Média, moda, mediana,  Desvio padrão até coeficiente de variação
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Média, moda, mediana, Desvio padrão até coeficiente de variação


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Medidas de Posição 
 
São medidas que sumarizam (resumem) certas características importantes da distribuição de 
frequência facilitando o trabalho do pesquisador. 
 
Medidas de tendência central (média, moda, mediana) \u2013 Assim denominadas em virtude 
da tendência dos dados observados se agruparem em torno desses valores. 
 
Média aritmética: 
 
Simples: Quociente entre a soma dos valores do conjunto e o nº total de valores: 
 
 
 
 
 
Ponderada: Quando o conjunto tiver pesos diferentes para os valores: 
 
 
 
 
Ex: Média aritmética simples 
 
Notas obtidas por um determinado aluno. 
 
Exercício: 1º 2º 3º 4º 
 
 Nota: 8 6 6 8 
 
 74
86681 =+++==
\u2211
=
n
x
n
i
ix
 
 
Ex: Média aritmética ponderada 
 
Exercício: 1º 2º 3º 4º 
 
 Nota: 8 6 6 8 
 
 Peso: 1 2 3 4 
 
 
n
x
n
i
ix\u2211== 1
\u2211
\u2211
==
p
px
i
n
i
ii
xp 1
 
7
10
70
10
)]4)(8......[()]1)(8[(1 ==+== \u2211
\u2211
=
p
px
i
n
i
ii
xp 
 
 
 
Deve-se evitar o uso exclusivo da média, principalmente, quando os dados 
apresentarem grande dispersão (variação). 
 
 
Moda: É o valor que aparece em um maior número de vezes, ou seja, apresenta maior 
frequência absoluta. 
 
1) Determinação para valores não tabulados 
 
Ex: Calcular a moda dos seguintes conjuntos 
X= { 4, 5,5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 } Modal 6 
Y= { 4, 4, 5, 5, 6, 6 } Amodal 
Z= { 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6 } Bimodal 2 e 5 
W= { 1, 2, 3, 4, 5 } Amodal 
 
2) Determinação para valores agrupados em classes 
 
2.1- MODA BRUTA ( Ponto médio da classe modal) 
 
classes Fj (frequência absoluta) 
10 I------------------- 20 3 
20 I------------------- 30 5 
30 I------------------- 40 7 classe modal 
40 I------------------- 50 6 
50I-------------------- 60 1 
 n = 22 
 
A classe modal é a faixa que tiver maior frequência. 
 
 30 I----------'------------ 40 
 Mo = 35 
 
 
 
 
2.2- PROCESSO DE KING (fórmula) 
 
Baseia-se na influência das frequências absolutas das classes anteriores e posteriores à 
classe modal no cálculo da moda. 
 
classes fj (frequência absoluta) 
10 I------------------- 20 2 
20 I------------------- 30 4 
30 I------------------- 40 8 
40 I------------------- 50 5 
50 I------------------- 60 1 
 N = 20 
 
 
 
 
l= limite inferior da classe modal = 30 
c= amplitude = 10 
f post= freqüência absoluta da classe posterior à modal = S 
f ant= freqüência absoluta da classe anterior à modal = 4 
 
Cálculo 
 
Mo = 30 + 10 5 
 4+5 
Mo = 30 + 50 Mo = 30 + 5,556 = 35,556 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mo = l + c f post 
 fant + fpost
3) Método gráfico: Utilizando apenas o histograma referente ao cálculo da moda,deve-se 
projetar f post no limite inferior da classe modal, determinando o ponto A . o ponto B 
refere-se a projeção de f ant (rebatida) a partir do limite superior da classe modal. A moda 
corresponde ao ponto de intercessão da reta formada por A e B com os eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana (Md) 
 
 Valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade do itens 
sejam iguais ou menores que ela. 
- Separatriz que divide a distribuição ou conjunto de dados em duas partes iguais. 
 
