BIOESTATÍSTICA ANOTAÇÕES

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Somatório
	Xi	Yi	Zi	Xi2	Xi . Yi	Yi2	Xi2	Variância amostral (s2)
	Aluno	Pressão
sistólica (mm Hg)	Pressão
diastólica (mm Hg)	Frequência
cardíaca
(nº/min)
	1	123	86	64	15129	10578	7396	0.64	433.2	(mm Hg)2
	2	143	80	83	20449	11440	6400	368.64
	3	117	71	81	13689	8307	5041	46.24	433.2	(mm Hg)2
	4	143	89	87	20449	12727	7921	368.64
	5	93	68	78	8649	6324	4624	948.64
	SXi SYi SZi	619	394	393	78365	49376	31382	1732.8
	média	123.8	78.8	78.6
	Coeficiente de correlação linear de Pearson (r) 
	somaquad	78365	31382	31199
	somaprod	49376
	X1+X2+X3+X4+X5	123+143+117+143+93	619
	mm Hg
	r =	598.8
	1732.8	334.8
	Y1+Y2+Y3+Y4+Y5	86+80+71+89+68	394
	mm Hg	r =	0.79
	0.79
	Z1+Z2+Z3+Z4+Z5	64+83+81+87+78	393
	nº/min
	r=	0.35	p. sist. e f.c.
	1232+...+932	78365
	(mm Hg)2
	soma dos quadrados
	(X1+X2+X3+X4+X5)2	(123+...+93)2	383161
	(mm Hg)2
	quadrado da soma
	X1.Y1+...+X5.Y5	123x86+...+93x68	49376
	(mm Hg)2
	soma dos produtos
	(X1+X2+X3+X4+X5) . (Y1+Y2+Y3+Y4+Y5)
	619 x 394	243886
	(mm Hg)2
	Propriedade distributiva
	X	Y	X-Y
	Venda nº	Receita	Despesa	Lucro	Despesa	Lucro
	1	600	250	350	300
	2	500	200	300	240
	3	800	350	450	420
	4	1200	550	650	660
	3100	1350	1750	1620	1480	1480
	1620
	Somatório - tabelas de dupla entrada
	Cursos	Fem	Masc	Total
	Med. Veterinária	65	6	71
	Ed. Física	17	15	32
	Ec. Doméstica	20	2	22
	Biologia	24	6	30
	Total	126	29	155
	Representação matricial
	X1,1	X1,2
	X2,1	X2,2
	X3,1	X3,2
	X4,1	X4,2
	Representar e calcular o total de estudantes dos cursos
	de Ec. Doméstica e Biologia
	52	estudantes
	Representar e calcular o total de estudantes do sexo fem.
	dos cursos de Med. Veterinária e Ed. Física
	82	estudantes
Gráficos
	Gráfico de linhas
	Cursos	Fem	Masc	Total
	Med. Vet.	65	6	71	91.5%	8.5%
	Ed. Física	17	15	32	53.1%	46.9%
	Biologia	24	6	30	80.0%	20.0%
	Econ. Dom.	20	2	22	90.9%	9.1%
	Total	126	29	155
	Causas de reprovação em IC 281
	Nº
	Não conseguiu assistir às aulas	40
	Não teve tempo para estudar para as provas	30
	Precisou trancar a disciplina	20
	Não entendeu os assuntos abordados nas aulas	7
	Outros	3
	Gráfico de linhas
	Dias da semana	N° de comensais
	Seg	45
	Ter	50
	Qua	70
	Qui	30
	Sex	20
	Gráfico de setores
	Cursos	Nº de estud.	%	Ângulo
	Zootecnia	40	83.3%	300
	Adm. Pública	2	4.2%	15
	Geologia	5	10.4%	37.5
	Química	1	2.1%	7.5
	Total	48	100.0%	360
	Cursos	Nº de estud.	%	Ângulo
	Medicina Veterinária	77	43.5%	157
