Multivariada I Aula 03 Regressão Linear SPSS

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ACH4514
Análise 
Multivariada I
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Livros utilizados no capítulo
BRUNI, A.L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São
Paulo: Atlas, 3ª ed 2011. – CAP 12 na Pasta 6 –
PESTANA, M. H. e GAJEIRO, J. N. Análise de Dados para
Ciências Sociais – a complementari-dade do SPSS. Lisboa:
Edições Sílabo, 3ª ed 2003. – CAP 11 –
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Predizer o valor de uma variável (a variável dependente),
dado que seja conhecido o valor de uma variável associada
(a variável independente) e estimar a relação funcional entre
duas variáveis.
Regressão Linear Simples
Objetivos:
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Regressão Linear Simples
Exemplo:
Uma rede de lojas de confecções coletou uma amostra
da dados passados referentes aos seus gastos com
publicidade ($ mil) e sua venda média ($ mil). Os
dados são apresentados na tabela que segue:
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Como devemos proceder para encontrar a equação de
regressão para esses dados?
Exemplo:
Gastos com publicidade 
($ mil)
Venda média
($ mil)
3 7
4 14
8 15
12 28
14 32
Regressão Linear Simples
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Premissas:
a) as duas variáveis envolvidas são aleatórias e contínuas;
b) as duas variáveis apresentam uma distribuição normal.
Regressão Linear Simples
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Sugestão de alguns autores:
Regressão Linear Simples
K = 1 K ≥ 2
n ≥ 30 ≥ 15 K
n (stepwise) ------ ≥ 30 K
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Verificando a normalidade
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Testando Normalidade
Ho: os dados apresentam distribuição normal
Ha: os dados não apresentam distribuição normal
Não Rejeito Ho
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Regressão linear simples
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Pedir os seguintes gráficos:
- dos resíduos standardizados (Y = Zresid) com a variável dependente
standardizada (X = Zpred);
- da variável dependente standardizada (Y = Zpred) com a variável dependente
não standardizada (X = Dependente);
- o gráfico que relaciona os resíduos studantizados (Y = Sresid) com predição
standardizada (X = Zpred).
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25
30
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Publicidade
Publicidade X Venda
Métodos da Linha Reta
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Como a relação expressa pelo gráfico Publicidade X Venda é,
aparentemente, uma função linear, cada Y (Venda) pode ser
escrito em função de cada X (Publicidade) da seguinte forma:
Sendo a equação da reta, e o termo erro. Este
último termo tem de ser incluído porque o valor de Y não será
dado exatamente pelo ponto da reta a ser encontrada.
iii XY εβα ++= 
X βα + ε
Regressão Linear Simples
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A razão é a imprecisão em medidas. Por mais preciso que seja
um instrumento de medida, sempre haverá um limite para essa
precisão.
O componente erro é muito importante, e é através da análise
de seu estimador (resíduos) que verificamos algumas hipóteses
da regressão.
Regressão Linear Simples
Qual a razão de existir esse erro?
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Podemos dizer então, que o erro dá conta de todos os eventos
que são difíceis de medir, mas que são (supostamente) aleatórios.
Mais do que isso, se o modelo (no nosso caso uma reta) estiver
corretamente especificado, podemos supor que o erro, em média,
será zero. Isto é, a probabilidade do erro ser x unidades acima da
reta é a mesma de ser x unidades abaixo.
Esta é a primeira hipótese:
O próximo passo é estimar a reta de regressão:
( ) 0i =εΕ
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Interpretando o “b”, podemos dizer que para cada unidade de
gastos com publicidade ($ mil) adicional, o volume de venda ($ mil)
aumenta, em média, 2,088.
Interpretando o “a”, podemos dizer que para o gasto mínimo com
publicidade ($ mil), isto é, zero em publicidade existe 2,075 de
volume de venda ($ mil).
Regressão Linear Simples
Interpretação dos coeficientes da reta:
xy 088,2075,2 +=
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As medidas da qualidade do ajustamento são: R, R2 e o R2
ajustado.
Quanto mais próximo de –1 ou de 1 o coeficiente de correlação
de Pearson (R) estiver, ou quanto mais próximo de 1 estiverem o
R2 e o R2 ajustado, melhor é a qualidade do ajustamento.
Regressão Linear Simples
Qualidade do ajustamento:
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O coeficiente de determinação R2 tende a ser influenciado pela
dimensão da amostra e pela dispersão existente nos dados,
sendo uma medida otimista da qualidade do ajustamento.
Como alternativa usa-se o R2 ajustado, sendo no entanto mais
utilizado quando os modelos têm mais de uma variável
independente.
Para o exemplo em questão, usamos o modelo para explicar
93,1% das vendas, sendo os outros 6,9% restantes explicados
por outros fatores que estão incluídos na variável aleatória .iε
Regressão Linear Simples
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Testa a hipótese dos parâmetros α e β serem iguais a um
valor fixo. Habitualmente interessa saber se esses parâmetros
são ou não iguais a zero. Desta forma precisamos formular as
seguintes hipóteses:
Ho: α = 0, isto é, a reta de regressão passa pela origem
Há: α ≠ 0
Testar α = 0 equivale a testar que para gastos com
publicidade nulos temos volume de vendas nulo (modelo
sem constante).
Regressão Linear Simples
Teste t:
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Ho: β = 0, isto é, o coeficiente da variável metros² é zero
Há: β ≠ 0
Testar β = 0 equivale a testar que os gastos com publicidade
não influenciam no volume de vendas, ou seja, que X não
explica Y (modelo só com constante).
