[8789 29370]05 algebra moderna (1)

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Capítulo 5
Operações
Neste capítulo, você irá compreender o que é uma operação e estudar operações 
propriedades associadas a um conjunto. O estudo deste capítulo possibilitará a você 
construir tabelas de operações e identificar operações em uma tabela de operações 
propriedades, além de conhecer a estrutura de grupo e identificar subgrupos.
5.1 Operação binária interna
Em muitas situações que envolvem a matemática, determinados conteúdos 
podem comportar-se de forma similar, mesmo, aparentemente, sendo distintos. 
Isso faz com que esses conteúdos possam ser classificados em determinadas 
categorias e, consequentemente, apresentar algumas conclusões similares. 
Veremos a noção de três estruturas que envolvem um conjunto e algumas 
operações: são os chamados grupos, anéis e corpos. 
Historicamente, a estrutura de grupo foi introduzida pelo matemático francês 
Evariste Galois (1811-1832), o qual associou a cada equação um grupo formado 
por permutações de suas raízes. A partir daí, observou-se que esta estrutura era 
um importante instrumento que auxiliava na organização e no estudo de vários 
tópicos matemáticos.
Em paralelo a este estudo, o matemático irlandês William R. Hamilton (19805-
1865) dedicou-se ao desenvolvimento de um sistema numérico que culminou 
na criação de novos números, os chamados quaternários. E pôde perceber 
que, entre eles, algumas operações não admitiam determinadas propriedade 
(comutatividade), plantando, assim, a ideia inicial de corpo e anel.
SILVA, Kelen Regina Salles; CRIPPA, Jane de Oliveira. Álgebra Moderna. Palhoça: UnisulVirtual, 2016. 
p. 119-166.
120
Capítulo 5 
Para compreender essas estruturas, você precisa percorrer um caminho inicial 
e estudar detalhadamente o conceito de operação associada a um conjunto, o 
que fará com que você perceba uma maior abstração – e veja que existem outras 
formas de operar elementos além das usuais (adição, multiplicação, subtração etc.). 
Uma operação pode ser entendida como um “comando” ou uma “tarefa” a ser 
executada por uma determinada “lei” ou “regra”. Se a operação envolve dois 
elementos de um determinado conjunto, ela é chamada de operação binária e se, 
além disso, o resultado da operação, obtido após a aplicação da lei, pertencer ao 
conjunto dado, essa operação é chamada de operação binária interna.
É importante entender que uma operação está associada a elementos de 
um conjunto.
Definição 5.1: seja A um conjunto não vazio, uma operação binária interna (*) 
definida em A é uma aplicação f de em A. 
Nesse caso, dizemos que se A é um conjunto munido da operação *, e se 
 , então é o resultado da operação * sobre .
Dado um conjunto A, algumas operações conhecidas são:
 • Adição: dados .
A operação + chama-se adição, e é chamada de soma.
 • Multiplicação: dados .
A operação . chama-se multiplicação, e é chamada de produto.
Outras operações podem ser definidas e, quando não for uma operação 
usual, os símbolos *, são utilizados para representá-las.
Exemplo 5.1: a adição, a multiplicação e a subtração definidas em Z são alguns 
exemplos de operações binárias internas.
Observe a representação de cada uma:
 
(a, b) a + b 
 
121
Álgebra Moderna 
(a, b) a . b 
 
(a, b) a – b.
Em todas elas, o domínio é , o contradomínio é Z e, para cada elemento do 
domínio, é associado um único elemento do contradomínio.
Exemplo 5.2: as operações adição e multiplicação usuais também são ditas 
binárias internas nos conjuntos numéricos N, Q, IR, C.
Exemplo 5.3: a potenciação em N* definida por tal que 
 é uma operação binária interna. Pois, dado . O resultado 
obtido pela lei é um número natural, diferente de zero.
Exemplo 5.4: a divisão em Q*, definida por , tal que é 
uma operação binária interna. Pois, dado , o resultado obtido pela 
lei é um número racional, diferente de zero.
Exemplo 5.5: a divisão em Z* definida por , tal que não 
é uma operação binária interna, pois se tem-se .
Exemplo 5.6: no conjunto das matrizes do tipo m por n de números reais, 
a operação de adição é binária interna. Ou seja, dadas duas matrizes quaisquer:
 e .
Temos que: 
.
 
122
Capítulo 5 
Outras operações com matrizes também podem ser chamadas de binárias 
internas, por exemplo, a multiplicação usual em .
Veja a seguir alguns exemplos de operações não usuais. 
Exemplo 5.7: a operação , tal que é binária interna, 
sendo “.” a multiplicação usual nos inteiros e “–” a subtração usual nos inteiros. 
Assim, dados quaisquer dois números inteiros a e b, o resultado da operação 
 será um número inteiro.
Veja:
Se , então , pois a operação multiplicação é binária interna em Z, 
além disso, , justificada acima, com b = 3.
Logo , pois a subtração de dois inteiros resulta em um inteiro.
Somente para ilustrar, veja alguns exemplos numéricos:
 
 
 .
Exemplo 5.8: a operação tal que é binária interna, 
sendo “+” a adição usual nos reais. Isto é, dados quaisquer dois números reais a 
e b, o resultado da operação será um número real.
Pois, dados então (a operação adição é binária interna em IR).
Dividindo um número real por 2, resulta em um número real.
Vamos ilustrar com alguns exemplos numéricos:
 