	Educação Física	45	25.4%	92	248
	Economia Doméstica	45	25.4%	92	340
	Biologia	10	5.6%	20	360
	Total	177	100.0%	360
	Gráfico polar (ou tipo radar)
	Nº médio de internações em um hospital durante a semana
	Dia da semana	Nº de internações
	Seg	30
	Ter	40
	Qua	25
	Qui	35
	Sex	45
	Sáb	55
	Dom	20
	Total	250
	Ângulo = 360 / nº de categorias	1	51.4
	51.4	2	102.9
	3	154.3
	4	205.7
	5	257.1
	6	308.6
	7	360.0
	Gráficos para variáveis quantitativas
	Dados discretos (contagens)
	Nº de faltas	Frequência
	0	20
	1	35
	2	30
	3	25
	4	15
	5	10
	6	2
	Dados quantitativos contínuos (medições)	Gráfico de caixa (box-plot)
	Peso	Diagrama de ramos e folhas	Mediana	Conjunto ímpar ==> elemento central é a mediana
	kg	Conjunto par ==> toma-se a média dos 2 elementos centrais
	Aluno 1	41	Posição ==> (n+1)/2
	Aluno 2	44	Dezenas	Unidades	No ex. ==> (52+1)/2 ==>	26.5
	Aluno 3	45	4	1 4 5 6 8 8 9 9	26ª pos.	57	Lim. inf.	41
	Aluno 4	46	5	1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 8 	27ª pos.	58	Lim. sup.	92
	Aluno 5	48	6	0 0 0 4 4 5 5 6 7 8	Mediana ==> 57,5 kg
	Aluno 6	48	7	0 0 0 6 8 	1° QUARTIL (Q1)	3° QUARTIL (Q3)
	Aluno 7	49	8	0 0 0 0 2 4 5 6 	Posição ==> (n+1)/4	Posição ==> 3x(n+1)/4
	Aluno 8	49	9	0 2	No ex. ==> (52+1)/4 ==>	13.25	No ex. ==> 3.(52+1)/4 ==>	39.75
	Aluno 9	51	13ª pos.	53	39ª pos.	70
	Aluno 10	52	14ª pos.	53	40ª pos.	70
	Aluno 11	52	1° quartil ==> 53 kg	3° quartil ==> 70 kg
	Aluno 12	52	Fórmula de Yule	somente é um indicador
	Aluno 13	53	6.7	classes	Varia geralmente entre 4 a 20
	Aluno 14	53
	Aluno 15	54	Amplitude	Maior - menor valor	51	kg
	Aluno 16	54
	Aluno 17	54	Intervalo de classe = Amplitude / n. de classes
	Aluno 18	54	50 kg / 5 = 10 kg
	Aluno 19	54	P.M.	freq.
	Aluno 20	55	Classes	Freq. (fi)	P.M.	.---| inclui o limite superior	36	0
	Aluno 21	55	41 --| 51	9	46	.|--- inclui o limite inferior	46	9
	Aluno 22	55	51 --| 61	21	56	56	21
	Aluno 23	56	61 --| 71	10	66	66	10
	Aluno 24	56	71 --| 81	6	76	76	6
	Aluno 25	56	81 --| 91	6	86	86	6
	Aluno 26	57	Total	52	96	0
	Aluno 27	58
	Aluno 28	60
	Aluno 29	60	Classes	Freq. (fi)
	Aluno 30	60	41 |-- 51	8
	Aluno 31	64	51 |-- 61	22
	Aluno 32	64	61 |-- 71	10
	Aluno 33	65	71 |-- 81	6
	Aluno 34	65	81 |-- 91	6
	Aluno 35	66	Total	52
	Aluno 36	67
	Aluno 37	68
	Aluno 38	70
	Aluno 39	70	Classes	Frequência
(fi)	Limites
das classes	Fr. acumulada
abaixo de ...
N°. (absoluta)	Fr. acumulada
abaixo de ...
%. (porcentual)	Fr. acumulada
acima de ...
N°. (absoluta)	Fr. acumulada
acima de ...
