Resolução o Lista de Exercícios 1 Revisão de Logica

Prévia do material em texto

Resoluc¸a˜o Lista de Exerc´ıcios 1 - Revisa˜o de
Lo´gica
Monitoria Matema´tica Ba´sica/Discreta
Q1.
a) Se voceˆ na˜o esta´ no Ceara´, enta˜o voceˆ na˜o esta´ em Quixada´ ou em Quix-
eramobim.
[Se] voceˆ na˜o esta´ no Ceara´, [enta˜o] voceˆ na˜o esta´ em Quixada´ ou em Quix-
eramobim.
voceˆ [na˜o] esta´ no Ceara´ → voceˆ [na˜o] esta´ em Quixada´ ou em Quixeramo-
bim.
voceˆ [na˜o] esta´ no Ceara´ → [na˜o] (voceˆ esta´ em Quixada´ [ou] voceˆ esta´ em
Quixeramobim).
¬ [voceˆ esta´ no Ceara´] → ¬ ([voceˆ esta´ em Quixada´] ∨ [voceˆ esta´ em Quix-
eramobim]).
¬ r → ¬ (p ∨ q)
b) ¬ r → ¬ (p ∨ q)
Aplicando a contrapositiva, temos:
¬ ¬ ( p ∨ q) → ¬ ¬ r
p ∨ q → r
[Voceˆ esta´ em Quixada´] ∨ [Voceˆ esta´ em Quixeramobim] → [Voceˆ esta´ no
Ceara´].
[Se] voceˆ esta´ em Quixada´ ∨ voceˆ esta´ em Quixeramobim [enta˜o] voceˆ esta´
no Ceara´.
Se voceˆ esta´ em Quixada´ [ou] voceˆ esta´ em Quixeramobim enta˜o voceˆ esta´
no Ceara´.
Se voceˆ esta´ em Quixada´ ou voceˆ esta´ em Quixeramobim enta˜o voceˆ esta´ no
Ceara´.
c) ¬ r → ¬ (p ∨ q)
¬ ¬ r ∨ ¬ (p ∨ q)
r ∨ ¬ (p ∨ q)
Aplicando a negac¸a˜o, temos:
1
¬ [r ∨ ¬ (p ∨ q)]
¬ r ∧ ¬ ¬ (p ∨ q)
¬ [voceˆ esta´ no Ceara´] ∧ ([voceˆ esta´ em Quixada´] ∨ [voceˆ esta´ em Quixer-
amobim])
voceˆ [na˜o] esta´ no Ceara´ ∧ voceˆ esta´ em Quixada´ [ou] voceˆ esta´ em Quixer-
amobim
voceˆ na˜o esta´ no Ceara´ [e] voceˆ esta´ em Quixada´ ou voceˆ esta´ em Quixer-
amobim
Voceˆ na˜o esta´ no Ceara´ e voceˆ esta´ em Quixada´ ou voceˆ esta´ em Quixer-
amobim.
Q2.
a) Se o valor lo´gico de r e´ F enta˜o o valor lo´gico de ¬ r e´ V, logo (p → q)
→ V. A nossa fo´rmula e´ molecular do tipo implicac¸a˜o, a implicac¸a˜o so´ e´ falsa
quando o antecessor e´ verdadeiro e o sucessor e´ falso, logo o valor lo´gico de (p
→ q) → ¬ r e´ V.
b) Se o valor lo´gico de q e´ V enta˜o o valor lo´gico de ¬ q e´ F e sabemos que
a fo´rmula (p ∧ ¬ p) tem sempre valor lo´gico F. Logo,
(q ∨ (p ∧ ¬ p)) ↔ ¬ q
(V ∨ F) ↔ F
V ↔ F
F
Portanto, o valor lo´gico de (q ∨ (p ∧ ¬ p)) ↔ ¬ q e´ F.
Q3.
a) Sabemos que q ∧ (p → t) ∧ ¬ (r ∧ t) ∧ ¬ (r → s) ∧ ¬ (q ∨ s) e´ V, logo:
q e´ V, (p → t) e´ V, ¬ (r ∧ t) e´ V, ¬ (r → s) e´ V e ¬ (q ∨ s) e´ V.
¬ (q ∨ s) = ¬ q ∧ ¬ s = F ∧ ¬ s = ¬ s
E ¬ s e´ V, logo s e´ F.