 
 .
123
Álgebra Moderna 
É importante compreender que, ao estudarmos uma operação binária 
interna, você precisa saber a qual conjunto ela está associada. Além disso, 
o conjunto não necessariamente é um conjunto numérico e a operação não 
necessariamente é uma aplicação usual.
No Capítulo 3, você estudou congruência e classes de congruência, viu que 
as classes formam conjuntos. Vamos ver agora que é possível realizar algumas 
operações em Zn.
5.1.1 Operações no Zm 
Definição 5.2: a operação binária interna em , m > 0, 
chamada de:
 • Adição, definida por:
+: 
( ) .
 • Multiplicação, definida por:
. : 
( ) .
O domínio dessas operações é Zm × Zm e o contradomínio é Zm .
Com isso, vemos que é possível somar e multiplicar duas a duas classes de 
congruência módulo m e suas respectivas imagens são classes de congruência 
módulo m.
Além disso, você viu no Capítulo 3 que as classes de congruência módulo m 
estão diretamente relacionadas aos restos da divisão por m. Isso garante que a 
cada elemento do domínio é associado um único elemento do contradomínio. 
Visto que se a + b > m – 1, existe um único 0 r < m, tal que = .
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Capítulo 5 
Exemplo 5.9: dado , conforme vimos no Exemplo 3.34, vamos 
realizar algumas adições com elementos de Z5:
 
 
 que, conforme visto em 3.34, é igual a .
Analogamente,
 (resto da divisão de 6 por 5).
 (resto da divisão de 7 por 5).
Algumas multiplicações:
 
 
 
 . 
Por que é importante estudar as operações?
Porque operações associadas a conjuntos podem formar determinadas 
estruturas algébricas.
5.1.2 Propriedades das operações
No Capítulo 1, você estudou algumas propriedades da adição dos inteiros. Essas 
propriedades também podem ser analisadas em outros conjuntos com outras 
operações. Vamos chamar um conjunto qualquer de A e uma operação qualquer 
de operação *.
125
Álgebra Moderna 
Assim, podemos escrever as propriedades como:
associativa: para quaisquer a, b e c ∈ A deve-se ter:
(a * b) * c = a * (b * c).
comutativa: para quaisquer a e b ∈ A deve-se ter:
a * b = b * a.
elemento neutro: deve existir um (único) elemento e ∈ A tal que para qualquer a ∈ A:
a * e = e * a = a.
elemento simetrizável: para cada a ∈ A deve existir um a' ∈ A tal que:
a * a' = a' * a = e 
Podemos denotar o simétrico de a por a–1.
Atenção: um elemento é dito simetrizável se admite 
simétrico. A propriedade do elemento simetrizável só pode 
ser analisada se a propriedade do elemento neutro for 
satisfeita. Pode acontecerde apenas alguns elementos de 
um conjunto admitirem simétrico para determinada operação.
Conforme mostrado no Capítulo 1, as propriedades são válidas 
para a adição e a multiplicação no conjunto dos números 
inteiros. Vejamos agora como avaliar a validade dessas 
propriedades para outras operações em outros conjuntos.
Exemplo 5.10: a adição nos conjuntos N, Q e IR admite a:
Associativa: para quaisquer a, b e c N, Q e IR vale a igualdade:
(a + b) + c = a + (b + c).
Simetrizável
Se a operação é 
adição, chamamos o 
simétrico de oposto, 
se é multiplicação, ele 
é chamado de inverso 
e, neste caso, dizemos 
que o elemento é 
invertível ou inversível. 
126
Capítulo 5 
Comutativa: para quaisquer a e b N, Q e IR vale a igualdade:
a + b = b + a.
Existência do elemento neutro: para qualquer a N, Q e IR o elemento neutro é o 0, pois:
a + 0 = 0 + a = a.
Elementos simetrizáveis: todo elemento a N, Q e IR admite oposto, o elemento (–a), pois:
a + (–a) = (–a) + a = 0.
Observe que não existem elementos simetrizáveis no conjunto dos números 
naturais N com a operação adição. 
Exemplo 5.11: a multiplicação nos conjuntos N, Q e IR admite a:
Associativa: para quaisquer a, b e c N, Q e IR vale a igualdade:
(a . b) . c = a . (b . c).
127
Álgebra Moderna 
Comutativa: para quaisquer a e b N, Q e IR vale a igualdade:
a . b = b . a.
Existência do elemento neutro: para qualquer a N, Q e IR o elemento neutro é o 1, pois:
a . 1 = 1 . a = a.
Elemento simétrico: todo elemento a Q* e IR* admite inverso, o elemento , pois:
 .
Você viu no Capítulo 1 que nem todo número inteiro admite inverso. 
Veja agora que apenas os inteiros 1 e –1 são invertíveis, pois . O 
inverso de 1 é 1:
 o inverso de é .
No conjunto dos N, algum elemento é invertível?
Exemplo 5.12: a adição usual em admite todas as propriedades. 
Sendo
 . 
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Capítulo 5 
Valem as propriedades listadas a seguir.
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C), pois 
 
Pois os elementos aij, bij, cij IR e vale a associatividade na adição dos reais.
 .
Comutativa: (A + B) = (B + A), pois
 
Pois os elementos aij, bij IR e vale a comutatividade na adição dos reais.
129
Álgebra Moderna 
Elemento neutro: para qualquer matriz A M2x2 (IR) o elemento neutro é a matriz 
nula de M2x2 (IR) , pois
 .
Pois o elemento neutro da adição dos reais é o 0.
Elemento simétrico (oposto): toda matriz A M2x2 (IR) admite oposta.
Dada a matriz , devemos determinar uma matriz , tal que
 
Portanto, a oposta da matriz A é .
Também podemos analisar as propriedades quando a operação não é usual.
130
Capítulo 5 
Exemplo 5.13: suponha o conjunto (conjunto das triplas ordenadas de 
números inteiros) e a operação *, definida por tem-se 
 , sendo “.” a multiplicação usual nos inteiros. Vamos 
verificar se:
* é associativa;
* é comutativa;
* admite elemento neutro;
* admite algum elemento simetrizável.
Dados 
Associativa: , pois 
.
 