%. (porcentual)
	Aluno 40	70	41 --| 51	9	41	0	0.0%	52	100.0%
	Aluno 41	76	51 --| 61	21	51	9	17.3%	43	82.7%
	Aluno 42	78	61 --| 71	10	61	30	57.7%	22	42.3%
	Aluno 43	80	71 --| 81	6	71	40	76.9%	12	23.1%
	Aluno 44	80	81 --| 91	6	81	46	88.5%	6	11.5%
	Aluno 45	80	Total	52	91	52	100.0%	0	0.0%
	Aluno 46	80
	Aluno 47	82
	Aluno 48	84
	Aluno 49	85
	Aluno 50	86
	Aluno 51	90
	Aluno 52	92
	Distribuição assimétrica a direita
Médias
	Média para dados com frequência
	Idade
(Xi)	Nº de 
alunos
(fi)	fi x Xi	Classes	Frequência
(fi)	Ponto médio (Xi)	fi x Xi
	17	5	85	41 --| 51	9	46	414
	18	15	270	51 --| 61	21	56	1176
	19	27	513	61 --| 71	10	66	660
	20	20	400	71 --| 81	6	76	456
	21	12	252	81 --| 91	6	86	516
	22	10	220	Total	52	3222
	23	5	115	média ==>	61.96	kg
	25	3	75
	27	2	54
	29	1	29
	Total	100	2013
	Propriedades da média aritmética
	Se somarmos ou subtrairmos uma constante (k) a todos os elementos de uma variável, a nova
	média desta variável será a média anterior somada ou subtraída desta constante.
	Notas	.+ k=0,8
	X1	5.0	5.8
	X2	5.5	6.3
	X3	7.0	7.8
	X4	7.5	8.3
	X5	8.0	8.8
	X6	9.0	9.8
	42	46.8
	Média	7.0	7.8
	Se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos de uma variável por uma constante (k), a nova
	média desta variável será a média anterior multiplicada ou dividida por esta constante.
	Peso aos	Peso aos
	3 meses (kg)	12 meses (kg)
	X1	5.0	10.0
	X2	5.5	11.0
	X3	7.0	14.0
	X4	7.5	15.0
	X5	8.0	16.0
	X6	9.0	18.0
	42	84
	k = 2
	Média	7.0	14.0
	Cálculo da média com pesos (ponderação)
	Notas	Pesos	fi . Xi
	1a. Prova	X1	5.0	1	5.0
	2a. Prova	X2	5.5	2	11.0
	3a. Prova	X3	7.0	3	21.0
	assuntos	6	37
	acumulados
	Média	6.2
	Média geométrica
	Populacional	Amostral
	É utilizada quando os dados estão em progressão
	Ano	Produção (ton)
	2005	20	Média aritm. ==>	406.25
	2006	75
	2007	330	Média geom.< média aritmética
	2008	1200
	Produtório =>	594000000
	Média geom.	156.1
	Ano	Produção (ton)
	2005	20
	2006	50	2.5	40
	2007	100	2	80
	2008	160	1.6	160
	Média geom.	2
	Mês	R$	Taxa	Fator	R$
	1	1000.00
	2	1005.20	0.0052	1.0052	1005.98
	3	1010.83	0.0056	1.0056	1012.00
	4	1016.69	0.0058	1.0058	1018.05
	5	1023.00	0.0062	1.0062	1024.13
	6	1030.26	0.0071	1.0071	1030.26
	Média geom.	1.0060	Taxa média (geom.) = 0,0060 ou 0,60%
Dispersão
	Considere o peso de crianças ao nascimento e aos 12 meses (em kg)
	Indiv. nº	Nascimento	12 meses
	1	3.8	9.8
	2	4.0	10.2
	3	4.2	10.2
	4	4.4	10.2
	5	4.6	10.6
	Total	21.0	51.0
	Média	4.2	10.2
	Amplitude total: diferença entre o maior e o menor valor
	A. T. ==>	0.8	0.8	mesma amplitude, porém a variabilidade é diferente.
	kg	kg
	Variância:	leva em consideração os afastamentos em relação à média aritmética
	Indiv. nº	Nascim.	12 meses
	1	-0.4	-0.4
	2	-0.2	0.0
	3	0.0	0.0
	4	0.2	0.0
	5	0.4	0.4
	Soma =>	-0.0	0.0
	Variância: é a média dos afastamentos, ao quadrado, em relação à média aritmética.
