode-se facilmente calcular an=0 e: a=a t=−2,41 m /s 2 (c) Condição em C an= v2 ⇒an= 13,892 150 =1,286 m / s2 a=an ena t e t=−1,286 en2,41 et m /s2 a=an2a t2=2,73 m /s2 2. Um carro a uma velocidade constante v0 encontra-se numa rampa circular de um trevo, movendo-se no sentido de A para B . O odômetro do carro indica uma distância de 0,6 km entre o ponto A e o ponto B . Determine v0 para que a componente normal da aceleração seja 0,08 g . Resposta: =0.6⇒≈191 m an= v0 2 ¿⇒ v0 2=an=191⋅0.08g≈150 ⇒ v0=12,25 m / s 3. Uma fita de computador move-se sobre dois tambores, a uma velocidade v0 . A componente normal da aceleração da porção da fita em Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 7 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br,site: www.joaoflf.poli.br contato com o tambor B é 122 m / s2 . Determinar (a) a velocidade v0 e (b) a componente normal da aceleração da porção da fita em contato como o tambor A . 4. Um ônibus parte do repouso descrevendo uma circunferência de 250 m de raio. Sua aceleração a t constante é igual a 0,6 m/ s2 . Determinar (a) o tempo necessário para que o módulo da aceleração total do ônibus atinja 0,75 m / s2 . Determinar (b) também à distância percorrida nesse tempo. Resposta: a t=0,6 m / s 2 , r=250 m , v0=0, a t=?=0,75 m /s2 , s t=?=? (a) a2=at 2an 2⇒an= v2 r =a2−a t2 v=r a2−a t2 v=v0a t t⇒ r a2−a t=a t t ⇒t=r a 2−a t 2 a t (b) s=v0 t 1 2 a t t 2 ⇒ s=1 2 r a2−a t2 a t 5. A velocidade inicial do jato d’água na figura é 7,62 m / s . Determine o raio de curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu ponto de máxima. 6. Um trem entra em uma seção curva horizontal dos trilhos a uma velocidade de 100 km /h , e diminui a velocidade com uma desaceleração constante para 50 km /h em 12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem grava a aceleração horizontal de 22 sm quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule o raio de curvatura dos trilhos nesse instante. 7. Um satélite irá se manter em orbita circular em torno da Terra, desde que a componente normal de sua aceleração seja igual a g R /r 2 , onde g=9,81 m / s2 , R=6,37⋅103 km e r distância entre o satélite e o centro da Terra. Determine a altitude de um satélite para que ele possa orbitar a uma velocidade de 2,65⋅104 km / h . 7. A velocidade de um carro aumenta uniformemente com o tempo de 50 km /h em A para 100 km /h em B durante 10 s . O raio de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se o módulo da aceleração total do centro de massa do carro é o mesmo em B e em A , determine o raio de curvatura B da depressão na estrado em B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da estrada. Resposta: B=163,0 m 8. O carro C aumenta sua velocidade a uma taxa constante de 1,5 m / s2 conforme percorre a curva mostrada. Se o módulo da aceleração total do carro é 2,5 m /s2 no ponto A , onde o raio de curvatura é de 200 m , determine a velocidade v do carro nesse ponto. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 8 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br 9. O pino P da manivela PO conecta-se a ranhura horizontal na guia C que controla seu movimento sobre a haste vertical fixa. Determine a velocidade y˙ e a aceleração y¨ da guia C para um dado valor do ângulo se (a) ˙= e ¨=0 (b) ˙=0 e ¨= . Resposta: (a) y˙=rsen , y¨=r2cos (b) y˙=0, y¨=rsen Movimento em coordenadas polares: Em um sistema de coordenadas polares r , temos como escrever a posição da partícula por r r , da forma: x=r cos , y=r sen r=x i y j=r cos ir sen j=r cos isen j =r r r=cos isen j Calculando a velocidade temos: v=˙r= ddt [r cos isen j ]= r˙ rr ˙ −sen icos j v= r˙ rr ˙ onde = d r d =−sen icos j . Observe também que r=−d θ d , θ= d rd Calculando a aceleração temos: a=˙v= d dt r˙ rr θ˙ θ = r¨ rr˙ d r dt θ d dt r θ˙ r θ˙ d θ dt =r¨ r r˙ dθ dt d r dθ θ d dt r θ˙ r θ˙ dθ dt d θ dθ a= r¨ rr˙ θ˙ θθ r˙ θ˙r θ¨ −r θ˙ 2 r a= r¨−r θ˙2 rr θ¨2 r˙ θ˙ θ Tendo como módulos: v= r˙ 2rθ 2 a= r¨−r θ˙22r θ¨2 r˙ θ˙ 2 Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 9 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Movimento em coordenadas cilíndricas: Em movimentos cilíndricos temos: r=x i y jz k=r cos θ irsen θ jz k v=˙r= r˙ rr θ˙ θ z˙ k a= r¨−r θ˙2 rr θ¨2 r˙ θ˙ θ z¨ k Tendo como módulos: v= r˙ 2rθ 2 z˙ 2 ( ) ( ) 2222 2 zrrrra +++−= θθθ Exercícios. 1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação =0,15 t 2 onde e expresso em radianos e t em segundos. O curso B desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento em relação a O dado por r=0,9−0,2 t 2 , onde r está em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração do curso B após ter girado por 30º . Resposta: =0,15 t 2 rad ⇒˙=0,30 t rad / s ⇒¨=0,30 rad / s2 r=0,9−0,2 t 2 m ⇒ r˙=−0,4 t m / s ⇒ r¨=−0,4 m / s2 Velocidade: v= r˙ rr ˙ v=−0,4 t r0.90,2 t 2 0.3t v=−0,4 t r0.27t0,6 t3 Aceleração: a= r¨−r ˙2 rr ¨2 r˙ ˙ a=−0,4−0,9−0,2 t2 0,30 t 2 r 0,9−0,2 t 2 0,302 −0,4 t 0,30 t a=−0,4−0,081 t20,018 t 4 r 0,27−0,06 t 2 −0,24 t 2 a=−0,4−0,081 t20,018 t 4 r 0,27−0,30 t 2 Para =30º =0,15 t 2=30 180 = 6 ⇒ t=1,867 s Assim: v=−0,747 r4,41 m / s v= −0,747 24,41 2=4,72 m / s a=−0,464 r−0,775 m /s2 a=−0,464 2−0,775 2=0.903 m/ s2 2. O movimento de um ponto material é definido por r=2b cos t , = t , onde b e são constantes positivas. Determine (a) a velocidade e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre a trajetória do ponto material. 3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de Arquimedes. As relações r=10t e =2 t definem o ponto P , onde r é expresso em metros e t em segundos. e radianos. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 10 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Determine a velocidade e a aceleração do ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s 4. O pino B pode deslizar livremente pela abertura circular DE e também pela abertura feita na barra OC . A barra OC gira uniformemente a uma razão ˙ (a) Mostre que a aceleração de B tem módulo constante e (b) determine sua direção. Resposta, Usando a lei dos senos ou dos cosenos, temos: r=2b cos ⇒ r˙=−2b ˙ sen⇒ r¨=−2b ¨sen −2b ˙2 cos⇒ r¨=−2b ˙2cos =˙ t⇒˙=˙⇒ θ¨=0 a= r¨−r ˙2 rr ¨2 r˙ ˙ a=−2b ˙2 cos −2b ˙2 cos r−2⋅2b ˙2 sen a=−4b ˙2 sen rcos Porem sabemos que: r=cos isen j =−sen icos j Assim temos: sen rcos =j a=−4b ˙2 j⇒a=4b ˙2=const. 