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Aula 02 - Múltiplas Vidas (Duas Vidas)

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Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 
 
9 
Professora: Tayana Rigueira 
 
MÚLTIPLAS VIDAS (Duas Vidas) 
 
1- Vidas Conjuntas 
Um status que existe enquanto os dois membros estiverem vivos e acaba no momento 
em que ocorre a primeira morte é conhecido como status de vida conjunta. Este status é 
denotado por ���� onde � e � representam a idade do indivíduo do grupo 
Denote a distribuição da variável aleatória � como o “tempo até a falha do status”. Para 
o status de vida conjunta, � � ��	
����, ����� onde ��. � é o momento da morte do 
indivíduo. 
Definindo a função de distribuição de � para � � 0, 
����� � ��� � �� 
� ����	
����, ������ 
� 1 � ������ � �	�	���� � �� 
Então, por independência, 
����� � 1 � ������ � �	������� � �� 
� 1 � ��� ��� 
Portanto, essa independência implica que a probabilidade do status de vida conjunta 
���� sobreviver ao tempo t, ���� , é 
�� �� � ��� ��� 
A função de densidade de probabilidade de � é obtida derivando ����� em relação a t, 
fazendo-se 
���� �
�
��
�1 � ��� ��� 
� � ��� �� ��!�"�� � ��� �� ��!�"�� 
� ��� ���!�"� # !�"� � 
A distribuição de � � ����� também pode ser especificada pelas forças de mortalidade 
das vidas associadas. Por analogia à força de uma vida, temos que 
!����� �
���������
1 � ���������
 
 Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 
 
10 
Professora: Tayana Rigueira 
Por independência de ���� e ���� temos 
!�"�:�"� � !�"� # !�"� 
Ou seja, a força de mortalidade para um status de vida conjunta é a soma das forças de 
mortalidade dos indivíduos, se seus períodos de vida futura são independentes. Assim, 
podemos caracterizar a distribuição de ����� pela função de densidade de 
probabilidade, função de distribuição ou força de mortalidade. 
A probabilidade do status de vida conjunta falhar entre o momento % e % # 1 é 
determinada usando a função de distribuição por 
��% < � ≤ % + 1� = ��� ≤ % + 1� − ��� ≤ %� 
= ���' − ���'"( 
= ���' )�"':�"' 
= )��'| 
Note que a probabilidade do status de vida conjunta �� + %: � + %� falhar dentro do 
próximo ano pode ser escrita em termos das probabilidades de falhas independentes 
dos indivíduos vivos como segue: 
)�"':�"' = 1 − ��"':�"' 
= 1 − ��"'��"' 
= 1 − �1 − )�"'��1 − )�"' 
= )�"'+)�"' − )�"')�"' 
2- Último Sobrevivente 
Além dos benefícios definidos em função do momento da primeira morte, existem 
aqueles que são definidos em função da última morte. Agora, vamos examinar a 
situação em que a variável aleatória é o momento da última morte. 
O status existe enquanto pelo menos um indivíduo está vivo e acaba na morte do 
segundo indivíduo e é chamado de status de último sobrevivente. Este status é 
denotado por ���+++�, onde � e � representa a idade do indivíduo. 
Para o status de último sobrevivente, � = �á�
����, ����� onde ��. � é o momento da 
morte do indivíduo. Assim como no desenvolvimento do status de vida conjunta, 
quando queremos expressar funções e características da distribuição de �′. em termos 
das vidas individualmente, assumimos que ����, ���� são mutuamente independentes. 
 
 Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 
 
11 
Professora: Tayana Rigueira 
����� = ��� ≤ �� 
= ���á�
����, ����� � �� 
� ������ � �	�	���� � �� 
Então, por independência, 
����� � ������ � �	������� � �� 
〈0〉 					� �1 � ��� �1 � ��� 
� 1 � �� � ��� # ��� ���� 
Sendo assim, 
���++++� � ��� # ��� � ��� ��� 
Podemos diferenciar a equação 〈0〉 em relação à � para expressar a função de densidade 
de � � ����+++� em termos das funções de sobrevivência dos indivíduos sob a hipótese de 
independência 
���� �
�
��
2�1 � ��� �1 � ��� 3 
� �1 � ��� � ��!�"�� # �1 � ��� � ��!�"�� 
� ��!�"�� # ��!�"�� � ��� ���!�"� # !�"� � 
Existe uma relação mais geral entre �����, ����+++�, ���� e ����. 
〈4〉					����� # ����+++� � ���� # ���� 
〈5〉					��������� # �����++++���� � �������� # �������� 
〈6〉					��������� # �����++++���� � �������� # �������� 
De 〈5〉 segue que 
〈7〉					 ���++++� � ��� # ��� � ���� 
e de 〈6〉 e 〈4〉 que 
〈8〉					�����++++���� � ��!�"�� # ��!�"�� � ���!�"�:�"�� 
Por analogia à força de uma vida, temos que 
!��++++��� �
�����++++����
1 � �����++++����
 
 Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
E segue de 〈7〉 e 〈8〉 
!��++++��� �
��!�"�� # ��!�"�� � ���!�"�:�"��
��� # ��� � ����
 
3- Definições para Status de Duas Vidas 
3.1- Definições dos Status 
���� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto os dois estão 
vivos e se extingue quando o primeiro morre. 
���+++� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto pelo menos 1 
vida sobrevive e se extingue após a 2: morte 
3.2- Definições da Tábua Biométrica 
• Número de pares sobreviventes de idade � e �: 
Notação: ;�� 
• Número de pares de pessoas de idade � e � que morreram antes de alcançar as 
idades � # 1 e � # 1: 
Notação: ��� 
��� � ;�� � ;�"(:�"( 
3.2- Probabilidades de duas vidas 
• Probabilidade de � e � sobreviverem � anos: 
Notação: ���� 
���� � ��� ∗ ��� 
• Probabilidade de pelo menos um sobreviver � anos: 
Notação: ���++++� 
���++++� � ��� ∗ )�� # ��� ∗ )�� # ��� ∗ ��� 
���++++� � ��� ∗ �1 � ��� # ��� ∗ �1 � ��� # ��� ∗ ��� 
���++++� � ��� # ��� � ���� 
 Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
• Probabilidade da 1: morte ocorrer em � anos: 
Notação: )��� 
)��� = )�� ∗ ��� + )�� ∗ ��� + )�� ∗ )�� 
)��� = )� ∗� �1 − )�� + )�� ∗ �1 − )�� + )� ∗� )�� 
)��� = )�� + )�� − )� ∗� )�� 
)��� = �1 − ��� + �1 − ��� − �1 − ��� ∗ �1 − ��� 
)��� = 1 − ���� 
• Probabilidade da 2: morte ocorrer em � anos: 
Notação: )��++++� 
)��++++� = )� ∗� )�� 
)��++++� = �1 − �� � ∗ �1 − ��� 
)��++++� = 1 − �� � − �� � + �� ∗� �� � 
)��++++� = 1 − ���++++ � 
• Probabilidade de que a 1: morte ocorra entre � e � + 1 anos: 
Notação: )���| 
)���| = )��| ∗ ���"( + )��| ∗ ���"( + � ��� − ���"( ∗ � ��� − ���"( 
)���| = ��� ∗ ��� − ���"( ∗ ���"( 
)���| = ���� − ����"( 
)���| =
;�"�:�"� − ;�"�"(:�"�"(
;��
 
)���| =
��"�:�"�
;��
 
 
 
 Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
• Probabilidade da 2: morte ocorrer entre � e � + 1 anos: 
Notação: )��++++�| 
)��++++�| = � )�� ∗ )��| + � )�� ∗ )��| + � )��| ∗ )��| 
)��++++�| = ���++++� − ���++++�"( 
)��++++�| = ��� + ��� − ���� − ���"( − ���"( + ����"( 
)��++++�| = )��| + )��| − )���|

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