	Populacional (s2)	Amostral (s2)
	n-1 ==> graus de liberdade da amostra
de tamanho n
	No exemplo:
	Indiv. nº	Nascim.	12 meses
	1	0.16	0.16	kg2
	2	0.04	0.00
	3	0.00	0.00
	4	0.04	0.00
	5	0.16	0.16	kg2
	Soma =>	0.40	0.32
	Var. amostral	0.10	0.08
	maior	menor
	variação	variação
	Desvio padrão: é uma medida de dispersão que toma a raiz quadrada da variância.
	Ele tem a mesma unidade de medida da média aritmética.
	Populacional (s)	Amostral (s)
	Desvio padrão	0.316	0.283	kg
	amostral (s)	maior	menor
	variação	variação
	Cálculo da variância sem a utilização da média aritmética.
	Populacional	amostral
	Peso ao nascimento de 4 animais (em kg).
	Xi
	20	7.5625
	22	0.5625
	24	1.5625
	25	5.0625
	Soma =>	91	14.75
	Média =>	22.75
	Cálculo da variância
	Cálculo da variância sem a média
	SX2	2085
	s2	4.917	kg2
	Cálculo do desvio padrão
	s	2.217	kg
	Peso ao nascer	Peso aos 360 dias
	X + k=100
	20	7.5625	120	7.5625
	22	0.5625	122	0.5625
	24	1.5625	124	1.5625
	25	5.0625	125	5.0625
	91	14.75	491	14.75
	média =	22.75	média =	122.75	kg
	s2 =	4,917	4,917	kg2
	s =	2,217	2,217	kg
	Relação entre o	1.25	1.0416666666666667
	maior e o menor valor
	Coeficiente de variação (C.V.)
	C.V.	0.0974505495	0.0180610998
	9.7%	1.8%
	pesos mais dispersos	pesos mais uniformes
	O C.V. é utilizado para se comparar medidas diferentes.
	P. ex. peso (kg) e tamanho (cm)
Exercício
	Categoria	IMC	Peso	Estatura	IMC	Peso	Estatura
	Abaixo do peso	Abaixo de 18,5	kg	m	kg	m
	Peso normal	18,5 - 24,9	1	41	1.48	16.5	1	41	1.48
	Sobrepeso	25,0 - 29,9	2	44.5	1.52	16.6	2	44.5	1.52
	Obesidade Grau I	30,0 - 34,9	3	45	1.53	17.4	3	45	1.53
	Obesidade Grau II	35,0 - 39,9	4	46	1.54	17.4	4	46	1.54
	Obesidade Grau III	40,0 e acima	5	48	1.54	17.8	5	48	1.54
	6	48	1.55	17.8	6	48	1.55
	7	48.6	1.56	18.0	7	48.6	1.56
	8	49	1.56	18.0	8	49	1.56
	9	51	1.58	18.0	9	51	1.58
	10	52	1.59	18.0	10	52	1.59
	11	52	1.60	18.7	11	52	1.60
	12	52	1.60	18.7	12	52	1.60
	13	53	1.60	18.8	13	53	1.60
	14	53	1.62	18.9	14	53	1.62
	15	54	1.63	19.7	15	54	1.63
	16	54	1.63	19.8	16	54	1.63
	17	54	1.63	20.0	17	54	1.63
	18	54	1.65	20.0	18	54	1.65
	19	54	1.65	20.1	19	54	1.65
	20	55	1.65	20.2	20	55	1.65
	21	55	1.65	20.6	21	55	1.65
	22	55	1.65	20.7	22	55	1.65
	23	56	1.66	21.1	23	56	1.66
	24	56	1.66	21.1	24	56	1.66
	25	56	1.66	21.5	25	56	1.66
	26	57	1.66	21.8	26	57	1.66
	27	58	1.67	22.0	27	58	1.67
	28	60	1.67	22.0	28	60	1.67
	29	60	1.70	22.1	29	60	1.70
	30	60	1.70	22.1	30	60	1.70
	31	64	1.70	22.6	31	64	1.70
	32	64	1.70	22.6	32	64	1.70
	33	65	1.70	22.9	33	65	1.70