Por outro lado
. 
Comutativa, vale a igualdade
 
pois, 
 .
131
Álgebra Moderna 
Elemento neutro
Para estudar a existência do neutro, temos que verificar se existe 
tal que: .
Vejamos:
 .
Logo .
Elementos simetrizáveis
Agora, que mostramos a existência do neutro, podemos analisar a simetria, então 
temos que verificar se existe tal que: 
 .
Assim, o simétrico de um elemento por * seria da forma , mas 
observe que ele só pertence a se . 
Portanto, os elementos de que admitem simétrico por * são da forma 
 .
Atenção: é importante você saber que se uma operação admite elemento neutro 
em um conjunto ele é único, o mesmo vale para o simétrico de algum elemento.
132
Capítulo 5 
Proposição 5.1: se uma operação * sobre um conjunto A admite elemento neutro, 
ele é único.
Demonstração:
Suponha que sejam elementos neutros da operação *, então:
Se e é o neutro , temos .
Se é o neutro , temos , logo .
Proposição 5.2: se uma operação * sobre um conjunto A é associativa e admite 
elemento neutro, temos:
(i) se qualquer elemento a A admite simétrico a´, então este é único;
(ii) se a A é simetrizável, então seu simétrico a´ também é e o simétrico de a´ é a.
Demonstração:
(i) Suponha que sejam simétricos de a, então se e é o 
elemento neutro:
 , logo .
(ii) Suponha simétrico de a, temos
 , logo é simétrico de , isto é, .
Exemplo 5.14: suponha o conjunto e a operação *, definida por 
tem-se . Vamos verificar se * admite elemento neutro. Ou seja, verificar se 
existe em algum e, tal que .
133
Álgebra Moderna 
Observe que:
se e = 1, vale a igualdade ;
se e = –4, vale a igualdade ;
se e = 15, vale a igualdade .
Ou seja, para qualquer valor de e, a igualdade é válida. Neste caso, o 
neutro não existe, pois ele deve ser único.
Em algumas situações, vamos precisar analisar ainda outra propriedade, a 
chamada distributiva, que associa duas operações.
Distributiva: dadas duas operações * e ∆ sobre um conjunto A. 
Dizemos que ∆ é:
Distributiva à esquerda relativamente a * se para quaisquer a, b, c, A:
 .
Distributiva à direita relativamente a * se para quaisquer a, b, c, A:
 .
Exemplo 5.15: vale a distributiva na multiplicação de inteiros em relação à adição, 
tanto à direita quanto à esquerda. Ou seja, dados a, b, c, , tem-se:
 e .
Quando o conjunto A sobre o qual está associado uma operação * é finito, existe 
uma maneira prática para analisar as propriedades dessa operação, construindo 
uma tabela ou tábua da operação.
5.1.3 Tábua de uma operação
Dado um conjunto finito com n elementos , podemos 
indicar uma operação * em A por meio de uma tabela de dupla entrada. Na primeira 
linha (linha fundamental) e primeira coluna (coluna fundamental), marcamos os 
elementos de A nas intersecções das linhas e colunas e marcamos o elemento 
obtido operando o elemento da linha com o elemento da coluna. Observe:
134
Capítulo 5 
Exemplo 5.16: seja e a operação de multiplicação, a tábua que 
representa a operação em A é formada da seguinte maneira. 
Tabela 5.1 – Tábua da multiplicação em A 
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0
5.1.4 Tábua de uma operação e propriedades
Propriedade associativa
Devemos inicialmente calcular todos os compostos do tipo 
 ; em seguida, os compostos 
 , e comparar aqueles que têm os mesmos i, j e k. 
Esse método requer o cálculo de compostos.
135
Álgebra Moderna 
Propriedade comutativa
Se é a diagonal principal, os componentes e ocupam 
posições simétricas relativamente a diagonal principal. 
Uma operação * é comutativa se desde que sua tábua seja simétrica em relação à 
diagonal principal.
Elemento neutro 
Um elemento e é neutro para a operação * quando
(i) ;
(ii) .
Assim, uma operação * tem elemento neutro desde que exista um elemento cuja 
linha e coluna são respectivamente iguais à linha e coluna fundamentais.
Elementos simetrizáveis
Um elemento é simetrizável quando o neutro “aparece” ao menos uma vez 
na linha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à 
diagonal principal.
A única propriedade que não apresenta facilidade na utilização da tábua é a 
propriedade associativa.
136
Capítulo 5 
Exemplo 5.17: observando a tábua do Exemplo 5.15, vemos que a operação é
Comutativa, pois apresenta a simetria em relação à diagonal principal. 
Tabela 5.2 – Comutatividade na tábua da multiplicação em A 
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0 1
O elemento neutro é o 1, pois linha a fundamental se repete a partir dele. 
Tabela 5.3 – Elemento neutro na tábua da multiplicação em A
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0 1
Dois elementos admitem simétrico: 1 e –1, poiso neutro aparece nas linhas e 
colunas encabeçadas por eles.
Tabela 5.4 – Elemento simetrizável na tábua da multiplicação em A 
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0 1
Além disso, o simétrico de –1 é –1 e o simétrico de 1 é 1.
137
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.18: seja e a operação , vamos 
construir a tábua e analisar as propriedades comutativa, existência do elemento 
neutro e simetria.
Tabela 5.5 – Tábua do MDC em B 
MDC 1 2 4 8
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
4 1 2 4 4
8 1 2 4 8
Operação comutativa.
Elemento neutro: 8.
Apenas o elemento 8 admite simétrico.
Exemplo 5.19: seja e as operações adição e multiplicação, 
vamos construir a tábua e analisar as propriedades.
Adição
Tabela 5.6 – Tábua da adição em Z5 
+ 
 
 
 
 
 
138
Capítulo 5 
Propriedades válidas:
Comutativa.
Elemento neutro: .
Todos os elementos admitem simétrico (oposto):
Simétrico de é .
Simétrico de é , consequentemente simétrico de é , simétrico de é e 
vice-versa.
Podemos escrever ainda: , , , .
Multiplicação
Tabela 5.7 – Tábua da multiplicação em Z5
. 
 