5. O movimento de um ponto material sobre a superfície de um cone circular reto é definido por R=ht tg , =2t e z=ht , onde é o ângulo do vértice do cone e h é o avanço em altura que o ponto sofre em cada volta completa. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto, em função do tempo t . 6. O movimento tridimensional de um ponto é definido por R=A , =2t , e z=Asen 2 2t . Determine a (a) velocidade e a (b) aceleração, em modulo. v=R˙ erR ˙ e z˙ k a= R¨−R˙2 erR ¨2 R˙ ˙ eθ z¨ k 2sen x cos x =sen 2x Resposta R=A⇒ R˙=0, R¨=0 =2 t ⇒˙=2 , ¨=0 z=Asen 2 2 t ⇒ z˙=2A 2sen 2t cos 2 t z˙=2Asen 4 t ⇒ z¨=8A2 cos 4 t (a) v=2A e2A sen 4 t k v=4 A 24 A2 sin2 4t v=2A1sen 2 4 t (b) a= R¨−R θ˙2 erR θ¨2 R˙θ˙ eθ z¨ k v=R˙ e rR θ˙ eθ z˙ k v=0 er2A eθ2Aπ sen 4 t k a=A 2 2 er8A 2cos 4 t k ( )kteAa r ˆ)4cos(ˆ4 2 pipi += )4(cos14 22 tAa pipi += 7. O movimento tridimensional de um ponto é definido por R=A 1−e−t , =2 t , e z=B 1−e−t . Determine a (a) velocidade e (b) a aceleração, em modulo, para t=0 e t∞ . Respostas: R=A 1−e−t ⇒ R˙=Ae−t , R¨=−Ae−t Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 11 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807 Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br =2 t ⇒˙=2 , ¨=0 z=B 1−e−t ⇒ z˙=Be−t , z¨=−Be−t (a) v=R˙ erR θ˙ eθ z˙ k v=Ae−t er2A1−e −t eθBe −t k v=A2e−2t4A221−e−t 2B2e−2t Para t=0 v=A2B2 Para t∞ v=2A . (b) a= R¨−R θ˙2 erR θ¨2 R˙ θ˙ eθ z¨ k a=−Ae−t4π21−e−t e r4π Ae−t eθ−Be−t k Para t=0 a=−A er4πA eθ−B k a=A2B216 A2 π 2 Para ∞→t reAa 24 pi−= . a=16 A2 π 4=4Aπ2 8. Um elétron sobre a ação de um campo magnético espacialmente não uniforme o movimento em um espiral hiperbólico r =b , mostrado na figura abaixo. Determine o modulo da velocidade em termos de b , e ˙= Respostas: r= b θ r˙=− b 2 ˙=− b 2 , (a) v= r˙ err ˙ e v= b 2 err e v= b24 2r 22=2 b2r 24 v= 2 b2b22=b 2 12 9. Um elétron sobre a ação de um campo magnético espacialmente não uniforme o movimento em um espiral r=r 0e b , mostrado na figura abaixo. Sabendo-se que θ¨=0 . Determine o modulo da aceleração em termos de b , r e ˙= Respostas: r=r 0 e b r˙=r 0 b ˙ e b=r0 bωe b r¨=r 0 b ˙ e b=r0 b 22 eb a=r 0 b22 eb−r02 eb er2r0 b2 eb e a=r0 2 eb[ b2−1 er2b e] a=2 r b2−124b2=2 r b4−2b214b2 a=2 r b42b21=2r b212 a=2 r b21 9. Uma partícula realiza um movimento obedecendo a equação r t =a t−t ' cos t ia t−t ' sen t j−b t−t ' j onde a ,b , e t ' são constantes. (a) Esboce um gráfico tridimensional xyz a trajetória da partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule o módulo de sua aceleração. 10. Uma partícula realiza um movimento obedecendo a equação r t =at cos t iat sen t jbt k , onde e a ,b e são constantes. (a) Esboce um gráfico tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b) e calcule o módulo de sua aceleração. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 12 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
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