	34	65	1.70	23.2	34	65	1.70
	35	66	1.71	23.3	35	66	1.71
	36	67	1.71	23.4	36	67	1.71
	37	68	1.72	24.2	37	68	1.72
	38	70	1.72	24.7	38	70	1.72
	39	70	1.73	24.8	39	70	1.73
	40	70	1.73	24.8	40	70	1.73
	41	76	1.74	25.7	41	76	1.74
	42	78	1.75	25.8	42	78	1.75
	43	80	1.76	25.9	43	80	1.76
	44	80	1.77	26.7	44	80	1.77
	45	80	1.78	27.0	45	80	1.78
	46	80	1.78	27.0	46	80	1.78
	47	82	1.79	27.1	47	82	1.79
	48	84	1.80	27.4	48	84	1.80
	49	85	1.80	27.4	49	85	1.80
	50	86	1.81	28.7	50	86	1.81
	51	90	1.89	29.1	51	90	1.89
	52	92	1.92	29.7	52	92	1.92
	Total ==>	1149.4	3243.1	87.1
	Média ==>	22.10	62.37	1.68
	Somaquad ==>	* 26,067.58	* 211,216.21	* 146.33
	Var. amostr.	12.96900	175.54499	0.008653
	D. P. amostr.	3.60125	13.24934	0.09302
	C. V. ==>	16.3%	21.2%	5.6%
	Mediana =>	21.9	57.5	1.665
	Moda =>	18	54	1.7
	1º quartil =>	18.875	53	1.615
	3º quartil =>	24.8	70	1.73
	a) Construir um gráfico de ramos e folhas com os IMC dos 52 alunos.
	2	16	5 6
	6	17	4 4 8 8
	14	18	0 0 0 0 7 7 8 9
	16	19	7 8
	22	20	0 0 1 2 6 7
	26	21	1 1 5 8
	33	22	0 0 1 1 6 6 9
	36	23	2 3 4
	40	24	2 7 8 8
	43	25	7 8 9
	44	26	7
	49	27	0 0 1 4 4 
	50	28	7
	52	29	1 7
	b) Representar e calcular a soma dos IMC dos 5 estudantes com menores índices.
	85.7	kg/m2
	c) Representar e calcular a soma dos 4 IMC mais centrais.
	87.3	kg/m2
	d) Representar e calcular a soma dos quadrados dos 4 maiores IMC.
	3303.35	(kg/m2)2
	e) Representar e calcular o quadrado da soma dos 4 maiores IMC.
	Soma ==>	114.9
	13202.01	(kg/m2)2
	f) Tomar uma amostra casual simples com 6 estudantes desta turma e listar os seus IMC.
	Alunos	IMC
	3	17.4	aleatórioentre
	47	27.1	ERROR:#NAME?
	21	20.6	ERROR:#NAME?
	50	28.7	ERROR:#NAME?
	19	20.1	ERROR:#NAME?
	24	21.1
	g) Tomar uma amostra sistemática com 5 estudantes desta turma e listar os seus IMC.
	Alunos	IMC	Fator ==>	m/n	10
	6	17.8
	16	19.8
	26	21.8
	36	23.4
	46	27.0
	h) Tomar uma amostra estratificada proporcional com 20% dos alunos, considerando-se dois estratos
	Estrato 1: alunos com IMC abaixo do peso e alunos normais de IMC
	Estrato 2: alunos com sobrepesos
	Fazer a seleção no estrato de forma casual ou sistemática
	Estrato 1	Estrato 2
	40 alunos	5	12 alunos
	8	alunos	Fator => 52/10,4	2.4	alunos
	Aluno sorteado	IMC	Am. sistem.	IMC	Aluno sorteado	IMC	Am. sistem.	IMC
	28	22.0	3	17.4	47	27.1	43	25.9
	7	18.0	8	18.0	42	25.8	48	27.4
	30	22.1	13	18.8	51	29.1
	13	18.8	18	20.0
	23	21.1	23	21.1
	31	22.6	28	22.0
	34	23.2	33	22.9
	14	18.9	38	24.7
	i) Construir uma tabela de distribuição de frequências em classes.