 
 
 
 
Comutativa.
Elemento neutro: .
Admitem simétrico (inverso): , e .
 , , e .
139
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.20: seja S = {1, 2, 3}, o conjunto das partes de S, representado por 
(S), tal que seus elementos são todos os subconjuntos de S, ou seja:
Elementos (S) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, S}.
Vejamos que a intersecção de conjuntos (regra, lei), anotada por , é uma 
operação binária interna em (S).
O domínio é (S)x (S).
O contradomínio é (S).
A intersecção de dois subconjuntos de S é um subconjunto de S, e a regra fornece 
um resultado único.
Tabela 5.8 – Tábua da em (S)
 {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} S
 
{1} {1} {1} {1} {1}
{2} {2} {2} {2} {2}
{3} {3} {3} {3} {3}
{1,2} {1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
{1,3} {1} {3} {1} {1,3} {3} {1,3}
{2,3} {2} {3} {2} {3} {2,3} {2,3}
S {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} S
140
Capítulo 5 
A propriedade associativa é válida, mas se tivéssemos que mostrar elemento a 
elemento, teríamos muito trabalho (504 verificações). Por isso, vamos fazer uma 
interpretação de forma genérica.
Sejam A, B, C (S).
Devemos mostrar que (A = . 
Para isso, temos duas etapas: e .
Mostraremos a primeira, a outra mostra-se de modo análogo.
x 
 .
Comutativa.
Elemento neutro: S.
O único elemento que admite simétrico é o S.
Exemplo 5.21: seja aplicações definidas por 
 , e .
Realizando a composição das aplicações, duas a duas, conforme a metodologia 
apresentada no Exemplo 4.16, construímos a Tabela 5.9, faça as composições e 
confira.
Tabela 5.9 – Tábua da composição em A
O 
 
 
 
141
Álgebra Moderna 
Comutativa.
Elemento neutro: .
Todos os elementos admitem simétrico. 
 , e .
5.2 Atividades de autoavaliação
1. Seja A = {1, 3, 4, 6}, verifique se a*b= MDC (a, b), definida em Z uma operação 
em A.
2. Dado o conjunto dos números naturais N e a operação potenciação, definida 
por , verifique se a operação é associativa, comutativa e 
admite elemento neutro.
3. Dado o conjunto dos números reais IR e a operação * definida por: 
 , verifique se a operação é associativa, comutativa 
e admite elemento neutro.
4. Se é a operação intersecção, complete a tábua e 
verifique quais operações são satisfeitas. 
∩ B C D E
B
C
D
E
5. Definida a operação * sobre Z x Z, tal que , verifique se a 
operação é associativa, comutativa e admite elemento neutro.
6. Dado o conjunto , das matrizes quadradas de ordem 2, e a operação 
multiplicação de matrizes, explique porque a operação não é comutativa, 
identifique o elemento neutro e determine 3 elementos simetrizáveis.
142
Capítulo 5 
7. Construa a tábua da operação composição de duas a duas funções, conforme 
mostra o Exemplo 4.18, e verifique quais propriedades são satisfeitas. Utilize 
essa tábua para determinar o resultado da composição .
8. Construa as tábuas da adição e multiplicação de e verifique quais 
propriedades são satisfeitas.
5.3 Grupos
Um grupo é uma estrutura algébrica que envolve um conjunto e uma operação. 
Muitos conjuntos que conhecemos associados também a operações usuais 
podem ser classificados como grupo.
Definição 5.3: um conjunto não vazio G munido de uma operação binária interna *
 
