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Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 9 Professora: Tayana Rigueira MÚLTIPLAS VIDAS (Duas Vidas) 1- Vidas Conjuntas Um status que existe enquanto os dois membros estiverem vivos e acaba no momento em que ocorre a primeira morte é conhecido como status de vida conjunta. Este status é denotado por ���� onde � e � representam a idade do indivíduo do grupo Denote a distribuição da variável aleatória � como o “tempo até a falha do status”. Para o status de vida conjunta, � � �� ����, ����� onde ��. � é o momento da morte do indivíduo. Definindo a função de distribuição de � para � � 0, ����� � ��� � �� � ���� ����, ������ � 1 � ������ � � � ���� � �� Então, por independência, ����� � 1 � ������ � � ������� � �� � 1 � ��� ��� Portanto, essa independência implica que a probabilidade do status de vida conjunta ���� sobreviver ao tempo t, ���� , é �� �� � ��� ��� A função de densidade de probabilidade de � é obtida derivando ����� em relação a t, fazendo-se ���� � � �� �1 � ��� ��� � � ��� �� ��!�"�� � ��� �� ��!�"�� � ��� ���!�"� # !�"� � A distribuição de � � ����� também pode ser especificada pelas forças de mortalidade das vidas associadas. Por analogia à força de uma vida, temos que !����� � ��������� 1 � ��������� Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 10 Professora: Tayana Rigueira Por independência de ���� e ���� temos !�"�:�"� � !�"� # !�"� Ou seja, a força de mortalidade para um status de vida conjunta é a soma das forças de mortalidade dos indivíduos, se seus períodos de vida futura são independentes. Assim, podemos caracterizar a distribuição de ����� pela função de densidade de probabilidade, função de distribuição ou força de mortalidade. A probabilidade do status de vida conjunta falhar entre o momento % e % # 1 é determinada usando a função de distribuição por ��% < � ≤ % + 1� = ��� ≤ % + 1� − ��� ≤ %� = ���' − ���'"( = ���' )�"':�"' = )��'| Note que a probabilidade do status de vida conjunta �� + %: � + %� falhar dentro do próximo ano pode ser escrita em termos das probabilidades de falhas independentes dos indivíduos vivos como segue: )�"':�"' = 1 − ��"':�"' = 1 − ��"'��"' = 1 − �1 − )�"'��1 − )�"' = )�"'+)�"' − )�"')�"' 2- Último Sobrevivente Além dos benefícios definidos em função do momento da primeira morte, existem aqueles que são definidos em função da última morte. Agora, vamos examinar a situação em que a variável aleatória é o momento da última morte. O status existe enquanto pelo menos um indivíduo está vivo e acaba na morte do segundo indivíduo e é chamado de status de último sobrevivente. Este status é denotado por ���+++�, onde � e � representa a idade do indivíduo. Para o status de último sobrevivente, � = �á� ����, ����� onde ��. � é o momento da morte do indivíduo. Assim como no desenvolvimento do status de vida conjunta, quando queremos expressar funções e características da distribuição de �′. em termos das vidas individualmente, assumimos que ����, ���� são mutuamente independentes. Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 11 Professora: Tayana Rigueira ����� = ��� ≤ �� = ���á� ����, ����� � �� � ������ � � � ���� � �� Então, por independência, ����� � ������ � � ������� � �� 〈0〉 � �1 � ��� �1 � ��� � 1 � �� � ��� # ��� ���� Sendo assim, ���++++� � ��� # ��� � ��� ��� Podemos diferenciar a equação 〈0〉 em relação à � para expressar a função de densidade de � � ����+++� em termos das funções de sobrevivência dos indivíduos sob a hipótese de independência ���� � � �� 2�1 � ��� �1 � ��� 3 � �1 � ��� � ��!�"�� # �1 � ��� � ��!�"�� � ��!�"�� # ��!�"�� � ��� ���!�"� # !�"� � Existe uma relação mais geral entre �����, ����+++�, ���� e ����. 〈4〉 ����� # ����+++� � ���� # ���� 〈5〉 ��������� # �����++++���� � �������� # �������� 〈6〉 ��������� # �����++++���� � �������� # �������� De 〈5〉 segue que 〈7〉 ���++++� � ��� # ��� � ���� e de 〈6〉 e 〈4〉 que 〈8〉 �����++++���� � ��!�"�� # ��!�"�� � ���!�"�:�"�� Por analogia à força de uma vida, temos que !��++++��� � �����++++���� 1 � �����++++���� Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 12 Professora: Tayana Rigueira E segue de 〈7〉 e 〈8〉 !��++++��� � ��!�"�� # ��!�"�� � ���!�"�:�"�� ��� # ��� � ���� 3- Definições para Status de Duas Vidas 3.1- Definições dos Status ���� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto os dois estão vivos e se extingue quando o primeiro morre. ���+++� → é a notação para o grupo com 2 indivíduos que existe enquanto pelo menos 1 vida sobrevive e se extingue após a 2: morte 3.2- Definições da Tábua Biométrica • Número de pares sobreviventes de idade � e �: Notação: ;�� • Número de pares de pessoas de idade � e � que morreram antes de alcançar as idades � # 1 e � # 1: Notação: ��� ��� � ;�� � ;�"(:�"( 3.2- Probabilidades de duas vidas • Probabilidade de � e � sobreviverem � anos: Notação: ���� ���� � ��� ∗ ��� • Probabilidade de pelo menos um sobreviver � anos: Notação: ���++++� ���++++� � ��� ∗ )�� # ��� ∗ )�� # ��� ∗ ��� ���++++� � ��� ∗ �1 � ��� # ��� ∗ �1 � ��� # ��� ∗ ��� ���++++� � ��� # ��� � ���� Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 13 Professora: Tayana Rigueira • Probabilidade da 1: morte ocorrer em � anos: Notação: )��� )��� = )�� ∗ ��� + )�� ∗ ��� + )�� ∗ )�� )��� = )� ∗� �1 − )�� + )�� ∗ �1 − )�� + )� ∗� )�� )��� = )�� + )�� − )� ∗� )�� )��� = �1 − ��� + �1 − ��� − �1 − ��� ∗ �1 − ��� )��� = 1 − ���� • Probabilidade da 2: morte ocorrer em � anos: Notação: )��++++� )��++++� = )� ∗� )�� )��++++� = �1 − �� � ∗ �1 − ��� )��++++� = 1 − �� � − �� � + �� ∗� �� � )��++++� = 1 − ���++++ � • Probabilidade de que a 1: morte ocorra entre � e � + 1 anos: Notação: )���| )���| = )��| ∗ ���"( + )��| ∗ ���"( + � ��� − ���"( ∗ � ��� − ���"( )���| = ��� ∗ ��� − ���"( ∗ ���"( )���| = ���� − ����"( )���| = ;�"�:�"� − ;�"�"(:�"�"( ;�� )���| = ��"�:�"� ;�� Matemática Atuarial IV – Período 2014/01 14 Professora: Tayana Rigueira • Probabilidade da 2: morte ocorrer entre � e � + 1 anos: Notação: )��++++�| )��++++�| = � )�� ∗ )��| + � )�� ∗ )��| + � )��| ∗ )��| )��++++�| = ���++++� − ���++++�"( )��++++�| = ��� + ��� − ���� − ���"( − ���"( + ����"( )��++++�| = )��| + )��| − )���|
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