Regressão Linear Simples
Teste t:
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Como podemos observar na tabela acima, existe 95% de confiança
do parâmetro β assumir valores entre [1,042; 3,134] e do parâmetro
α assumir os valores [-7, 716; 11,764]. O intervalo para β exclui o
zero, enquanto o intervalo para α inclui o zero. Sendo assim,
podemos dizer que β ≠ 0 e α = 0.
Regressão Linear Simples
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Ou ainda, se observarmos a significância do teste para α e β
podemos notar que para β é menor que 5%, enquanto que para
α é maior que 5%, o que significa dizer que há indícios de que o
β seja diferentes de zero e o α igual a zero para uma
significância de 5%.
Regressão Linear Simples
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O teste F valida o modelo em termos globais e não cada um
dos parâmetros isoladamente. Testa as seguintes hipóteses:
Ho: o volume de vendas não é explicado pelos gastos com
publicidade, isto é, R2 = 0; ou β = 0
Ha: o volume de vendas é explicado pelos gastos com,
publicidade, isto é, R2 ≠ 0; ou β ≠ 0
Regressão Linear Simples
Teste F:
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Como podemos observar na tabela acima, a significância do
teste F é 0,008, que comparado a 5% ou mesmo 1% nos leva a
concluir que em ambos os caso rejeitamos H0, isto é, o volume
de vendas é explicado pelo gasto com publicidade.
Regressão Linear Simples
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Linearidade
A linearidade pode ser estudada através dos gráficos:
- dos resíduos standardizados (Y = Zresid) com a variável
dependente standardizada (X = Zpred);
- da variável dependente standardizada (Y = Zpred) com a
variável dependente não standardizada (X = Dependente).
Regressão Linear Simples
Diagnóstico do modelo estimado:
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O gráfico mostra a existência
de uma relação linear entre o
volume de vendas e os gastos
com publicidade, quando os
resíduos se distribuem
aleatoriamente à volta da linha
horizontal zero.
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Editando gráfico
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O gráfico mostra a existência
de uma relação linear entre o
volume de vendas e os gastos
com publicidade, quando os
resíduos se distribuem
aleatoriamente ao longo da
linha reta oblíqua ascendente.
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Variância constante
Para verificar a variância constante ou homocedasticidade dos
resíduos, poderíamos utilizar os dois gráficos anteriores. Se os
resíduos aumentassem ou diminuíssem com os valores da
variável independente, constataríamos o problema.
Outro processo alternativo consiste em analisar o gráfico que
relaciona os resíduos studantizados (Y = Sresid) com predição
standardizada (X = Zpred)
Regressão Linear Simples
Diagnóstico do modelo estimado:
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O gráfico não mostra tendências
crescentes ou decrescentes dos
resíduos, sendo assim não
podemos rejeitar a hipótese da
homocedasticidade (ou variância
constante).
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Normalidade
A normalidade dos resíduos não significa que todos os gastos
com publicidade iguais correspondem a um mesmo volume de
vendas, mas sim que existe uma distribuição normal de volume
de venda para cada valor gasto com publicidade.
A normalidade dos resíduos pode ser analisada de diversas
formas:
-Teste de Kolmogorov-Smirnov
-Gráfico Normal Q-Q plot e Detrended Normal Q-Q plot
Regressão Linear Simples
Diagnóstico do modelo estimado:
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Testando normalidade do resíduo
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A tabela mostra o teste K-S e o Shapiro-Wilks. Este último teste é sempre melhor
quando a dimensão da amostra é inferior a 50, como é o caso do exemplo.
Em ambos os testes não rejeitamos a hipótese da normalidade dos resíduos, tanto
para um nível de significância de 5% como para 1%.
Hipótese do teste K-S e Shapiro-Wilk
H0: a distribuição dos resíduos é normal
Ha: a distribuição dos resíduos não é normal
Não Rejeito Ho
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Outliers
A identificação de outliers no modelo de regressão linear simples é
feita essencialmente através dos resíduos standardizados (Zre),
studantizados (Sre) e studantizados deleted (Sdr), pela verificação
de pelo menos uma das condições:
- resíduos standardizados terem valores absolutos superiores a 3;
- resíduos studantizados terem valores absolutos superiores a 2
- resíduos studantizados deleted terem valores absolutos
superiores a 2.
Regressão Linear Simples
Diagnóstico do modelo estimado:
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Gerando gráfico de
análise de outlier
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Em um dos gráficos apresentados
notamos a presença de outliers.
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Se quisermos analisar a predição da variável Y em função de um
determinado valor de X, no nosso exemplo, avaliar o volume de
vendas em função de um determinado valor de gasto com
publicidade, devemos proceder da seguinte maneira:
1º acrescentar o novo valor de X (metros quadrados) ao banco
de dados;
2º rodar novamente a regressão, salvando a predição.
Regressão Linear Simples
Predição:
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Analyze/Regression/Linear
Fazendo predição
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Regressão Linear Simples
Inferências:
Erro padrão Teste t Intervalo
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Regressão Linear Simples
Depois de analisada toda a saída da análise de regressão
simples com o uso do SPSS, verificamos dois problemas
que precisam ser resolvidos:
1º. O teste dos coeficientes mostrou que α = 0
2º. Encontramos um outlier no gráfico do SDResíduo.
Rodar e analisar a regressão novamente, excluindo a
constante do modelo.
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Regressão linear simples
Sem incluir a constante