é um grupo se esta operação admitir as propriedades: 
Associativa: .
Elemento neutro: .
Elemento simétrico: .
Denotamos o grupo G, munido da operação *, por (G, *).
5.3.1 Alguns grupos clássicos
 • O grupo aditivo dos inteiros (Z, +), pois possui todas as propriedades 
conforme vimos no Capítulo 1.
 • O grupo aditivo dos racionais (Q, +), visto no Exemplo 5.10.
 • O grupo aditivo dos reais (IR, +), visto no Exemplo 5.10.
 • O grupo multiplicativo dos racionais não nulos (Q*, .), visto no 
Exemplo 5.11.
 • O grupo multiplicativo dos reais não nulo (IR, *), visto no Exemplo 5.11.
 • O grupo aditivo das matrizes quadradas de ordem 2 ( , 
visto no Exemplo 5.12.
143
Álgebra Moderna 
 • O grupo aditivo das classes de congruência módulo 5, ( , +), visto 
no Exemplo 5.19. 
 • Grupo aditivo das classes de congruência módulo m, ( , +), pois 
possui as propriedades: 
Associativa
Sejam .
( =( ) + = = = . 
a, b, c são números inteiros e a adição de números inteiros é associativa.
Elemento neutro
O elemento neutro é . 
Para todo um elemento qualquer de .
 e .
Elementos simetrizáveis
Seja .
Determinar um elemento , tal que .
144
Capítulo 5 
 , tal que a + x = m . q.
a + x = m . q x = m . q – a = m . q – a + m – m = m . q – m + (m – a) = m . (q – 1) + (m – a).
O resto da divisão por m deve ser 0. Como isso não acontece aqui, reescrevemos 
a expressão somando e subtraindo m e, assim, não alteramos a igualdade e 
obtemos o resto desejado.
Como , temos que , portanto, .
 .
Assim, encontramos o candidato a simétrico de e ainda nos falta verificar a 
outra igualdade.
 .
Logo, cada elemento possui um simétrico que é .
Portanto, a estrutura ( , +) representa grupos finitos.
 • Grupo multiplicativo das classes de congruência módulo m: 
Você viu na Tabela 5.7 da multiplicação em que o elemento não admite 
simétrico; então, podemos dizer que essa estrutura não representa um grupo.
Porém, se excluirmos o zero, a estrutura ( , .) possui todas as propriedades e 
pode ser classificada como grupo. 
 .
Mas será que podemos generalizar e dizer que ( , .) é um grupo?
Vejamos:
145
Álgebra Moderna 
Associativa
Sejam .
 .
a, b, c são números inteiros e a multiplicação de números inteiros é associativa.
Elemento neutro
O elemento neutro é .
Para todo um elemento qualquer de .
 e .
Elementos simetrizáveis
Seja .
Determinar um elemento , tal que .
Podemos pensar que o fato de excluirmos o elemento já seja suficiente para 
garantir que a estrutura ( , . ) seja um grupo, mas isso não ocorre, veja a 
seguinte situação: 
Seja , então .
A operação em é fechada se e somente se m for um número primo.
146
Capítulo 5 
Demonstração
 Suponha m não primo, com m > 1. Existem com , tais que 
 e com isso . Por outro lado, e que, por hipótese, é 
impossível. 
 Sejam , a operação é fechada se , ou seja, não acontece 
 . Mas se , então , ou ainda, e como m é 
primo (por hipótese), temos ou . Suponha a primeira possibilidade , 
então existe algum inteiro q, tal que , logo
 , absurdo, pois .
Vamos mostrar agora que, se m é primo, a estrutura é um grupo ( , . ).
Ou seja,todos os elementos de admitem simétrico, ou ainda existe 
 , tal que .
Demonstração
Se e m é primo, a não é múltiplo de m, então MDC (a, m) = 1, pela 
proposição 1.1, existem x1 e y1, tal que 
ax1 + my1 = 1
Logo,
 