¬ (r → s) = ¬ (¬ r ∨ s) = ¬ ¬ r ∧ ¬ s = r ∧ ¬ s.
Sabendo que r ∧ ¬ s e´ V e s e´ F, enta˜o r e´ V.
¬ (r ∧ t) = ¬ ¬ r ∧ ¬ t = r ∧ ¬ t.
Sabendo que r ∧ ¬ t e´ V e r e´ V, logo ¬ t e´ V e t e´ F.
(p → t) = ¬ p ∨ t
Sabendo que ¬ p ∨ t e´ V e t e´ F enta˜o ¬ p e´ V e p e´ F.
Resultado: p possui valor lo´gico F.
b) Sabemos que ¬ q ∧ (r → q) ∧ (¬ p ∨ r) e´ V, logo:
¬ q e´ V, (r → q) e´ V e (¬ p ∨ r) e´ V.
Se ¬ q e´ V, enta˜o q e´ F.
Como, r → q = ¬ r ∨ q, como q e´ F enta˜o ¬ r e´ V e r e´ F.
Como (¬ p ∨ r) e´ V e r e´ F enta˜o ¬ p e´ V enta˜o p e´ F.
2
Resultado: p possui valor lo´gico F.
Q4.
Considere, p = ”O obstreta evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria”
e q = ”Gestante entrou em trabalho de parto”
Logo,
O obstetra evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria e a gestante entrou
em trabalho de parto
[O obstetra evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria] [e] [a gestante
entrou em trabalho de parto]
[O obstetra evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria] ∧ [a gestante
entrou em trabalho de parto]
p ∧ q
Aplicando a negac¸a˜o, temos:
¬ (p ∧ q)
¬ p ∨ ¬ q
¬ p [ou] ¬ q
¬ [O obstetra evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria] ou ¬ [Gestante
entrou em trabalho de parto]
O obstetra [na˜o] evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria] ou a Gestante
[na˜o] entrou em trabalho de parto
O obstetra na˜o evitou a realizac¸a˜o da cesariana desnecessa´ria] ou a Gestante
na˜o entrou em trabalho de parto
Resposta: Item A
Q5.
Considere, p = ”o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo” e q = ”o nu´mero m e´
ı´mpar”
Logo,
Se o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo, enta˜o o nu´mero m e´ ı´mpar
[Se] [o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo], [enta˜o] [o nu´mero m e´ ı´mpar]
[o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo] → [o nu´mero m e´ ı´mpar]
p → q
¬ p ∨ q
Aplicando a negac¸a˜o, temos:
¬ (¬ p ∨ q)
¬ ¬ p ∧ ¬ q
p ∧ ¬ q
3
p [e] ¬ q
[o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo] e ¬ [o nu´mero m e´ ı´mpar]
o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo e o nu´mero m [na˜o] e´ ı´mpar
o nu´mero inteiro m > 2 e´ primo e o nu´mero m na˜o e´ ı´mpar
Resposta: Item E
Q6.
Considere, p = ”eu na˜o posso pagar um ta´xi” e q = ”eu vou de oˆnibus”
Logo,
[se] [eu na˜o posso pagar um ta´xi], [enta˜o] [vou de oˆnibus]
[eu na˜o posso pagar um ta´xi] → [vou de oˆnibus]
p → q
Sabemos que:
p → q e´ equivalente a ¬ q → ¬ p
Logo,
¬ q → ¬ p
[Se] ¬ q, [enta˜o] ¬ p
Se ¬ [eu vou de oˆnibus], enta˜o ¬ [na˜o posso pagar um ta´xi]
Se eu [na˜o] vou de oˆnibus, enta˜o [na˜o] na˜o posso pagar um ta´xi
Se eu na˜o vou de oˆnibus, enta˜o posso pagar um ta´xi
Resposta: Item A
Q7.
Temos que em p → q, p e´ a condic¸a˜o suficiente para q e q e´ a condic¸a˜o
necessa´ria para p.
Aplicando a contra-positiva na nossa frase, temos:
Se Joa˜o passeia enta˜o Marcos estuda.
Resposta: Item E
Q8.