	Nº de classes ==>	4
	Amplitude total ==>	13.2
	Intervalo de classe ==>	3.3
	Classes	Frequência
(fi)	Ponto médio
(P.M.) Xi
	16,5 --| 19,8	16	18.15
	19,8 --| 23,1	17	21.45
	23,1 --| 26,4	10	24.75
	26,4 --| 29,7	9	28.05
	Total	52
	j) Construir um histograma com os dados da tabela anterior.
	Distribuição assimétrica à direita
	k) Construir um polígono de frequência com os dados da tabela anterior.
	Ponto médio
(P.M.) Xi	Frequência
(fi)
	14.85	0
	18.15	16
	21.45	17
	24.75	10
	28.05	9
	31.35	0
	l) Representar por um gráfico de setores a distribuição dos alunos segundo a classificação de IMC da OMS.
	Categoria	Nº de alunos	%	Âng.	IMC
	Abaixo do peso	10	19.2%	69	Abaixo de 18,5
	Peso normal	30	57.7%	208	18,5 - 24,9
	Sobrepeso	12	23.1%	83	25,0 - 29,9
	52	100.0%	360
	m) Construir um gráfico polar para representar o número médio de refeições oferecidas durante
	a semana por um restaurante.
	Dia da semana	Nº de refeições
	Domingo	80
	Segunda-feira	250
	Terça-feira	270
	Quarta-feira	300
	Quinta-feira	280
	Sexta-feira	240
	Sábado	170
	Pólos (7) ==>	51	graus
	Pólo 1	0
	Pólo 2	51	1
	Pólo 3	103	2
	Pólo 4	154	3
	Pólo 5	206	4
	Pólo 6	257	5
	Pólo 7	309	6
	n) Construir um gráfico de caixa para os dados de IMC
	Lim. superior	29.7
	Q3	24.8	Posição => 3*(n+1)/4	39.75
	Mediana	21.9	Posição => (n+1)/2	26.5
	Q1	18.8	Posição => (n+1)/4	13.25
	Lim. inferior	16.5
	o) Sabendo-se que S= e S= para os 52 dados de I.M.C. dos alunos de uma turma, calcular
	o valor da variância, do desvio padrão e do coeficiente de variação.
	Soma ==>	1149.4
	Soma dos quadrados ==>	26067.58
	p) Variância dos pesos ==>	175.54498868778305
	Soma dos pesos ==>	3243.1	62.3673076923
	Comparar qual das duas medidas apresentou maior variação (I.M.C. ou pesos)
	13.249339179286755
	q) As estaturas dos 52 alunos foram apresentadas na seguinte tabela de distribuição de frequências
	em classes.
	Classe (m)	Frequência	Xi	fi x Xi	fi x Xi2
	1,47 --| 1,56	8	1.47	1.515	12.12	18.36180
	1,56 --| 1,65	14	1.56	1.605	22.47	36.06435
	1,65 --| 1,74	19	1.65	1.695	32.205	54.587475
	1,74 --| 1,83	9	1.74	1.785	16.065	28.676025
	1,83 --| 1,92	2	1.83	1.875	3.75	7.03125
	Total	52	86.61	144.72090
	Calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação das estaturas.
	r) Construir as agivas de Galton crescente e decrescente com os dados da tabela anterior.
Correlação 1
	Relação entre idade (em meses) e peso (em kg) obtidos com animais de certa espécie (dados fictícios)
	Idade (X)	Peso (Y)	X . Y	X2	Y2
	0	20	0	0	400
	1	25	25	1	625
	2	30	60	4	900
	3	35	105	9	1225
	6	110	190	14	3150
	numerador	100	ou	25
	denominador	20	500	5	125
	r =	1	1	correlação perfeita positiva
Correlação 2
	Peso dos pais e de seus filhos mais velhos
	Pais	Filhos	X2	X.Y	Y2
	60	63	3600	3780	3969
	65	64	4225	4160	4096
	70	71	4900	4970	5041
	68	69	4624	4692	4761
	63	63	3969	3969	3969
	69	68	4761
4692	4624
	71	73	5041	5183	5329
	64	63	4096	4032	3969
	66	64	4356	4224	4096
	64	62	4096	3968	3844
	660	660	43668	43670	43698
	a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson (r) para os dados de pesos e classificá-lo em relação ao sinal e o seu valor.