Assim, é o inverso de 
Portanto, a estrutura ( , . ) representa um grupo se e somente se m for um 
número primo.
 • Grupo das simetrias espaciais de um triângulo equilátero.
Você sabe o que é simetria de um polígono regular?
Dois polígonos são simétricos quando um pode ser obtido do outro por meio de 
uma translação, de uma rotação ou de uma reflexão (chamadas de isometrias).
Vamos ver simetrias envolvendo rotações e reflexões em um mesmo triângulo 
equilátero, de tal modo que ele permaneça o mesmo, mas os vértices mudam de lugar.
Consideremos o triângulo equilátero MNP da figura a seguir.
147
Álgebra Moderna 
Figura 5.1 – Posição inicial do triângulo MNP
M N 
P 
Triângulo MNP
Vamos fazer rotações no sentido anti-horário, fixando um eixo perpendicular ao 
plano do triângulo e passando pelo centro do mesmo. Se a rotação for de 120º 
(chamada de R1), o vértice M vai tomar o lugar do vértice N, o vértice N vai tomar 
o lugar do vértice P, e o vértice P, o lugar do vértice M. 
Veja a nova posição na Figura 5.2. Observe, também, como se apresenta 
o triângulo após uma rotação de 240º e uma rotação de 360º, chamadas, 
respectivamente, de R2 e R3.
Figura 5.2 – Rotações no triângulo MNP
P M 
N 
N P 
M 
M N 
P 
R1
(Rotação de 120º)
R2
(Rotação de 240º)
R3
(Rotação de 360º)
Partindo do triângulo da Figura 5.1, para fazer uma reflexão, precisamos, 
inicialmente, fixar uma bissetriz, por exemplo, a bissetriz passando pelo vértice 
M do triângulo da reflexão do triângulo segundo este eixo (chamada de reflexão 
a). Observe na Figura 5.3 que o vértice M permanece na mesma posição, mas 
os vértices N e P trocam de lugar. Analogamente, chamaremos as reflexões em 
relação aos vértices N e P, respectivamente, de b e c, resultando nos triângulos da 
figura a seguir.
148
Capítulo 5 
Figura 5.3 – Reflexões no triângulo MNP
M P 
N 
P N 
M 
N M 
P 
a
(Reflexão vértice M)
b
(Reflexão vértice N)
c
(Reflexão vértice P)
Se chamarmos de D3 o conjunto formado por esses movimentos realizados, temos:
D3 = {R1, R2, R3, a, b, c}.
Vamos agora pensar na operação composição de movimentos (como se fosse 
composição de funções), denotada por , que realiza a composição de dois a 
dois movimentos do triângulo dado. Por exemplo:
A composição (R1 R2), no triângulo da Figura 5.1, 
representa primeiro uma rotação de 2400 nele e, em 
seguida, uma rotação de 1200 nesta posição.
A composição (R2 a) representa primeiro uma reflexão segundo a bissetriz, 
passando por A em seguida uma rotação de 2400, veja o resultado na figura a seguir.
Figura 5.4 – Composição (R2 a) no triângulo MNP
M P 
N 
P N 
M 
P N 
M 
A
(Reflexão eixo M)
R2
(Rotação de 240º)
Resultado de 
(R2 a)
R1 R2(∆) = R1(R2(∆)), 
como em funções.
149
Álgebra Moderna 
É possível construir uma tabela com todas as possíveis composições de dois a 
dois movimentos e, em seguida, estudar o comportamento desta operação.
Tabela 5.10 – Composições de rotação e reflexão sobre o triângulo MNP
 R1 R2 R3 a b c
R1 R2 R3 R1 c a b
R2 R3 R1 R2 b c a
R3 R1 R2 R3 a b c
a b c a R3 R1 R2
b c a b R2 R3 R1
c a b c R1 R2 R3
Veja que todos os elementos da Tabela 5.10 pertencem a D3, ou seja, é uma 
operação binária interna em D3.
Analisando as propriedades desta operação.
Associativa
É a mais trabalhosa se não usamos o fato da composição de funções ser uma 
operação associativa. 
Observe alguns elementos: 
(R1 R2) R3 = R3 R3 = R3 = R1 R2 = R1 (R2 R3),
(R1 R3) R1 = R1 R1 = R2 = R1 R1 = R1 (R3 R1),
(R2 a) R1 = b R1 = c = R2 b = R2 (a R1),
(a b) c = R1 c = b = a R1 = a (b c).
Vamos fazer outras verificações, mas temos um total de 190 verificações.
Utilize a Tabela 5.10 para obter os respectivos resultados. 
150
Capítulo 5 
Elemento neutro
É o R3 (Rotação de 3600) que pertence a D3. 
Elementos simetrizáveis
Todo o elemento de D3 possui um simétrico em D3.
R2–1= R1
R3–1 = R3
a–1 = a
b–1= b
c–1 = c.
Podemos concluir que (D3, ) é um grupo. Ele é chamado 
de grupo diedral de ordem 6.
Exemplo 5.22: alguns conjuntos munidos de uma 
operação podem não ser classificados como grupo. É o 
caso o Exemplo 5.20, que analisa a interseção no conjunto 
 (S), conforme visto na Tabela 5.8, pois a propriedade do elemento simétrico 
não é válida.
Definição 5.6: se a operação * em (G, *) admite a propriedade comutativa, ou seja, 
 , dizemos que (G, *) é um grupo abeliano (ou comutativo).
Exemplo 5.23: são grupos abelianos. Citamos: , , .
Exemplo 5.24: o grupo D3 não é abeliano, pois a R1 = b c = R1 a.
A ordem de um grupo é 
o número de elementos 
que ele possui. Se 
o grupo é infinito, 
dizemos que ele tem 
ordem infinita.
151
Álgebra Moderna 
Definição 5.7: se G é um conjunto finito com n elementos, dizemos que o grupo 
(G, *) é de ordem n.
Exemplo 5.25: é um grupo de ordem n.
Exemplo 5.26: (D3, o) é um grupo de ordem 6.
5.3.2 Propriedades de grupos
I. O elemento neutro de um grupo (G, *) é único.
Sejam e, e’ G elementos neutros de (G, *).
e elemento neutro de (G, *) e * e’ = e’
e’ elemento neutro de (G, *) e * e’ = e.
Portanto, e = e’.
II. Cada elemento possui um único simétrico no grupo (G, *).
Sejam a’, a’’ G simétricos do elemento a G e e o elemento neutro.
a’ simétrico de a a * a’ = e;
a’’ simétrico de a a’’ * a = e;
a’’ = a’’ * e = a’’ * (a * a’) = (a’’ * a) * a’ = e * a’ = a’.
Portanto, a’’ = a’.
III. .
(a * b) * (b–1 * a–1) = a * (b * b–1) * a–1 = a * e * a–1 = (a * e) * a–1= a * a–1 = e.
Da mesma forma, você mostra que (b–1 * a–1) * (a * b) = e.
5.3.3 Subgrupos
Sabemos que e que as estruturas (Z, +) e (Q, +) são classificadas como 
grupo. Observe que nos dois casos a operação é a mesma, podemos dizer, então, 
que (Z, +) é um subgrupo de (Q, +).
152
Capítulo 5 
Definição 5.8: se (G, *) é um grupo, dizemos que um subconjunto não vazio 
 munido da mesma operação * é um subgrupo de G, se:
(i) dados , então (H é fechado para a operação *);
(ii) (H, *) também é um grupo;
Se e é elemento neutro do grupo (G, *), então (G, *) e ({e}, *) são subgrupos 
de (G, *). 
Dizemos que eles são subgrupos triviais. 
Os demais subgrupos de (G, *) são ditos subgrupos próprios.
Felizmente, não precisamos verificar todas as propriedades de grupo para 
concluir se um subconjunto de um grupo é também um grupo. O Teorema 5.1 
apresenta-nos uma forma de avaliar essa situação.
Teorema 5.1: seja H um subconjunto não vazio de G, ambos munidos da mesma 
operação *. (H, *) é um subgrupo de (G, *) se e somente se .
Demonstração
Vejamos agora as propriedades necessárias para que (H, *) seja um grupo.
Associativa
Se H G, a operação * é a mesma em G e H, então, se vale a associatividade em 
G, vale em H.
Elemento neutro
Se , por hipótese.
Dados .
Como o elemento neutro é único e ele está em H, a propriedade é válida.
153
Álgebra Moderna 
Elementos simetrizáveis
Como cada elemento de G admite um único simétrico, então todos os elementos 
de H são simetrizáveis.
Portanto (H, *) é um grupo e, por definição, um subgrupo de (G, *).
Exemplo 5.27: dado o grupo , se , então é 
subgrupo de . Vamos estudar a tábua da adição em H.
Tabela 5.8 – Tábua da adição em H
+ 
 