Considere, p = ”Ana e´ alegre” e q = ”Beatriz e´ feliz”
Logo,
Ana e´ alegre ou Beatriz e´ feliz
[Ana e´ alegre] [ou] [Beatriz e´ feliz]
[Ana e´ alegre] ∨ [Beatriz e´ feliz]
p ∨ q
¬ ¬ p ∨ q
¬ p → q
[Se] ¬ p, [enta˜o] q
Se ¬ [Ana e´ alegre], enta˜o [Beatriz e´ feliz]
Se Ana [na˜o] e´ alegre, enta˜o Beatriz e´ feliz
4
Se Ana na˜o e´ alegre, enta˜o Beatriz e´ feliz
Resposta: Item A
Q9.
a)
p q ¬ p p ∨ q [¬ p ∧ (p ∨ q)] [¬ p ∧ (p ∨ q)] → q
V V F V F V
V F F V F V
F V V V V V
F F V F F V
Como a coluna do [¬ p ∧ (p ∨ q)]→ q so´ possui V, enta˜o a expressa˜o e´ uma
tautologia.
b)
p q r p → r q → r (p → r) ∧ (q → r) [(p → r) ∧ (q → r)] → (p → r)
V V V V V V V
V V F F F F V
V F V V V V V
V F F F V F V
F V V V V V V
F V F V F V V
F F V V V V V
F F F V V V V
Como a coluna do [(p → r) ∧ (q → r)] → (p → r) so´ possui V, enta˜o a
expressa˜o e´ uma tautologia.
c)
p q p → q p ∧ (p → q) [p ∧ (p → q)] → q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Como a coluna do [p ∧ (p → q)] → q so´ possui V, enta˜o a expressa˜o e´ uma
tautologia.
5
d)
p q r p ∨ q p → r q → r (p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r) [(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V V V V V V
V F F V F V F V
F V V V V V V V
F V F V V F F V
F F V F V V F V
F F F F V V F V
Como a coluna do [(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r so´ possui V, enta˜o a
expressa˜o e´ uma tautologia.
Q10.
a)
[¬ p ∧ (p ∨ q)] → q
[(¬ p ∧ p) ∨ (¬ p ∧ q)] → q
[F ∨ (¬ p ∧ q)] → q
(¬ p ∧ q) → q
¬ (¬ p ∧ q) ∨ q
(p ∨ ¬ q) ∨ q
p ∨ (¬ q ∨ q)
p ∨ V
V
Logo, [¬ p ∧ (p ∨ q)] → q e´ uma tautologia.
b)
[(p → r) ∧ (q → r)] → (p → r)
¬ [(p → r) ∧ (q → r)] ∨ (p → r)
[¬ (p → r) ∨ ¬ (q → r)] ∨ (p → r)
¬ (q → r) ∨ [¬ (p → r) ∨ (p → r)]
¬ (q → r) ∨ V
V
Logo, [(p → r) ∧ (q → r)] → (p → r) e´ uma tautologia.
c)
[p ∧ (p → q)] → q
[p ∧ (¬ p ∨ q)] → q
[(p ∧ ¬ p) ∨ (p ∧ q)] → q
6
[F ∨ (p ∧ q)] → q
(p ∧ q) → q
¬ (p ∧ q) ∨ q
(¬ p ∨ ¬ q) ∨ q
¬ p ∨ (¬ q ∨ q)
¬ p ∨ V
V
Logo, [p ∧ (p → q)] → q e´ uma tautologia.
d)
[(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r
[(p ∨ q) ∧ (¬ p ∨ r) ∧ (¬ q ∨ r)] → r
[(p ∨ q) ∧ (¬ p ∧ ¬ q) ∨ r] → r
[(p ∨ q) ∧ ¬ (p ∨ q) ∨ r] → r
(F ∨ r) → r
r → r
¬ r ∨ r
V
Logo, [(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r e´ uma tautologia.
Q11.
[¬ p ∧ (p → q)] → ¬ q
[¬ p ∧ (¬ p ∨ q)] → ¬ q
[(¬ p ∧ ¬ p) ∨ (¬ p ∧ q)] → ¬ q
[¬ p ∨ (¬ p ∧ q)] → ¬ q
[(¬ p ∧ V) ∨ (¬ p ∧ q)] → ¬ q
[(¬ p ∧ V) ∨ (¬ p ∧ q)] → ¬ q
[¬ p ∧ (V ∨ ∧ q)] → ¬ q
(¬ p ∧ V) → ¬ q
¬ p → ¬ q
¬ ¬ p ∨ ¬ q
p ∨ ¬ q
Na˜o e´ uma tautologia, pois quando p e´ F e q e´ V enta˜o p ∨ ¬ q e´ F.
