Média, moda, mediana, Desvio padrão até coeficiente de variação

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Medidas de Posição 
 
São medidas que sumarizam (resumem) certas características importantes da distribuição de 
frequência facilitando o trabalho do pesquisador. 
 
Medidas de tendência central (média, moda, mediana) – Assim denominadas em virtude 
da tendência dos dados observados se agruparem em torno desses valores. 
 
Média aritmética: 
 
Simples: Quociente entre a soma dos valores do conjunto e o nº total de valores: 
 
 
 
 
 
Ponderada: Quando o conjunto tiver pesos diferentes para os valores: 
 
 
 
 
Ex: Média aritmética simples 
 
Notas obtidas por um determinado aluno. 
 
Exercício: 1º 2º 3º 4º 
 
 Nota: 8 6 6 8 
 
 74
86681 =+++==
∑
=
n
x
n
i
ix
 
 
Ex: Média aritmética ponderada 
 
Exercício: 1º 2º 3º 4º 
 
 Nota: 8 6 6 8 
 
 Peso: 1 2 3 4 
 
 
n
x
n
i
ix∑== 1
∑
∑
==
p
px
i
n
i
ii
xp 1
 
7
10
70
10
)]4)(8......[()]1)(8[(1 ==+== ∑
∑
=
p
px
i
n
i
ii
xp 
 
 
 
Deve-se evitar o uso exclusivo da média, principalmente, quando os dados 
apresentarem grande dispersão (variação). 
 
 
Moda: É o valor que aparece em um maior número de vezes, ou seja, apresenta maior 
frequência absoluta. 
 
1) Determinação para valores não tabulados 
 
Ex: Calcular a moda dos seguintes conjuntos 
X= { 4, 5,5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 } Modal 6 
Y= { 4, 4, 5, 5, 6, 6 } Amodal 
Z= { 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6 } Bimodal 2 e 5 
W= { 1, 2, 3, 4, 5 } Amodal 
 
2) Determinação para valores agrupados em classes 
 
2.1- MODA BRUTA ( Ponto médio da classe modal) 
 
classes Fj (frequência absoluta) 
10 I------------------- 20 3 
20 I------------------- 30 5 
30 I------------------- 40 7 classe modal 
40 I------------------- 50 6 
50I-------------------- 60 1 
 n = 22 
 
A classe modal é a faixa que tiver maior frequência. 
 
 30 I----------'------------ 40 
 Mo = 35 
 
 
 
 
2.2- PROCESSO DE KING (fórmula) 
 
Baseia-se na influência das frequências absolutas das classes anteriores e posteriores à 
classe modal no cálculo da moda. 
 
classes fj (frequência absoluta) 
10 I------------------- 20 2 
20 I------------------- 30 4 
30 I------------------- 40 8 
40 I------------------- 50 5 
50 I------------------- 60 1 
 N = 20 
 
 
 
 
l= limite inferior da classe modal = 30 
c= amplitude = 10 
f post= freqüência absoluta da classe posterior à modal = S 
f ant= freqüência absoluta da classe anterior à modal = 4 
 
Cálculo 
 
Mo = 30 + 10 5 
 4+5 
Mo = 30 + 50 Mo = 30 + 5,556 = 35,556 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mo = l + c f post 
 fant + fpost
3) Método gráfico: Utilizando apenas o histograma referente ao cálculo da moda,deve-se 
projetar f post no limite inferior da classe modal, determinando o ponto A . o ponto B 
refere-se a projeção de f ant (rebatida) a partir do limite superior da classe modal. A moda 
corresponde ao ponto de intercessão da reta formada por A e B com os eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana (Md) 
 
 Valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade do itens 
sejam iguais ou menores que ela. 
- Separatriz que divide a distribuição ou conjunto de dados em duas partes iguais. 
 