 
 
 
(i) A adição é fechada em H, pois dados dois a dois elementos de H, a 
adição deles resulta em um elemento de H. 
(ii) é grupo, pois todosos elementos de H admitem simétrico e 
seus simétricos pertencem a H.
Veja: o neutro é .
 , , , .
5.4 Atividades de autoavaliação
1. Dado o conjunto chamado de D4, composto pelas simetrias espaciais do 
quadrado (são 8), monte a tábua da operação composição desses movimentos 
utilizando movimentos no sentido anti-horário. 
2. Seja , conjunto dos números complexos. Se , 
construa a tábua da operação multiplicação em A e verifique se (A, .) é um grupo.
3. Verifique se os conjuntos seguintes com as respectivas operações são grupos.
a) b) (D4, ).
154
Capítulo 5 
4. Determine um subgrupo não trivial de .
5. Determine um subgrupo não trivial de (D4, ).
6. Verifique se o conjunto de todos os números inteiros pares, anotado por 2Z, é 
um subgrupo de (Z, +).
7. Se , mostre que (H, +) é um subgrupo de ( ,+).
8. Dado o conjunto chamado de conjunto das permutações ou ???.
Sendo os elementos as aplicações:
 , , 
e e a operação “o”, composição.
a) Construa a tábua da operação.
b) Mostre que é um grupo. Ele é abeliano?
c) Dado , verifique se é um subgrupo de .
d) Calcule .
5.5 Anéis e corpos
As estruturas chamadas de anel e corpo são mais “fortes” que a estrutura de 
grupo, pois envolvem duas operações associadas a um conjunto. Você verá a 
seguir os conceitos de anel e corpo e alguns exemplos clássicos.
Definição 5.9: um conjunto não vazio A, munido de duas operações binárias 
internas, é um anel se e somente se:
(i) (A, +) é um grupo abeliano. 
(ii) A segunda operação é associativa. 
(iii) A segunda operação é distributiva à direita e à esquerda com 
relação à primeira operação.
155
Álgebra Moderna 
A notação usada para anel é (A, +, .).
Os símbolos + e . não representam, necessariamente, as operações de 
adição e multiplicação usuais.
O elemento neutro aditivo é representado pelo símbolo 0A. e é chamado de zero 
do anel. 
Exemplo 5.28: (Z, +, .) é um anel, sendo as operações + e . as usuais de adição e 
multiplicação.
(i) Já vimos que (Z, +) é um grupo. Além disso, como vale a 
comutatividade na adição dos inteiros (mostrado no Capítulo 1), 
então esse grupo é abeliano.
(ii) A multiplicação é associativa:
 vale .
(iii) A multiplicação é associativa e distributiva à direita e à esquerda 
com relação à adição:
 vale e .
Exemplo 5.29: se definirmos as seguintes operações, não usuais, em Z:
a b = a + b +1 e
a b = a.b + a + b;
 é um anel, pois
 é um grupo abeliano.
156
Capítulo 5 
Associativa
Sejam a, b, c .
( (a + b + 1) c = a + b + 1 + c + 1 = a + b + c + 2
a a (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + 1 = a + b + c + 2
Logo, ( a .
Elemento neutro
 
e a = e + a + 1 = a (e + a + 1) + (–a) + (–1) = a + (–a) + (–1) e = –1 
Adicionamos o mesmo elemento em ambos os lados da igualdade.
Por outro lado, a (–1) = a + (–1) +1 = a.
Logo, o elemento neutro existe e é igual a –1, ou seja, o zero do anel é –1.
Elementos* simetrizáveis
*Como em um anel, usamos a notação aditiva, então podemos nos referir a oposto em vez de simétrico.
 
 (–a) + a + a’ + 1 + (–1) = (–a) + (–1) + (–1) a’ = –a + (–2) e 
-a + (–2) 
157
Álgebra Moderna 
Por outro lado, = (–a + (–2)) + a + 1= –1. 
Logo, cada elemento de Z possui um simétrico.
 
Comutativa
Sejam a, b .
a = b + a +1 = .
Propriedade comutativa da adição de inteiros.
Logo, é um grupo abeliano.
Propriedade associativa para a operação 
Sejam a, b, c .
 = 
(a . b) . c + a . c + b . c + a . b + a + b + c = a . b . c + a . c + b . c + a . b + a + b + c.
Propriedade associativa da 
multiplicação e da adição de inteiros.
 = 
a . (b . c) + a . b + a . c + a + b . c + b + c = a . b . c + a . c + b . c + a . b + a + b + c.
Propriedade associativa da 
multiplicação e da adição de inteiros.
Distributiva da multiplicação em 
relação à adição de inteiros.
Distributiva da multiplicação em 
relação à adição de inteiros.
158
Capítulo 5 
Logo, .
Distributiva à direita da operação em relação à operação 
Sejam a, b, c .
 = a . c + b . c + 1 . c + a + b + 1 + c = 
a . c + b . c + c + a + b + 1 + c = a . c + b . c + a + b + 2c + 1
 = 
a . c + b . c + a + b + 2c + 1.
*1 Distributiva da multiplicação em relação à adição de inteiros e associativa.
*2 Elemento neutro da multiplicação de inteiros.
*3 Comutativa da adição e distributiva da multiplicação em relação à adição de 
inteiros.
Distributiva à esquerda da operação em relação à operação 
 .
A prova é semelhante à anterior.
*1 *2
*3
*3
159
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.30: é um anel finito.
(i) é um grupo, conforme mostrado em 5.2.1.
+ é comutativa, abeliano.
Sejam .
 = = .
Comutativa da adição de inteiros.
(ii) A multiplicação é associativa 
Sejam .
 . = = = = .
Associativa da multiplicação de inteiros.
(iii) Distributiva à esquerda e à direita: 
Sejam .
 = = = + = .
160
Capítulo 5 
Distributiva da multiplicação em relação à adição de inteiros.
Você pode mostrar a distributiva à direita de forma semelhante.
Exemplo 5.31: seja o anel das matrizes 2 x 2 com elementos reais. 
Operações de adição e multiplicação de matrizes usual:
 