Q12.
p ↔ q
(p → q) ∧ (q → p)
(¬ p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ p)
((¬ p ∨ q) ∧ ¬ q) ∨ ((¬ p ∨ q) ∧ p))
((¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ ¬ q)) ∨ ((¬ p ∧ p) ∨ (q ∧ p))
((¬ p ∧ ¬ q) ∨F) ∨ (F ∨ (q ∧ p))
(¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
(¬ p ∧ ¬ q) ∨ (p ∧ q)
7
(p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬ q)
Logo, as duas expresso˜es sa˜o equivalentes.
Q13.
p ∨ ((¬ q ∧ r) → p)
p ∨ (¬ (¬ q ∧ r) ∨ p)
p ∨ (p ∨ ¬ (¬ q ∧ r))
(p ∨ p) ∨ ¬ (¬ q ∧ r)
p ∨ ¬ (¬ q ∧ r)
¬ (¬ p ∧ ¬ ¬ (¬ q ∧ r))
¬ (¬ p ∧ (¬ q ∧ r))
¬ (¬ p ∧ ¬ q ∧ r)
Q14.
¬ w e´ V, logo w e´ F
u ∨ w e´ V e w e´ F, logo u e´ V
u → ¬ p = ¬ u ∨ ¬ p, temos que ¬ u ∨ ¬ p e´ V e ¬ u e´ F, logo ¬ p e´ V e
p e´ F.
¬ p → (r ∧ ¬ s) = ¬ ¬ p ∨ (r ∧ ¬ s) = p ∨ (r ∧ ¬ s) e´ V e p e´ F, logo (r ∧
¬ s) e´ V, por consequeˆncia r e´ V e ¬ s e´ V (s e´ F).
t → s = ¬ t ∨ s e´ V e s e´ F, logo ¬ t e´ V.
Se ¬ t e´ V e w e´ F, enta˜o ¬ t ∨ w e´ V.
Q15.
¬ s e´ V, logo s e´ F.
¬ q ∨ s e´ V e s e´ F, logo ¬ q e´ V (q e´ F).
r ∨ s e´ V e s e´ F, logo r e´ V.
p → q = ¬ p ∨ q e´ V e q e´ F, logo ¬ p e´ V (p e´ F).
¬ s → ¬ t = s ∨ ¬ t e´ V e s e´ F, logo ¬ t e´ V e t e´ F.
w ∨ t e´ V e t e´ F, logo w e´ V.
(¬ p ∧ r) → u = ¬ (V ∧ V) ∨ u = ¬ (V) ∨ u = F ∨ u = u e´ V.
Como, u e´ V e w e´ V, enta˜o u ∧ w e´ V.
Q16.
F1: Domı´nio sendo estudantes em uma sala
F2: Domı´nio sendo todas as pessoas
C(x): x tem celular
F(x): x viu um filme estrangeiro
N(x): x sabe nadar
EQ(x): x sabe resolver equac¸o˜es quadraticas
R(x): x quer ficar rico
8
E(x): x e´ estudante em uma sala
a)
F1: ∀x C(x)
F2: ∀x [E(x) → C(x)]
b)
F1: ∃x F(x)
F2: ∃x [E(x) ∧ F(x)]
c)
F1: ∃x ¬N(x)
F2: ∃x [E(x) ∧ ¬N(x)]
d)
F1: ∀x EQ(x)
F2: ∀x [E(x) → EQ(x)]
e)
F1: ∃x ¬R(x)
F2: ∃x [E(x) ∧ ¬R(x)]
Q17.
Considere:
L(x): x e´ Lannister
D(x): x paga suas d´ıvidas
Dizer ”Um Lannister sempre paga suas d´ıvidas” e´ equivalente a:
∀x [L(x) → D(x)]
A contrapositiva e´:
∀x [¬D(x) → ¬L(x)]
”Uma pessoa que na˜o paga d´ıvidas na˜o e´ Lannister.”
A negac¸a˜o e´:
¬ ∀x [L(x) → D(x)]
∃x ¬[L(x) → D(x)]
∃x ¬[¬ L(x) ∨ D(x)]
9
∃x [L(x) ∧ ¬D(x)]
”Existe um Lannister que na˜o paga suas d´ıvidas.”
Q18.
