MEstII-AD1_Gabarito (1)

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Métodos Estatísticos IIGabarito da Avaliação a Distância I - AD1Profa. Ana Maria Farias - 2013-2
1. Na Figura 1 é dado o gráfico da função de densidade fX de uma variável aleatóriacontínua X.
Figura 1 – Função de densidade para a Questão 1
(a) Determine o valor de k e a expressão matemática de fX .(b) Determine a função de distribuição acumulada FX de X.(c) Determine a mediana, o terceiro quartil e o percentil P10 da distribuição da variávelaleatória X.
Solução
(a) k ≥ 0; a área total tem que ser 1:
1 = 12 × (2− 0)× k + (5− 2)× k+⇐⇒ 1 = 4k ⇐⇒ k = 14Para x ∈ [0, 2], f (x) é um segmento de reta que passa pelos pontos (2, 14) e (0, 0).Logo, a equação é do tipo f (x) = bx:14 = b× 2 =⇒ b = 18Logo,
f (x) =

x8 0 ≤ x < 214 2 ≤ x ≤ 5
(b) Para x ∈ [0, 2), F (x) é a área do triângulo sombreado na Figura 2. Esse triângulotem base x e altura f (x). Logo
F (x) = 12 · x · (x8) = x216 0 ≤ x < 2Para x ∈ [2, 5], F (X ) é a área sombreada na Figura 3; essa é a área de um triângulode base 2 e altura 1/4 mais a área de um retângulo de base x − 2 e altura 1/4.Logo F (x) = 12 · 2 · 14 + (x − 2) · 14 = (x − 1)4
Figura 2 – F (x)− 0 ≤ x < 2 Figura 3 – F (x)− 2 ≤ x < 5
Resumindo:
F (x) =