Ex1: Md = 6 
x= {2, 4, 6, 8, 10} 
 
Ex2: y = {2, 4, 6, 8} 
 
 
Md = 4 + 6 = 5 
 2 
1) Determinação da mediana para valores não tabulados. 
 
a) nº de observações é ímpar: 
 
 Emd = n + 1 
 2 
 
 elemento mediano 
Cálculo da moda pelo método de King
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
15 25 35 45 55
Classes ( ponto médio)
fr
eq
uê
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
Mo = 35,556
f ant 
f post 
A
B
Ex: calcular a mediana 
X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30} 
 
 Emd = n + 1 \u2192 Emd = 7 + 1 \u2192 Emd = 4 
 2 2 
 
Resposta: A Mediana corresponde ao número que encontra-se na 4º posição. 
 
b) Nº de observações é par 
 
 Emd = n indica a posição do 1º elemento utilizado no cálculo da mediana 
 2 
 
Ex: Calcular a mediana 
y= {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20} 
 
 
Emd= n = 8 = 4 = (elementos da 4ª e 5ª posição para o do cálculo da Md) : Md= (12 + 
14)/2 = 13 
 
 . 
2) Determinação da mediana para valores tabulados não agrupados em classes 
 
Ex 1: 
VALORES fj Fj 
2 5 5 
3 10 15 
4 15 30 
5 12 42 
6 5 47 
7 3 50 
 n=50 
 Fj = Frequência acumulada 
 f j = Frequência absoluta 
 
 Emd= n = \u2192 Emd= 50 Md = 25 
 2 2 
 Md = média aritmética 25º e 26º elementos 
 
 
 S={.........;4;4;.......} Md = 4 
 
 
 
 Md = 12
Ex 2: 
VALORES fj Fj 
3 3 3 
4 6 9 
5 9 18 
6 8 26 
7 6 32 
8 3 35 
 n = 35 
 Emd = n + 1 \u2192 Emd = 36 \u2192 Emd = 18 \u2192 18º elemento \u2192 Md = 5 
 2 
 3) Determinação da mediana para valores tabulados agrupados em classses: 
 
a) Resolução por fórmulas: Emd = n Sempre !!!!! 
 2 
 
CONSUMO (KWH) fj Fj 
 5 |---------- 25 4 4 
25 |---------- 45 6 10 
45 |---------- 65 14 24 
65 |---------- 85 26 50 
 85 |---------- 105 14 64 
105 |---------- 125 8 72 
125 |---------- 145 6 78 
145 |---------- 165 2 80 
 80 
 
Fant = freqüência acumulada anterior = 24 
fmd = freqüência absoluta de classe mediana = 26 
l = limite inferior da classe mediana = 65 
c = amplitude = 20 
 
Emd= n = 80 \u2192 Emd = 40 
 2 2 
 
Md = 65 + 20 . 40 \u2013 24 \u2192 Md = 65 + 320 
 26 26 
 
Md = 65 + 12,31 \u2192 Md = 77,31 
 
 
 
 Md = l + c Emd \u2013 Fant 
 
b) Método por interpolação 
 
Até 65 acumulamos 24 elementos precisamos de mais 16 para atingir o Emd = (40), daí: 
 
 26 \u2013 20 
 16 \u2013 x x = 12,31 
 
Md = 65 + 12,31 
Md = 77,31 
 
c) Método gráfico (Orgiva Crescente) 
 
 
- Traçar uma reta partindo do Emd (eixo do y), paralela ao \u201ceixo dos x\u201d, quando esta 
interceptar a Oxgiva crescente, traçar outra paralela ao \u201ceixo dos y\u201d e no ponto em 
que esta interceptar o \u201ceixo dos x\u201d estará localizada a mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
15 35 55 75 95 115 135 155
Classe
Ac
um
ul
ad
a 
(F
j)
Md=77,31
Emd
ASSIMETRIA: 
 
x \u2192 simbologia da média; Md \u2192 Mediana; Mo \u2192 Moda 
 
Assimétrica à esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimetria para a direita