Considere:
C(x): x e´ cidada˜o brasileiro
E(x): x tem direito a` educac¸a˜o
S(x): x tem direito a` sau´de
Logo, se considerarmos o domı´nos todas as pessoas, temos que “Todo cidada˜o
brasileiro tem direito a` educac¸a˜o e a` sau´de” e´ equivalente a:
∀x [C(x) → (E(x) ∧ S(x))]
A negac¸a˜o e´:
¬ ∀x [C(x) → (E(x) ∧ S(x))]
∃x ¬[C(x) → (E(x) ∧ S(x))]
∃x ¬[¬C(x) ∨ (E(x) ∧ S(x))]
∃x [C(x) ∨ ¬ (E(x) ∧ S(x))]
∃x [C(x) ∨ (¬ E(x) ∨ ¬S(x))]
”Algum cidada˜o brasileiro na˜o tem direito a educac¸a˜o ou a sau´de.”
Item D
Q19.
a) {1,2,3,4,5,7,9}
b) {2,3,5,6,7,8,9,10}
c) {1,2,3,4,5,7,9}
d) {3}
Q20.
a) e´ verdade, pois (−1)2,02 e 12 pertencem ao conjunto U.
b) Falso, pois quando y = -1, na˜o existira´ nenhum elemento x no conjunto
U tal que x2 = −1.
Q21.
a)
i. ∀x [S(x) → F(x)]
ii. ∃x [F(x) ∧ ¬S(x)]
iii. ∀x [S(x) → E(x)]
b) ”Para todos os carros esportivos existem pelo menos um carro que e´ caro
ou que e´ mais seguro que ele.”
10
c)
¬ ∀x [S(x) → ∃y (E(y) ∨ A(y, x))]
∃x ¬[S(x) → ∃y (E(y) ∨ A(y, x))]
∃x ¬[¬S(x) ∨ ∃y (E(y) ∨ A(y, x))]
∃x [S(x) ∧ ¬ ∃y (E(y) ∨ A(y, x))]
∃x [S(x) ∧ ∀y ¬ (E(y) ∨ A(y, x))]
∃x [S(x) ∧ ∀y (¬E(y) ∧ ¬A(y, x))]
d) ”Algum carro esportivo na˜o e´ mais caro que todos os outros e todos os
outros carros na˜o sa˜o mais seguros que ele.”
Q22. Item D
Q23.
Considere:
p = ”Tem chuva”
q = ”Tem neblina”
r = ”A competic¸a˜o de vela acontecera´”
s = ”Apresentac¸a˜o de salvamento continuara´”
t = ”Trofe´u sera´ conquistado”
Conclusa˜o desejada: p
1) (¬ p ∨ ¬ q) → (r ∧ s) [Premissa]
2) r → t [Premissa]
3) ¬ t [Premissa]
4) Se ¬ t e´ V enta˜o t e´ F
5) ¬r ∨ t [Condicional 2]
6) ¬r ∨ F [Substituic¸a˜o do valor lo´gico de 4 em 5]
7) ¬ r
8) Se ¬ r e´ V enta˜o r e´ F
9) (¬ p ∨ ¬ q) → (F ∧ s) [Substituic¸a˜o do valor lo´gico de 8 em 1]
10) (¬ p ∨ ¬ q) → F
11) ¬ (¬ p ∨ ¬ q) ∨ F [Condicional]
12) p ∧ q [De Morgan]
13) p (Conclusa˜o desejada).
Q24.
Considere:
p = ”Nestor disse a verdade”
q = ”Ju´lia disse a verdade”
r = ”Raul disse a verdade”
s = ”Lauro disse a verdade”
11
t = ”Ha´ um lea˜o feroz na sala”
1) p ∧ ¬q ∧ ¬r [Premissa]
2) ¬r → s [Premissa]
3) s → t [Premissa]
4) ¬t [Premissa]
5) Se ¬t e´ V enta˜o t e´ F
6) ¬r → t [Silogismo hipo´tetico 2 e t]
7) r ∨ t [Condicional 6]
8) ¬ r [Simplificac¸a˜o 1]
9) Se ¬ r e´ V enta˜o r e´ F
10) F ∨ t [Substituic¸a˜o do valor verdade de 9 em 8]
11) t [Elemento neutro 10]
Concluimos que ha´ um lea˜o ferroz na sala.
Q25.