Ex1: Md = 6 
x= {2, 4, 6, 8, 10} 
 
Ex2: y = {2, 4, 6, 8} 
 
 
Md = 4 + 6 = 5 
 2 
1) Determinação da mediana para valores não tabulados. 
 
a) nº de observações é ímpar: 
 
 Emd = n + 1 
 2 
 
 elemento mediano 
Cálculo da moda pelo método de King
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
15 25 35 45 55
Classes ( ponto médio)
fr
eq
uê
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
Mo = 35,556
f ant 
f post 
A
B
Ex: calcular a mediana 
X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30} 
 
 Emd = n + 1 → Emd = 7 + 1 → Emd = 4 
 2 2 
 
Resposta: A Mediana corresponde ao número que encontra-se na 4º posição. 
 
b) Nº de observações é par 
 
 Emd = n indica a posição do 1º elemento utilizado no cálculo da mediana 
 2 
 
Ex: Calcular a mediana 
y= {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20} 
 
 
Emd= n = 8 = 4 = (elementos da 4ª e 5ª posição para o do cálculo da Md) : Md= (12 + 
14)/2 = 13 
 
 . 
2) Determinação da mediana para valores tabulados não agrupados em classes 
 
Ex 1: 
VALORES fj Fj 
2 5 5 
3 10 15 
4 15 30 
5 12 42 
6 5 47 
7 3 50 
 n=50 
 Fj = Frequência acumulada 
 f j = Frequência absoluta 
 
 Emd= n = → Emd= 50 Md = 25 
 2 2 
 Md = média aritmética 25º e 26º elementos 
 
 
 S={.........;4;4;.......} Md = 4 
 
 
 
 Md = 12
Ex 2: 
VALORES fj Fj 
3 3 3 
4 6 9 
5 9 18 
6 8 26 
7 6 32 
8 3 35 
 n = 35 
 Emd = n + 1 → Emd = 36 → Emd = 18 → 18º elemento → Md = 5 
 2 
 3) Determinação da mediana para valores tabulados agrupados em classses: 
 
a) Resolução por fórmulas: Emd = n Sempre !!!!! 
 2 
 
CONSUMO (KWH) fj Fj 
 5 |---------- 25 4 4 
25 |---------- 45 6 10 
45 |---------- 65 14 24 
65 |---------- 85 26 50 
 85 |---------- 105 14 64 
105 |---------- 125 8 72 
125 |---------- 145 6 78 
145 |---------- 165 2 80 
 80 
 
Fant = freqüência acumulada anterior = 24 
fmd = freqüência absoluta de classe mediana = 26 
l = limite inferior da classe mediana = 65 
c = amplitude = 20 
 
Emd= n = 80 → Emd = 40 
 2 2 
 
Md = 65 + 20 . 40 – 24 → Md = 65 + 320 
 26 26 
 
Md = 65 + 12,31 → Md = 77,31 
 
 
 
 Md = l + c Emd – Fant 
 
b) Método por interpolação 
 
Até 65 acumulamos 24 elementos precisamos de mais 16 para atingir o Emd = (40), daí: 
 
 26 – 20 
 16 – x x = 12,31 
 
Md = 65 + 12,31 
Md = 77,31 
 
c) Método gráfico (Orgiva Crescente) 
 
 
- Traçar uma reta partindo do Emd (eixo do y), paralela ao “eixo dos x”, quando esta 
interceptar a Oxgiva crescente, traçar outra paralela ao “eixo dos y” e no ponto em 
que esta interceptar o “eixo dos x” estará localizada a mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
15 35 55 75 95 115 135 155
Classe
Ac
um
ul
ad
a 
(F
j)
Md=77,31
Emd
ASSIMETRIA: 
 
x → simbologia da média; Md → Mediana; Mo → Moda 
 
Assimétrica à esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assimetria para a direitaINTERVALOS INTERQUARTÍLICOS (Medidas de Posição): 
 
- Quartis (Q) 
- Decis (D) 
- Centis ou percentis (C) 
 
* Quartis, Decis, Percentis são medidas de posição semelhantes na sua concepção à 
mediana, porém não são medidas de tendência central. 
 