0 x < 0
x216 0 ≤ x < 2(x − 1)4 2 ≤ x < 5
1 x ≥ 5Na Figura 4 é apresentado o gráfico de FX (x)(c) A área do triângulo inferior é 0,25; logo, Q1 = 2 e os outros dois quartis são ambosmaiores que 3. Uma vez que foi calculada a função de distribuição acumulada, vamosusá-la para calcular os quartis.
F (Q2) = 0, 5 =⇒ (Q2 − 1)4 = 12 =⇒ Q2 = 3
F (Q3) = 0, 75 =⇒ (Q3 − 1)4 = 34 =⇒ Q3 = 4Analogamente, o percentil P10 deixa 10% de área abaixo dele e, portanto, P10 < 2.Logo F (P10) = 0, 10 =⇒ P21016 = 0, 10 =⇒ P210 = 1, 6 =⇒ P10 = ±√1, 6Apenas a raiz positiva pertence ao domínio de definição; logo, P10 = √1, 6 = 1, 2649.
Curso de Administração 2
Figura 4 – Função de distribuição acumulada para a Questão 1
2. O enchimento de frascos de medicamento de 100 ml é feito segundo um processo quefornece volumes (em ml) de acordo com uma distribuição uniforme no intervalo (92, 107).
(a) Um frasco é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que contenhamais de 104 ml?(b) Ache um valor ν tal que a proporção de frascos com no máximo ν ml seja de 75%.(c) Um frasco foi retirado para ser re-enchido, pois constatou-se que continha menosque 98 ml. Qual é a probabilidade de que seja necessário mais de 5 ml para o seupreenchimento?
Solução
Seja X o volume nos frascos. Então, X ∼ Unif (92, 107).
(a) P(X > 104) = 107− 104107− 92 = 315 = 15 = 0, 2(b) P(X ≤ ν) = 0, 75⇔ ν − 92107− 92 = 0, 75⇔ ν = 92 + 0, 75× 15 = 103, 25(c) Ser necessário mais de 5 ml significa que o volume tem que ser menor que 95 ml.Como sabemos que o frasco tem menos de 98 ml, o problema está pedindo
P(X < 95|X < 98) = P[(X < 95) ∩ (X < 98)]P(X < 98) = P(X < 95)P(X < 98) = 95− 9298− 92 = 0, 5
3. Seja X ∼ N(32; 42). Calcule:
(a) P(X ≥ 36, 8)(b) P(X < 24)(c) P(25, 6 < X < 33, 6)
Curso de Administração 3
(d) P(24 < X < 28)(e) P[(X > 30)
Solução
(a)
P(X ≥ 36, 8) = P(Z > 36, 8− 324
) = P(Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2)= 0, 5− 0, 3849 = 0, 1151
(b)
P(X < 24) = P(Z < 24− 324
) = P(Z < −2) = P(Z > 2) = 0, 5− tab(2)= 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
(c)
P(25, 6 < X < 33, 6) = P(25, 6− 324 < Z < 33, 6− 324
) = P(−1, 6 < Z < 0, 4)= tab(0, 4) + tab(1, 6) = 0, 1554 + 0, 4452 = 0, 6006
(d)
P(24 < X < 28) = P(24− 324 < Z < 28− 324
) = P(−2 < Z < −1)= P(1 < Z < 2) = tab(2)− tab(1) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
(e)
P(X > 30) = P(Z > 30− 324
) = P(Z > −0, 5) = 0, 5 + tab(0, 5)= 0, 5 + 0, 1915 = 0, 6915
4. Seja X ∼ N(µ; σ2).
(a) Calcule P(X < µ − 2σ ) .(b) Calcule P(X > µ + σ ) .(c) Calcule o valor de k tal que P(|X − µ| < kσ ) = 0, 80.(d) Calcule o valor de k tal que P(X > µ + kσ ) = 0, 05.(e) Calcule o valor de k tal que P(X < µ + kσ ) = 0, 25.
Solução
(a)
P(X < µ − 2σ ) = P(X − µσ < µ − 2σ − µσ
) = P(Z < −2) = P(Z > 2) = 0, 5− tab(2) = 0, 0228
Curso de Administração 4
(b)
P(X > µ + σ ) = P(X − µσ > µ + σ − µσ
) = P(Z > 1) = 0, 5− tab(1) = 0, 1587
(c)
P(|X − µ| < kσ ) = 0, 80⇔ P(−kσ < X − µ < kσ ) = 0, 80⇔
P(−kσσ < X − µσ < kσσ
) = 0, 80⇔ P(−k < Z < k) = 0, 80⇔2× P(0 < Z < k) = 0, 80⇔ P(0 < Z < k) = 0, 40⇔ tab(k) = 0, 40⇔ k = 1, 28
(d) P(X > µ + kσ ) = 0, 05⇔ P(Z > k) = 0, 05⇔ tab(k) = 0, 45⇔ k = 1, 645(e) P(X < µ + kσ ) = 0, 25⇔ P (Z < k) = 0, 25Note que estamos calculando o primeiro quartil da distribuição e k tem que sernegativo, pois à esquerda dele tem 25% da área e à direita, 75%. Assim, k tem queestar do lado negativo do eixo!
P (Z < k) = 0, 25⇔ P (Z > −k) = 0, 25⇔ tab(−k) = 0, 5− 0, 25⇔−k = 0, 6745⇔ k = −0, 6745
5. Um teste de aptidão feito por pilotos de elite em treinamento inicial requer que uma sériede operações seja realizada em uma rápida sucessão.Suponha que o tempo necessáriopara completar o teste seja distribuído segundo uma normal com média de 80 minutose desvio padrão de 30 minutos. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo emmenos de 70 minutos. Um candidato não aprovado poderá repetir o teste se o seu temponão for superior a 110 minutos.
(a) Se 200 candidatos se submeteram ao teste, quantos devem passar?(b) Se os 5% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápidodeve ser o candidato para obter essa posição?(c) Qual é a probabilidade de um candidato não ser aprovado e não poder repetir oteste?(d) João não foi aprovado. Qual é a probabilidade de que ele possa repetir o teste?
Solução
Seja T o tempo de execução do teste. É dado que T ∼ N(80; 302).
(a) A probabilidade de um candidato ser aprovado é
P(T < 70) = P(Z < 70− 8030
) = P(Z < −0, 33) = P(Z > 0, 33) = 0, 5−tab(0, 33) = 0, 3707
Assim, com 200 candidatos espera-se que 200 × 0, 3707 = 74 candidatos sejamaprovados.
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(b)
P(T < t) = 0, 05⇔ P(Z < t − 8030
) = 0, 05⇔ P(Z > −t − 8030
) = 0, 05
⇔ tab(−t − 8030
) = 0, 45⇔ −t − 8030 = 1, 645⇔ t = 30, 65
(c)
P[(T > 70) ∩ (T > 110)] = P(T > 110) = P(Z > 110− 8030
) =P(Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(d)
P(T < 110|T ≥ 70) = P(70 ≤ T < 110)P(T ≥ 70) = P(−0, 33 ≤ Z < 1)1− 0, 3707= tab(0, 33) + tab(1, 0)0, 6293 = 0, 7478Isso significa que 74,78% dos candidatos reprovados têm chance de repetir o teste.
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