Considere:
p = ”Conzinheiro e´ inocente”
q = ”Governanta e´ inocente”
r = ”Mordomo e´ inocente”
1) p → ¬ q [Premissa]
2) (¬ q ∧ r) ∨ (q ∧ ¬r) [Premissa]
3) ¬r [Premissa]
4) Se ¬r e´ V enta˜o r e´ F
5) (¬ q ∧ F) ∨ (q ∧ V) [Substituic¸a˜o do valor verdade de 4 em 2]
6) F ∨ q [Elemento neutro e Elemento absorvedor 5]
7) q [Elemento neutro 6]
8) Se q e´ V enta˜o ¬q e´ F
9) ¬p ∨ ¬q [Condicional 1]
10) ¬p ∨ F [Substituic¸a˜o do valor verdade de 8 em 9]
11) ¬p [Elemento neutro 10]
Conclu´ımos ¬p, q e ¬r
Logo, O conzinheiro e o Mordomo sa˜o culpados e a Governanta e´ inocente.
Q26.
O item a e´ verdadeiro e o item b e´ falso.
Item a)
∀x [P(x) ∧ Q(x)] → [∀x P(x) ∧ ∀x Q(x)]
Suponha como premissa ∀x [P(x) ∧ Q(x)], logo:
1) [P(x) ∧ Q(x)] [Premissa]
2) P(a) ∧ Q(a) [Instanciac¸a˜o Universal 1]
12
3) P(a) [Simplificac¸a˜o 2]
4) Q(a) [Simplificac¸a˜o 2]
5) ∀x P(x) [Generalizac¸a˜o Universal 3]
6) ∀x Q(x) [Generalizac¸a˜o Universal 4]
7) ∀x P(x) ∧ ∀x Q(x) [Conjunc¸a˜o 5 e 6]
Logo, ∀x [P(x) ∧ Q(x)] → [∀x P(x) ∧ ∀x Q(x)] e´ verdadeiro.
Item b)
Suponha que P(x): x e´ par e Q(x): x e´ ı´mpar.
Todos os nu´meros sa˜o pares ou ı´mpares, po´rem os nu´meros na˜o sa˜o todos
pares e os nu´meros tambe´m na˜o sa˜o todos ı´mpares. Logo, ∀x [P(x) ∨ Q(x)] →
[∀x P(x) ∨ ∀x Q(x)] e´ falso.
Q27.
a)
Primeiro passo: Instanciac¸a˜o Universal
Segundo passo: Modus Ponens
b)
Primeiro passo: Instanciac¸a˜o Universal
Segundo passo: Modus Ponens
c)
Primeiro passo: Instanciac¸a˜o Universal
Segundo passo: Modus Ponens
d)
Primeiro passo: Instanciac¸a˜o Universal
Segundo passo: Instanciac¸a˜o Existencial
Terceiro passo: Modus Ponens
Q28.
Passo 7 e´ uma disjunc¸a˜o.
Q29.
a)
Considere,
13
P(x): x e´ pol´ıtico
H(x): x e´ honesto
S(x): x e´ sindicalista
1) ∃x [P(x) ∧ ¬H(x)] [Premissa]
2) ∃x [P(x) ∧ S(x)] [Premissa]
3) P(a) ∧ ¬H(a) [Instanciac¸a˜o Existencial 1]
4) ¬H(a) [Simplificac¸a˜o 3]
5) P(a) ∧ S(a) [Instanciac¸a˜o Existencial 2]
6) S(a) [Simplificac¸a˜o 5]
7) S(a) ∧ ¬H(a) [Conjunc¸a˜o 4 e 6]
8) ∃x S(x) ∧ ¬H(x) [Generalizac¸a˜o existencial 7]
b)
E(x): x e´ estudante
D(x): x e´ dedicado
I(x): x e´ intelidente
1) ∀x [E(x) ∧ D(x)] [Premissa]
2) ∃x [I(x) ∧ E(x)] [Premissa]
3) E(a) ∧ D(a) [Instanciac¸a˜o Universal 1]
4) D(a) [Simplificac¸a˜o 3]
5) I(a) ∧ E(a) [Instanciac¸a˜o Existencial 2]
6) I(a) [Simplificac¸a˜o 5]
7) I(a) ∧ D(a) [Conjunc¸a˜o 4 e 6]
8) ∃x I(x) ∧ D(x) [Generalizac¸a˜o existencial 7]
14