- Quartis (Qi) → i = 1, 2, 3 
 
 Primeiro quartil (Q1): é a medida que divide o conjunto de valores em duas partes 
tais que 25% sejam menores que ela e 75% maiores; 
 Segundo quartil (Q2): = Mediana 
 → 50% menores e 50% maiores; 
 Terceiro quartil (Q3) 
 → 75% menores e 25% maiores; 
 
- Decis (Di) → Permitem dividir a distribuição em dez partes iguais quanto, ao número de 
elementos de cada uma. 
 
 Di → i = 1, 2, 3, ..., 9 
 
D1 → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 10% sejam 
menores e 50% maiores que ela. 
D9 → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes, tais que 90% sejam 
menores e 10% maiores que ela. 
 
-Percentis (ci) → Permitem dividir a distribuição em cem partes iguais quanto, ao número 
de elementos de cada uma. 
 
 Ci → i = 1, 2, ..., 99 
 
Ci → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 1% sejam 
menores e 99% maiores que ela. 
C99 → É a medida que divide o conjunto de valores em duas partes tais que 99% sejam 
menores e 1% maiores que ela. 
 
Fórmulas: 
 
Quartis: (Qi) 
 
Decis (Di) 
 
Percentis (Ci) 
 
Eqi = (in) / 4 
 
Edi = (in) / 10 Eci = (in) / 100 
 
ci = li + c [(Eci – Fant)] 
 fci 
 
Ex: Calcular o C30 da distribuição de freqüência 
 
 (Consumo em kwh das residências de uma determinada rua ) 
 
CONSUMO (KWH) fj Fj 
 5 |---------- 25 4 4 
25 |---------- 45 6 10 
45 |---------- 65 14 24 
65 |---------- 85 26 50 
 85 |---------- 105 14 64 
105 |---------- 125 8 72 
125 |---------- 145 6 78 
145 |---------- 165 2 80 
 n = 80 
 
1º) Ec30 = 30 . 80 → Ec30 = 24 Ec30 = 24 → 24º posição 
 100 
 
 
*Como o elemento centílico coincide com o limite superior da terceira classe, podemos 
afirmar que 
 Ec30 = 65 
 
2º) Fórmula ci = li + c [(Eci – Fant)] 
 fci 
 
 
 C30 = 45 + 20 . 24 – 10 C30 = 45 + 20 → C30 = 65 
 14 
 
 
 
DIAGRAMA EM CAIXA (BOX – PLOT) 
 
 Os diagramas em caixas são utilizados para analisar tendências centrais, dispersão, 
distribuição dos dados e Outliers (valores extremos) * 
 
Construção: 
 Q1 Q2 Q3 
 
 Q1 = primeiro quartil 
 * * 
 
Ex: Comparar o número de trocas de TUE entre os anos de 2004, 2005 e 2006. 
 
 
 
 
 Trocas de TUE por ano 
121212N =
TROCAS06TROCAS05TROCAS04
120
100
80
60
40
20
 
 
OBS: Após a redução significativa em 2005 o número de falhas do tipo troca voltou a subir 
em 2006. 
 
 
MEDIDAS DE VARIAÇÃO 
 
Variância: A variância é definida como o desvio quadrático médio em torno da média . 
 
 
1
)(
2
2
−=
−
n
i xxS (amostra) e ; N
i xx )(
2
2 −=σ (População) 
 
 
Desvio padrão: A raiz quadrada positiva da variância, é uma medida de dispersão que está 
na mesma escala dos dados. 
1
)(
2
−=
−
n
i xxS (amostra) e ; N
i xx )(
2−=σ (População) 
 Ex: Analisando a amostra referente às notas obtidas por dois alunos em um semestre, qual 
deles você selecionaria para uma bolsa de mestrado? 
 
Exercício 1º 2º 3º 4º 5º 
Estudante A 40 50 60 70 80 
Estudante B 20 40 60 80 100 
 60=xA 60=xB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Quanto mais o aluno se desvia da média, maior será o seu desvio padrão. 
 