 .
(i) Conforme exemplo 5.12 ( ,+) é um grupo abeliano.
(ii) A multiplicação é associativa: , pois 
 
Por outro lado: 
161
Álgebra Moderna 
(iii) Distributiva à esquerda e à direita 
 
Por outro lado:
 
Você pode mostrar a outra igualdade.
Definição 5.10: um anel (A, +, .) é dito comutativo quando a segunda operação é 
comutativa.
Exemplo 5.32: são anéis comutativos . Mas não é 
um anel comutativo. Veja o Exemplo 5.31.
Exemplos 5.33: seja o anel apresentado no Exemplo 5.31. 
Operações de adição e multiplicação de matrizes usuais.
162
Capítulo 5 
Como a segunda operação, multiplicação de matrizes, não é comutativa; portanto, 
o anel não é comutativo. Veja um exemplo a seguir.
 
 .
5.5.1 Anéis com unidade e de integridade
Definição 5.11: um anel (A, +, .) é chamado de anel com unidade, se a segunda 
operação admite a propriedade do elemento neutro.
Este elemento neutro é denotado pelo símbolo 1A (unidade do anel).
Exemplo 5.34: o anel ( , +,.) é um anel com unidade, pois a matriz 
identidade é a unidade do anel.
Exemplos 5.35: o número inteiro 1 é a unidade do anel , denotada por 
 .
Exemplo 5.36: a unidade do anel é . Além disso, a segunda 
operação é comutativa, então este é um anel comutativo com unidade.
Definição 5.12: um anel (A, +, . ) comutativo com unidade 1A 0A é chamado de 
anel de integridade quando: 
 (chamada de lei do anulamento do 
produto).
Exemplo 5.37: o anel (Z, +, .) é de integridade. 
163
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.38: (Q, +, .) é um anel de integridade. 
No Exemplo 5.10, você viu que (Q, +); e no Capítulo 2, viu que as propriedades 
associativa, elemento neutro e comutativa são válidas para a multiplicação. Viu 
também que a multiplicação é distributiva em relação à adição de racionais.
A propriedade do elemento simétrico somente é válida para os racionais 
diferentes de zero. Ou seja, todo elemento de (Q*, .) admite simétrico. 
Assim, podemos concluir que (Q, +, . ) é um anel comutativo com unidade.
E (Q*, .) é um grupo, pois todas as propriedades da multiplicação dos racionais 
também são válidas para Q*. 
A unidade do anel (Q, +, . ) é o racional 1, que também pertence a Q* e, como o 
elemento neutro é único, temos que a propriedade do elemento neutro é válida em Q*.
Dado , mas , logo .
Então, e, portanto, a propriedade do elemento simétrico é 
válida em Q*.
Portanto (Q*, .) é um grupo.
Como é o elemento neutro aditivo de Q, temos que:
 .
 
Exemplos 5.39: outros anéis deintegridade são (IR, +, .) , (C, +, .).
Exemplo 5.40: , com p primo é um anel de integridade.
Nem todo anel é anel de integridade.
Exemplo 5.41: ( , +,.) não é um anel de integridade por não ser 
comutativo. Além disso, a propriedade do anulamento dos fatores também não é 
válida para a multiplicação de matrizes.
164
Capítulo 5 
Pois, dado
 e .
Temos que .
Assim, não vale a lei do cancelamento na multiplicação de matrizes.
Observação: muito cuidado quando estiver operando e resolvendo equações em 
um anel, principalmente quando ele não for de integridade.
5.5.2 Corpo
Definição 5.12: dados um conjunto não vazio K e duas operações binárias 
internas denotadas por “+” e “.”. Se (K, +, .) é um anel comutativo com unidade e 
(K*, .) é um grupo, então (K, +, .) é um corpo.
Exemplo 5.42: são corpos (Q, +, .) , (IR, +, .) , (C, +, .).
C = {a + bi, tal que a, b IR} conjunto dos números complexos.
Exemplo 5.43: (Z, +, .) não é corpo, pois (Z*, .) não é um grupo visto que nem 
todos os elementos admitem inverso.
Proposição 5.3: todo corpo é um anel de integridade.
Demonstração 
Seja (K, +, .) um corpo, então para que este seja um anel de integridade, deve 
valer a lei do anulamento do produto. 
 tal que , se .
165
Álgebra Moderna 
Multiplicando os dois membros da igualdade por 
 , mas , então .
Analogamente para .
Portanto (K, +, .) é um anel de integridade.
A recíproca não é verdadeira, ou seja o fato de (K, +, .) ser um anel de 
integridade não garante que (K, +, .) é um corpo.
Exemplo 5.44: é o caso de (Z, +, .), explicado em 5.41.
5.6 Atividades de autoavaliação
1. Verifique se é um anel com unidade, se são definidas as operações:
 .
2. Seja . Determine o conjunto de todos os elementos inversíveis em 
relação à multiplicação.
3. Mostre que é um anel de integridade. Ele é um corpo? 
4. Verifique se é um anel de integridade, sendo e as 
operações usuais de adição e multiplicação.
5. Verifique se é um corpo, sendo e as 
operações usuais de adição e multiplicação.
6. Mostre que é um corpo se p é primo.