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Aula 20 A Integral Definida. MA111 - Cálculo I Turmas O, P e Q Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Definição 1 A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua e não-negativa f no intervalo [a,b] é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes: A = lim n→∞ n∑ i=1 f (xi)∆x , em que ∆x = b − a n e xi = a + i∆x . Definição 1 A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua e não-negativa f no intervalo [a,b] é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes: A = lim n→∞ n∑ i=1 f (xi)∆x , em que ∆x = b − a n e xi = a + i∆x . A Integral Definida Definição 2 Seja f : [a,b]→ R uma função contínua. A integral de f de a e b é ∫ b a f (x)dx = lim n→∞ n∑ i=1 f (xi)∆x , (1) em que ∆x = b − a n e xi = a + i∆x . Observação: Sendo f uma função contínua, o limite em (1) sempre existe. No caso geral, a definição de integral está condicionada a existência do limite. Algumas Fórmulas Úteis: n∑ i=1 i = n(n + 1) 2 , n∑ i=1 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 , n∑ i=1 i3 = [ n(n + 1) 2 ]2 , n∑ i=1 cai = c n∑ i=1 ai , n∑ i=1 (ai + bi) = n∑ i=1 ai + n∑ i=1 bi . Exemplo 3 Calcule ∫ 3 0 (x3 − 6x)dx . Exemplo 3 Calcule ∫ 3 0 (x3 − 6x)dx . Resposta: −274 . Exemplo 4 Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 1 0 √ 1− x2dx . Exemplo 4 Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 1 0 √ 1− x2dx . Resposta: pi/4. Exemplo 5 Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 3 0 (x − 1)dx . Exemplo 5 Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 3 0 (x − 1)dx . Resposta: 3/2. Propriedades: 1. ∫ b a [f (x)± g(x)]dx = ∫ b a f (x)dx ± ∫ b a g(x)dx . 2. ∫ b a cf (x)dx = c ∫ b a f (x)dx , ∀c ∈ R. 3. ∫ b a cdx = c(b − a), ∀c ∈ R. Exemplo 6 Sendo ∫ 1 0 x 2dx = 1/3, calcule∫ 1 0 (4 + 3x2)dx . Propriedades: 1. ∫ b a [f (x)± g(x)]dx = ∫ b a f (x)dx ± ∫ b a g(x)dx . 2. ∫ b a cf (x)dx = c ∫ b a f (x)dx , ∀c ∈ R. 3. ∫ b a cdx = c(b − a), ∀c ∈ R. Exemplo 6 Sendo ∫ 1 0 x 2dx = 1/3, calcule∫ 1 0 (4 + 3x2)dx . Resposta: 5. Propriedades: 1. ∫ a b f (x)dx = − ∫ b a f (x)dx . 2. ∫ a a f (x)dx = 0. 3. ∫ c a f (x)dx = ∫ b a f (x)dx + ∫ c b f (x)dx . Propriedades Comparativas: 1. Se f (x) ≥ 0,∀x ∈ [a,b], então∫ b a f (x)dx ≥ 0. 2. Se f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a,b], então∫ b a f (x)dx ≥ ∫ b a g(x)dx . Propriedade Comparativa: Se m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a,b], então m(b − a) ≤ ∫ b a f (x)dx ≤ M(b − a). Exemplo 7 Use a última propriedade para estimar o valor de∫ 1 0 e−x 2 dx . Exemplo 7 Use a última propriedade para estimar o valor de∫ 1 0 e−x 2 dx . Resposta: 1 e ≤ ∫ 1 0 e−x 2 dx ≤ 1.
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