Utilizando as fórmulas: 
 
105250
4
1000
1-5
60)² - (80 60)² - (70 60)² - (60 60)² - (50 60)² - (40
1n
i )xx(
2
SA ===++++=−=
−
 
 
10101000
4
4000
1-5
60)² - (100 60)² -(80 60)² -(60 60)² -(40 60)² - (20
1n
i )xx(
2
SB ===++++=−=
−
 
 
 
Obs. O desvio padrão de “A” é a metade do desvio de “B” logo: deve-se escolher o aluno 
A. 
 
 
 
 
 
 
 
Evolução das Notas
0
20
40
60
80
100
1 2 3 4 5
Exercício
No
ta
s
Aluno A Aluno B
Média
DESVIO PADRÃO PARA DADOS BRUTOS 
 
Ex: Calcular o desvio padrão 
 
A= { 10, 12, 13, 20, 25, 34, 45} 
 
xi xxi − )xx i 2( − xi² 
10 -12,714 161,646 100 
12 -10,714 114,790 144 
13 -9,714 90,362 169 
20 -2,714 7,366 400 
25 2,286 5,226 625 
34 11,286 127,374 1156 
45 22,286 496,666 2025 
 159xi =∑ ∑ )xx i 2( − = 1007,430 ∑ xi² = 4619 
 
 x = 22,71 
 
Fórmula original 
 
958,12905,167
1n
)xx(
2
SA
i ==−=
−
 
 
 Fórmula desenvolvida 
 
[ ] 958,12
7
4619
17
1
n1n
1 )159( 2)x( 2
x2iS
i =

 −−=−−=
∑∑
 
 
 
Desvio padrão para dados tabulados 
 
 
 k 
 S = ∑ (xj – x )² fj 
 j=1 FÓRMULA ORIGINAL 
 n – 1 
 
 
 
 k k 
 S = 1 [ ∑ xj² fj - ( ∑ xj fj )² ] FÓRMULA DESENVOLVIDA 
 n n 
 
 
 x = ( ∑ xi fi ) k = número de classes 
 n xi = ponto médio da classe 
 
 
 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON 
 
 
 Fórmula: Cvp = S S = desvio padrão 
 x x = média 
 
Ex: Uma empresa de pneus desenvolveu um novo produto utilizando o cordel que 
proporciona maior resistência à flexões repetidas. Considerando os resultados dos testes, 
através do cálculo do coeficiente de variação de Pearson, podemos confiar na afirmação do 
fabricante? 
 
 
 
 S x 
Novo cordel 15 min 139 min 
Produto antigo 14 min 88 min 
 
 Novo cordel Cvp = 15 Cvp = 0,108 Cvp = 10,8% 
 139 
 Produto antigo Cvp = 14 Cvp = 0,159 Cvp = 15,9% 
 88 
 
Resposta: Sim, pois o novo produto apresenta menor Cvp, logo maior estabilidade. 
 
 
Outro Exemplo: 
 
Veículo A 10 11 12 13 14 
Veículo B 9 11 13 15 17 
 
 
 SA = ( 10 – 12)² + ( 11 – 12 )² + (12 – 12)² + ( 13 – 12)² + (14 – 12 )² 
 4 
 
x A = 12
x B = 13 
 
 SA = 10 SA = 1,58 
 4 
 
 
 
 
 SB = ( 9 – 13 )² + ( 11 – 13 )² + (13 – 13 )² + ( 15 – 13 )² + (17 – 13 )² 
 4 
 
 
 SB = 40 = SB = 3,16 
 4 
 
 
 Cvp(A) = SA = 1,58 = 0,132 = 13,2 % 
 x A 12 
 
 Cvp(B) = SB = 3,16 = 0,243 = 24,3 % 
 x B 13 
 
 Assim podemos concluir que o veículo A é o melhor. 
 
 
 Prática com dados de TUE